군 스킴

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 군 대상을 통한 정의
- 2.2. 함자를 통한 정의
3. 성질
4. 구성
5. 예시
6. 유한 평탄 군 스킴
7. 카르티에 쌍대성
8. 디외도네 가군
참조

1. 개요

군 스킴은 스킴 범주에서 군 대상 또는 특정 함자로 정의되며, 군의 공리를 만족하는 스킴 사상의 삼중항, 또는 함자를 통해 정의될 수 있다. 군 스킴은 곱셈과 작용을 가지며, 가환, 아핀, 완전, 상수, 대각화 가능, 유한 평탄 등 다양한 유형이 존재한다. 주요 예시로는 곱셈군, 일반 선형군, 덧셈군, 1의 거듭제곱근 군 스킴 등이 있으며, 카르티에 쌍대성과 디외도네 가군을 통해 연구된다.

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군 스킴
군 스킴
영어 명칭	Group scheme
프랑스어 명칭	Schéma en groupe
정의
유형	대수기하학
설명	군 연산을 갖춘 스킴

2. 정의

'''군 스킴'''은 스킴 범주의 군 대상이거나 특정한 함자로 정의할 수 있다.

군 스킴은 스킴의 범주에서 섬유곱과 어떤 끝 대상 ''S''를 갖는 군 대상이다. 이는 다음과 같은 등가적인 데이터 세트 중 하나를 갖춘 ''S''-스킴 ''G''이다.

사상의 삼중항 μ: ''G'' ×_S ''G'' → ''G'', e: ''S'' → ''G'', ι: ''G'' → ''G''가 존재하며, 군의 일반적인 호환성(μ의 결합 법칙, 항등원 및 역원 공리)을 만족한다.
''S'' 위의 스킴에서 군의 범주로 가는 함자가 존재하며, 집합으로의 망각 함자와의 합성은 요네다 보조정리에 따라 ''G''에 해당하는 사전층과 등가이다. (참고: 군 함자.)

군 스킴의 준동형 사상은 곱셈을 존중하는 스킴의 사상이다. 이는 사상 ''f''가 방정식 ''f''μ = μ(''f'' × ''f'')를 만족하거나, ''f''가 스킴에서 군으로 가는 함자의 자연 변환이라고 표현할 수 있다(단순히 집합이 아닌).

스킴 ''X''에 대한 군 스킴의 왼쪽 작용 ''G''는 모든 ''S''-스킴 ''T''에 대해 집합 ''X''(''T'')에 군 ''G''(''T'')의 왼쪽 작용을 유도하는 사상 ''G'' ×_S ''X''→ ''X''이다. 오른쪽 작용도 유사하게 정의된다. 임의의 군 스킴은 곱셈과 켤레에 의해 기본 스킴에 대한 자연스러운 왼쪽 및 오른쪽 작용을 허용한다. 켤레는 자기 동형 사상에 의한 작용, 즉 군 구조와 교환하며, 이는 리 대수, 및 왼쪽 불변 미분 연산자의 대수와 같이 자연스럽게 파생된 대상에 대한 선형 작용을 유도한다.

''S''-군 스킴 ''G''는 모든 ''S''-스킴 ''T''에 대해 군 ''G''(''T'')가 아벨 군인 경우 가환이다. 켤레가 자명한 작용을 유도하거나, 역 사상 ι가 군 스킴 자기 동형 사상인 것과 같은 몇 가지 다른 동등한 조건이 존재한다.

2. 1. 군 대상을 통한 정의

S

-스킴

G

가 군 스킴이 되기 위해서는 다음과 같은 동치 조건 중 하나를 만족시켜야 한다.

다음 조건을 만족시키는 사상(morphism) $\mu \colon G \times_S G \to G$ , $e\colon S \to G$ , $\iota \colon G \to G$ 가 존재해야 한다.
$\mu$ 는 군의 곱셈 연산에 대응된다.
$e$ 는 군의 항등원에 대응된다.
$\iota$ 는 군의 역원에 대응된다.
위 사상들은 군의 일반적인 공리(결합 법칙, 항등원, 역원)를 만족시켜야 한다.
$S$ 위의 스킴에서 군의 범주로 가는 함자(functor)가 존재하여, 집합으로 가는 망각 함자와의 합성은 요네다 보조정리에 따라 $G$ 에 해당하는 준층(presheaf)과 동등해야 한다.

군 스킴의 준동형 사상(homomorphism)은 곱셈을 보존하는 스킴 사상이다. 즉, 사상

f

가 방정식

f\mu = \mu(f \times f)

를 만족하거나, 스킴에서 군으로 가는 함자의 자연 변환(natural transformation)이라고 할 수 있다.

S

-군 스킴

G

가 모든

S

-스킴

T

에 대해 군

G(T)

가 아벨 군이면,

G

는 가환(commutative)이라고 한다.

2. 2. 함자를 통한 정의

스킴

S

위의 '''군 스킴'''은 다음 조건을 만족시키는 함자

:

G\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Grp}

이다.

$\operatorname{Forget}\circ G\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}$ 는 표현 가능 함자이다. 즉, $\operatorname{Forget}\circ G\cong\hom_{\operatorname{Sch}/S}(-,X)$ 가 되는 $S$ -스킴 $X$ 가 존재한다.

여기서

:

\operatorname{Forget}\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Set}

는 군의 구체적 범주의 망각 함자이다.

이 두 정의는 서로 동치이다. 구체적으로,

\operatorname{Sch}/S

속의 군 대상

G

가 주어졌을 때, 표현 가능 함자

\hom(-,G)

는 둘째 정의에 부합한다.

3. 성질

스킴의 범주에서 위상 공간의 범주로 가는 표준적인 망각 함자는 충실한 함자가 아니며, 이 함자 아래 군 스킴은 일반적으로 위상군(또는 군)을 이루지 않는다. 일반적으로 스킴의 범주의 곱 또는 올곱은 곱공간(또는 곱집합)에 대응하지 않는다.

반면, 임의의 체 $K$ 에 대하여, $\operatorname{Spec}K$ 위의 군 스킴 $G$ 의 $K$ -유리점의 집합 $G(K)$ 을 취할 수 있다. 이 경우,

: $(G \times_{\operatorname{Spec}K} G)(K) = G(K) \times_{\operatorname{Set}} G(K)$

이므로, 집합 $G(K)$ 위에는 군의 구조가 존재한다.

복소수체 $\mathbb C$ 위의 군 스킴 가운데 비특이 대수다양체를 이루는 것의 경우, 비특이 대수다양체에 대응하는 복소다양체를 취할 수 있다. 이 경우 군 스킴은 보통 대수군이라고 하며, 이에 대응하는 복소다양체는 복소수 리 군을 이룬다.

군 G가 체 k 위의 유한형 군 스킴이라고 가정하자. G⁰는 항등원의 연결 성분, 즉 최대 연결 부분군 스킴이라고 하자. 그러면 G는 유한 에탈 군 스킴에 대한 G⁰의 확장이다. G는 고유한 최대 축소 부분 스킴 G_red를 가지며, k가 완전체이면 G_red는 G의 부분군 스킴인 매끄러운 군 다양체이다. 몫 스킴은 유한 랭크의 국소환의 스펙트럼이다.

모든 아핀 군 스킴은 가환 호프 대수의 스펙트럼이다(기저 S에 대해, 이는 O_S-대수의 상대 스펙트럼으로 주어진다). 군 스킴의 곱셈, 단위, 역함수는 호프 대수에서 쌍대곱, 코단위, 안티포드 구조에 의해 주어진다. 호프 대수에서 단위 및 곱셈 구조는 기본 스킴에 고유하다. 임의의 군 스킴 G의 경우, 전역 단면의 환도 가환 호프 대수 구조를 가지며, 스펙트럼을 취함으로써 최대 아핀 몫군을 얻는다. 아핀 군 다양체는 일반 선형군의 부분군으로 임베딩될 수 있으므로 선형 대수적 군이라고 알려져 있다.

완전 연결 군 스킴은 어떤 의미에서는 아핀 군 스킴과 반대이다. 완전성은 모든 전역 단면이 기저에서 끌어온 것과 정확히 같다는 것을 의미하며, 특히 아핀 스킴에 대한 비자명한 사상이 없다. 모든 완전 군 다양체(여기서 다양체는 체 위의 유한형의 축소되고 기하학적으로 기약적인 분리 스킴을 의미한다)는 항등원의 제트 공간에 대한 켤레 작용과 관련된 논증에 의해 자동으로 가환한다. 완전 군 다양체는 아벨 다양체라고 불린다. 이는 아벨 스킴의 개념으로 일반화된다. 기저 S 위의 군 스킴 G가 아벨 군 스킴이 되려면, G에서 S로의 구조 사상이 기하학적으로 연결된 올을 가진 고유하고 매끄러워야 한다. 아벨 스킴은 자동으로 사영적이며, 기하학적 류수론과 대수 기하학 전반에 걸쳐 많은 응용이 있다. 그러나 체 위의 완전 군 스킴이 가환적일 필요는 없다. 예를 들어, 모든 유한 군 스킴은 완전하다.

4. 구성

주어진 군 ''G''에 대해, 상수 군 스킴 ''G''_''S''를 구성할 수 있다. 스킴으로서 이는 ''S''의 복사본들의 분리된 합집합이며, 이러한 복사본들을 ''G''의 원소들과 동일시함으로써, 구조 수송을 통해 곱셈, 단위, 역 연산을 정의할 수 있다. 함자로서, 이는 임의의 ''S''-스킴 ''T''를 군 ''G''의 복사본들의 곱으로 변환하며, 복사본의 수는 ''T''의 연결 성분의 수와 같다. ''G''_''S''는 ''G''가 유한군일 때에만 ''S'' 위에서 아핀이다. 그러나 유한 상수 군 스킴의 사영 극한을 취하여 근본군과 갈루아 표현 연구 또는 근본군 스킴 이론에 나타나는 프로유한 군 스킴을 얻을 수 있으며, 이는 무한 유형의 아핀이다. 더 일반적으로, ''S''상의 국소 상수 군층을 취함으로써, 밑면에 대한 모노드로미가 섬유에 대해 비자명 자기 동형 사상을 유도할 수 있는 국소 상수 군 스킴을 얻는다.^[1]

스킴의 섬유 곱의 존재는 여러 구성을 가능하게 한다. 군 스킴의 유한 직접 곱은 표준 군 스킴 구조를 갖는다. 하나의 군 스킴이 다른 군 스킴에 자기 동형 사상으로 작용하는 경우, 일반적인 집합론적 구성을 따라 반직접 곱을 형성할 수 있다. 군 스킴 준동형 사상의 핵은 밑면에서 단위 사상에 대한 섬유 곱을 취함으로써 군 스킴이 된다. 밑면 변화는 군 스킴을 군 스킴으로 보낸다.^[1]

군 스킴은 밑면 스킴의 어떤 사상에 대해 스칼라 제한을 취함으로써 더 작은 군 스킴으로부터 형성될 수 있지만, 결과적인 함자의 표현 가능성을 보장하기 위해 유한성 조건을 충족해야 한다. 이 사상이 체의 유한 확장을 따를 때, 이를 베유 제한이라고 한다.^[1]

임의의 아벨 군 ''A''에 대해, 대응하는 대각화 가능 군 ''D''(''A'')을 형성할 수 있으며, 이는 각 ''S''-스킴 ''T''에 대해 ''D''(''A'')(''T'')를 ''A''에서 ''O''_T의 가역 전역 단면으로의 아벨 군 준동형 사상의 집합으로 설정하여 함자로 정의된다. ''S''가 아핀인 경우, ''D''(''A'')는 군환의 스펙트럼으로 형성될 수 있다. 더 일반적으로, ''A''를 ''S''상의 비상수 아벨 군층으로 설정하여 곱셈형 군을 형성할 수 있다.^[1]

군 스킴 ''G''의 부분 군 스킴 ''H''에 대해, ''S''-스킴 ''T''를 ''G''(''T'')/''H''(''T'')로 변환하는 함자는 일반적으로 층이 아니며, 심지어 그 층화조차도 일반적으로 스킴으로 표현될 수 없다. 그러나 ''H''가 ''G''에서 유한하고 평탄하며 닫혀 있는 경우, 몫은 표현 가능하며, 병진에 의한 표준 좌측 ''G''-작용을 허용한다. 이 작용의 ''H''로의 제한이 자명하면, ''H''는 정규라고 하며, 몫 스킴은 자연스러운 군 법칙을 허용한다. 표현 가능성은 ''H''가 ''G''에서 닫혀 있고 둘 다 아핀인 경우와 같은 다른 많은 경우에도 성립한다.^[1]

5. 예시

스킴 $S$ 위의 군 스킴의 몇 가지 예시는 다음과 같다.

곱셈군 $\mathbb G_{\operatorname m}$ 은 스킴으로서 원점을 제거한 $S$ -아핀 직선 $\mathbb A^1_S\setminus\{0\}$ 이다. 함자로서 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbb G_{\operatorname m}\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Grp}

:

\mathbb G_{\operatorname m}\colon(X,\mathcal O_X)\mapsto\Gamma(X,\mathcal O_X^\times)

여기서

\Gamma

는 아벨 군 층의 단면군이며,

\mathcal O_X^\times

는 구조층

\mathcal O_X

의 가역원군층이다. 특히,

S=\operatorname{Spec}R

인 아핀 스킴의 경우, 군 스킴은

R

계수 로랑 다항식환의 스펙트럼이다.

:

\mathbb G_{\operatorname m}\cong\operatorname{Spec}R[x,x^{-1}] = \operatorname{Spec}R[x,y]/(xy-1)

'''일반 선형군 스킴''' (general linear group scheme^영어) $\operatorname{GL}(n;S)$ 는 함자로서 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{GL}(n;S)\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Grp}

:

\operatorname{GL}(n;S)\colon(X,\mathcal O_X)\mapsto\operatorname{Mat}(n;\Gamma(X,\mathcal O_X^\times))

여기서

\operatorname{Mat}(;)

는 행렬환을 뜻하며,

\mathbb G_{\operatorname m}=\operatorname{GL}(1;S)

이다.

덧셈군 $\mathbb G_{\operatorname a}$ 는 스킴으로서 $S$ -아핀 직선 $\mathbb A^1_S=\operatorname{Spec}(S[x])$ 이다. 함자로서 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbb G_{\operatorname a}\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Grp}

:

\mathbb G_{\operatorname a}\colon(X,\mathcal O_X)\mapsto\Gamma(X,\mathcal O_X)

여기서

\Gamma

는 아벨 군 층의 단면군을 뜻한다.

양의 정수 $n$ 에 대하여, '''1의 $n$ 제곱근 군 스킴''' (group scheme of $n$ th roots of unity^영어) $\mu_n$ 은 $n$ 제곱 사상 $\mathbb G_{\operatorname m}\to\mathbb G_{\operatorname m}$ 의 핵이며, 함자로서 다음과 같이 정의된다.

:

\mu_n\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Grp}

:

\mu_n\colon(X,\mathcal O_X)\to\{s\in\Gamma(X,\mathcal O_X)\colon s^n=1_{\Gamma(X,\mathcal O_X)}\}

이 밖에도 상수 군 스킴, 대각화 가능 군 스킴 등이 있으며, 아핀 군 스킴은 가환환 호프 대수의 스펙트럼으로 나타낼 수 있다.

5. 1. 아핀 군 스킴

가환환 ''R'' 위의 가환 호프 대수 ''H''가 주어졌을 때, 그 스펙트럼

\operatorname{Spec}H

는 표준적으로

\operatorname{Spec}R

-군 스킴을 이룬다. 반대로,

\operatorname{Spec}R

위의 모든 아핀 군 스킴은 ''R'' 위의 가환 호프 대수의 스펙트럼과 동형이다. 이 경우, 군 스킴으로서의 연산은 호프 대수로서의 연산과 아래 표와 같이 대응한다.

군 스킴	호프 대수
곱 $\Delta^{\operatorname{op}}\colon\operatorname{Spec}H\times_R\operatorname{Spec}H=\operatorname{Spec}(H\otimes_RH)\to \operatorname{Spec}H$	쌍대곱 $\Delta\colon H\to H\otimes_RH$
항등원 $\epsilon^{\operatorname{op}}\colon\operatorname{Spec}R\to\operatorname{Spec}H$	쌍대항등원 $\epsilon\colon H\to R$
역원 $S^{\operatorname{op}}\colon\operatorname{Spec}H\to\operatorname{Spec}H$	앤티포드 $S\colon H\to H$
$\operatorname{Spec}R$ -스킴의 구조 사상 $\eta^{\operatorname{op}}\operatorname{Spec}H\to\operatorname{Spec}R$	항등원 $\eta\colon R\to H$
대각 사상 $\operatorname{diag}_{\operatorname{Spec}H/R}=\nabla^{\operatorname{op}}\colon\operatorname{Spec}H\to\operatorname{Spec}H\times_R\operatorname{Spec}H=\operatorname{Spec}(H\otimes_RH)$	곱 $\nabla\colon H\otimes_RH\to H$

5. 2. 상수 군 스킴

군

G

가 주어졌다고 하자. 스킴

S

위의 '''상수 군 스킴'''(constant group scheme|콘스턴트 그룹 스킴^영어)

G_S

는 스킴으로서 분리합집합

S^{\sqcup G}

이다 (즉, 위상 공간으로서

G

에 이산 위상을 준다면

G\times S

이다). 그 위의 군 스킴의 구조는

G

의 군 구조로부터 유도된다. 함자로서 이는 다음과 같다.

:

G_S\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Grp}

:

G_S \colon X \mapsto G^{\times\operatorname{conn\,comp}(X)}

여기서

\operatorname{conn\,comp}(X)

는

X

의 연결 성분의 집합이다. 즉, 이는 스킴을 그 연결 성분의 수만큼의 군 직접곱에 대응시킨다.

특히,

G

가 자명군인 경우, 항등 사상을 갖춘

S/S

는

S

위의 군 스킴을 이룬다. 함자로서, 이는 모든

S

위의 스킴을 자명군에 대응시킨다.

5. 3. 대각화 가능 군 스킴

아벨 군

G

가 주어졌다고 하자. 스킴

S

위의 '''대각화 가능 군 스킴'''(diagonalizable group scheme^영어)

\operatorname{Diag}(G)

는 함자로서 다음과 같다.

:

\operatorname{Diag}(G)\colon(\operatorname{Sch}/S)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Grp}

:

\operatorname{Diag}(G)\colon(X,\mathcal O_X)\mapsto\hom_{\operatorname{Ab}}\left(G,(\Gamma(X,\mathcal O_X)^\times\right)

만약

S=\operatorname{Spec}R

가 아핀 스킴이라면,

\operatorname{Diag}G=\operatorname{Spec}(R[G])

는 군환

R[G]

의 스펙트럼이다.

5. 4. 비 아핀 군 스킴

곱셈군 '''G'''_m은 천공 아핀 선을 기본 스킴으로 가지며, 펀터로서 ''S''-스킴 ''T''를 구조 집합의 가역 전역 단면의 곱셈군으로 보낸다. 이는 정수에 관련된 대각화 가능 군 ''D''('''Z''')으로 설명할 수 있다. Spec ''A''와 같은 아핀 기저 위에서, 이는 링 ''A''[''x'',''y'']/(''xy'' − 1)의 스펙트럼이며, ''A''[''x'', ''x''⁻¹]로도 표기된다. 단위 사상은 ''x''를 1로 보내는 것으로 주어지고, 곱셈은 ''x''를 ''x'' ⊗ ''x''로 보내는 것으로 주어지며, 역원은 ''x''를 ''x''⁻¹로 보내는 것으로 주어진다. 대수적 토러스는 '''G'''_m의 복사본의 곱으로 ''S''에서 국소적으로 존재한다는 속성으로 정의되거나 유한 생성 자유 아벨 군과 관련된 곱셈 타입의 군으로 정의되는 중요한 클래스의 가환 군 스킴을 형성한다.^[1]
일반 선형 군 ''GL''_''n''은 ''n'' x ''n'' 행렬 링 다양체의 곱셈군으로 볼 수 있는 아핀 대수적 다양체이다. 펀터로서, 이는 ''S''-스킴 ''T''를 엔트리가 ''T''의 전역 단면인 가역 ''n'' x ''n'' 행렬의 군으로 보낸다. 아핀 기저 위에서, 이를 행렬식의 가역성을 인코딩하는 아이디얼에 의해 ''n''² + 1 변수의 다항식 링의 몫으로 구성할 수 있다. 또는, 서로 역인 순서쌍 행렬을 설명하는 관계를 사용하여 2''n''² 변수를 사용하여 구성할 수 있다.^[1]
모든 양의 정수 ''n''에 대해, 군 μ_n은 '''G'''_m에서 자체로의 ''n''제곱 맵의 커널이다. 펀터로서, 이는 임의의 ''S''-스킴 ''T''를 ''f''ⁿ = 1인 ''T''의 전역 단면 ''f''의 군으로 보낸다. Spec ''A''와 같은 아핀 기저 위에서, 이는 ''A''[x]/(''x''^''n''−1)의 스펙트럼이다. 만약 ''n''이 기저에서 가역적이지 않다면, 이 스킴은 매끄럽지 않다. 특히, 표수 ''p''의 체 위에서, μ_p는 매끄럽지 않다.^[1]
덧셈군 '''G'''_a는 아핀 선 '''A'''¹을 기본 스킴으로 가진다. 펀터로서, 이는 임의의 ''S''-스킴 ''T''를 구조 집합의 전역 단면의 기본 덧셈군으로 보낸다. Spec ''A''와 같은 아핀 기저 위에서, 이는 다항식 링 ''A''[''x'']의 스펙트럼이다. 단위 사상은 ''x''를 0으로 보내는 것으로 주어지고, 곱셈은 ''x''를 1 ⊗ ''x'' + ''x'' ⊗ 1로 보내는 것으로 주어지며, 역원은 ''x''를 −''x''로 보내는 것으로 주어진다.^[1]
어떤 소수 ''p''에 대해 ''S''에서 ''p'' = 0이면, ''p''제곱을 취하는 것은 '''G'''_a의 자기 사상을 유도하며, 커널은 군 스킴 α_p이다. Spec ''A''와 같은 아핀 기저 위에서, 이는 ''A''[x]/(''x''^p)의 스펙트럼이다.^[1]
아핀 선의 자기 동형 군은 '''G'''_a와 '''G'''_m의 반직접 곱과 동형이며, 여기서 덧셈군은 평행 이동으로 작용하고, 곱셈군은 팽창으로 작용한다. 선택된 기준점을 고정하는 부분군은 곱셈군과 동형이며, 기준점을 덧셈 군 구조의 항등원으로 취하면 '''G'''_m을 '''G'''_a의 자기 동형 군과 동일시한다.^[1]
표시된 점(즉, 타원 곡선)이 있는 매끄러운 종수 1 곡선은 해당 점을 항등원으로 하는 고유한 군 스킴 구조를 갖는다. 이전의 양의 차원 예와 달리 타원 곡선은 사영적(특히 적절함)이다.^[1]

6. 유한 평탄 군 스킴

뇌터 스킴(Noetherian scheme) ''S'' 위의 군 스킴(group scheme) ''G''가 유한 평탄(finite flat)일 필요충분조건은 ''O''_''G''가 유한 계수의 국소 자유 ''O''_''S''-가군(module)일 때이다. 계수는 ''S'' 위에 국소적으로 상수인 함수이며, ''G''의 차수라고 불린다. 상수 군 스킴의 차수는 해당 군의 차수와 같으며, 일반적으로 차수는 기저 변화와 유한 평탄 스칼라 제한에 대해 잘 작동한다.

유한 평탄 군 스킴 중에서 상수 군 스킴은 특별한 부류를 형성하며, 표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서는 유한 군의 범주가 상수 유한 군 스킴의 범주와 동치이다. 양의 표수 또는 더 많은 산술 구조를 가진 기저 위에서는 추가적인 동형 유형이 존재한다. 예를 들어, 2가 기저 위에서 가역적이면 차수가 2인 모든 군 스킴은 상수이지만, 2진 정수 위에서는 μ₂가 비상수인데, 특수한 올이 매끄럽지 않기 때문이다. 차수가 2인 군 스킴의 동형 유형 수가 임의로 커지는 고도로 분기된 2진 환의 수열이 존재한다. 가환 유한 평탄 군 스킴에 대한 더 자세한 분석은 Raynaud의 연장에 관한 연구에서 찾을 수 있다.

가환 유한 평탄 군 스킴은 종종 아벨 다양체와 반 아벨 다양체의 부분 군 스킴으로 자연스럽게 나타나며, 양의 표수 또는 혼합 표수에서 주변 다양체에 대한 많은 정보를 포착할 수 있다. 예를 들어, 표수가 0인 타원 곡선의 ''p''-비틀림은 차수가 ''p''²인 상수 기본 아벨 군 스킴에 국소적으로 동형이지만, '''F'''_p 위에서는 차수가 ''p''²인 유한 평탄 군 스킴으로, ''p''개의 연결 성분(곡선이 보통인 경우) 또는 하나의 연결 성분(곡선이 초특이인 경우)을 갖는다. 타원 곡선족을 고려하면, ''p''-비틀림은 매개 공간 위의 유한 평탄 군 스킴을 형성하며, 초특이 궤적은 올이 연결되는 곳이다. 이러한 연결 성분의 병합은 모듈 스킴에서 강성 해석적 공간으로 이동하여 초특이 점을 양의 반경을 가진 원반으로 대체함으로써 자세히 연구할 수 있다.

7. 카르티에 쌍대성

카르티에 쌍대성은 유한 가환 군 스킴을 유한 가환 군 스킴으로 보내는 폰트랴긴 쌍대성의 스킴 이론적 아날로그이다.

8. 디외도네 가군

Dieudonné 환 ''D'' = ''W''(''k''){''F'',''V''}/(''FV'' − ''p'')는 ''k''의 Witt 벡터를 계수로 갖는 비가환 다항식 환의 몫이며, 여기서 ''F''와 ''V''는 프로베니우스 연산자와 Verschiebung 연산자이고 Witt 벡터에 비자명하게 작용할 수 있다. 완비 필드 ''k'' 위의 양의 표수 ''p''를 갖는 유한 평탄 가환 군 스킴은 기하학적 구조를 (반)선형대수적 설정으로 변환하여 연구할 수 있는데, 디외도네(Dieudonné)와 카르티에(Cartier)는 ''k'' 위의 "p"의 거듭제곱 차수를 갖는 유한 가환 군 스킴과 유한 ''W''(''k'')-길이를 갖는 ''D'' 위의 가군 사이의 반동치를 구성했다.

디외도네 가군 함자는 Witt 공벡터의 아벨 층 ''CW''로의 준동형사상에 의해 주어지는데, 이 층은 Witt 벡터 층의 대략 쌍대이다. 이는 일련의 Verschiebung 사상 ''V'': ''W''_n → ''W''_n+1 아래에서 유한 길이 Witt 벡터의 직접 극한을 취한 다음 완비하여 구성되기 때문이다.

가환 군 스킴의 많은 성질은 해당 디외도네 가군을 조사함으로써 알 수 있다. 예를 들어, 연결된 ''p''-군 스킴은 ''F''가 멱영인 ''D''-가군에 해당하고, 에탈 군 스킴은 ''F''가 동형사상인 가군에 해당한다.

디외도네 이론은 필드 위의 유한 평탄 군보다 다소 더 일반적인 설정에서 존재한다. 오다(Oda)의 1967년 논문은 디외도네 가군과 아벨 다양체의 첫 번째 드람 코호몰로지 사이의 관계를 제시했고, 거의 같은 시기에 그로텐디크(Grothendieck)는 ''p''-가분군을 분석하는 데 사용할 수 있는 이론의 결정론적 버전을 제시해야 한다고 제안했다. 군 스킴에 대한 갈루아 작용은 범주 동치를 통해 전달되며, 갈루아 표현의 관련된 변형 이론은 와일스의 시무라-타니야마 추측에 대한 연구에 사용되었다.

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