대칭군 (군론)

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1. 개요

대칭군은 집합 X에서 X로 가는 모든 전단사 함수의 집합에 함수 합성을 연산으로 부여하여 얻는 군이며, S_X 또는 Sym(X)로 표기한다. 특히 유한 집합 X = {1, 2, ..., n}에 대한 대칭군은 n차 대칭군이라 불리며, S_n, mathfrak{S}_n, Σ_n, 또는 Sym(n) 등으로 표기하며, n차 대칭군의 원소는 X의 순열이라 불린다. 대칭군은 n이 2 이하일 경우에만 아벨 군이며, n = 0과 n = 1일 때는 자명군이다. 또한, n ≤ 4일 경우에만 가해군이다. 대칭군의 켤레류는 순열의 사이클 유형에 해당하며, 케일리의 정리에 따르면 모든 군은 어떤 대칭군의 부분군과 동형이다. 대칭군은 갈루아 이론, 불변론, 리 군 이론 등 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 하며, 치환 행렬을 사용하여 벡터 공간의 기저 변환으로 나타낼 수 있다. 낮은 차수의 대칭군은 예외적인 구조를 가지며, S₀과 S₁은 자명군, S₂는 순환군, S₃는 6차 이면군과 동형이며, S₄는 정육면체의 회전 대칭군과 동형이다. S₅는 첫 번째 비가해 대칭군이며, S₆는 외부 자기 동형 사상을 갖는다.

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대칭군 (군론)
대칭군
루빅 큐브
군론
차수	n!
기호	Sₙ Σₙ !ₙ
영어 명칭	Symmetric group
성질
대수적 성질	유한군

2. 정의

집합 $X$ 의 '''대칭군'''은 $X$ 에서 $X$ 로 가는 모든 전단사 함수들의 집합에 함수의 합성을 군 연산으로 부여한 구조이다. 이 군은 $S_X$ , $\mathfrak{S}_X$ , $\Sigma_X$ , $X!$ , $\operatorname{Sym}(X)$ 등 다양한 기호로 표기한다.^[1] 두 함수 $f$ 와 $g$ 의 합성은 새로운 전단사 함수 $f \circ g$ 를 만들며, 이는 $X$ 의 모든 원소 $x$ 에 대해 $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ 로 정의된다. 이 연산을 통해 $\operatorname{Sym}(X)$ 는 군을 이루며, 합성 연산은 간단히 $fg$ 로 표기하기도 한다.

유한 집합 $X = \{1, 2, \ldots, n\}$ 에 대한 대칭군을 ''' $n$ 차 대칭군'''이라 하며, $\mathrm{S}_n$ , $\mathfrak{S}_n$ , $\Sigma_n$ , 또는 $\operatorname{Sym}(n)$ 등으로 표기한다.^[1] $\operatorname{Sym}(n)$ 의 원소는 $n$ 개의 원소에 대한 '''순열''' 또는 '''치환'''이라고 불린다. 유한 집합의 경우, "순열"과 "전단사 함수"는 원소들을 재배열하는 동일한 연산을 나타낸다.

$n$ 차 대칭군의 위수는 $n$ 의 계승인 $n!$ 이다.^[2] 대칭군은 $n \le 2$ 일 경우에만 아벨 군이다.^[3] $n=0$ (공집합)과 $n=1$ (단일 집합)일 때, 대칭군은 위수가 $0! = 1! = 1$ 인 자명군이다. 군 $S_n$ 은 $n \le 4$ 일 경우에만 가해군이다. 이는 $n > 4$ 일 때 근으로 해를 구할 수 없는 $n$ 차 다항식이 존재한다는 아벨-루피니 정리의 핵심적인 부분과 관련된다.

위수가 $n$ 인 임의의 유한 집합 $X$ 의 대칭군 $\operatorname{Sym}(X)$ 는 $n$ 차 대칭군 $S_n$ 과 군으로서 동형이다. 이는 집합 $X$ 의 원소에 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 의 번호를 붙이는 전단사를 통해 이해할 수 있다. $n$ 차 치환 $\sigma$ 는 $X$ 의 원소 $x_i$ 를 $x_{\sigma(i)}$ 로 옮기는 사상으로 볼 수 있으며, 이는 다음과 같은 방식으로 표기된다.

: $\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\x_{\sigma(1)} & x_{\sigma(2)} & \cdots & x_{\sigma(n)}\end{bmatrix}\quad \text{또는} \quad\begin{bmatrix}1 & 2 & \cdots & n\\\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n)\end{bmatrix}$

무한 집합에 대한 대칭군은 유한 집합의 경우와 상당히 다른 성질을 가지며, 두 가지 주요한 방식으로 정의될 수 있다. 하나는 유한 집합의 정의를 그대로 확장하여 무한 집합 $Y$ 에서 $Y$ 로 가는 모든 전단사 함수의 군을 생각하는 것이고, 다른 하나는 $Y$ 의 모든 유한 부분 집합 $X$ 에 대한 대칭군 $\operatorname{Sym}(X)$ 들의 직극한 $\varinjlim \operatorname{Sym}(X)$ 을 고려하는 것이다. 자연수의 집합 $\mathbb{N}$ 에 대해 두 번째 방법을 적용하여 얻어지는 군은 $S_\infty$ 로 표기하며, 무한 대칭군이라고 불린다.

3. 성질

''n''개 원소에 대한 대칭군 $S_n$ (또는 $\operatorname{Sym}(n)$ )은 크기가 $n!$ 인 유한군이다.^[2] 공집합 ( $n=0$ )과 단일 집합 ( $n=1$ )에 대한 대칭군은 자명군이며, 크기는 $0! = 1! = 1$ 이다. 무한 집합의 경우, 크기가 $\kappa$ 인 집합 위의 대칭군의 크기는 $\kappa^\kappa$ 이다.

대칭군은 오직 $n \le 2$ 인 경우에만 아벨 군(교환 법칙이 성립하는 군)이며,^[3] 오직 $n \le 4$ 일 경우에만 가해군이다. 이는 5차 이상의 다항식에 대한 근의 공식이 존재하지 않음을 보이는 아벨-루피니 정리의 핵심적인 이유 중 하나이다.

대칭군의 두 순열 $\sigma_1, \sigma_2 \in S_n$ 이 같은 켤레류에 속할 필요충분조건은 두 순열의 순환 구조(cycle structure)가 같다는 것이다. 즉, 두 순열을 서로소 순환 치환의 곱으로 나타냈을 때, 각 순환들의 길이가 동일한 방식으로 구성되어야 한다.

대칭군의 낮은 차수의 군 호몰로지는 규칙적인 패턴을 보이며 안정화되는 성질을 가진다.

1차 호몰로지(아벨화): 군의 정수 계수 1차 호몰로지는 그 아벨화와 같다.

:

H_1(S_n, \mathbb{Z}) = \begin{cases} 0 & n < 2\\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & n \ge 2\end{cases}

이는

n \ge 2

일 때 부호 함수

\operatorname{sgn}: S_n \to \{\pm 1\} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

에 해당한다.

2차 호몰로지(슈어 승수 Schur multiplier^영어): 군의 정수 계수 2차 호몰로지는 그 슈어 승수와 같다.

:

H_2(S_n, \mathbb{Z}) = \begin{cases} 0 & n < 4\\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & n \ge 4\end{cases}

이는

n \ge 4

일 때 대칭군의 이중 덮개

2 \cdot S_n

의 존재와 관련 있다.

호몰로지는 안정 호모토피 이론의 의미에서 안정화된다. 즉, 포함 사상

S_n \to S_{n+1}

에 대해, 고정된 ''k''에 대한 유도 사상

H_k(S_n) \to H_k(S_{n+1})

은 ''n''이 충분히 클 때 동형사상이 된다.

대칭군의 자기 동형군

\operatorname{Aut}(S_n)

, 외부 자기 동형군

\operatorname{Out}(S_n)

, 군의 중심

\operatorname{Z}(S_n)

은 다음과 같다.

n	$\operatorname{Aut}(S_n)$	$\operatorname{Out}(S_n)$	$\operatorname{Z}(S_n)$
$n \ne 2, 6$	$S_n$	1	1
$n = 2$	1	1	$S_2$
$n = 6$	$S_6 \rtimes C_2$	$C_2$	1

여기서 1은 자명군, $C_2$ 는 위수 2의 순환군 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 를 나타낸다.

$n \ne 2, 6$ 일 때, $S_n$ 의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형이며, 외부 자기 동형군은 자명하다. 또한 중심도 자명하므로, 이 경우 $S_n$ 은 완전군이다.
$n = 2$ 일 때, $S_2 \cong C_2$ 는 아벨 군이므로 자기 자신이 중심이 되고, 자기 동형군은 자명하다.
$n = 6$ 일 때는 예외적으로 위수 2의 외부 자기 동형군이 존재한다. 따라서 $\operatorname{Aut}(S_6)$ 는 $S_6$ 와 $C_2$ 의 반직접곱 $S_6 \rtimes C_2$ 이다.

n \ge 5

일 때, 교대군

A_n

은 단순군이며,

S_n

은

A_n

을 정규 부분군으로 포함하고(

S_n = A_n \rtimes C_2

) 그 자기동형군

\operatorname{Aut}(A_n)

(단,

n=6

제외)과 관련되므로, 개단순군(almost simple group)으로 분류되기도 한다.

3. 1. 군 연산

집합

X

의 대칭군

\operatorname{Sym}(X)

의 군 연산은 함수의 합성으로 정의된다. 즉, 두 전단사 함수

f

와

g

가 주어졌을 때, 이 둘의 합성은 새로운 전단사 함수

f \circ g

를 만들며, 이는

X

의 모든 원소

x

에 대해

(f \circ g)(x) = f(g(x))

로 정의된다. 이 연산은 간단히

fg

로 표기하기도 한다.

대칭군의 원소는

X

의 순열이며, 군 연산인 함수 합성은 순열의 합성으로 이해할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 두 순열

f

와

g

를 생각해보자. (표기법에 대한 자세한 설명은 순열 문서를 참고하라):

f = (1\ 3) (2) (4\ 5)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & 4\end{pmatrix}

g = (1\ 2\ 5)(3\ 4)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{pmatrix}.

두 순열의 합성

fg = f \circ g

는

g

를 먼저 적용하고 그 결과에

f

를 적용하는 것을 의미한다. 예를 들어, 원소 1에

g

를 적용하면 2가 되고, 이어서

f

를 적용하면 2는 그대로 2가 된다. 원소 2는

g

에 의해 5가 되고,

f

에 의해 4가 된다. 원소 3은

g

에 의해 4가 되고,

f

에 의해 5가 된다. 이런 식으로 모든 원소에 대해 계산하면 다음과 같은 합성 순열을 얻는다:

fg = f\circ g = (1\ 2\ 4)(3\ 5)=\begin{pmatrix} 1 & 2 &3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3\end{pmatrix}.

참고로, 길이

L = k \cdot m

의 순환 순열을

k

제곱하면 길이가

m

인

k

개의 순환으로 분해된다. 예를 들어,

k = 2

,

m = 3

인 경우:

(1~2~3~4~5~6)^2 = (1~3~5) (2~4~6).

집합

X

에 대한 대칭군이 실제로 군을 이루는지 확인하기 위해서는 다음의 군 공리들을 만족하는지 검증해야 한다.^[4]

# 닫힘: 두 순열(전단사 함수)의 합성은 항상 또 다른 순열이 되므로, 함수 합성은 주어진 집합

X

의 순열 집합에서 닫혀있다.

# 결합 법칙: 함수 합성은 항상 결합 법칙(

(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)

)이 성립한다.

# 항등원:

X

의 각 원소를 자기 자신에게 대응시키는 항등 함수(identity function)는 군의 항등원 역할을 한다. 이 항등 순열은 보통

id

또는

1

로 표기한다.

# 역원: 모든 전단사 함수는 그 작용을 되돌리는 역함수를 가진다. 따라서 대칭군의 모든 원소(순열)

\sigma

는 역원

\sigma^{-1}

를 가지며, 이 역원 역시 순열이다.

대칭군

S_n

의 두 원소

\sigma, \tau

의 곱을 표기할 때,

\sigma\tau

(즉,

\tau

를 먼저 적용)로 쓸지

\tau\sigma

(즉,

\sigma

를 먼저 적용)로 쓸지는 문맥이나 저자에 따라 다를 수 있다. 이는 대칭군의 작용을 왼쪽에서 정의하는지 오른쪽에서 정의하는지에 따라 달라진다.

3. 2. 순환 치환과 호환

순환 치환( cycle|사이클^eng)은 특정 원소들을 순환적으로 재배열하는 치환이다. 어떤 원소 ''k''와 전단사 함수 ''f''에 대해, ''k'', ''f''(''k''), ''f''²(''k''), ..., ''f''^m-1(''k'') 까지만 이동시키고 ''f''^m(''k'') = ''k''가 되며 나머지 원소들은 고정시키는 치환 σ를 순환 치환이라고 한다. 이는 σ = (''k'' ''f''(''k'') ... ''f''^m-1(''k''))와 같이 표기한다. 이때 순환에 포함된 원소의 개수 ''m''을 순환 치환 σ의 '''길이'''( length|렝스^eng)라고 부른다. 관례적으로 길이가 1인 순환(자기 자신으로 가는 원소)은 표기에서 생략하는 경우가 많으므로, 보통 길이는 2 이상인 경우를 다룬다.

예를 들어, 치환 ''h'' = (1 4 3)은 ''h''(1) = 4, ''h''(4) = 3, ''h''(3) = 1이고 2와 5는 변하지 않으므로 길이가 3인 순환 치환이다. 시작하는 원소에 따라 (4 3 1) 또는 (3 1 4)로도 쓸 수 있다.

두 순환 치환이 공통된 원소를 포함하지 않을 때 서로소(disjoint)라고 한다. 서로소인 순환 치환은 교환 가능(가환)하다. 예를 들어 S₆에서 (4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3)이 성립한다. S_n의 모든 원소는 서로소인 순환 치환의 곱으로 유일하게 쓸 수 있다(곱하는 순서와 각 순환의 시작 원점 표기는 다를 수 있다).

길이가 2인 순환 치환, 즉 두 개의 원소만 서로 바꾸고 나머지 원소는 고정시키는 치환을 특별히 '''호환'''( transposition|트랜스포지션^eng)이라고 부른다. 예를 들어 (1 3)은 1과 3의 위치를 바꾸는 호환이다. 모든 치환은 호환들의 곱으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 순환 치환 (1 4 3)은 호환의 곱으로 (1 3)(1 4) 또는 (4 3)(4 1) 등 여러 가지로 표현될 수 있다. 또 다른 예로 ''g'' = (1 2)(2 5)(3 4) 와 같이 표현될 수 있다.

하나의 치환을 호환의 곱으로 나타내는 방법은 유일하지 않지만, 곱으로 표현하는 데 필요한 호환의 개수가 항상 짝수인지 아니면 항상 홀수인지는 일정하다. 이를 치환의 짝수성 또는 홀수성(parity)이라고 한다.

'''짝순환'''( even permutation|이븐 퍼뮤테이션^eng): 짝수 개의 호환의 곱으로 표현되는 치환.
'''홀순환'''( odd permutation|오드 퍼뮤테이션^eng): 홀수 개의 호환의 곱으로 표현되는 치환.

위의 예시에서 ''g'' = (1 2)(2 5)(3 4)는 3개의 호환의 곱이므로 홀순환이다. 반면 ''f'' = (1 3)(1 4)는 2개의 호환의 곱이므로 짝순환이다. 치환의 짝수성/홀수성에 따라 '''부호'''(sign)를 정의할 수 있다.

: sgn(σ) = +1 (σ가 짝순환일 경우)

: sgn(σ) = -1 (σ가 홀순환일 경우)

이 부호 함수 sgn: S_n → {+1, -1}는 군 준동형사상이다. 이 준동형사상의 커널, 즉 모든 짝순환의 집합은 ''n''차 '''교대군''' A_n을 이룬다. 교대군 A_n은 S_n의 정규 부분군이며, ''n'' ≥ 2일 때 ''n''!/2개의 원소를 가진다. ''n''이 5 이상일 때 ''n''차 교대군은 단순군이 되는데, 이는 5차 이상의 방정식에 대수적인 해의 공식이 존재하지 않는다는 갈루아 이론의 핵심적인 부분과 연결된다.

호환 중에서 특히 (''i'' ''i''+1) 형태의, 즉 인접한 두 원소를 바꾸는 호환을 '''기본 호환'''( fundamental transposition|펀더멘털 트랜스포지션^eng) 또는 '''인접 호환'''( adjacent transposition|어드제이선트 트랜스포지션^eng)이라고 부른다. 모든 치환은 이러한 인접 호환들만의 곱으로도 표현될 수 있다. 즉, 대칭군 S_n은 인접 호환 σ_i = (''i'' ''i''+1)들로 생성된다. 버블 정렬과 같은 정렬 알고리즘은 이 원리를 응용한 것이다. 인접 호환 σ_i들은 다음과 같은 관계식을 만족한다.

: σ_i² = 1 (대합 관계식: 각 인접 호환은 자신을 두 번 적용하면 항등원이 된다)

: σ_iσ_j = σ_jσ_i (만약 |''j'' - ''i''| ≠ 1 이면, 즉 서로소인 인접 호환은 교환 가능하다)

: σ_iσ_i+1σ_i = σ_i+1σ_iσ_i+1 (묶음 관계식 또는 브레이드 관계식)

이러한 생성원과 관계식으로 인해 대칭군 S_n은 콕서터 군의 한 예(A_n-1형)로 분류된다.

3. 3. 짝순열과 홀순열, 교대군

호환(transposition)은 두 개의 원소를 교환하고 다른 모든 원소를 고정시키는 순열이다. 예를 들어 (1 3)은 호환이다. 모든 순열은 호환의 곱으로 표현될 수 있다. 예를 들어, 순열 ''g'' = (1 2 5)(3 4)는 ''g'' = (1 2)(2 5)(3 4)와 같이 호환의 곱으로 나타낼 수 있다.

순열을 호환의 곱으로 표현하는 방법은 유일하지 않지만, 주어진 순열을 표현하는 데 필요한 호환의 수는 항상 짝수이거나 항상 홀수이다. 이처럼 필요한 호환의 개수가 짝수인 순열을 '''짝순열'''(even permutation)이라 하고, 홀수인 순열을 '''홀순열'''(odd permutation)이라고 한다. 예를 들어 위에서 ''g'' = (1 2)(2 5)(3 4)는 3개의 호환의 곱이므로 홀순열이다.

두 짝순열의 곱은 짝순열이고, 두 홀순열의 곱도 짝순열이며, 짝순열과 홀순열의 곱은 홀순열이다. 이를 바탕으로 순열의 '''부호'''(sign)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\operatorname{sgn}f = \begin{cases} +1, & \text{if }f\mbox { is even} \\ -1, & \text{if }f \text{ is odd}. \end{cases}

이 정의에 따르면, 부호 함수

\operatorname{sgn}\colon S_n \rightarrow \{+1, -1\}

는 군 준동형사상이다. 여기서

\{+1, -1\}

은 곱셈에 대한 군이며, +1이 항등원이다.

이 준동형사상의 커널, 즉 모든 짝순열의 집합을 '''교대군'''(alternating group)

A_n

이라고 부른다. 교대군

A_n

은 대칭군

S_n

의 정규 부분군이며,

n \ge 2

일 때

n!/2

개의 원소를 갖는다. 군

S_n

은

A_n

과 단일 호환에 의해 생성된 임의의 부분군의 반직접곱이다. 즉,

S_n = A_n \rtimes C_2

(여기서

C_2

는 위수가 2인 순환군)로 나타낼 수 있다.

또한, 모든 순열은 형태가

(i \ i+1)

인 '''인접 호환'''(adjacent transposition)의 곱으로도 표현될 수 있다. 예를 들어, 위에서 언급한 순열 ''g''는 ''g'' = (4 5)(3 4)(4 5)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5)와 같이 인접 호환만으로 표현할 수도 있다. 버블 정렬 알고리즘은 이 사실을 응용한 것이다. 순열을 인접 호환의 곱으로 표현하는 것 역시 유일하지 않다.

n \ge 5

일 때, 교대군

A_n

은 단순군이다. 이는 5차 이상의 방정식에 대수적인 해의 공식이 존재하지 않는다는 사실과 관련이 있다(갈루아 이론).

3. 4. 생성원과 관계

n개의 문자에 대한 대칭군 S_n은 i와 i + 1을 교환하는 인접 호환

\sigma_i = (i, i+1)

들에 의해 생성될 수 있다.^[6] 인접 호환은 나열된 원소들 중 바로 옆에 있는 두 원소의 자리를 바꾸는 연산을 의미한다. 예를 들어 {1, 2, 3, 4}에서

\sigma_1

은 (1, 2)를 바꾸는 호환,

\sigma_2

는 (2, 3)을 바꾸는 호환이다.

이 인접 호환들의 모음

\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}

은 대칭군 S_n을 생성하며, 다음과 같은 관계식들을 만족한다:^[7]

$\sigma_i^2 = 1$ : 같은 인접 호환을 두 번 적용하면 원래 상태로 돌아온다 (이는 대합 관계이다). 여기서 1은 항등 순열을 나타낸다.
$\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i$ (만약 $|i-j| > 1$ 이면): 서로 영향을 주지 않는 위치의 인접 호환은 순서에 상관없이 적용할 수 있다. 예를 들어 $\sigma_1$ (1, 2 교환)과 $\sigma_3$ (3, 4 교환)은 서로 독립적이므로 $\sigma_1\sigma_3$ 과 $\sigma_3\sigma_1$ 은 같은 결과를 낳는다.
$(\sigma_i\sigma_{i+1})^3 = 1$ : 인접한 위치에 작용하는 두 인접 호환의 조합은 특정 관계를 만족한다. 예를 들어 $(\sigma_1\sigma_2)^3 = ((1 2)(2 3))^3 = (1 2 3)^3 = 1$ 이다.

이러한 생성원(인접 호환)과 관계식들은 대칭군 S_n에 콕서터 군 (특히 A_n-1 형) 및 반사군의 구조를 부여한다.^[7] 인접 호환

\sigma_i = (i, i+1)

은 '''기본 호환'''이라고도 불린다.

대칭군을 생성하는 다른 방법들도 존재한다. 예를 들어,

원소 1과 다른 원소 i (단, $2 \le i \le n$ )를 교환하는 호환들의 집합.^[8] (호환은 길이가 2인 순환 치환, 즉 두 원소의 자리를 바꾸는 연산이다.)
그래프 상에서 연결된 관계를 형성하는 호환들의 집합.^[9]
길이가 n인 순환 치환 하나와, 그 순환 치환에서 인접한 두 원소를 바꾸는 호환 하나를 포함하는 집합.^[10]^[11]

모든 치환은 호환들의 곱으로 나타낼 수 있으며, 특히 인접 호환들의 곱으로도 표현 가능하다.

S_n의 인접 호환

\sigma_i

들은 앞서 언급된

\sigma_i^2 = 1

과

\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i

(

|j - i| \neq 1

) 관계 외에도 다음과 같은 '''묶음 관계식'''(braid relation)을 만족한다.

$\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}$

이 관계식들은 묶음군 B_n의 정의 관계식이기도 하다. 묶음군 B_n의 생성원

\sigma_i

에 추가로

\sigma_i^2 = 1

이라는 관계식을 부여하면 대칭군 S_n을 얻게 된다. 이는 S_n이 A_n-1-형 콕서터 군임을 다시 한번 보여준다.

3. 5. 켤레류

대칭군 S_n의 켤레류는 순열의 사이클 유형에 의해 결정된다. 즉, S_n의 두 원소가 같은 켤레류에 속한다는 것은 두 순열을 서로소 순환 치환의 곱으로 나타냈을 때, 같은 길이를 가지는 순환 치환의 개수가 서로 같다는 것을 의미한다.

예를 들어, S₅에서 두 순열 (1 2 3)(4 5)와 (1 4 3)(2 5)는 각각 길이 3인 순환 치환 하나와 길이 2인 순환 치환 하나로 구성되므로 서로 켤레 관계이다. 반면, (1 2 3)(4 5)와 (1 2)(4 5)는 각각 (길이 3, 길이 2)와 (길이 2, 길이 2)의 사이클 유형을 가지므로 서로 켤레 관계가 아니다.

두 순열

\sigma

와

\upsilon

가 켤레 관계라면,

\upsilon = \tau\sigma\tau^{-1}

를 만족하는 어떤 순열

\tau \in S_n

가 존재한다. 위의 예시에서

\sigma = (1 2 3)(4 5)

이고

\upsilon = (1 4 3)(2 5)

일 때,

\tau = (2 4)

로 두면 다음이 성립한다.

(2~4)\circ(1~2~3)(4~5)\circ(2~4)^{-1}=(2~4)\circ(1~2~3)(4~5)\circ(2~4)=(1~4~3)(2~5).

이러한 순열

\tau

는 유일하지 않다.

S_n의 켤레류는 ''n''의 정수 분할과 자연스럽게 일대일 대응된다. ''n''의 분할

\mu = (\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_k)

(여기서

\sum_{i=1}^k \mu_i = n

이고

\mu_1 \ge \mu_2 \ge \dots \ge \mu_k \ge 1

)은 사이클 길이가 각각

\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_k

인 순열들로 구성된 집합, 즉 하나의 켤레류에 대응된다. 이 켤레류에 속하는 원소들은 사이클 유형(cycle type)

\mu

를 가진다고 한다.

어떤 순열의 순환 치환형(cycle type) 또는 단순히 형(type)은 각 자연수 ''k''에 대해 길이 ''k''인 순환 치환의 개수

m_k

를 나타내는 방식으로 표현된다. 이때

\sum_{k=1}^n k m_k = n

을 만족해야 하며, 보통

1^{m_1}2^{m_2}\dots n^{m_n}

형태로 표기한다. S_n의 켤레류는 이 순환 치환형에 의해 완전히 결정된다.

순환 치환형이

1^{m_1}2^{m_2}\dots n^{m_n}

인 켤레류의 크기(해당 켤레류에 속하는 원소의 개수)는 다음 공식으로 계산할 수 있다.

\frac{n!}{1^{m_1}2^{m_2} \dotsm n^{m_n} m_1!m_2! \dotsm m_n!}

또한, ''n''의 분할은 위수 ''n''의 영 도표와 일대일 대응 관계를 가지므로, S_n의 켤레류는 위수 ''n''의 영 도표를 통해서도 기술될 수 있다.

4. 부분군

대칭군의 부분군은 치환군이라고 불린다.

4. 1. 정규 부분군

유한 대칭군 S_n의 정규 부분군은 잘 알려져 있다.

n ≤ 2일 때: S_n은 원소 개수가 최대 2개이므로, 자명하지 않은 고유 정규 부분군을 갖지 않는다.
n ≥ 3일 때: n차 교대군 A_n은 항상 S_n의 정규 부분군이다. 이 부분군은 n ≥ 2일 때 고유 부분군이며, n ≥ 3일 때 자명하지 않은 부분군이다.
n ≥ 3, n ≠ 4일 때: A_n은 S_n의 유일한 자명하지 않은 고유 정규 부분군이다.
n = 4일 때: A₄ 외에도 클라인 네 그룹과 동형인 정규 부분군 V₄ = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}가 추가로 존재한다.

n ≥ 5일 때, 교대군 A_n은 단순군이다. 이 경우 S_n과 A_n의 관계는 다음과 같은 짧은 완전열로 표현될 수 있다.

: 1 → A_n → S_n → C₂ → 1

여기서 C₂는 위수가 2인 순환군이며, 이 열은 두 원소의 호환(transposition)에 의해 분열된다. 따라서 S_n은 반직접곱 A_n ⋊ C₂으로 이해할 수 있다. 만약 S_n에 A_n 외의 다른 고유 정규 부분군 H가 존재한다면, H와 A_n의 교집합은 A_n의 정규 부분군이어야 한다. A_n이 단순군이므로 이 교집합은 자명군 {e} 또는 A_n 전체여야 한다. 교집합이 {e}이면 H는 크기가 1 또는 2인 부분군이어야 하는데, 크기 2인 부분군은 정규 부분군이 될 수 없다 (n ≥ 3). 교집합이 A_n이면 H는 A_n을 포함해야 하므로 H = A_n 또는 H = S_n이어야 한다. 따라서 n ≥ 5일 때 A_n 외의 다른 자명하지 않은 고유 정규 부분군은 존재하지 않는다.

S_n은 켤레 작용(conjugation)을 통해 부분군 A_n에 작용한다. n ≠ 6일 때, S_n은 A_n의 전체 자기 동형군과 동형이다: Aut(A_n) ≅ S_n. 짝수 순열에 의한 켤레 작용은 A_n의 내부 자기 동형에 해당하고, 홀수 순열에 의한 켤레 작용은 위수 2인 A_n의 외부 자기 동형에 해당한다. 그러나 n = 6일 때는 A₆에 특이 외부 자기 동형이 존재하기 때문에 S₆은 A₆의 전체 자기 동형군이 아니다.

또한, n ≠ 6일 때 S_n은 외부 자기 동형군을 가지지 않으며, n ≠ 2일 때 중심(center)이 자명군이다. 따라서 n ≠ 2, 6일 때 S_n은 완전군이다. n ≥ 5일 때 S_n은 단순군 A_n과 그 자기 동형군 사이에 위치하므로 준단순군(almost simple group)으로 분류된다.

무한 집합 X에 대한 대칭군 Sym(X)의 정규 부분군 구조는 유한한 경우와 다르다.

비탈리는 1915년에^[12] 모든 순열이 세 개의 제곱 순열의 곱으로 표현될 수 있음을 보여, 무한 대칭군에는 지수 2인 정규 부분군(즉, 교대군과 같은 역할을 하는 부분군)이 존재하지 않음을 증명했다.

그러나 무한 대칭군에는 다른 종류의 정규 부분군이 존재한다. 유한 개의 원소만을 움직이는 순열들의 집합 S는 Sym(X)의 정규 부분군을 이룬다. 이 S 안에서 짝수 순열들만 모은 집합 A는 S의 특성 부분군이며, 따라서 Sym(X) 전체의 정규 부분군이 된다. 이 부분군 A를 무한 교대군이라고 부르기도 한다.

만약 X가 가산 무한 집합이라면, A와 S는 Sym(X)의 유일한 자명하지 않은 고유 정규 부분군이다. 이는 오노프리(1929^[13])와 슈라이어–울람(1934^[14])에 의해 독립적으로 증명되었다. (Scott, 1987, Ch. 11.3 참조) 이 결과는 슈라이어-울람 정리로 알려져 있으며, 더 일반적으로 임의의 무한 집합 X에 대해 Sym(X)의 자명하지 않은 정규 부분군은 유한 지지(finite support)를 갖는 짝수 순열들의 군 A와, 주어진 무한 기수 κ (단,

\aleph_0 \leq \kappa \leq |X|

)에 대해 지지 크기가 κ보다 작은 순열들의 군 S_κ들 뿐이라는 사실로 확장되었다. (Dixon, Mortimer, 1996, Ch. 8.1 참조)

4. 2. 극대 부분군

S_n의 극대 부분군은 크게 세 가지 종류로 나눌 수 있다: 비추이적(intransitive), 비원시적(imprimitive), 원시적(primitive) 부분군이다.

비추이적 극대 부분군: 1 ≤ ''k'' < ''n''/2인 ''k''에 대해 정확히 S_''k'' × S_{''n''–''k''} 형태를 가진다. 이 부분군은 집합 {1, ..., n}을 크기 k와 n-k인 두 부분집합으로 나누고, 각 부분집합 위에서만 원소를 치환하는 군으로 이해할 수 있다.

비원시적 극대 부분군: 2 ≤ ''k'' ≤ ''n''/2이고 ''k''가 ''n''의 진약수일 때, 정확히 S_''k'' ≀ S_''n''/''k'' 형태를 띤다. 여기서 ≀ 기호는 비원시적으로 작용하는 땋은 곱(wreath product)을 나타낸다. 이는 집합 {1, ..., n}을 크기 k인 n/k개의 블록으로 나누는 분할을 보존하는 치환들의 군으로 볼 수 있다.

원시적 극대 부분군: 앞의 두 경우와 달리 간단한 형태로 나타내기 어렵다. 하지만 오난-스콧 정리(O'Nan–Scott theorem)와 유한 단순군 분류 정리를 이용하면 이 유형의 극대 부분군을 분류하고 이해할 수 있다. Liebeck, Praeger, Saxl (1987)의 연구는 이러한 원시적 극대 부분군에 대한 상세한 설명을 제공한다^[16].

4. 3. 실로우 부분군

대칭군의 실로우 부분군은 ''p''-군의 중요한 예시를 제공한다. 특수한 경우를 먼저 살펴보면 다음과 같다.

차수 ''p''인 대칭군의 실로우 ''p''-부분군은 단순히 ''p''-사이클로 생성되는 순환 부분군이다. 이러한 부분군은 (''p'' − 2)! 개 존재한다. 따라서 정규화 부분군의 차수는 ''p''(''p'' − 1)이며, 이는 프로베니우스 군 ''F''_{''p''(''p''−1)} (특히 ''p'' = 5일 때) 또는 아핀 일반 선형군 AGL(1, ''p'')로 알려져 있다.

차수 ''p''²인 대칭군의 실로우 ''p''-부분군은 차수 ''p''인 두 순환군의 꽃묶음 곱 (wreath product)이다. 예를 들어, ''p'' = 3일 때, S₉의 실로우 3-부분군은 ''a'' = (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9)와 원소 ''x'' = (1 2 3), ''y'' = (4 5 6), ''z'' = (7 8 9)로 생성된다. 이 실로우 3-부분군의 모든 원소는 ''a''^''i''''x''^''j''''y''^''k''''z''^''l'' (0 ≤ ''i'', ''j'', ''k'', ''l'' ≤ 2) 형태를 가진다.

차수 ''p''^''n''인 대칭군의 실로우 ''p''-부분군은 종종 ''W''_''p''(''n'')으로 표기된다. 이 표기법에 따르면, ''W''_''p''(''n'' + 1)은 ''W''_''p''(''n'')과 ''W''_''p''(1)의 꽃묶음 곱이다.

일반적으로, 차수 ''n''인 대칭군의 실로우 ''p''-부분군은 ''W''_''p''(''i'')의 ''a_i''개 복사본의 직접곱이다. 여기서 0 ≤ ''a_i'' ≤ ''p'' − 1이고, ''n'' = ''a''₀ + ''p''⋅''a''₁ + ... + ''p''^''k''⋅''a''_''k''는 ''n''의 ''p''진법 전개이다.

예를 들어, ''W''₂(1) = ''C''₂ 이고 ''W''₂(2) = ''D''₈ (8차 이면체군)이다. 따라서 차수 7인 대칭군의 실로우 2-부분군은 { (1,3)(2,4), (1,2), (3,4), (5,6) }으로 생성되며, ''D''₈ × ''C''₂와 동형이다.

이러한 계산은 Kaloujnine (1948)에 의한 것으로 알려져 있으며, Rotman (1995, p. 176)에 자세히 설명되어 있다. 그러나 Kerber (1971, p. 26)는 이 결과를 코시의 1844년 연구로 돌리며, 이는 Netto (1882, §39–40)의 교과서에서도 다루어졌다고 언급한다.

4. 4. 영 부분군

전치 변환에 의해 생성되는 ''S_n''의 부분군은 '''영 부분군'''이라고 한다. 이들은 모두 ''S''_''a''₁ × ... × ''S''_{''a''_ℓ}의 형태를 가지며, 여기서 (''a''₁, ..., ''a''_ℓ)는 ''n''의 정수 분할이다. 이러한 군들은 ''S_n''이 반사군으로 간주될 때 ''S_n''의 포물선 부분군으로도 특징지을 수 있다.

5. 케일리의 정리

케일리의 정리에 따르면 모든 군 ''G''는 어떤 대칭군의 부분군과 동형이다. 특히, 모든 군은 자신에게 (왼쪽 또는 오른쪽) 곱셈으로 충실하게 작용하므로, ''G''의 원소들로 이루어진 집합에 대한 대칭군의 부분군을 취할 수 있다.

6. 대칭군의 표현론

대칭군의 표현론은 유한군의 표현론 중 구체적이고 상세한 이론이 전개되는 특별한 경우이다. 이 이론은 대칭 함수 이론부터 여러 동일 입자에 대한 양자역학 문제에 이르기까지 광범위하게 응용된다.

대칭군 S_''n''의 위수는 ''n''!이다. 대칭군의 켤레류는 ''n''의 정수 분할과 대응된다. 따라서 유한군의 표현론에 따라, 복소수 체 위에서 서로 동치이지 않은 기약 표현의 개수는 ''n''의 분할 수와 같다. 유한군의 일반적인 경우와 달리, 대칭군의 기약 표현은 켤레류를 매개변수화하는 것과 동일한 집합, 즉 ''n''의 분할 또는 이와 동등한 크기 ''n''인 영 도표를 사용하여 자연스럽게 매개변수화할 수 있다.

각 기약 표현은 정수 위에서 실현될 수 있다. 즉, 각 순열은 정수 계수를 갖는 행렬로 표현될 수 있다. 이는 영 도표로 주어진 모양의 영 표들로 생성된 공간에서 영 대칭자를 계산하여 명시적으로 구성할 수 있다.

기저 체를 복소수에서 다른 체로 바꾸면 상황은 더 복잡해진다. 만약 체 ''K''의 표수가 0이거나 ''n''보다 크다면, 마슈케 정리에 의해 군환 ''K''S_''n''은 반단순이다. 이 경우, 정수 위에서 정의된 기약 표현들을 (필요하다면 체의 표수에 대한 모듈로 연산을 통해) 환원하면 기약 표현의 완전한 집합을 얻을 수 있다.

그러나 대칭군의 기약 표현은 임의의 표수에 대해서는 완전히 알려져 있지 않다. 이러한 맥락에서는 표현보다는 가군의 언어를 사용하는 것이 더 일반적이다. 정수 위에서 정의된 기약 표현을 특정 표수로 환원하여 얻은 표현은 일반적으로 기약적이지 않다. 이렇게 구성된 가군을 스페히트 가군이라고 하며, 모든 기약 가군은 이러한 스페히트 가군 안에서 발견된다. 현재까지 알려진 기약 가군은 많지 않으며, 이들을 분류하는 것은 아직 완전히 해결되지 않은 문제이다. 예를 들어, 이들 기약 가군의 차원조차 일반적으로 알려져 있지 않다.

임의의 체 위에서 대칭군의 기약 가군을 결정하는 문제는 표현론 분야에서 중요한 미해결 문제 중 하나로 널리 인식되고 있다.

7. 응용

대칭군은 수학의 다양한 분야에서 나타난다.

갈루아 이론: ''n''차 대칭군 $S_n$ 은 유리수체 $\mathbb{Q}$ 위의 일반적인 ''n''차 다항식의 갈루아 군이다. 이는 갈루아 이론에서 중요한 역할을 하며, 대칭군의 가해성 여부는 해당 차수의 일반 다항식에 대한 대수적인 근의 공식 존재 여부와 직접적으로 연결된다. 예를 들어, 5차 이상 일반 다항식의 갈루아 군인 $S_n$ (''n'' ≥ 5)은 가해군이 아니므로, 5차 이상 방정식에 대한 일반적인 근의 공식은 존재하지 않는다.

리 군 이론 및 콕서터 군: ''n''차 대칭군은 일반선형군 $\operatorname{GL}(n,\mathbb C)$ 및 특수선형군 $\operatorname{SL}(n+1,\mathbb C)=A_n$ 의 바일 군이다. 또한, 대칭군은 A_''n''형 콕서터 군과 같다. 리 군의 표현론에서 대칭군의 표현론은 슈어 함자(`Schur functor^영어`) 또는 슈어 펀터의 아이디어를 통해 기본적인 역할을 하며, 특수선형군의 기약표현과 대칭군의 기약표현 사이에 대응 관계를 제공한다.

불변론: 대칭군은 다변수 함수의 변수에 작용하며, 이 작용에 대해 불변인 함수, 즉 변수의 순서를 바꾸어도 값이 변하지 않는 함수를 대칭 함수 또는 대칭식이라고 한다. 예를 들어, 체

k

위의 다변수 다항식환

k[X]

에 대칭군

S_

가 작용할 때, 불변인 원소들의 집합

k[X]^{S_

} := \{f(X)\in k[X]\mid f^{\sigma}=f \text{ for all }\sigma\in S_

\}이 바로 대칭식의 환이다.

조합론: 조합론에서 대칭군, 그 원소인 순열, 그리고 그들의 군 표현은 영 도표, 플랙틱 모노이드, 브루하 순서 등 다양한 조합론적 대상과 관련된 풍부한 연구 주제를 제공한다.

순열군: 대칭군의 부분군을 순열군이라고 부른다. 순열군은 군 작용, 균질 공간, 그래프의 자기 동형 사상 군 등을 이해하는 데 중요하게 사용되며, 히그만-심스 군과 히그만-심스 그래프와 같은 특정 구조 연구에도 활용된다.

8. 치환 행렬

''n''차 대칭군의 원소인 치환을 벡터 공간의 기저를 변환시키는 작용으로 생각하여 행렬로 나타낼 수 있다.

구체적으로, ''n''차원 벡터 공간 ''V''와 그 기저 {''e''₁, ''e''₂, …, ''e''_''n''}를 하나 선택한다. 치환 σ가 ''V''에 작용하는 것을 각 기저 벡터 ''e''_''i''를 ''e''_σ(''i'')로 보내는 선형 변환으로 정의할 수 있다 (1 ≤ ''i'' ≤ ''n''). 즉, σ(''e''_''i'') = ''e''_σ(''i'')이다.

이때 치환 σ를 나타내는 행렬을 ''P''_σ라고 하면, 기저 벡터들의 행벡터에 ''P''_σ를 오른쪽에 곱한 결과는 변환된 기저 벡터들의 행벡터와 같다:

(''e''_σ(1), ''e''_σ(2), …, ''e''_σ(''n'')) = (''e''₁, ''e''₂, …, ''e''_''n'')''P''_σ.

이 행렬 ''P''_σ의 (''i'', ''j'') 성분은 크로네커 델타 δ를 사용하여 δ_{''i'',σ(''j'')}로 표현된다. 즉, ''P''_σ = (δ_{''i'',σ(''j'')})이다. 이 행렬 ''P''_σ를 치환 σ에 대응하는 '''치환 행렬'''이라고 부른다.

짝치환에 대응하는 치환 행렬이 나타내는 선형 변환은 벡터 공간의 방향(orientation)을 보존하는 반면, 홀치환에 대응하는 치환 행렬이 나타내는 선형 변환은 공간의 방향을 반전시킨다.

9. 무한 대칭군

6 이외의 농도를 갖는 임의의 집합 ''X''에 대해, ''X'' 위의 대칭군의 모든 자기동형은 내부 자기동형이다. 이 결과는 슈라이어(Schreier)와 울람(Ulam)이 1937년에 처음 증명하였다.

10. 낮은 차수의 대칭군

낮은 차수의 대칭군은 더 간단하고 예외적인 구조를 가지며, 종종 별도로 취급해야 한다.

대칭군	다른 이름
Sym(0)	1 (자명군)
Sym(1)	1 (자명군)
Sym(2)	$\mathbb Z/2$ (2차 순환군)
Sym(3)	Dih(6) (정이면체군), $\operatorname{PGL}(2;\mathbb F_2)$ (2차 유한체에 대한 2×2 사영 선형군)
Sym(4)	$\operatorname{PGL}(2;\mathbb F_3)$ (3차 유한체에 대한 2×2 사영 선형군)

;S₀과 S₁

공집합과 단일 집합에 대한 대칭군은 자명군이며, 이는 $0! = 1! = 1$ 에 해당한다. 이 경우 교대군은 지수 2의 부분군이 아니라 대칭군과 일치하며, 부호 함수는 자명하다. S₀의 경우, 유일한 구성원은 공 함수이다.

;S₂

이 군은 항등원과 두 점을 교환하는 순열, 즉 정확히 두 개의 원소로 구성된다. 이는 순환군이며 따라서 가환군이다. 갈루아 이론에서, 이는 이차 방정식이 단일 근만을 추출한 후 일반적인 이차 다항식에 대한 직접적인 해를 제공한다는 사실에 해당한다. 불변 이론에서, 두 점에 대한 대칭군의 표현 이론은 매우 간단하며, 두 변수의 함수를 대칭 부분과 반대칭 부분의 합으로 표현하는 것으로 간주된다. $f_s(x, y) = f(x, y) + f(y, x)$ 로 설정하고, $f_a(x, y) = f(x, y) - f(y, x)$ 로 설정하면, $2 \cdot f = f_s + f_a$ 를 얻는다. 이 과정은 대칭화라고 알려져 있다.

;S₃

S₃는 첫 번째 비가환 대칭군이다. 이 군은 정삼각형의 반사 및 회전 대칭군인 6차 이면군과 동형이며, 이러한 대칭은 삼각형의 세 꼭짓점을 순열하기 때문이다. 길이 2의 순환은 반사에 해당하고, 길이 3의 순환은 회전에 해당한다. 갈루아 이론에서 S₃에서 S₂로의 부호 함수는 제롤라모 카르다노에 의해 발견된 삼차 다항식에 대한 이차 해를 나타내며, A₃ 커널은 라그랑주 분해 가능자의 형태로 해에서 3차 이산 푸리에 변환의 사용에 해당한다.

;S₄

S₄ 군은 정육면체의 반대 면, 반대 대각선 및 반대 모서리에 대한 회전 대칭군, 즉 각각 9, 8, 6개의 순열과 동형이다.^[5] 교대군 A₄를 넘어, S₄는 몫이 S₃인 $\{(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)\}$ 인 적절한 정규 부분군으로서 클라인 4원군 V를 갖는다. 갈루아 이론에서, 이 맵은 루도비코 페라리에 의해 확립된 바와 같이, 사차식을 근을 사용하여 풀 수 있게 해주는 사차 다항식에 대한 삼차 해에 해당한다. 클라인 군은 사차식의 라그랑주 분해 가능자로 이해할 수 있다. S₄에서 S₃으로의 맵은 또한 차원이 $n - 1$ 미만인 대칭군의 2차원 기약 표현을 생성하며, 이는 $n = 4$ 에 대해서만 발생한다.

;S₅

S₅는 첫 번째 비가해 대칭군이다. 특수 선형군 $SL(2, 5)$ 및 이십면체 군 $A_5 \times S_2$ 와 함께, S₅는 동형까지 120차의 세 개의 비가해 군 중 하나이다. S₅는 일반적인 오차 방정식의 갈루아 군이며, S₅가 가해군이 아니라는 사실은 오차 다항식을 근으로 푸는 일반적인 공식이 존재하지 않는다는 아벨-루피니 정리의 내용으로 해석된다. 과도적 부분군으로서 $S_5 \to S_6$ 에 대한 이국적인 포함 맵이 있다; 분명한 포함 맵 $S_n \to S_{n+1}$ 은 점을 고정하므로 과도적이지 않다. 이것은 아래에서 논의될 S₆의 외부 자기 동형 사상을 생성하며, 오차식의 분해 6차에 해당한다.

;S₆

다른 모든 대칭군과 달리, S₆는 외부 자기 동형 사상을 갖는다. 갈루아 이론의 언어를 사용하면, 이는 라그랑주 분해 가능자로도 이해할 수 있다. 오차식의 분해 가능자는 6차이다. 이는 과도적 부분군으로서 $S_5 \to S_6$ 에 대한 이국적인 포함 맵에 해당하며(명백한 포함 맵 $S_n \to S_{n+1}$ 은 점을 고정하므로 과도적이지 않다) 이 맵은 일반적인 오차식을 풀 수 있게 하지는 않지만, S₆의 이국적인 외부 자기 동형 사상을 생성한다. 자세한 내용은 대칭군과 교대군의 자기 동형 사상 문서를 참조하라.

A₆와 A₇은 예외적인 슈어 곱 (3중 덮개)을 가지고 있으며, 이것이 S₆와 S₇의 3중 덮개로 확장되지만, 이것은 대칭군의 예외적인 슈어 곱에 해당하지 않는다.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 웹사이트 Symmetric Group is not Abelian/Proof 1 https://proofwiki.or[...]
_[4] 서적 Modern Algebra Krishna Prakashan Media 2008
_[5] 학위논문 Die Untergruppenverbände der Gruppen der Ordnungen ̤100 mit Ausnahme der Ordnungen 64 und 96 Universität Kiel 1967
_[6] 서적 The Symmetric Group Springer
_[7] 서적 Combinatorics of Coxeter groups Springer
_[8] 간행물 Minimal factorizations of permutations into star transpositions
_[9] 간행물 Hurwitz Numbers for Reflection Groups I: Generatingfunctionology
_[10] 서적 Algebra Pearson
_[11] 간행물 Short presentations for alternating and symmetric groups Transactions of the AMS
_[12] 간행물 Sostituzioni sopra una infinità numerabile di elementi 1915
_[13] 간행물 Teoria delle sostituzioni che operano su una infinità numerabile di elementi 1929
_[14] 간행물 Über die Permutationsgruppe der natürlichen Zahlenfolge http://matwbn.icm.ed[...] 1933
_[15] 서적 岩波数学事典岩波書店
_[16] 서적

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