맥스웰 방정식

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 맥스웰 이전의 연구 성과
- 2.2. 맥스웰의 연구
3. 4개의 방정식
4. 수식 표현
5. 각 방정식의 해석
6. 전자기파 방정식
7. 거시적 공식화
- 7.1. 보조장
- 7.2. 구성 방정식
8. 다양한 표현 방식
9. 응용
10. 현대적 의의와 한계
- 10.1. 양자 전기역학 (QED)
- 10.2. 한계와 새로운 연구 분야
참조

1. 개요

맥스웰 방정식은 전기와 자기에 대한 연구를 집대성하여 전자기 현상을 설명하는 기본적인 물리 법칙이다. 쿨롱 법칙, 패러데이 전자기 유도 법칙, 앙페르 회로 법칙 등 기존 연구를 통합하여 빛이 전자기파임을 밝히고 전자기 복사를 예언했다. 1860년대에 제임스 클러크 맥스웰에 의해 처음 제시되었으며, 오늘날에는 4개의 방정식으로 정리된 형태가 널리 사용된다. 이 방정식은 전기장과 자기장의 관계, 전하와 전류의 분포, 전자기파의 전파 등을 설명하며, 가우스 법칙, 가우스 자기 법칙, 패러데이 전자기 유도 법칙, 앙페르-맥스웰 회로 법칙으로 구성된다. 맥스웰 방정식은 전력 공학, 통신 공학, 반도체 공학 등 다양한 분야에 응용되며, 양자 전기역학(QED)의 고전적인 극한으로 간주되지만, 양자 효과를 설명하는 데에는 한계가 있다.

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맥스웰 방정식
지도 정보
명칭
영어	Maxwell's equations
일본어	マクスウェルの方程式
한국어	맥스웰 방정식
개요
분야	고전 전자기학
설명	고전 전자기학의 기본 방정식을 나타내는 4개의 편미분 방정식
방정식
가우스 법칙 (전기장)	∇⋅E = ρ / ε₀
가우스 법칙 (자기장)	∇⋅B = 0
패러데이 법칙	∇ × E = - ∂B / ∂t
앙페르-맥스웰 법칙	∇ × B = μ₀ (J + ε₀ ∂E / ∂t)
주요 인물
관련 과학자	제임스 클러크 맥스웰
기타
관련 주제	전자기학, 전기, 자기, 전기장, 자기장, 전자기파, 전자기 복사
관련 법칙	쿨롱 법칙, 앙페르 회로 법칙, 패러데이 전자기 유도 법칙, 로런츠 힘
관련 개념	전하, 전류, 전압, 전위, 유도, 전자기 유도

2. 역사

맥스웰 방정식은 전기와 자기에 대한 기존 연구들을 종합하여 만들어졌다. 고대부터 사람들은 정전기 현상과 자석을 이용한 나침반 등을 알고 있었다. 근대에 들어 쿨롱 법칙, 패러데이 전자기 유도 법칙, 앙페르 회로 법칙 등이 발견되었다. 제임스 클러크 맥스웰은 이러한 연구들을 통합하여 전기와 자기가 전자기력이라는 하나의 힘으로 나타난다는 것을 보였고, 빛이 전자기파임을 밝혔다.^[49]^[50] 또한 전자기 복사의 발견을 예언하였다.

1954년 왕안이 앙페르 회로 법칙을 이용하여 고안한 자기 코어 메모리. 하나의 코어가 1 비트에 해당한다.

맥스웰 방정식은 다음 네 가지 법칙을 포함한다.

'''가우스 법칙''': 전하가 만드는 전기장의 세기를 설명한다. 쿨롱 법칙과 본질적으로 같지만, 계산이 편리하여 회로 이론 등에서 널리 쓰인다.
'''가우스 자기 법칙''': 자기 홀극은 존재하지 않고, N극과 S극은 항상 쌍으로 존재한다.^[51] 따라서 폐곡면을 통과하는 총 자기 선속은 항상 0이다.
'''패러데이 전자기 유도 법칙''': 자기 선속이 변하면 전기장^[52]이 발생한다. 발전기에서 교류 전류를 만드는 원리이다.
'''앙페르-맥스웰 회로 법칙''': 전류가 흐르면 자기장이 발생한다. 맥스웰은 전기장의 변화 역시 자기장을 발생시킨다는 것을 축전기 실험으로 증명했다. 전자석, 전동기 등이 이 원리를 이용한다.

2. 1. 맥스웰 이전의 연구 성과

인류는 고대 시대부터 정전기에 의한 인력과 방전 현상을 알고 있었고 자석의 특징을 이용한 나침반을 만들어 사용해 왔다. 근대에 이르러 전기와 자기에 대한 많은 연구가 진행되었으며 그 결과 쿨롱 법칙, 앙페르 회로 법칙, 패러데이 전자기 유도 법칙과 같은 법칙들이 발견되었다.

2. 1. 1. 쿨롱 힘

샤를 드 쿨롱은 1784년 비틀림 저울을 이용한 실험 장치를 고안하여 대전된 두 전하 사이에 작용하는 힘의 크기를 측정할 수 있었다.

샤를 드 쿨롱은 금속공과 비틀림 저울을 이용하여 두 점전하 사이에 작용하는 힘(쿨롱 힘)을 측정하고, 두 전하 사이에서 작용하는 힘은 두 전하 크기의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다는 쿨롱 법칙을 발견하였다.^[53]

쿨롱 법칙을 식으로 나타내면 다음과 같다.^[53]

:F = k_e q₁q₂/r²

:F=힘, K_e=쿨롱 상수, q₁, q₂=전하의 크기, r=두 전하 사이의 거리

위 식에서 K_e는 쿨롱 상수로 이 상수의 크기는 다음과 같다.

:k_e = 8.987551787 × 10⁹

:≈ 9 × 10⁹ N m² C⁻²

한편, 쿨롱 힘은 전하 사이의 작용뿐만 아니라 자계에도 적용될 수 있다. 두 자극의 세기를 각각 m_A, m_B라 할 때, 이 두 자극 사이에 작용하는 힘은 다음과 같이 정리된다.

:F = k m_Am_B/r²

:F=힘, m_A, m_B=자극의 세기, r=두 전하 사이의 거리

자극의 세기 단위는 웨버(Wb)로 쿨롱은 세기가 같은 두 개의 자극을 1m 떨어뜨려 놓았을 때 작용하는 힘의 세기가 F = (10⁷/(4π)²) N인 경우를 1Wb로 정의했다. 따라서 상수 k의 값은 다음과 같다.

:k = (10⁷/(4π)²) Nm²/Wb²

자극 사이에 작용하는 힘의 크기는 전하 사이에 작용하는 힘의 크기와 같은 방식으로 계산할 수 있으나 둘 사이에는 분명한 차이가 있다. 즉, 전하는 양전하이든 음전하이든 단독으로 존재할 수 있는 데 반해 자극은 홀극으로 존재할 수 없고, N극과 S극이 언제나 쌍으로 존재하여야 한다는 것이다.

2. 1. 2. 패러데이의 실험

마이클 패러데이는 전자기 유도 현상을 발견하고, 패러데이 전자기 유도 법칙을 정립하였다. 이는 자기장의 변화가 전기장을 발생시킨다는 것을 의미한다.

2. 1. 3. 전자기 유도

전자기 유도 현상은 발전기와 같은 전자기 장치의 기본 원리가 된다.

2. 2. 맥스웰의 연구

제임스 클러크 맥스웰은 오랫동안 독립적으로 다루어지던 전기와 자기에 대한 법칙들을 통합하여 맥스웰 방정식을 만들었다.^[49]^[50] 맥스웰은 마이클 패러데이의 "역선"(力線) 개념과 앙드레마리 앙페르의 회로 이론을 바탕으로 방정식을 정리하였다.

맥스웰은 앙페르 회로 법칙에 변위 전류 개념을 추가하여 전기장의 변화가 자기장을 생성한다는 것을 보였다. 그는 축전기를 이용한 실험을 통해 전계의 변화가 자기장을 발생시키는 것을 증명하였고, 전선뿐만 아니라 전계가 변하는 모든 곳에서 자기장이 발생함을 입증하였다.

이러한 연구를 통해 맥스웰은 전기와 자기가 전자기력이라는 하나의 상호작용에 의한 것이며, 빛 역시 전자기파의 일종임을 밝혔다. 또한, 그는 전자기 복사의 발견을 예언하였다.

2. 2. 1. 맥스웰 방정식의 정리

제임스 클러크 맥스웰은 독립적으로 다루어지던 전기와 자기의 법칙들을 종합하여 맥스웰 방정식을 수립하였다. 맥스웰은 마이클 패러데이의 "역선"(力線) 개념과 앙드레마리 앙페르의 회로 이론을 근간으로 방정식을 정리하였다.^[54]

1861년 맥스웰은 논문 《물리적인 역선에 대해》를 발표하여 맥스웰 방정식을 소개하였다. 이 방정식은 1865년 발표된 논문 《전자기장의 역학 이론》과 1873년 출간된 《전기와 자기에 관한 논문집》 제2권의 9장에서 다시 소개되었다.

물리학자 리처드 파인먼은 "이 방정식에 비하면 남북전쟁조차 큰 의미없는 지엽적인 사건이라고 할 수 있다"라고 맥스웰 방정식의 중요성을 강조하였다.^[55]

1865년 맥스웰 자신에 의해 발표된 맥스웰 방정식의 원래 형태는 8개의 방정식으로 이루어진 것이었다. 그러나 오늘날에는 1884년 올리버 헤비사이드가 4개의 방정식으로 정리한 형태가 일반적으로 사용된다.^[56] 조사이어 윌러드 기브스와 하인리히 루돌프 헤르츠 역시 헤비사이드와 동일한 작업을 한 바 있다.^[57] 이 때문에 맥스웰 방정식은 헤르츠-헤비사이드 방정식으로 불리기도 한다. 그러나 "맥스웰 방정식"이란 이름이 더 폭넓게 쓰이고 있다.^[58]

맥스웰은 1861년 《물리적인 역선에 대해》에서 앙페르 회로 법칙을 설명하기 위해 방정식들을 열거하였고, 이 논문에서 앙페르 회로 법칙에 치환 전류를 덧붙였다. 1865년 발표한 《전자기장의 역학 이론》에서는 전자기파 방정식을 기술하면서 빛이 전자기파임을 제시하였다. 맥스웰의 이론은 1887년 하인리히 루돌프 헤르츠의 실험에 의해 증명되었다.

당시 이 방정식은 헤르츠-헤비사이드 방정식 또는 맥스웰-헤비사이드 방정식이라고 불렸다.^[58] 그러나 알베르트 아인슈타인은 사이언스에 기고한 글에서 이를 "맥스웰 방정식"이라 부르며, 이 방정식들이 이론물리학의 기초라고 설명하였다. 맥스웰은 방정식을 정리하면서 헤비사이드의 전위와 벡터 위치 등 위치 요소를 중요한 개념으로 도입하였다.^[59] 1884년 맥스웰은 전자기파의 전달을 중력과 같이 원격에서 상호작용하는 힘이 아닌 전자기장에서 빛의 속도로 전파되는 전위로 파악하였다.^[60]^[61]

헤비사이드의 업적은 맥스웰이 여러 논문과 책에서 서술한 맥스웰 방정식을 오늘날과 같은 4개의 방정식으로 정리하였다는 것이다.^[62]^[63]

(미분형) 맥스웰 방정식은 다음의 4개의 연립 편미분 방정식이다. 기호 "

\nabla

"는 나블라 연산자, 기호 "

\nabla\cdot

" , "

\nabla\times

"는 각각 벡터장의 발산 (div)과 회전 (rot)이다.

:

\begin{cases}\begin{align}\nabla\cdot\boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r})&=0\\\nabla\times\boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r})&=-\dfrac{\partial\boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r})}{\partial t}\\\nabla\cdot\boldsymbol{D}(t,\boldsymbol{r})&=\rho(t,\boldsymbol{x})\\\nabla\times\boldsymbol{H}(t,\boldsymbol{r})&=\boldsymbol{j}(t,\boldsymbol{r})+\dfrac{\partial\boldsymbol{D}(t,\boldsymbol{r})}{\partial t}\end{align}\end{cases}

2. 2. 2. 《물리적 역선에 대해》 (1861년)

제임스 클러크 맥스웰은 1861년 논문 《물리적인 역선에 대해》^[54]를 발표하여 맥스웰 방정식을 소개하였다. 이 논문에서 맥스웰은 분자 와동 모형을 제시하고, 전자기장과 관련된 여러 방정식들을 열거하였다.

맥스웰의 분자 와동 모형. 그림에서 육각형 안의 검은 점을 밖으로 나오는 자기력선의 기자력이 되는 단위 자기장이라 할 때, 모든 단위 자기장이 반시계방향으로 회전하면 녹색 원으로 표현된 자기력선은 단위 자기장들의 영향을 받아 시계방향으로 회전하게 된다.

맥스웰이 제안한 분자 와동의 바다란 개념은 《[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/On_Physical_Lines_of_Force.pdf 물리 역선에 대해]》에서 보다 분명하게 소개되었다. 이 논문에서 자기장이 형성되는 분자 규모의 와동에서

\mathbf{B}

의 밀도에 따라

\mathbf{H}

의 순 와동 운동이 결정된다고 보았다. 맥스웰은 와동의 밀도를 측정하기 위한 값으로 투자율 µ 을 정의하였다. 이 논문에서 밝힌 맥스웰의 개념은 다음과 같다.

# '''자기 유도 전류'''는 자기 전류 밀도에 의해 발생된다.

\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}

# '''대류 전류'''는 선형 전류의 회전 분석에 핵심 개념이다.

\mathbf{J} = \rho \mathbf{v}

이 때

\rho

는 전하 밀도이다.

\mathbf{B}

는 축을 이루어 회전하는 자기 전류이고

\mathbf{H}

는 그 주위를 돌게 되는 자기력선의 자기 선속이다. 투자율 µ는 결국 자기장

\mathbf{B}

에 의해 유도되는 자기 선속

\mathbf{H}

의 비가 된다.

전류 방정식은 전하의 대류 전류가 선형적으로 움직이는 것을 보여준다. 한편, 자기 방정식은 유도 전류의 회전에 의해 발생하는 자기를 나타내는 것으로

\mathbf{B}

벡터의 방향성으로 인해 비선형 방정식이 된다. 따라서 자기 유도 전류는 역선으로 표현된다. 자기력선은 역제곱 법칙에 의해 전류에서 멀어질수록 약해지게 된다.

이 논문에 실려있는 전자기장에 대한 방정식은 다음과 같다.

방정식 56번 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ .

방정식 112번은 멕스웰이 앙페르 회로 법칙을 확장하여 전류와의 거리에 따른 자기력선의 세기를 표현한 것이다. 이 방정식에서 표현된 원격 전류의 개념은 전자기학의 핵심 개념이 되었다. 맥스웰은 1865년 《전자기장의 역학 이론》에서 전자기 파장 방정식을 정립하여 이를 보충하였다. 구스타프 키르히호프는 특히 이 방정식에서 원격 전류의 개념을 제거한 방정식을 수립한 뒤 이를 전신수 방정식이라고 불렀는데, 이 방정식이 전신의 이론적 기반이 되었기 때문이다. 당시에는 전자기 복사가 발견되지 않은 상태였기 때문에 키르히호프는 자신의 방정식이 전선 안에서 일어나는 자기 유도에 국한된다고 생각하였다.

방정식 115번은 가우스 법칙을 정리하고 있다.

방정식 54번을 올리버 헤비사이드는 "패러데이 법칙"이라 불렀다. 그러나, 패러데이 법칙의 원형이 자기장과 전류의 변화를 모두 반영하는데 비해 54번 방정식은 자기장의 변화에 따른 전류의 변화를 반영하지는 않는다. 맥스웰은 자기장의 변화만을 고려하여 '''v × B'''로 표기한 대신, 방정식 77번에서 오늘날 로런츠 힘 법칙으로 알려진 '''F ''' = ''q'' ( '''E + v × B''' ) 을 제시하였다. 맥스웰이 이 방정식을 발표한 때에 헨드릭 로런츠는 아직 어린아이였다.

2. 2. 3. 《전자기장의 역학이론》 (1864년)

제임스 클러크 맥스웰은 1864년 《전자기장의 역학이론》을 출간하여 빛이 전자기파임을 명확히 제시하였다. 이 책에서 맥스웰은 8개의 방정식을 '''전자기장에 대한 일반적인 방정식'''으로 제시하였다. 이 때문에 "맥스웰 방정식"이라는 표현이 오늘날 통용되는 4개의 방정식을 가리키는지, 1864년에 제시된 8개의 방정식을 가리키는지 혼동을 일으키기도 한다. 이러한 혼동을 피하기 위해 헤비사이드가 정리한 맥스웰 방정식(맥스웰-헤비사이드 방정식)이라는 표현이 사용되기도 한다.^[64]

현대 벡터 표기를 사용하여 정리한 맥스웰의 8개 방정식은 다음과 같다.

;(A) 총 전류의 법칙

:

\mathbf{J}_{tot} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}

;(B) 자기장 방정식 (벡터 퍼텐셜의 정의)

:

\mu \mathbf{H} = \nabla \times \mathbf{A}

;(C) 앙페르 회로 법칙

:

\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{tot}

;(D) 대류 전하, 유도 전류 및 정전기에 의해 생성된 기전력 (로런츠 힘)

:

\mathbf{E} = \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla \phi

;(E) 전기 탄성 방정식

:

\mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon} \mathbf{D}

;(F) 옴의 법칙

:

\mathbf{E} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{J}

;(G) 가우스 법칙

:

\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho

;(H) 연속 방정식 (전하 보존 법칙)

:

\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}

; 또는

:

\nabla \cdot \mathbf{J}_{tot} = 0

;주

:

\mathbf{H}

는 맥스웰이 자기 강도라고 표현한 자기장이다.

:

\mathbf{J}

는 전류 밀도로 원격 전류가 갖는 총 전류를 뜻한다.

:

\mathbf{D}

는 맥스웰이 원격 전류라고 표현한 전기 변위장이다.

:

\rho\!

는 자유 전하 밀도로 맥스웰은 이를 자유 전하의 양이라고 표현하였다.

:

\mathbf{A}

는 자기 퍼텐셜로 맥스웰은 이를 각 임펄스로 표현하였다.

:

\mathbf{E}

는 맥스웰이 기전력이라고 표현한 것으로 오늘날 볼트를 단위로 사용하는 기전력과 달리 전기장을 의미한다.

:

\sigma\!

는 도전율이다. (그 역수는 비저항인데, 오늘날 영어명은 resistivity^영어이고, 맥스웰은 이를 specific resistance^영어라 불렀다.)

이 책에서 표현된 방정식 D는 로런츠 힘의 효과를 나타낸 것으로 1861년 논문의 방정식 77번을 보다 간략하게 표현한 것이다. 또한, 맥스웰은 1865년 논문에서 전자기파 방정식을 정의하였는데 이 책의 방정식 D를 전자기 유도를 설명하기 위해 사용하였다. 오늘날에는 방정식 D 대신 패러데이 전자기 유도 법칙이 쓰인다. 맥스웰은 전자기파 방정식을 연구하는 과정에서 방정식 D의

\mu \mathbf{v} \times \mathbf{H}

를 버렸다.

2. 2. 4. [[전기와 자기에 관한 논문집|《전기와 자기에 관한 논문집》 (1873년)]]

제임스 클러크 맥스웰이 1873년에 출간한 《전기와 자기에 관한 논문집》에서 맥스웰 방정식은 두 개의 묶음으로 나뉘어 설명되었다.^[62]^[63]

첫 번째 묶음은 다음과 같다.

:

\mathbf{E} = - \nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}

:

\mathbf{B} =  \nabla \times \mathbf{A}.

두 번째 묶음은 다음과 같다.

:

\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho

:

\nabla \times \mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = \mathbf{J}.

3. 4개의 방정식

맥스웰 방정식은 전자기 현상을 설명하는 네 개의 방정식으로 구성된다.

가우스 법칙: 전하가 만드는 전기장의 세기를 나타내며, 쿨롱 법칙과 본질적으로 같다.
가우스 자기 법칙: 자기 홀극은 존재하지 않고, N극과 S극은 항상 쌍으로 존재한다는 것을 의미한다. 폐곡면을 통과하는 총 자기 선속은 0이다.^[51]
패러데이 전자기 유도 법칙: 자기장이 시간에 따라 변하면 전기장이 발생한다.^[52]
앙페르-맥스웰 회로 법칙: 전류뿐만 아니라 전기장의 변화도 자기장을 생성한다는 것을 보여준다.

맥스웰 방정식은 아래와 같이 네 개의 연립 편미분 방정식으로 표현된다. (

\nabla

: 나블라 연산자,

\nabla\cdot

: 발산,

\nabla\times

: 회전)

:

\begin{cases}\begin{align}\nabla\cdot\boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r})&=0\\\nabla\times\boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r})&=-\dfrac{\partial\boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r})}{\partial t}\\\nabla\cdot\boldsymbol{D}(t,\boldsymbol{r})&=\rho(t,\boldsymbol{x})\\\nabla\times\boldsymbol{H}(t,\boldsymbol{r})&=\boldsymbol{j}(t,\boldsymbol{r})+\dfrac{\partial\boldsymbol{D}(t,\boldsymbol{r})}{\partial t}\end{align}\end{cases}

일반적인 매질에서 구성 방정식은 다음과 같다.

:

\begin{align}\boldsymbol{D} &= \varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}\\\boldsymbol{H} &= \mu_0^{-1} \boldsymbol{B} - \boldsymbol{M}\end{align}

(

t

: 시간,

\boldsymbol{r}

: 위치 벡터,

\boldsymbol{E}

: 전기장 세기,

\boldsymbol{D}

: 전속밀도,

\boldsymbol{B}

: 자속밀도,

\boldsymbol{H}

: 자기장 세기,

\boldsymbol{P}

: 분극,

\boldsymbol{M}

: 자화,

\varepsilon_0

: 진공의 유전율,

\mu_0

: 진공의 투자율,

\rho

: 전하밀도,

\boldsymbol{j}

: 전류밀도). 진공에서는

\boldsymbol{P}=\boldsymbol{M}=\boldsymbol{0}

이다.

전자기장은 로렌츠 힘 (

\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B}

)을 통해 전하와 전류 분포를 변화시킨다.

시간 미분 항을 한쪽으로 옮기면,

:

\begin{align}\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} &= -\nabla\times\boldsymbol{E}\ ,&\nabla\cdot\boldsymbol{B} &= 0\\\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} &= \nabla\times\boldsymbol{H}-\boldsymbol{j}\ ,&\nabla\cdot\boldsymbol{D} &= \rho\end{align}

위 식은 시간 변화 방정식과 초기 조건을 나타낸다.

진공에서는

\boldsymbol{P}=\boldsymbol{M}=\boldsymbol{0}

이므로 구성 방정식은 다음과 같다.

:

\begin{align}\boldsymbol{D}&=\varepsilon_0\boldsymbol{E}\\\boldsymbol{H}&=\mu_0^{-1}\boldsymbol{B}\end{align}

광속

c_0

와 진공의 임피던스

Z_0

를 이용하면,

:

\begin{bmatrix}\boldsymbol{E} \\c_0\boldsymbol{B}\end{bmatrix}= Z_0 \begin{bmatrix}c_0\boldsymbol{D} \\\boldsymbol{H}\end{bmatrix}

로 표현할 수 있다.

3. 1. 가우스 법칙 (전기)

전하에 의해 발생되는 전기장의 크기를 설명하며, 본질적으로 쿨롱 법칙과 같은 의미를 지닌다. 쿨롱 법칙은 공간에 놓인 두 점전하 사이에서 발생하는 힘을 설명하지만, 가우스 법칙은 하나의 전하로부터 발생하는 전기장의 세기가 거리에 따라 반감되는 이유를 설명한다. 실제 회로 이론이나 전자공학에서는 계산이 편리하고 직관적으로 이해하기 쉬운 가우스 법칙을 일반적으로 사용한다.^[49]^[50]

가우스 법칙은 전기장과 전하 사이의 관계를 설명한다. 전기장은 양전하에서 멀어지고 음전하를 향하며, 폐곡면을 통과하는 전기장의 순 유출량은 유전체의 분극으로 인한 결합 전하를 포함하여 둘러싸인 전하에 비례한다. 비례 계수는 진공의 유전율이다.

미분 형태와 적분 형태의 등가성은 가우스 발산 정리의 결과이다.

:

\nabla\cdot\boldsymbol{D}=\rho

(미분형 맥스웰-가우스 방정식)

위 식은 전속이 전하가 존재하는 곳에서 증감(발생·소멸)하고, 그 이외의 곳에서는 보존됨을 보여준다.

적분형으로 나타내면 다음 식이 된다.

:

\oint_S\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=Q_{\rm encl}

여기서

\mathrm{d}\boldsymbol{S}

는 폐곡면 S 위의 면소 벡터이며,

Q_{\rm encl}

는 폐곡면 S로 둘러싸인 영역 내의 전하이다. 이 적분형은 폐곡면 위를 적분할 때에만 의미가 있으며, 가우스 법칙으로 잘 알려져 있다.

3. 2. 가우스 자기 법칙

가우스 자기 법칙에 따르면, 폐곡면을 통과하는 총 자기 선속은 0이다. 즉, 전기와 달리 자기는 홀극이 없고, N극과 S극이 언제나 함께 존재한다.^[51] 이러한 자기의 성질 때문에 일정한 공간으로 들어오는 자기력선과 나가는 자기력선의 크기는 언제나 같고, 따라서 서로 정반대의 방향으로 작용하는 같은 크기의 힘의 합계는 언제나 0이다.

자기장의 발산은 항상 0이라는 것을 나타낸다. 이는 자기 홀극이 존재하지 않으며, 자기력선이 항상 폐곡선을 이룬다는 것을 의미한다.

(순수 수학적인) 가우스 발산 정리에 따르면 가우스 자기 법칙의 적분 형태에서 자기 플럭스를 다시 쓰면 다음과 같다.

:

\oint_{\partial \Omega} \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{B}\, \mathrm{d}V = 0.

이는 모든

\Omega

에 대해

\nabla \cdot \mathbf{B} = 0

일 때만 만족한다.

미분형 자속 보존 법칙은 다음과 같다.

:

\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0

적분형으로 표현하면 다음 식이 된다.

:

\oint_S\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0

여기서

\mathrm{d}\boldsymbol{S}

는 폐곡면 S 위의 면소 벡터이다. 구조적으로 보아 자력선이 폐곡선이어야 함을 의미한다.

이러한 식들은 자기 단극자(모노폴)가 존재하지 않는다는 것을 전제로 하고 있으며, 만약 자기 단극자가 발견된다면, 위의 식은 다음과 같이 수정되어야 한다.

:

\nabla\cdot\boldsymbol{B}=\rho_\mathrm{m}

여기서

\rho_\mathrm{m}

는 자기 단극자의 자하 밀도이다.

3. 3. 패러데이 전자기 유도 법칙

자기장이 시간에 따라 변하면 그 주변에 전기장^[52]이 발생한다는 법칙이다. 발전기는 이 원리를 이용하여 교류 전류를 생산한다. 예를 들어 고리 모양의 전선 안에서 자석을 위아래로 움직이면 전류가 흐르는 현상을 관찰할 수 있다.

3. 4. 앙페르-맥스웰 회로 법칙

앙페르 회로 법칙은 전류가 흐르는 전선에 따라 자기장이 발생한다는 것이다. 맥스웰은 앙페르 회로 법칙을 확장하여 전기장의 강도가 변화하면 자기장이 발생하는 것으로 파악하였고, 축전기를 이용한 실험을 통해 이를 입증하였다. 즉, 축전기 자체는 전류를 이동시키지 못하지만 전계의 변화를 전달한다. 맥스웰은 축전기에서 전계가 변화할 때 자기장이 발생하는 것을 측정하였고 이로써 전선뿐만 아니라 전계의 강도가 변화하는 모든 곳에서 자기장이 발생함을 증명하였다. 전류 변화로 자기장이 발생하는 것을 이용한 도구로는 전자석, 전동기와 같은 것이 있다.^[49]^[50]

앙페르의 원래 법칙은 자기장이 전류와 관련이 있음을 설명한다. 맥스웰의 추가 내용은 자기장이 변화하는 전기장과도 관련이 있음을 나타내는데, 맥스웰은 이를 변위 전류라고 불렀다. 적분 형태는 전류와 변위 전류가 임의의 폐곡선을 따라 비례하는 자기장과 관련이 있음을 나타낸다.

앙페르의 회로 법칙에 대한 맥스웰의 수정은 중요한데, 그 이유는 정전기장에 대해서는 앙페르의 법칙과 가우스 법칙을 수정해야 하기 때문이다.^[6] 결과적으로, 이것은 변화하는 전기장에 회전하는 자기장이 발생한다는 것을 예측한다.^[4]^[7]

전하와 전류에 대한 실험으로 예측할 수 있는 전자기파의 속도^[8]는 빛의 속도와 일치한다. 실제로 빛은 전자기파의 한 형태이며(X선, 전파 등도 마찬가지이다). 맥스웰은 1861년에 전자기파와 빛 사이의 관계를 이해함으로써 전자기학과 광학 이론을 통합했다.

전류 또는 변위 전류 주위에는 자기장이 회전하고 있음을 나타낸다. 이 식은 전류에 의해 자기장이 발생한다는 앙페르 법칙에 변위 전류를 더한 것이다.

4. 수식 표현

국제단위계를 사용하여 수식으로 표현한 맥스웰 방정식은 다음과 같다.^[49]^[50]

이름	미분형	적분형
가우스 법칙	$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$
가우스 자기 법칙	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$
패러데이 전자기 유도 법칙	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$
앙페르-맥스웰 회로 법칙	$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$

발산정리와 스토크스의 정리를 이용하면 미분형과 적분형 방정식이 같음을 알 수 있다.

각 기호의 뜻과 단위는 다음과 같다.

기호	의미	단위
$\mathbf{E}$	전기장	미터 당 볼트 (V/m)
$\mathbf{H}$	자계강도	미터 당 암페어 (A/m)
$\mathbf{D}$	전기변위장	제곱미터 당 쿨롱 (C/m²)
$\mathbf{B}$	자기장 (자기 선속 밀도)	테슬라 (T)
$\ \rho \$	자유 전하 밀도 (매질에 묶인 쌍극자 전하 제외)	세제곱미터 당 쿨롱 (C/m³)
$\mathbf{J}$	자유 전류 밀도 (편파 혹은 자화전류 제외)	제곱미터 당 암페어 (A/m²)
$d\mathbf{A}$	곡면 $S$ 에 대한 미분 수직 벡터 요소	제곱미터 (m²)
$dV \$	곡면 S에 둘러싸인 부피 미분 요소	세제곱미터 (m³)
$d \mathbf{l}$	곡면 S의 둘레의 미분 벡터 요소	미터 (m)

$\nabla \cdot$ 는 발산 연산자(단위: 1 / 미터), $\nabla \times$ 는 회전 연산자(단위: 1 / 미터)이다. 자기 홀극이 없다는 것은 두 번째 방정식을 통해 알 수 있다. 전기장과 자기장이 대전된 입자에 미치는 힘은 로렌츠 힘에 따라 국제단위계에서 다음과 같다.

: $\mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$ .

여기서 $q$ 는 입자의 전하량이고 $\mathbf v$ 는 입자의 속도다.

5. 각 방정식의 해석

맥스웰 방정식은 네 개의 법칙을 모아 종합한 것이다.^[49]^[50] 각 방정식의 수학적 표현은 공식 부분에서 다루고, 여기서는 방정식의 의미를 간략하게 살펴본다.

'''가우스 법칙''': 전하에서 나오는 전기장의 크기를 설명한다. 쿨롱 법칙과 본질적으로 같지만, 회로 이론이나 전자공학에서는 가우스 법칙이 계산이 편리하고 직관적으로 이해하기 쉬워 일반적으로 사용된다.

'''가우스 자기 법칙''': 닫힌 곡면을 통과하는 총 자기 선속은 0이다. 즉, 전기와 달리 자기는 홀극이 없고, N극과 S극이 항상 함께 존재한다.^[51]

'''패러데이 전자기 유도 법칙''': 자기 선속이 변화하면 그 주변에 전기장^[52]이 발생한다. 발전소는 이 원리를 이용하여 교류 전류를 만든다.

'''앙페르-맥스웰 회로 법칙''': 전류가 흐르는 전선 주위에 자기장이 발생한다. 맥스웰은 전기장의 변화 역시 자기장을 발생시킨다고 보았고, 축전기를 이용한 실험으로 이를 증명하였다. 전자석, 전동기 등이 이 현상을 이용한다.

5. 1. 전자기장의 발생과 원천

가우스 법칙은 전하가 전기장의 근원임을 나타낸다.^[49]^[50] 앙페르-맥스웰 회로 법칙은 전류와 변위 전류가 자기장의 근원임을 나타낸다.^[49]^[50] 패러데이 전자기 유도 법칙은 변화하는 자기장이 전기장을 발생시킨다는 것을 보여준다.^[52]

'''가우스 법칙''': 전하에 의해 발생된 전기장의 크기를 설명하며, 쿨롱 법칙과 본질적으로 같은 의미를 지닌다.
'''가우스 자기 법칙''': 폐곡면의 총 자기 선속은 0이다. 즉, 자기는 홀극이 없고, N극과 S극이 언제나 함께 존재한다.^[51]
'''패러데이 전자기 유도 법칙''': 자기 선속이 변화하면 그 주변에 전기장이 발생한다.^[52] 발전소는 이 원리를 이용하여 교류 전류를 만든다.
'''앙페르-맥스웰 회로 법칙''': 전류가 흐르는 전선에 따라 자기장이 발생한다. 맥스웰은 전기장의 강도가 변화하면 자기장이 발생하는 것으로 파악하였고, 축전기를 이용한 실험을 통해 이를 입증하였다. 전자석, 전동기 등이 이 현상을 이용한다.

왼쪽: 미시적 쌍극자들의 집합이 어떻게 위아래에 표시된 것처럼 반대되는 표면 전하를 생성하는지에 대한 개략도. 오른쪽: 미시적 전류 고리들의 집합이 어떻게 거시적으로 순환하는 전류 고리를 생성하는지. 경계 내부에서는 개별 기여가 상쇄되는 경향이 있지만, 경계에서는 상쇄가 발생하지 않는다.

전기장이 유전체 재료에 가해지면, 분자는 미시적인 전기 쌍극자를 형성하여 반응한다. 이것은 재료 내에 ''거시적인'' ''묶인 전하''를 생성한다. 묶인 전하는 재료의 분극 (단위 부피당 쌍극자 모멘트)에 따라 가장 편리하게 설명된다.

모든 재료에서 구성 원자는 자기 모멘트를 나타낸다. 각운동량과의 연결은 미시적 전류 고리들의 집합을 보여준다. 이러한 ''묶인 전류''는 자화를 사용하여 설명할 수 있다.^[19]

Maxwell's macroscopic equations^영어 ''맥스웰의 거시적 방정식''은 적절한 부피에 대해 평균화된 장을 계산하여 거시적 척도에서 문제를 이해하는 데 중요하지 않을 수 있는 미세한 척도의 많은 세부 사항을 무시한다.

미분형 맥스웰-가우스 방정식은 다음과 같다.

:

\nabla\cdot\boldsymbol{D}=\rho

위 식은 전속이 전하가 존재하는 곳에서 증감(발생·소멸)하고, 그 이외의 곳에서는 보존됨을 보여준다.

적분형은 가우스 법칙으로 잘 알려져 있으며, 다음과 같다.

:

\oint_S\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=Q_{\rm encl}

여기서 는 폐곡면 S 위의 면소 벡터이며, 는 폐곡면 S로 둘러싸인 영역 내의 전하이다.

미분형 앙페르-맥스웰 방정식은 다음과 같다.

:

\nabla\times\boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}

적분형은 다음과 같다.

:

\oint_C\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\int_S\boldsymbol{j}+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}

는 곡면 S의 경계가 되는 폐곡선이다.

우변의 제2항은 변위 전류항이라고 불린다. 공학적으로, 변위 전류는 매질이 일반적인 금속이라면 거의 무시할 수 있다.

5. 2. 전자기파의 전파

맥스웰 방정식은 빛과 같은 전자기파의 특성을 설명한다.^[49]^[50] 맥스웰 방정식에서 전자기파의 전파에 대한 설명을 얻을 수 있다.^[46]

진공 또는 전하 분포가 없는 절연체에서는 전기장과 자기장이 다음과 같은 파동방정식을 만족하는 것을 맥스웰 방정식으로부터 보일 수 있다.

:

\nabla^2 \boldsymbol{E}-\mu \varepsilon \frac{\partial^2\boldsymbol{E}}{\partial t^2}=0

:

\nabla^2 \boldsymbol{H}-\mu \varepsilon \frac{\partial^2\boldsymbol{H}}{\partial t^2}=0

이것은 전자기장이 매질 속에서 속도

:

v=\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}

로 전파하는 파동임을 의미한다. 매질의 굴절률

:

n=\sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{\mu_0 \varepsilon_0}}=c\sqrt{\mu \varepsilon}

을 도입하면,

v

는

:

v=\frac{c}n

으로도 표현된다.

여기서, 진공의 유전율과 진공의 투자율의 각 값으로부터 유도되는 상수

c

의 값이 광속의 값과 거의 일치한다는 점^[47]에서 맥스웰은 빛이 전자기파가 아닐까 하는 예측을 했다. 그 예측은 1888년에 하인리히 헤르츠에 의해 실증되었다. 헤르츠는 맥스웰 방정식의 연구에 공헌했으므로, 맥스웰 방정식은 '''맥스웰-헤르츠의 (전자기) 방정식'''이라고 불리기도 한다.

5. 3. 전하 보존 법칙과의 관계

전하의 불변성은 맥스웰 방정식의 결과로 유도할 수 있다. 앙페르-맥스웰 회로 법칙의 좌변은 발산-회전 항등식에 의해 발산이 0이다. 우변의 발산을 전개하고, 미분의 순서를 바꾸고, 가우스 법칙을 적용하면 다음과 같다.

:

0 = \nabla\cdot (\nabla\times \mathbf{B}) = \nabla \cdot \left(\mu_0 \left(\mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right) \right) = \mu_0\left(\nabla\cdot \mathbf{J} + \varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot \mathbf{E}\right) = \mu_0\left(\nabla\cdot \mathbf{J} +\frac{\partial \rho}{\partial t}\right)

즉,

:

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0.

가우스 발산 정리에 의해, 이것은 고정된 부피 내의 전하량 변화율이 경계를 통과하는 순수 전류와 같다는 것을 의미한다.

:

\frac{d}{dt}Q_\Omega = \frac{d}{dt} \iiint_{\Omega} \rho \mathrm{d}V = -

\vphantom{\oint}_{\scriptstyle \partial \Omega } \mathbf{J} \cdot {\rm d}\mathbf{S} =  - I_{\partial \Omega}.

특히, 고립계에서 총 전하는 보존된다.

6. 전자기파 방정식

맥스웰 방정식으로부터 전자기파 방정식을 유도할 수 있다. 맥스웰 당시 이미 자유 공간에서의 빛의 속도가 알려져 있었는데, 이는 $\varepsilon_0$ 와 $\mu_0$ 의 알려진 값으로 계산한 $c \approx$ 와 거의 일치했다. 이를 통해 맥스웰은 빛과 전파가 전자기파의 형태로 전파된다는 것을 제안했고, 이는 이후 실험적으로 확인되었다.^[46]

진공 또는 전하 분포가 없는 절연체에서는 전기장과 자기장이 특정한 파동방정식을 만족한다는 것을 맥스웰 방정식을 통해 보일 수 있다. 이는 전자기장이 매질 속에서 특정한 속도로 전파하는 파동임을 의미한다. 맥스웰은 진공의 유전율과 진공 투자율 값으로부터 유도되는 상수가 광속의 값과 거의 일치한다는 점을 통해 빛이 전자기파의 일종일 것이라는 예측을 했다. 이러한 예측은 1888년 하인리히 헤르츠에 의해 실험적으로 증명되었다. 헤르츠의 공헌으로 인해 맥스웰 방정식은 '맥스웰-헤르츠의 (전자기) 방정식'이라고도 불린다.^[47]

6. 1. 유도 과정

왼쪽에서 오른쪽으로 진행하는 선형 편광 평면파를 보여주는 3차원 다이어그램. 및 로 정의된다. 진동하는 장은 깜박이는 지점에서 감지된다. 수평 파장은 ''λ''이다.

전하( )와 전류( )가 없는 영역, 예를 들어 진공에서는 맥스웰 방정식은 다음과 같이 축소된다.^[46]

\begin{align}\nabla \cdot \mathbf{E} &= 0, & \nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial\mathbf B}{\partial t} = 0, \\\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0, & \nabla \times \mathbf{B} - \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf E}{\partial t} = 0.\end{align}

회전 연산자를 회전 방정식에 적용하고, 회전의 회전 항등식을 사용하면 다음을 얻는다.^[46]

\begin{align}\mu_0\varepsilon_0  \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{E} = 0, \\\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{B} = 0.\end{align}

\mu_0\varepsilon_0

의 차원은 (T/L)²이다.

c = (\mu_0 \varepsilon_0)^{-1/2}

로 정의하면 위 방정식은 표준 파동 방정식의 형태를 갖는다.^[46]

\begin{align}\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{E} = 0, \\\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{B} = 0.\end{align}

맥스웰 당시에도

\varepsilon_0

와

\mu_0

의 알려진 값으로

c \approx 2.998 \times 10^8~\text{m/s}

를 얻었는데, 이는 이미 자유 공간에서의 빛의 속도로 알려져 있었다. 이는 그가 빛과 전파가 전자기파로 전파된다는 것을 제안하게 했고, 이후 충분히 확인되었다.^[46] 구 SI 단위계에서는

\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}

과

c = 299\,792\,458~\text{m/s}

의 값이 정의된 상수이며 (즉, 정의에 의해

\varepsilon_0 = 8.854\,187\,8... \times 10^{-12}~\text{F/m}

), 암페어와 미터를 정의한다. 새로운 SI 단위계에서는 ''c''만 정의된 값을 유지하고, 전자 전하가 정의된 값을 갖는다.

상대 유전율(relative permittivity^영어), 및 상대 투자율(relative permeability), 을 갖는 물질에서 빛의 위상 속도는^[46]

v_\text{p} = \frac{1}\sqrt{\mu_0\mu_\text{r} \varepsilon_0\varepsilon_\text{r}},

이 되는데, 이는 일반적으로^[15] 보다 작다.

또한, 와 는 서로 수직이고 파의 진행 방향에도 수직이며, 위상이 일치한다. 정현파 평면파는 이러한 방정식의 특별한 해 중 하나이다. 맥스웰 방정식은 이러한 파가 물리적으로 어떻게 공간을 통해 전파될 수 있는지 설명한다. 변화하는 자기장은 패러데이 법칙을 통해 변화하는 전기장을 생성한다. 이에 따라 그 전기장은 맥스웰의 앙페르 회로 법칙 수정을 통해 변화하는 자기장을 생성한다. 이러한 영속적인 순환은 이제 전자기 방사선으로 알려진 이러한 파가 속도 로 공간을 통해 이동할 수 있게 한다.^[46]

진공 또는 전하 분포가 없는 절연체에서는 전기장과 자기장이 다음과 같은 파동방정식을 만족하는 것을 맥스웰 방정식으로부터 보일 수 있다.^[47]

\nabla^2 \boldsymbol{E}-\mu \varepsilon \frac{\partial^2\boldsymbol{E}}{\partial t^2}=0

\nabla^2 \boldsymbol{H}-\mu \varepsilon \frac{\partial^2\boldsymbol{H}}{\partial t^2}=0

이것은 전자기장이 매질 속에서 속도

:

v=\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}

로 전파하는 파동임을 의미한다. 매질의 굴절률

:

n=\sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{\mu_0 \varepsilon_0}}=c\sqrt{\mu \varepsilon}

을 도입하면,

v

는

:

v=\frac{c}n

으로도 표현된다.

진공의 유전율과 진공 투자율의 각 값으로부터 유도되는 상수

c

의 값이 광속의 값과 거의 일치한다는 점에서 맥스웰은 빛이 전자기파가 아닐까 하는 예측을 했다. 그 예측은 1888년에 하인리히 헤르츠에 의해 실증되었다. 헤르츠는 맥스웰 방정식의 연구에 공헌했으므로, 맥스웰 방정식은 '''맥스웰-헤르츠의 (전자기) 방정식'''이라고 불리기도 한다.

6. 2. 전자기파의 속도

전하( )와 전류( )가 없는 영역(예: 진공)에서 맥스웰 방정식은 다음과 같이 간단해진다.^[46]

\begin{align}\nabla \cdot \mathbf{E} &= 0, & \nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial\mathbf B}{\partial t} = 0, \\\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0, & \nabla \times \mathbf{B} - \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf E}{\partial t} = 0.\end{align}

회전 연산자()를 회전 방정식에 적용하고, 회전의 회전 항등식을 사용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

\begin{align}\mu_0\varepsilon_0  \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{E} = 0, \\\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{B} = 0.\end{align}

\mu_0\varepsilon_0

의 차원은 (T/L)²이다. 로 정의하면 위 방정식은 표준 파동 방정식의 형태를 띤다.

\begin{align}\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{E} = 0, \\\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{B} = 0.\end{align}

맥스웰이 살아있을 당시에도 와 의 알려진 값으로 를 계산할 수 있었는데, 이는 이미 자유 공간에서의 빛의 속도로 알려져 있었다. 이는 맥스웰이 빛과 전파가 전자기파로 전파된다고 제안하게 된 계기가 되었으며, 이후 실험적으로 확인되었다.^[47] 구 SI 단위계에서는 과 의 값이 정의된 상수이며, 암페어와 미터를 정의한다. 새로운 SI 단위계에서는 ''c''만 정의된 값을 유지하고, 전자 전하가 정의된 값을 갖는다.

상대 유전율( ) 및 상대 투자율( )을 갖는 물질에서 빛의 위상 속도는

v_\text{p} = \frac{1}\sqrt{\mu_0\mu_\text{r} \varepsilon_0\varepsilon_\text{r}},

이 되는데, 이는 일반적으로^[15] 보다 작다.

또한, 와 는 서로 수직이고 파의 진행 방향에도 수직이며, 위상이 일치한다. 정현파 평면파는 이러한 방정식의 특별한 해 중 하나이다. 맥스웰 방정식은 이러한 파가 물리적으로 어떻게 공간을 통해 전파될 수 있는지 설명한다. 변화하는 자기장은 패러데이 법칙을 통해 변화하는 전기장을 생성한다. 그리고 그 전기장은 맥스웰의 앙페르 회로 법칙 수정을 통해 변화하는 자기장을 생성한다. 이러한 영속적인 순환은 이제 전자기 방사선으로 알려진 이러한 파가 속도 로 공간을 통해 이동할 수 있게 한다.

진공 또는 전하 분포가 없는 절연체에서는 전기장과 자기장이 다음과 같은 파동방정식을 만족한다는 것을 맥스웰 방정식으로부터 보일 수 있다.

:

\nabla^2 \boldsymbol{E}-\mu \varepsilon \frac{\partial^2\boldsymbol{E}}{\partial t^2}=0

:

\nabla^2 \boldsymbol{H}-\mu \varepsilon \frac{\partial^2\boldsymbol{H}}{\partial t^2}=0

이것은 전자기장이 매질 속에서 속도

:

v=\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}

로 전파하는 파동임을 의미한다. 매질의 굴절률

:

n=\sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{\mu_0 \varepsilon_0}}=c\sqrt{\mu \varepsilon}

을 도입하면, 는

:

v=\frac{c}n

으로도 표현된다.

진공의 유전율과 진공의 투자율의 각 값으로부터 유도되는 상수 의 값이 광속의 값과 거의 일치한다는 점에서 맥스웰은 빛이 전자파가 아닐까 하는 예측을 했다. 그 예측은 1888년에 하인리히 헤르츠에 의해 실증되었다. 헤르츠는 맥스웰 방정식의 연구에 공헌했으므로, 맥스웰 방정식은 '''맥스웰-헤르츠의 (전자기) 방정식'''이라고 불리기도 한다.

6. 3. 전자기파의 성질

전자기파는 횡파이며, 전기장과 자기장이 서로 수직으로 진동하며 진행 방향에 수직이다. 전자기파는 에너지와 운동량을 전달한다.^[15]

전하 (ρ = 0) 와 전류 (J = 0) 가 없는 영역, 예를 들어 진공에서 맥스웰 방정식은 다음과 같이 단순화된다.^[46]

:

\begin{align}\nabla \cdot \mathbf{E} &= 0, & \nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial\mathbf B}{\partial t} = 0, \\\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0, & \nabla \times \mathbf{B} - \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf E}{\partial t} = 0.\end{align}

회전 연산자 (∇×) 를 회전 방정식에 적용하고, 회전의 회전 항등식을 사용하면 다음과 같은 파동 방정식을 얻을 수 있다.

:

\begin{align}\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{E} = 0, \\\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{B} = 0.\end{align}

여기서

c = (\mu_0 \varepsilon_0)^{-1/2}

는 진공에서의 빛의 속도를 나타내며, 이다. 맥스웰은 빛과 전파가 전자기파로 전파된다는 것을 제안했고, 이는 나중에 실험적으로 확인되었다.^[47]

상대 유전율 (ε_r) 및 상대 투자율 (μ_r)을 갖는 물질에서 빛의 위상 속도는 다음과 같다.

:

v_\text{p} = \frac{1}\sqrt{\mu_0\mu_\text{r} \varepsilon_0\varepsilon_\text{r}}.

정현파 평면파는 이러한 방정식의 특별한 해 중 하나이다. 변화하는 자기장은 패러데이 법칙에 따라 변화하는 전기장을 생성하고, 이 전기장은 다시 맥스웰의 앙페르 회로 법칙 수정에 따라 변화하는 자기장을 생성한다. 이러한 연속적인 순환을 통해 전자기파는 전자기 방사선 형태로 공간을 통해 전파된다.

7. 거시적 공식화

맥스웰 방정식은 물질 내에서 전자기 현상을 설명하기 위해 거시적인 형태로 표현될 수 있다. 이 경우, 물질의 분극과 자화 효과를 고려해야 한다.

미시적 형태는 때때로 "진공 상태의 맥스웰 방정식"이라고 불리는데, 이는 물질 매질이 방정식의 구조에 내장되어 있지 않고 전하와 전류 항에만 나타난다는 사실을 의미한다.^[16] "맥스웰의 거시적 방정식"은 '''물질 내 맥스웰 방정식'''으로도 알려져 있으며, 맥스웰 자신이 도입한 방정식과 더 유사하다.

거시적 방정식에서, 속박 전하와 속박 전류의 영향은 변위장과 자기장에 포함되고, 방정식은 자유 전하와 자유 전류에만 의존한다. 이것은 총 전하 ''Q''와 전류 ''I''(그리고 그들의 밀도와 '''J''')를 자유 부분과 속박 부분으로 나누는 것을 반영한다.

: $\begin{align}Q &= Q_\text{f} + Q_\text{b} = \iiint_\Omega \left(\rho_\text{f} + \rho_\text{b} \right) \, \mathrm{d}V = \iiint_\Omega \rho \,\mathrm{d}V, \\I &= I_\text{f} + I_\text{b} = \iint_\Sigma \left(\mathbf{J}_\text{f} + \mathbf{J}_\text{b} \right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_\Sigma \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}.\end{align}$

이러한 분할을 위해서는 추가적인 장 와 을 결정해야 하고, 이를 위해 전기장, 자기장, 속박 전하 및 전류와 관련된 현상학적 구성 방정식이 필요하다.

이름	적분 방정식 (SI 단위계)	미분 방정식 (SI 단위계)	미분 방정식 (가우스 단위계)
가우스 법칙		$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_\text{f}$	$\nabla \cdot \mathbf{D} = 4\pi\rho_\text{f}$
앙페르-맥스웰 법칙		$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_\text{f} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$	$\nabla \times \mathbf{H} = \frac{1}{c} \left(4\pi\mathbf{J}_\text{f} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \right)$
자기장에 대한 가우스 법칙		$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$
맥스웰-패러데이 방정식 (패러데이 유도 법칙)	$\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = - \frac{d}{dt} \iint_{\Sigma} \mathbf B \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$

7. 1. 보조장

전기 변위장 '''D'''와 자화장 '''H'''는 물질의 분극, 자화 효과를 나타내는 보조장이다. 이들은 전기장 '''E'''와 자기장 '''B'''와 관련된 구성 방정식을 통해 정의된다.

보조장의 정의는 다음과 같다.

\begin{align}\mathbf{D}(\mathbf{r}, t) &= \varepsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t), \\\mathbf{H}(\mathbf{r}, t) &= \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t),\end{align}

여기서 '''P'''는 분극장이고, '''M'''는 자화장이며, 각각 미시적인 속박전하와 속박전류로 정의된다. 분극 '''P'''와 자화 '''M'''에 따른 거시적인 속박전하밀도와 속박전류밀도는 다음과 같이 정의된다.

\begin{align}\rho_\text{b} &= -\nabla\cdot\mathbf{P}, \\\mathbf{J}_\text{b} &= \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}.\end{align}

총 전하밀도, 속박전하밀도, 자유전하밀도와 전류밀도를 다음과 같이 정의하면

\begin{align}\rho &= \rho_\text{b} + \rho_\text{f}, \\\mathbf{J} &= \mathbf{J}_\text{b} + \mathbf{J}_\text{f},\end{align}

위의 정의 관계를 사용하여 '''D'''와 '''H'''를 제거하면, "거시적" 맥스웰 방정식은 "미시적" 방정식을 재현한다.

7. 2. 구성 방정식

맥스웰의 거시적 방정식을 적용하려면 변위장 '''D'''와 전기장 '''E''' 사이의 관계, 그리고 자화장 '''H'''와 자기장 '''B''' 사이의 관계를 명시해야 한다.^[20] 이는 적용된 전기장과 자기장에 대한 분극 '''P''' (따라서 결합 전하)와 자화 '''M''' (따라서 결합 전류)의 의존성을 명시해야 함을 의미하며, 이러한 반응을 명시하는 방정식을 구성 관계라고 한다.^[20]

분극과 자화가 없는 재료의 경우, 구성 관계는 다음과 같다.^[12]

:'''D''' = ε₀'''E''', '''H''' = (1/μ₀)'''B'''

여기서 ε₀는 유전율, μ₀는 투자율이다.

일반적으로 선형 재료의 경우 구성 관계는 다음과 같다.^[20]

:'''D''' = ε'''E''', '''H''' = (1/μ)'''B'''

여기서 ε는 유전율, μ는 투자율이다.

균질 재료의 경우, ε과 μ는 재료 전체에서 일정하지만, 불균질 재료의 경우 재료 내부의 위치(그리고 아마도 시간)에 따라 달라진다.^[21] 등방성 재료의 경우, ε과 μ는 스칼라이지만, 비등방성 재료(예: 결정 구조로 인해)의 경우 텐서이다.^[20]^[21] 재료는 일반적으로 분산적이므로, ε과 μ는 입사 EM파의 주파수에 따라 달라진다.^[20]^[21]

비선형 재료의 경우, '''D'''와 '''P'''는 '''E'''에 비례하지 않으며, 마찬가지로 '''H''' 또는 '''M'''은 '''B'''에 비례하지 않는다.

유전체에 발생하는 분극은 매질에 따라 다르며, 결정과 같이 방향성이 있는 경우에는 일반적으로 '''P'''의 방향과 '''E'''의 방향이 다르지만, 등방성이 있는 물질에서 전기장이 강하지 않은 경우에는 분극은 전기장에 비례한다.

:'''P'''=χ_e'''E'''

χ_e 는 유전율이다.

또한, 자성체에 발생하는 자화도 강자성이 아닌 물질에서 자기장이 강하지 않은 경우에는 분극은 자기장에 비례한다.

:'''M'''=χ_m'''H'''

χ_m 는 투자율이다.

이때, 구성 방정식은

:'''D''' = (ε₀+χ_e)'''E'''

:μ₀(1+χ_m)'''H''' = '''B'''

여기서 ε=ε₀+χ_e, μ=μ₀(1+χ_m) 라고 하면

:'''D''' = ε '''E'''

:'''H''' = μ^-1 '''B'''

로 나타낼 수 있다. 여기서 ε, μ 는 각각 그 매질의 유전율과 투자율이며, 매질의 성질을 특징짓는 물성값이다. 이들은 등방적인 매질에서는 스칼라이지만, 일반적으로는 텐서가 된다.

8. 다양한 표현 방식

민코프스키 공간 $\partial_{[\alpha} F_{\beta\gamma]} = 0$ $\partial_\alpha F^{\alpha\beta} = \mu_0 J^\beta$ 퍼텐셜(임의 게이지)
민코프스키 공간 $F_{\alpha\beta} = 2\partial_{[\alpha} A_{\beta]}$ $2\partial_\alpha \partial^{[\alpha} A^{\beta]} = \mu_0 J^\beta$ 퍼텐셜(로렌츠 게이지)
민코프스키 공간 $F_{\alpha\beta} = 2\partial_{[\alpha} A_{\beta]}$ $\partial_\alpha\partial^\alpha A^\beta = \mu_0 J^\beta$ 장
임의 시공간 $\begin{align} \begin{align} 퍼텐셜(임의 게이지)임의 시공간(위상 제약 포함) F_{\alpha\beta} = 2\partial_{[\alpha} A_{\beta]} \begin{align} 퍼텐셜(로렌츠 게이지)임의 시공간(위상 제약 포함) F_{\alpha\beta} = 2\partial_{[\alpha} A_{\beta]} \nabla_\alpha\nabla^\alpha A^{\beta} - R^{\beta}{}_{\alpha} A^\alpha = \mu_0 J^\beta$

공식	균질 방정식	비균질 방정식
장 임의 시공간	$\mathrm{d} F = 0$	$\mathrm{d} {\star} F = \mu_0 J$
퍼텐셜(임의 게이지) 임의 시공간 (위상 제약 포함)	$F = \mathrm{d} A$	$\mathrm{d} {\star} \mathrm{d} A = \mu_0 J$
퍼텐셜(로렌츠 게이지) 임의 시공간 (위상 제약 포함)	$F = \mathrm{d}A$	${\star} \Box A = \mu_0 J$

맥스웰 방정식

1. 개요

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6. 3. 전자기파의 성질

7. 거시적 공식화

7. 1. 보조장

7. 2. 구성 방정식

8. 다양한 표현 방식

9. 응용

10. 현대적 의의와 한계

10. 1. 양자 전기역학 (QED)

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참조