기본 대칭 다항식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 대칭 다항식
- 2.2. 정수 분할을 이용한 정의
3. 성질
- 3.1. 대칭 다항식의 기본 정리
- 3.2. 비에타 정리와의 관계
4. 예제
5. 증명
참조

1. 개요

기본 대칭 다항식은 n개의 변수 x₁, ..., xₙ에 대한 대칭 다항식으로, k차 기본 대칭 다항식 eₖ(x₁, ..., xₙ)은 다음과 같이 정의된다. eₖ(x₁, ..., xₙ) = Σxᵢ₁...xᵢₖ, 여기서 1 ≤ i₁ < i₂ < ... < iₖ ≤ n이다. 특히, k > n이면 eₖ(x₁, ..., xₙ) = 0이고, e₀(x₁, ..., xₙ) = 1이다. 정수 분할 λ = (λ₁, ..., λₘ)이 주어지면, e_λ(X₁, ..., Xₙ) = e_λ₁(X₁, ..., Xₙ) * e_λ₂(X₁, ..., Xₙ) * ... * e_λₘ(X₁, ..., Xₙ)으로 정의되는 대칭 다항식도 기본 대칭 다항식이다. 기본 대칭 다항식은 대칭 다항식의 기본 정리에 따라 모든 대칭 다항식을 생성하며, 비에타 정리와 관련이 있다.

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기본 대칭 다항식
기본 정보
유형	대칭 다항식
변수 개수	변수의 개수에 따라 다름
정의
정의	'변수 x₁, ..., xₙ에 대해, k번째 기본 대칭 다항식은 x₁, ..., xₙ의 k개의 구별되는 변수의 모든 곱의 합으로 정의됨'
예시	'예를 들어, 변수 x₁, x₂, x₃의 경우:'
k=0	e₀(x₁, x₂, x₃) = 1
k=1	e₁(x₁, x₂, x₃) = x₁ + x₂ + x₃
k=2	e₂(x₁, x₂, x₃) = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃
k=3	e₃(x₁, x₂, x₃) = x₁x₂x₃
표기법
표기법	eₖ(x₁, ..., xₙ) 또는 σₖ(x₁, ..., xₙ)
속성
속성	기본 대칭 다항식은 대칭 다항식의 기본적인 구성 요소임
예제
예제	'3개의 변수 x, y, z에 대해:'
e₀	e₀ = 1
e₁	e₁ = x + y + z
e₂	e₂ = xy + xz + yz
e₃	e₃ = xyz

2. 정의

$n$ 개의 변수 $x_1, x_2, ..., x_n$ 에 대해, $k$ 차 기본 대칭 다항식은 $k$ 개의 변수를 선택하여 만들 수 있는 모든 서로 다른 곱의 합이다. 즉, $k\in\mathbb N$ 에 대하여 $n$ 개의 변수에 대한 $k$ 차 기본 대칭 다항식은 대칭 다항식이며, $k>n$ 이면 $e_k(x_1,\dotsc,x_n) = 0$ 이다. 0이 아닌 기본 대칭 다항식은 $e_0,\dotsc,e_n$ 이며, 항상 $e_0(x_1,\dotsc,x_n) = 1$ 이다. $e_k$ 대신 $\sigma_k$ 표기를 사용하기도 한다.

2. 1. 기본 대칭 다항식

n

개의 변수

x_1, \dotsc, x_n

에 대한

k

차 기본 대칭 다항식

e_k(x_1,\dotsc,x_n)

은 다음과 같이 정의되는 대칭 다항식이다.

:

e_k(x_1,\dotsc,x_n) = \sum_{1\le i_1

특히,

k>n

이면

e_k(x_1,\dotsc,x_n) = 0

이다. 0이 아닌 기본 대칭 다항식은

e_0,\dotsc,e_n

이며,

e_0(x_1,\dotsc,x_n) = 1

이다.

예를 들어,

n

개의 변수

X_1, \dots, X_n

에 대한 기본 대칭 다항식은 다음과 같다.

:

\begin{align}e_1 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= \sum_{1 \leq j \leq n} X_j,\\e_2 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= \sum_{1 \leq j < k \leq n} X_j X_k,\\e_3 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= \sum_{1 \leq j < k < l \leq n} X_j X_k X_l,\\\end{align}

마지막으로,

:

e_n (X_1, X_2, \dots,X_n) = X_1 X_2 \cdots X_n.

과 같이 나타낼 수 있다.

일반적으로,

k \ge 0

일 때, 다음과 같이 정의한다.

:

e_k (X_1 , \ldots , X_n )=\sum_{1\le  j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n} X_{j_1} \dotsm X_{j_k},

k>n

인 경우에는

e_k(X_1, \dots, X_n) = 0

이다.

정수 분할

\lambda = (\lambda_1, \dots, \lambda_m)

이 주어지면, 대칭 다항식

e_\lambda(X_1, \dots, X_n)

은 다음과 같이 정의된다.

:

e_\lambda (X_1, \dots,X_n) = e_{\lambda_1}(X_1, \dots, X_n) \cdot e_{\lambda_2}(X_1, \dots, X_n) \cdots e_{\lambda_m}(X_1, \dots, X_n)

.

e_k

대신

\sigma_k

표기를 사용하기도 한다.

2. 2. 정수 분할을 이용한 정의

정수 분할(양의 정수의 유한 비증가 수열)

\lambda = (\lambda_1, \dots, \lambda_m)

이 주어지면, 대칭 다항식

e_\lambda (X_1, \dots,X_n)

은 다음과 같이 정의되며, 이 또한 기본 대칭 다항식이라고 불린다.

:

e_\lambda (X_1, \dots,X_n) = e_{\lambda_1}(X_1, \dots, X_n) \cdot e_{\lambda_2}(X_1, \dots, X_n) \cdots e_{\lambda_m}(X_1, \dots, X_n)

.

3. 성질

임의의 가환환 $K$ 에 대해, $n$ 개의 변수에 대한 대칭 다항식의 가환환

: $K[x_1,\dotsc,x_n]^{\operatorname{Sym}(n)}=\{p\in K[x_1,\dotsc,x_n] \colon\forall\sigma\in\operatorname{Sym}(n)\colonp(x_1,\dotsc,x_n)=p(x_{\sigma(1)},\dotsc,x_{\sigma(n)})\}$

을 정의할 수 있다.

이때, 기본 대칭 다항식을 통한 환 준동형

: $K[y_1,\dotsc,y_n] \to K[x_1,\dotsc,x_n]^{\operatorname{Sym}(n)}$

: $y_i \mapsto e_i(x_1,\dotsc,x_n)$

은 항상 가환환의 동형 사상이다. 즉, 임의의 대칭 다항식

: $p \in K[x_1,\dotsc,x_n]^{\operatorname{Sym}(n)}$

에 대하여,

: $p(x_1,\dotsc,x_n) = q(e_1(x_1,\dotsc,x_n),\dotsc,e_n(x_1,\dotsc,x_n))$

을 만족하는 다항식 $q \in K[y_1,\dotsc,y_n]$ 이 유일하게 존재한다.

$n$ 변수의 기본 대칭 다항식 집합은 $n$ 변수의 대칭 다항식의 환을 생성하며, 정수 계수를 갖는 대칭 다항식의 환은 정수 다항식 환과 같다. 이는 불변량 이론의 기초이다.

이 정리는 변수의 수에 대한 이중 귀납법과 고정된 변수에 대해 차수에 대한 이중 귀납법을 통해 증명될 수 있다.

3. 1. 대칭 다항식의 기본 정리

임의의 가환환

A

에 대해, 변수

X_1, ..., X_n

에 대한 대칭 다항식의 환

A[X_1, ..., X_n]^{S_n}

은

k = 1, ..., n

에 대한

n

개의 기본 대칭 다항식

e_k(X_1, ..., X_n)

에 대한 다항식 환이다.

이는 모든 대칭 다항식

P(X_1, ..., X_n) \in A[X_1, ..., X_n]^{S_n}

가 다음과 같은 고유한 표현을 갖는다는 것을 의미한다.

:

P(X_1,\ldots, X_n)=Q\big(e_1(X_1 , \ldots ,X_n), \ldots, e_n(X_1 , \ldots ,X_n)\big)

여기서

Q

는

A[Y_1, ..., Y_n]

에 속하는 어떤 다항식이다.

다르게 표현하면,

k = 1, ..., n

에 대해

Y_k

를

e_k(X_1, ..., X_n)

로 보내는 환 준동형 사상은

A[Y_1, ..., Y_n]

과

A[X_1, ..., X_n]^{S_n}

사이의 동형 사상을 정의한다. 즉, 모든 대칭 다항식은 기본 대칭 다항식들의 다항식으로 유일하게 나타낼 수 있다.

3. 2. 비에타 정리와의 관계

기본 대칭 다항식은 모닉 다항식의 선형 인수를 전개할 때 나타난다. 다음 항등식을 갖는다.

:

\prod_{j=1}^n ( \lambda - X_j)=\lambda^n - e_1(X_1,\ldots,X_n)\lambda^{n-1} + e_2(X_1,\ldots,X_n)\lambda^{n-2} + \cdots +(-1)^n e_n(X_1,\ldots,X_n).

즉, 변수

X_1, X_2, \dots, X_n

에 수치 값을 대입하면,

X_1, X_2, \dots, X_n

에 대입된 값을 근으로 하고, 계수는 부호를 제외하고 기본 대칭 다항식인 모닉 일변수 다항식 (변수

\lambda

)을 얻는다. 다항식의 근과 계수 사이의 이러한 관계를 비에타의 공식이라고 한다.

정사각 행렬의 특성 다항식은 비에타 공식의 응용의 한 예이다. 이 다항식의 근은 행렬의 고유값이다. 이러한 고유값을 기본 대칭 다항식에 대입하면, 부호를 제외하고 특성 다항식의 계수를 얻는데, 이는 행렬의 불변량이다. 특히, 대각합 (대각선 요소의 합)은

e_1

의 값이며, 따라서 고유값의 합이다. 마찬가지로, 행렬식은 부호를 제외하고 특성 다항식의 상수항, 즉

e_n

의 값이다. 따라서 정사각 행렬의 행렬식은 고유값의 곱이다.

4. 예제

$n$ 이 1, 2, 3, 4일 때의 기본 대칭 다항식은 다음과 같다.

$n=1$ 일 때,

:

e_1(x) = x

$n=2$ 일 때,

:

e_1(x,y) = x+y

:

e_2(x,y)=xy

$n=3$ 일 때,

:

e_1(x,y,z) = x+y+z

:

e_2(x,y,z) = xy+yz+xz

:

e_3(x,y,z) = xyz

$n=4$ 일 때,

:

e_1(x,y,z,w) = x+y+z+w

:

e_2(x,y,z,w) = xy+yz+zw+wx+xz+yw

:

e_3(x,y,z,w) = xyz+yzw+zwx + wxy

:

e_4(x,y,z,w) = xyzw

5. 증명

다음 증명은 귀납적이지만, 변수 ''X''₁, ..., ''X''_''n''에서 대칭적인 다항식만 포함하며, 대칭 다항식을 기본 대칭 다항식의 다항식으로 효과적으로 쓰는 직접적인 절차로 이어진다. 대칭 다항식이 차수의 동차라고 가정한다. 서로 다른 동차 성분은 개별적으로 분해될 수 있다. 변수 ''X''_''i''의 단항식을 개별 변수가 ''X''₁ > ... > ''X''_''n''로 정렬된 사전식 순서로 정렬한다. 즉, 다항식의 지배적인 항은 ''X''₁의 가장 높은 거듭제곱을 가진 항이고, 그중에서도 ''X''₂의 가장 높은 거듭제곱을 가진 항 등이다. 또한, 차수가 ''d''인 모든 기본 대칭 다항식의 곱(실제로 동차임)을 ''d''의 정수 분할로 다음과 같이 매개변수화한다. 곱에서 개별 기본 대칭 다항식 elementary symmetric polynomial|기본 대칭 다항식^영어 ''e''_''i''(''X''₁, ..., ''X''_''n'')를 정렬하여 더 큰 인덱스 ''i''를 가진 것부터 먼저 오도록 한 다음, 각 인자에 대해 ''i''개의 상자로 된 열을 만들고, 이러한 열을 왼쪽에서 오른쪽으로 배열하여 전체 ''d''개의 상자를 포함하는 영 다이어그램을 형성한다. 이 다이어그램의 모양은 ''d''의 분할이며, ''d''의 각 분할 λ는 정확히 하나의 기본 대칭 다항식의 곱에서 발생하며, 이를 ''e''_λ^''t''(''X''₁, ..., ''X''_''n'')로 나타낸다(''t''는 전통적으로 이 곱이 λ의 전치 분할과 연관되어 있기 때문에 존재한다). 증명의 필수적인 요소는 변수 ''X''_''i''의 단항식에 대한 다중 지수 표기법을 사용하는 다음의 간단한 속성이다.

'''보조정리'''. ''e''_λ^''t''(''X''₁, ..., ''X''_''n'')의 선두 항은 ''X''^λ이다.

:''증명''. 곱의 선두 항은 각 인자의 선두 항의 곱이다(이것은 여기에서 사용된 사전식 순서와 같은 단항식 순서를 사용할 때마다 참이다). 인자 ''e''_''i''(''X''₁, ..., ''X''_''n'')의 선두 항은 분명히 ''X''₁''X''₂···''X''_''i''이다. 결과 단항식에서 개별 변수의 발생 횟수를 세기 위해, 관련된 인자에 해당하는 영 다이어그램의 열을 변수 1, ..., ''i''의 숫자로 채운 다음, 첫 번째 행의 모든 상자는 1을 포함하고, 두 번째 행의 상자는 2를 포함하는 식이다. 즉, 선두 항은 ''X''^λ이다.

이제 사전식 순서에서 선두 단항식에 대한 귀납법을 사용하여, 차수 ''d''의 0이 아닌 동차 대칭 다항식 ''P''는 기본 대칭 다항식의 다항식으로 쓸 수 있음을 증명한다. ''P''는 대칭적이므로 선두 단항식의 지수는 약하게 감소하므로 ''d''의 분할인 λ를 가진 ''X''^λ이다. 이 항의 계수를 ''c''라고 하면, ''P'' − ''ce''_λ^''t''(''X''₁, ..., ''X''_''n'')는 0이거나 엄격하게 작은 선두 단항식을 가진 대칭 다항식이다. 이 차이를 귀납적으로 기본 대칭 다항식의 다항식으로 쓰고, 다시 ''ce''_λ^''t''(''X''₁, ..., ''X''_''n'')를 더하면, ''P''에 대한 원하는 다항식 표현을 얻는다.

이 표현이 고유하다는 사실, 즉 기본 대칭 다항식의 모든 곱(단항식) ''e''_λ^''t''(''X''₁, ..., ''X''_''n'')가 선형 독립적이라는 사실 또한 쉽게 증명된다. 보조정리는 이러한 모든 곱이 서로 다른 선두 단항식을 가지고 있음을 보여주며, 이것으로 충분하다. ''e''_λ^''t''(''X''₁, ..., ''X''_''n'')의 비자명한 선형 결합이 0인 경우, (변수 ''X''_''i''의 다항식으로) 0이 아닌 계수를 가진 선형 결합에서 가장 큰 선두 단항식에 기여하는 부분에 초점을 맞춘다. 이 기여의 선두 항은 선형 결합의 다른 기여에 의해 상쇄될 수 없으며, 이는 모순을 초래한다.

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