유리점

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1. 개요
2. 정의
3. 대수 곡선 위의 유리점
4. 고차원 다양체
- 4.1. 유리점이 적은 다양체
- 4.2. 유리점이 많은 다양체
5. 유한체 위의 점의 개수
6. 예시
참조

1. 개요

유리점은 체 K가 주어졌을 때 스킴 X의 K-유리점을 의미하며, 이는 스킴 사상 Spec K → X이다. 만약 K가 생략되면 유리수 체 ℚ를 의미한다. 대수기하학에서 유리점은 아핀 대수다양체, 사영 대수다양체, 스킴 등 다양한 대상에 대해 정의되며, 해당 대상의 방정식을 만족하는 좌표가 유리수인 점을 의미한다. 유리점의 개념은 대수 곡선, 특히 타원 곡선 연구에서 중요하게 다루어지며, 곡선의 종수에 따라 유리점의 행동이 달라진다. 종수가 2 이상인 곡선에서는 팔팅스 정리가 성립하여 유리점의 개수가 유한하다는 것을 보장한다. 또한, 유한체 위의 대수다양체는 유한 개의 유리점을 가지며, 베유 추측은 유리점의 개수에 대한 강력한 추정치를 제공한다.

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유리점
기본 정보
원 x² + y² = 1 위의 유리점 (빨간색)
정의	수학에서, 유리수 좌표를 갖는 점
관련 분야	대수기하학

2. 정의

체 ''K''가 주어졌을 때, 스킴 ''X''의 ''K''-유리점은 스킴 사상 Spec ''K'' → ''X''로 정의된다. ''K''가 생략되었다면, 보통 ''K'' = ℚ, 즉 유리수체를 의미한다.

복소수 사영 대수다양체 ''X''의 경우, ''X''를 복소수 사영 공간의 부분집합으로 생각할 수 있다. 이때 ''X''의 유리점은 동차좌표가 ''n''+1개의 유리수로 표현 가능한 점들이다. 예를 들어 [r₀:r₁:⋯:r_n] (r₀, ..., r_n∈ℚ) 와 같이 나타낼 수 있다. 이는 스킴에 대한 추상적인 정의의 특수한 경우이다.

디오판토스 방정식 이론은 정수에서의 다항 방정식의 해를 연구하는 정수점을 의미한다. x³ + y³ = z³과 같은 동차 다항 방정식의 경우, 모든 유리점은 정수점이 되도록 스케일링될 수 있기 때문에 유리점과 정수점 문제는 본질적으로 같다.

2. 1. 아핀 대수다양체의 유리점

체 ''k''와 ''k''의 대수적으로 닫힌 확대 ''K''가 주어졌을 때, ''k'' 위의 아핀 대수다양체 ''X''는 ''k'' 계수를 갖는 다항식들의 집합이 ''K''ⁿ에서 공통으로 갖는 영점의 집합이다.

:

\begin{align}& f_1(x_1,\ldots,x_n)=0, \\& \qquad \quad \vdots \\& f_r(x_1,\dots,x_n)=0.\end{align}

''X''의 ''k''-'''유리점''' (또는 ''k''-'''점''')은 ''K''ⁿ에 속하는 ''X''의 점, 즉 모든 ''j''에 대해

f_j(a_1,\dots,a_n) = 0

이 성립하는 ''k''의 ''n''개 원소의 수열

(a_1,\dots,a_n)

이다. ''X''의 ''k''-유리점 집합은 ''X''(''k'')로 표기한다. 체 ''k''가 유리수체 ℚ일 때, "''k''-유리점" 대신 "유리점"이라고 한다.

예를 들어, 단위 원의 유리점은 방정식

x^2+y^2=1

을 만족하는 유리수의 쌍

\left(\frac ac, \frac bc\right)

이며, 여기서 (''a'', ''b'', ''c'')는 피타고라스 삼중수이다.

2. 2. 사영 대수다양체의 유리점

체 ''k'' 위의 사영 공간 ℙⁿ의 사영 대수다양체 ''X''는 변수 ''x''₀, ..., ''x''_n에 대한 동차 다항식 방정식들의 집합으로 정의될 수 있다. ℙⁿ의 ''k''-점은 [a₀, ..., a_n]으로 표기하며, ''k''의 ''n''+1개 원소의 수열로 주어지는데, 모든 원소가 0일 수는 없으며, a₀, ..., a_n의 모든 원소에 ''k''의 0이 아닌 같은 원소를 곱하면 사영 공간에서 같은 점을 얻는다. ''X''의 ''k''-점은 주어진 다항식이 사라지는 ℙⁿ의 ''k''-점을 의미한다.

2. 3. 스킴의 유리점

X^영어를 체 k^한국어 위의 스킴이라고 하면, 이는 스킴 사상 가 주어졌다는 것을 의미한다. X^영어의 k^한국어-점은 이 사상의 단면을 의미하며, 즉 와 같은 사상으로, 합성 가 에 대한 항등 사상이다. 이것은 X^영어가 아핀 또는 사영 대수다양체일 때 (k^한국어 위의 스킴으로 간주) 이전 정의와 일치한다.

2. 4. 일반화

일반적으로, 가환환 R 위의 스킴 X와 임의의 가환 R-대수 S에 대해, X의 S-점 집합 X(S)는 사상 집합 Spec(S) → X over Spec(R)을 의미한다. 스킴 X는 함자 S ↦ X(S)에 의해 동형사상까지 결정된다. (점의 함자) 체 R 위의 스킴 X가 기저 변환에 의해 체 S 위의 스킴 X_S를 결정하고, (R 위의) X의 S-점은 (S 위의) X_S의 S-점과 동일시될 수 있다.

3. 대수 곡선 위의 유리점

정수론의 많은 부분은 대수적 다양체의 유리점을 연구하는 것으로 볼 수 있으며, 이는 매끄러운 스킴인 사영 다양체에서 편리하게 다룰 수 있다. 매끄러운 사영 대수 곡선의 경우, 유리점의 행동은 곡선의 종수에 크게 의존한다.

3. 1. 종수 0

표수 0인 체 k 위의 모든 매끄러운 사영 곡선 X는 ℙ² 안의 원뿔 곡선(2차)과 동형이다. 만약 X가 k-유리점을 가지면, 이는 k 위에서 ℙ¹과 동형이 되므로, k-유리점을 완전히 이해할 수 있다.^[1] 만약 k가 유리수의 체 ℚ (또는 더 일반적으로 수체)라면, 주어진 원뿔 곡선이 유리점을 가지는지 여부를 결정하는 알고리즘이 있으며, 이는 하세 원리에 기반한다. 즉, ℚ 위의 원뿔 곡선은 ℚ의 모든 완비체, 즉 ℝ과 모든 ''p''-진수체 ℚ_p에서 점을 가질 때 그리고 그 때만 유리점을 가진다.

3. 2. 종수 1

곡선 종수 1이 유리점을 갖는지 여부를 결정하는 것은 더 어렵다. 이 경우 하세 원리가 실패할 수 있다. 예를 들어, 에른스트 셀머에 따르면, 3차 곡선 3x³ + 4y³ + 5z³ = 0은 ℚ의 모든 완비화에 대한 점을 가지지만 유리점은 없다.^[2] 종수 1 곡선에 대한 하세 원리의 실패는 테이트-샤파레비치 군에 의해 측정된다.

만약 X가 k-유리점 p₀을 갖는 종수 1 곡선이라면, X를 k에 대한 타원 곡선이라고 부른다. 이 경우, X는 가환 대수적 군의 구조를 가지며 (p₀을 영원소로 함), 따라서 k-유리점의 집합 X(k)는 아벨 군이다. 모델-베이유 정리는 수체 k에 대한 타원 곡선 (또는, 더 일반적으로, 아벨 다양체) X에 대해 아벨 군 X(k)가 유한 생성 아벨 군임을 말해준다. 컴퓨터 대수 프로그램은 많은 예시에서 모델-베이유 군 X(k)를 결정할 수 있지만, 이 군을 항상 계산하는 데 성공하는 알고리즘이 존재하는지는 알려져 있지 않다. 이는 테이트-샤파레비치 군이 유한하다는 추측 또는 관련 비르치-스위너턴-다이어 추측으로부터 파생될 것이다.^[3]

3. 3. 종수 2 이상

x^n+y^n=z^n

\tfrac{(n-1)(n-2)}{2}

이다.

수체 상에서 종수가 2 이상인 임의의 곡선 위의 모든 유리점을 찾을 수 있는 알고리즘이 존재하는지는 알려져 있지 않다. 몇몇 경우에 작동하는 알고리즘은 존재한다. 일반적인 경우, 이 알고리즘의 종료 여부는 아벨 다양체의 테이트-사파레비치 군이 유한하고, 곡선의 경우 브라우어-마닌 방해가 하세 원리의 유일한 방해라는 추측으로부터 따라올 것이다.^[5]

4. 고차원 다양체

고차원에서는 수체 k|k^영어 위의 일반형 다양체 X|X^영어에 대해 X|X^영어의 k|k^영어-유리점 집합이 X|X^영어에서 자리스키 조밀하지 않다는 '''봄비에리–랭 추측'''이 있다.^[6] 1차원에서는 이는 팔팅스의 정리와 같다. 랭은 유리점의 유한성과 고바야시 쌍곡성을 관련시키는 더 정교한 추측을 제시했다.

봄비에리-랭 추측은 수체 위의 사영 공간 ℙⁿ|ℙⁿ^영어에서 차수 d|d^영어의 매끄러운 초곡면이 d|d^영어 ≥ n|n^영어 + 2인 경우 자리스키 조밀 유리점을 갖지 않을 것이라고 예측한다. 이 추측에 대한 가장 강력한 결과는 아벨 다양체의 부분 다양체에 대한 팔팅스의 정리이다.^[7]

수론적 관점에서, 수체 ''k'' 위의 다양체 ''X''는 ''X''의 ''E''-유리점이 ''X''에서 자리스키 조밀하도록 유한 확대체 ''E''가 존재할 경우 잠재적으로 조밀한 유리점을 갖는다고 한다. 프레데릭 캄파나는 다양체가 일반형의 양의 차원 오비폴드 위의 유리적 섬유화를 갖지 않을 경우에만 잠재적으로 조밀하다고 추측했다.^[8] 수체 ''k'' 위의 ℙ³ 내의 모든 3차 곡면은 잠재적으로 조밀한 유리점을 갖는 것으로 알려져 있다.^[8] 캄파나의 추측은 또한 수체 위의 K3 곡면 ''X''가 잠재적으로 조밀한 유리점을 갖는다는 것을 시사한다.^[9]

기저체를 확장하지 않고 다양체가 유리점을 가질 때는 하디-리틀우드 원 방법에 기반하여 좋은 결과를 얻을 수 있다. 예를 들어, 하세-민코프스키 정리는 수체 위의 2차 초곡면에 대해 하세 원리가 성립한다고 말한다.^[10] 비르크의 정리는 모든 홀수 양의 정수 ''d''에 대해, 모든 ''n'' ≥ ''N''에 대해 ℚ 위의 ℙⁿ 내의 차수 ''d''의 모든 초곡면이 유리점을 갖도록 하는 정수 ''N''이 존재한다고 말한다.^[11]

장루이 콜리오-테렌은 3차 곡면에 대한 하세 원리에 대한 유일한 방해는 브로어-마닌 방해라고 추측했다.^[13]

어떤 경우, ''X''가 하나의 유리점을 가질 때마다 "많은" 유리점을 갖는다는 것이 알려져 있다. 마닌 추측은 파노 다양체 위의 제한된 높이 함수의 유리점 개수의 점근선을 설명한다.

4. 1. 유리점이 적은 다양체

4. 2. 유리점이 많은 다양체

수론적 방향에서, 수체 ''k'' 위의 다양체 ''X''는 ''X''의 ''E''-유리점이 ''X''에서 자리스키 조밀하도록 유한 확대체 ''E''가 존재할 경우 잠재적으로 조밀한 유리점을 갖는다고 말한다. 프레데릭 캄파나는 다양체가 일반형의 양의 차원 오비폴드 위의 유리적 섬유화를 갖지 않을 경우에만 잠재적으로 조밀하다고 추측했다.^[8] 알려진 바로는 수체 ''k'' 위의 ℙ³ 내의 모든 3차 곡면은 잠재적으로 조밀한 유리점을 갖는다는 것이다.^[8] 캄파나의 추측은 또한 수체 위의 K3 곡면 ''X'' (예: ℙ³ 내의 매끄러운 4차 곡면)가 잠재적으로 조밀한 유리점을 갖는다는 것을 암시한다.^[9]

기저체를 확장하지 않고 다양체가 유리점을 가질 때를 묻는 경우가 있다. 수체 위의 ℙⁿ에서 차수 ''d''의 초곡면 ''X''의 경우, ''d''가 ''n''보다 훨씬 작을 때 좋은 결과가 있으며, 이는 종종 하디-리틀우드 원 방법에 기반한다. 예를 들어, 하세-민코프스키 정리는 수체 위의 2차 초곡면에 대해 하세 원리가 성립한다고 말한다.^[10] 비르크의 정리는 모든 홀수 양의 정수 ''d''에 대해, 모든 ''n'' ≥ ''N''에 대해 ℚ 위의 ℙⁿ 내의 차수 ''d''의 모든 초곡면이 유리점을 갖도록 하는 정수 ''N''이 존재한다고 말한다.^[11]

차원이 더 작은 초곡면(차수 측면에서)의 경우, 상황이 더 복잡해질 수 있다. 장루이 콜리오-테렌은 3차 곡면에 대한 하세 원리에 대한 유일한 방해는 브로어-마닌 방해라고 추측했다.^[13]

어떤 경우, ''X''가 하나의 유리점을 가질 때마다 "많은" 유리점을 갖는다는 것이 알려져 있다. 마닌 추측은 파노 다양체 위의 제한된 높이 함수의 유리점의 개수의 점근선을 설명하는 더 정확한 명제이다.

5. 유한체 위의 점의 개수

유한체 위의 대수다양체 는 유한 개의 -유리점을 가진다. 앙드레 베유가 1차원에서 증명하고, 피에르 들리뉴가 임의의 차원에서 증명한 '''베유 추측'''은 의 베티 수를 통해 -점의 개수에 대한 강력한 추정치를 제공한다. 예를 들어, 가 위수 (소수 거듭제곱)인 체 위의 종수 인 매끄러운 사영 곡선인 경우, 다음과 같다.

: $\big| |X(k)|-(q+1)\big| \leq 2g\sqrt{q}.$

위수 인 체 위의 에서 차수 인 매끄러운 초곡면 에 대해, 들리뉴의 정리는 다음과 같은 상한을 제공한다:^[15]

: $\big| |X(k)|-(q^{n-1}+\cdots+q+1)\big| \leq \bigg( \frac{(d-1)^{n+1}+(-1)^{n+1}(d-1)}{d}\bigg) q^{(n-1)/2}.$

유한체 위의 사영 다양체가 적어도 하나의 -유리점을 가질 때에 대한 중요한 결과도 있다. 예를 들어, 슈발레-바닝 정리는 유한체 위의 에서 차수 인 임의의 초곡면 가 이면 -유리점을 가진다는 것을 의미한다. 매끄러운 의 경우, 이는 또한 유한체 위의 모든 매끄러운 사영 유리 사슬 연결 다양체, 예를 들어 모든 파노 다양체가 -유리점을 가진다는 엘렌 에스노의 정리로부터 따른다.^[16]

6. 예시

유리점의 예시는 다음과 같다.

점 (3, -67/4)은 방정식 y + 67/4 = 2(x - 3)으로 주어지는 직선 위의 유리점 무한 집합의 한 원소이다. 이 직선 위에는 '''정수점'''이 존재하지 않는다.
점 ''P'' = (√2, 3)은 방정식 3''x''²-2''y'' = 0에 의해 정의되는 대수다양체(이 경우에는 포물선) 위의 점이다. √2는 유리수가 아니므로, ''P''는 유리점이 아니다. 그러나 ''F''를 ''a''와 ''b''를 임의의 유리수로 하여 ''a'' + ''b''√2 형태의 수가 이루는 체라고 하면, ''P''는 ''F''-유리점이 된다.
complex projective plane|복소 사영 평면^영어 위의 점 (''a'', ''b'', ''c'')는 ''za'', ''zb'', ''zc''가 모두 실수가 되는 복소수 ''z''가 존재할 때, '''ℝ'''-유리점(통상 실수 유래점이라고 부른다)이다. 그렇지 않으면 복소수 점이라고 부른다.

6. 1. 예시 1

점 (3, -67/4)은 방정식 y + 67/4 = 2(x - 3)으로 주어지는 직선 위의 유리점 무한 집합의 한 원소이다. 이 직선 위에는 '''정수점'''이 존재하지 않는다.

6. 2. 예시 2

점 ''P'' = (√2, 3)은 방정식 3''x''²-2''y'' = 0에 의해 정의되는 대수다양체(이 경우에는 포물선) 위의 점이다. 좌표값 √2는 유리수가 아니므로, ''P''는 유리점이 아니다. 그러나 ''F''를 ''a''와 ''b''를 임의의 유리수로 하여 ''a'' + ''b''√2 형태의 수가 이루는 체라고 하면, ''P''는 ''F''-유리점이 된다. 이는 좌표값이 √2 = 0 + 1√2와 3 = 3 + 0√2이며, 수 0, 1, 3이 유리수이기 때문이다.

6. 3. 예시 3

complex projective plane|복소 사영 평면^영어 위의 점 (''a'', ''b'', ''c'')는 ''za'', ''zb'', ''zc''가 모두 실수가 되는 복소수 ''z''가 존재할 때, '''ℝ'''-유리점(통상 실수 유래점이라고 부른다)이다. 그렇지 않으면 복소수 점이라고 부른다. 이 기술은 고차원의 복소 사영 공간으로 일반화된다.

참조

_[1] 서적 Theorem A.4.3.1 2000
_[2] 서적 Remark X.4.11 2009
_[3] 서적 Conjecture X.4.13 2009
_[4] 서적 Theorem E.0.1 2000
_[5] 간행물 section 6,3 2001
_[6] 서적 section F.5.2 2000
_[7] 서적 Theorem F.1.1.1 2000
_[8] 간행물 Conjecture 9.20 2004
_[9] 간행물 Theorem 6.4 2003
_[10] 논문 Theorem 1988
_[11] 논문 Theorem 1983
_[12] 간행물 section 7 1987
_[13] 간행물 section 6.1 2015
_[14] 간행물 Theorem 1.1 2002
_[15] 간행물 section II 1980
_[16] 간행물 Corollary 1.3 2003

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