극성화와 반환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 극성화
- 2.2. 반환
3. 성질
4. 예
- 4.1. 이차식 예시
- 4.2. 삼차식 예시
5. 응용
6. The technique
참조

1. 개요

극성화와 반환은 다항식에 적용되는 연산으로, 대수기하학 및 불변량 이론에서 활용된다. 극성화는 주어진 동차 다항식에서 유도된 다중 선형적이고 대칭적인 다항식인 극형식을 생성하며, 반환은 극성화의 역연산이다. 극성화는 동형 사상을 정의하며, 1변수 단항식, 선형 함수, 이차 형식 및 삼차 다항식과 같은 특정 다항식에 대한 예시가 존재한다.

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극성화와 반환
극성화
유형	수학적 개념
분야	대수학
관련 개념	동차 다항식
정의
대수 형식	주어진 차수의 동차 다항식
극형식	관련된 다변수 다선형 형식
목적
목적	대수 형식을 더 간단하게 표현
적용 분야
적용 분야	사영 기하학 불변량 이론 텐서 미적분학
예시
이차 형식	Q(x) = x^T A x (여기서 A는 대칭 행렬)
극형식 (이차 형식의 경우)	B(x, y) = x^T A y
속성
대칭성	B(x, y) = B(y, x)
다선형성	각 변수에 대해 선형

2. 정의

$p$ 가 $n$ 개의 변수에 대한 $d$ 차 동차 다항식이고, $R$ 는 계승 $n!$ 이 가역원인 가환환일 때, $p$ 의 극성화와 반환을 정의할 수 있다. 극성화는 주어진 다항식으로부터 다중 선형 형식을 유도하는 과정이고, 반환은 이 다중 선형 형식으로부터 원래의 다항식을 복원하는 과정이다. 극성화와 반환의 구체적인 정의는 하위 섹션을 참고할 수 있다.

2. 1. 극성화

p

가

n

개의 변수에 대한

d

차 동차 다항식이고,

R

는 계승

n!

이 가역원인 가환환이라고 하자. 그렇다면

p

를

R[x_1,\dots,x_n]

의 원소로 여길 수 있다.

p

의 '''극성화'''

\mathcal Pp\in R[x_{1,1},x_{1,2},\dots,x_{i,j},x_{i,j+1},\dots,x_{n,d}]

는 다음과 같다.

:

\mathcal Pp(\dots,x_{i,j},\dots)=\frac1{d!}\frac{\partial}{\partial t_1}\cdots\frac{\partial}{\partial t_d}f\left(\dots,\sum_{j=1}^dt_jx_{i,j},\dots\right)

f(\mathbf{u})

를

n

개의 변수

\mathbf{u} = \left(u_1, u_2, \ldots, u_n\right)

에 대한 다항식이라고 하자.

f

가 차수가

d

인 동차식이라고 가정하면, 다음이 성립한다.

:

F\left(\mathbf{u}^{(1)}, \mathbf{u}^{(2)}, \ldots, \mathbf{u}^{(d)}\right)

이 극형식은 각

\mathbf{u}^{(i)}

에 대해 선형적(즉,

F

는 다중 선형적)이며,

\mathbf{u}^{(i)}

에 대해 대칭적이고, 다음을 만족한다.

:

F\left({\mathbf u}^{(1)}, \dots, {\mathbf u}^{(d)}\right) = \frac{1}{d!}\frac{\partial}{\partial\lambda_1} \dots \frac{\partial}{\partial\lambda_d}f(\lambda_1{\mathbf u}^{(1)} + \dots + \lambda_d{\mathbf u}^{(d)})|_{\lambda=0}.

다시 말해,

F

는

f\left(\lambda_1 \mathbf{u}^{(1)} + \cdots + \lambda_d \mathbf{u}^{(d)}\right)

의 전개식에서

\lambda_1 \lambda_2 \ldots \lambda_d

의 계수에 상수배를 한 것이다.

2. 2. 반환

극성화의 반대 연산은 '''반환'''이다.

nd

개의 변수를 갖는 다항식

:

P\in R[x_{1,1},x_{1,2},\dots,x_{i,j},\dots,x_{n,d}]

의 '''반환'''

\mathcal RP

는 다음과 같다.

:

\mathcal RP\in R[x_1,\dots,x_n]

:

\mathcal RP(x_1,\dots,x_n)=P(\overbrace{x_1,\dots,x_1}^d,\cdots,\overbrace{x_i,\dots,x_i}^d,\cdots,\overbrace{x_n,\dots,x_n}^d)

3. 성질

$(x_{1,j},\dots,x_{n,j})=\mathbf x_j$ 라고 쓰면, 각 $j$ 에 대하여 $\mathcal Pp$ 는 $\mathbf x_j$ 에 대한 선형 함수이다. 또한, $\mathcal Pp$ 는 대칭군 $\operatorname{Sym}(d)$ 의 작용( $\mathbf x_1,\dots,\mathbf x_d$ 의 순열)에 대하여 불변이다.

차수 $d$ 의 동차 다항식의 극성화는 $d!$ 이 단위인 모든 가환환에서 유효하다. 특히 표수가 0이거나 $d$ 보다 큰 체에서 성립한다.

3. 1. 극성화 동형사상 (차수별)

K

가 표수가 0인 체이고,

V

가

n

차원

K

-벡터 공간일 때, 극성화는 표준적 동형사상

:

\mathcal P\colon K[V]_i\to\operatorname{Sym}^n(V^*)

을 정의한다. 여기서

K[V]_i

는 다항식환

K[V]

의

i

차 동차 성분이며,

\operatorname{Sym}^n(V^*)

는

V

의 쌍대 공간

V^*

의

n

차 대칭 멱이다.

k

를 표수가 0인 체,

A = k[\mathbf{x}]

를

k

위의

n

개 변수를 갖는 다항식 환이라고 하면,

A

는 차수에 의해 등급을 가지므로,

:

A = \bigoplus_d A_d

와 같이 나타낼 수 있다.

이때, 대수 형식의 편광은 각 차수에서 벡터 공간의 동형 사상을 유도하며, 다음과 같이 표현된다.

:

A_d \cong \operatorname{Sym}^d k^n

이러한 동형 사상은 기저와 독립적이다.

V

가 유한 차원 벡터 공간이고,

A

가

V

위의 동차 차수에 의해 등급이 매겨진

k

값을 갖는 다항식 함수의 환인 경우, 편광은 다음 동형 사상을 생성한다.

:

A_d \cong \operatorname{Sym}^d V^*.

3. 2. 대수적 동형사상

K

가 표수가 0인 체이고,

V

가

n

차원

K

-벡터 공간일 때, 다항식환

K[V]

는 차수에 따라 등급환이 된다.

:

K[V]=\bigoplus_{i=0}^\infty K[V]_i

이 경우, 극성화는 표준적 동형사상

:

\mathcal P\colon K[V]_i\to\operatorname{Sym}^n(V^*)

을 정의한다. 또한, 극성화는

R[V]

의

K

-대수 구조와 호환되므로,

K

-등급대수로서 다음과 같은 동형사상이 존재한다.

:

\mathcal P\colon K[V]\to\operatorname{Sym}(V^*)

차수

d

의 동차 다항식의 극성화는

d!

이 단위인 모든 가환환에서 유효하다. 특히 표수가 0이거나

d

보다 큰 체에서 성립한다.

k

를 표수가 0인 체,

A = k[\mathbf{x}]

를

k

위의

n

개의 변수를 갖는 다항식 환이라고 하면,

A

는 차수에 의해 등급을 가지므로,

:

A = \bigoplus_d A_d.

와 같이 나타낼 수 있다. 대수 형식의 편광은 각 차수에서 벡터 공간의 동형 사상을 유도하며,

:

A_d \cong \operatorname{Sym}^d k^n

여기서

\operatorname{Sym}^d

는

d

차 대칭 멱이다.

이러한 동형 사상은 기저와 독립적으로 표현할 수 있다. 즉,

V

가 유한 차원 벡터 공간이고,

A

가

V

위의 동차 차수에 의해 등급이 매겨진

k

값을 갖는 다항식 함수의 환인 경우, 편광은 동형 사상을 생성한다.

:

A_d \cong \operatorname{Sym}^d V^*.

또한, 극성화는

A

에 대한 대수적 구조와 호환되므로,

:

A \cong \operatorname{Sym}^{\bullet} V^*

로 나타낼수 있으며, 여기서

\operatorname{Sym}^{\bullet} V^*

는

V^*

에 대한 전체 대칭 대수이다.

3. 3. 추가 설명

표수가 0이거나 차수

d

보다 큰 체에서 극성화가 성립한다.

양의 표수 $p$ 인 체의 경우, 등급 대수가 차수 $p - 1$ 에서 절단되면 앞서 언급한 동형 사상이 적용된다.
$V$ 가 무한 차원 위상 벡터 공간인 경우 일반화가 존재한다.

4. 예

1변수 단항식 $ax^d$ 에 대하여, 극성화는 항등 함수이다. 마찬가지로, 선형 함수( $d=1$ )에 대하여, 극성화는 항등 함수이다.

2변수 이차 형식 $p(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2$ 의 극성화는 다음과 같다.

: $\mathcal Pp(x_1,y_1,x_2,y_2)=ax_1x_2+b(x_1y_2+y_1x_2)+cy_1y_2$

2변수 3차 동차 다항식 $p(x,y)=ax^3+3bx^2y+3cxy^2+dy^3$ 의 극성화는 다음과 같다.

: $\mathcal Pp(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3)=ax_1x_2x_3+b(y_1x_2x_3+x_1y_2x_3+x_1x_2y_3)+c(x_1y_2y_3+y_1x_2y_3+y_1y_2x_3)+dy_1y_2y_3$

4. 1. 이차식 예시

\mathbf{x} = (x,y)

이고

f(\mathbf{x})

가 다음과 같은 이차 형식이라고 가정하자.

:

f(\mathbf{x}) = x^2 + 3 x y + 2 y^2.

그러면

f

의 극성화는

\mathbf{x}^{(1)} = (x^{(1)}, y^{(1)})

및

\mathbf{x}^{(2)} = (x^{(2)}, y^{(2)})

에서 다음과 같이 주어진다.

:

F\left(\mathbf{x}^{(1)}, \mathbf{x}^{(2)}\right) = x^{(1)} x^{(2)} + \frac{3}{2} x^{(2)} y^{(1)} + \frac{3}{2} x^{(1)} y^{(2)} + 2 y^{(1)} y^{(2)}.

더 일반적으로, 만약

f

가 임의의 이차 형식이라면,

f

의 극성화는 극성화 항등식의 결론과 일치한다.

4. 2. 삼차식 예시

f(x, y) = x^3 + 2xy^2

이라 하자. 그러면

f

의 극성화는 다음과 같이 주어진다.

:

F\left(x^{(1)}, y^{(1)}, x^{(2)}, y^{(2)}, x^{(3)}, y^{(3)}\right) = x^{(1)} x^{(2)} x^{(3)} + \frac{2}{3} x^{(1)} y^{(2)} y^{(3)} + \frac{2}{3} x^{(3)} y^{(1)} y^{(2)} + \frac{2}{3} x^{(2)} y^{(3)} y^{(1)}.

5. 응용

극성화와 반환은 대수기하학, 특히 불변량 이론에서 쓰인다.

6. The technique

$f(\mathbf{u})$ 를 $n$ 개의 변수 $\mathbf{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n)$ 에 대한 다항식이라고 하자. $f$ 가 차수가 $d$ 인 동차식이라고 가정하면, 다음이 성립한다.

: $f(t \mathbf{u}) = t^d f(\mathbf{u}) \quad \text{ 모든 } t에 \ 대해$

$\mathbf{u}^{(1)}, \mathbf{u}^{(2)}, \ldots, \mathbf{u}^{(d)}$ 를 $\mathbf{u}^{(i)} = (u^{(i)}_1, u^{(i)}_2, \ldots, u^{(i)}_n)$ 로 구성된 미정 변수들의 집합이라고 하자. 그러면 전체 $dn$ 개의 변수가 존재한다. $f$ 의 '''극형식'''은 다음과 같은 다항식이다.

: $F(\mathbf{u}, \mathbf{u}, \ldots, \mathbf{u}) = f(\mathbf{u}).$

$f$ 의 극형식은 다음 구성에 의해 주어진다.

:
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