대칭 다항식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 대칭 다항식
- 2.2. 다른 종류의 대칭 다항식
3. 성질
4. 응용
5. 교대식
6. 역사
참조

1. 개요

대칭 다항식은 변수를 어떻게 바꾸어도 변하지 않는 다항식으로, 체 K 위의 다항식 f∈K[x₁, ...,xₙ]가 임의의 치환에 대해 f(x_σ(1),...,x_σ(n))=f(x₁,...,xₙ)을 만족하는 경우를 말한다. 단항 대칭 다항식, 기본 대칭 다항식, 멱합 대칭 다항식, 완전 동차 대칭 다항식 등이 있으며, 변수의 치환에 의해 불변인 유리식 또한 대칭적이라고 한다. 모든 대칭 다항식은 기본 대칭 다항식으로 표현될 수 있으며, 이는 대칭 다항식의 기본 정리로 알려져 있다. 대칭 다항식은 갈루아 이론, 선형대수, 표현론 등 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 하며, 근과 계수의 관계를 통해 다항식의 근과 계수를 연결하는 데 사용된다. 교대식의 제곱은 대칭 다항식이 되며, 역사적으로 17세기부터 연구되어 왔다.

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대칭 다항식
정의
설명	'변수에 대한 모든 순열에 대해 변하지 않는 다항식이다.'
예시
변수	X₁, X₂, ..., X_n''
조건	임의의 순열 σ에 대해 P(X_σ(1), X_σ(2), ..., X_σ(n)) P(X₁, X₂, ..., X_n)을 만족한다.

2. 정의

체 K 위의 n변수 다항식 $f(x_1,\dots,x_n)$ 이 다음 조건을 만족시키면, '''대칭 다항식'''이라고 한다.

임의의 순열 $\sigma\in S_n$ 에 대하여, $f(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})=f(x_1,\dots,x_n)$

즉, 변수들의 순서를 어떻게 바꾸어도 변하지 않는 다항식을 의미한다.

예를 들어, 두 변수 ''X''₁과 ''X''₂에 대한 다항식

X_1^3+ X_2^3-7

과

4 X_1^2X_2^2 +X_1^3X_2 + X_1X_2^3 +(X_1+X_2)^4

은 대칭 다항식이다. 세 변수 ''X''₁, ''X''₂, ''X''₃에 대한 다항식

X_1 X_2 X_3 - 2 X_1 X_2 - 2 X_1 X_3 - 2 X_2 X_3

도 대칭 다항식이다.

반면, 두 변수에 대한 다항식

X_1 - X_2

는 변수를 교환하면

X_2 - X_1

이 되므로 대칭 다항식이 아니다.

n 변수 다항식 f(''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_''n'')가 임의의 치환 σ ∈ ''S''_''n''에 대하여 다음을 만족하면 대칭 다항식 또는 대칭식이라고 한다.

:''f''(''x''₁, ''x''₂, …, ''x''_''n'')^σ = ''f''(''x''_σ(1), ''x''_σ(2), …, ''x''_σ(''n'')) = ''f''(''x''₁, ''x''₂, …, ''x''_''n'')

마찬가지로 유리식도 대칭적일 수 있다. 유리식 f(''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_n) = h(''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_n) / g(''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_n) 가 임의의 σ ∈ ''S''_''n''에 대해 다음을 만족하면 유리식 f는 대칭적이다.

:f(''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_n)^σ = h(''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_n)^σ / g(''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_n)^σ = f(''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_n)

대칭 다항식 및 대칭 유리식은 ''S''_''n'' 불변식이라고도 한다.

이와 비슷하게, 변수를 서로 바꾸었을 때 원래 식과 부호가 바뀌는 식을 교대식이라고 한다. 예를 들어, ''g''(''x'', ''y'') = ''x''² − ''y''²는 교대식이다. 교대식을 제곱하거나 짝수 개의 교대식을 곱하면 대칭식이 된다.

18세기 후반에는 임의의 대칭식을 기본 대칭식으로 나타낼 수 있다는 것이 워링과 알렉상드르-테오필 방데르몽드 등에 의해 제시되었고, 라그랑주에 의한, 대수 방정식의 근의 치환 연구로 이어졌다.

2. 1. 기본 대칭 다항식

n변수 k차 기본 대칭 다항식 eₙ,ₖ(x₁, ..., xₙ)은 n개의 변수 중에서 k개를 선택하여 곱한 모든 항들의 합으로 정의된다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

:

e_{n,k}(x_1,\dots,x_n)=\sum_{1\le i_1<\cdots

예를 들어, 2변수 기본 대칭 다항식은 다음과 같다.

:σ₁ = ''x''₁ + ''x''₂

:σ₂ = ''x''₁ ''x''₂

3변수 기본 대칭 다항식은 다음과 같다.

:σ₁ = ''x''₁ + ''x''₂ + ''x''₃

:σ₂ = ''x''₁ ''x''₂ + ''x''₁ ''x''₃ + ''x''₂ ''x''₃

:σ₃ = ''x''₁ ''x''₂ ''x''₃

근과 계수의 관계에 의하면, 기본 대칭 다항식은 x₁, ..., xₙ을 근으로 하는 모닉 다항식(최고차항의 계수가 1인 다항식)의 계수로 나타난다.

:

t^n - \sigma_{1} \  t^{n-1} + \sigma_{2} \  t^{n-2} -\cdots +(-1)^{n-1} \  \sigma_{n-1} \  t +(-1)^n \  \sigma_{n} = \prod_{k= 1}^n (t - x_k) = (t - x_1)(t - x_2)\cdots (t - x_n)

알베르 지라르(Albert Girard)는 1629년에 「대수학의 새로운 발명」(''Invention Nouvelle en l'Algèbre'')에서, ''n''차 대수 방정식의 근과 계수의 관계를 발견했다. 대수 방정식의 계수는 ''n''개의 근의 기본 대칭식으로 나타낼 수 있다는 이 관계는, 일반적인 차수의 대수 방정식의 구조를 연구하는 데 중요한 발판이 되었다.

2. 2. 다른 종류의 대칭 다항식

단항 대칭 다항식 monomial symmetric polynomial^영어

m_{n,\alpha}\in K[x_1,\dots,x_n]

은 주어진 지수 벡터에 대해, 해당 지수를 갖는 모든 단항식들의 합으로 이루어진 대칭 다항식이다. 예를 들어 다음과 같다.

:

m_{(3,1,1)}(X_1,X_2,X_3)=X_1^3X_2X_3+X_1X_2^3X_3+X_1X_2X_3^3

:

m_{(3,2,1)}(X_1,X_2,X_3)=X_1^3X_2^2X_3+X_1^3X_2X_3^2+X_1^2X_2^3X_3+X_1^2X_2X_3^3+X_1X_2^3X_3^2+X_1X_2^2X_3^3.

n

변수

k

차 멱합 대칭 다항식(冪合對稱多項式, power sum symmetric polynomial^영어)

s_{n,k}\in K[x_1,\dots,x_n]

은 다음과 같이 정의된다.

:

s_{n,k}(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^nx_i^k=x_1^k+\cdots+x_n^k

n

변수

k

차 완전 동차 대칭 다항식(完全同次對稱多項式, complete homogeneous symmetric polynomial^영어)

h_{n,k}\in K[x_1,\dots,x_n]

은 차수가

k

인 모든 단항식들의 합이다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

:

h_{n,k}(x_1,\dots,x_n)=\sum_{1\le i_1\le\cdots\le i_k\le n}x_{i_1}\cdots x_{i_k}=\sum_{k_1,\dots,k_n\ge0}^{k_1+\cdots+k_n=k}x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}

각 자연수

k

에 대해

p_k = x_1^k + \cdots + x_n^k

로 정의되는

k

차 뉴턴 다항식도 대칭식의 중요한 예시 중 하나이다.

3. 성질

모든 대칭 다항식은 기본 대칭 다항식들의 다항식으로 유일하게 표현될 수 있다. 이를 대칭 다항식의 기본 정리라고 한다. 예를 들어, ''n'' = 2일 때, 기본 대칭 다항식은 ''e''₁(''X''₁, ''X''₂) = ''X''₁ + ''X''₂와 ''e''₂(''X''₁, ''X''₂) = ''X''₁''X''₂이다. 이때, ''X''₁³ + ''X''₂³ - 7과 같은 대칭 다항식은 ''e''₁(''X''₁, ''X''₂)³ - 3''e''₂(''X''₁, ''X''₂)''e''₁(''X''₁, ''X''₂) - 7로 나타낼 수 있다.

기본 대칭식들은 계수환 상에서 대수적으로 독립이다. 즉, ''n''개의 변수 ''x''₁, ... , ''x''_''n''에 관한 대칭식 ''f''(x₁, ..., ''x''_''n'')는 기본 대칭식들 σ₁, ... , σ_''n''에 관한 다항식 ''P''로 나타낼 수 있으며, 이 ''P''는 ''f''에 대해 유일하게 결정된다.

임의의 대칭식 ''f''(''x''₁, ''x''₂, …, ''x''_''n'')에 대해, 기본 대칭식을 변수로 갖는 다항식 ''g''(σ₁, σ₂, …, σ_''n'')가 유일하게 존재하여 ''f''(''x''₁, ''x''₂, …, ''x''_''n'') = ''g''(σ₁, σ₂, …, σ_''n'')가 성립한다.

기본 대칭식의 단항식 $T = \prod_{k=1}^{n} \sigma_k^{a_k} = \sigma_1^{a_1} \ \sigma_2^{a_2} \ \cdots \ \sigma_n^{a_n}$ 에 대하여, 가중치 $w(T) = \sum_{k=1}^{n} k \ a_k = a_1 + 2 \ a_2 + \cdots + n \ a_n$ 을 정의한다. 가중치가 같은 단항식의 합으로 이루어진 다항식을 제중 다항식(isobaric polynomial)이라고 한다.

대칭식을 기본 대칭식으로 나타내기 위해서는, 대칭식을 차수가 다른 제차 다항식으로 나누고, 각각의 제차 다항식을 그 차수와 같은 가중치를 갖는 제중 다항식으로 나타내면 된다.

4. 응용

대칭 다항식은 갈루아 이론에서 중요한 역할을 한다. 이는 다항식의 근의 대칭성을 연구하는 데 사용된다. 특히, 대칭 다항식의 기본 정리는 다항식의 계수가 근의 기본 대칭 다항식으로 표현될 수 있음을 보여준다.

단항 일변수 다항식(하나의 변수를 가지는 다항식)의 경우, ''n''개의 근을 갖는 차수가 ''n''인 다항식을 생각해 보자. 이 ''n''개의 근은 다항식을 결정하며, 다항식의 계수는 근에 대한 대칭 다항식 함수로 나타낼 수 있다.

예를 들어, 차수가 ''n''인 모닉 다항식(최고차항의 계수가 1인 다항식)은 다음과 같이 표현된다.

: $P=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots+a_2t^2+a_1t+a_0$

여기서 계수 ''a''_''i''는 어떤 체 ''K''에 속한다. 이 다항식 ''P''는 ''n''개의 근 ''x''₁,...,''x''_''n''을 가지며, 이 근들은 ''K''를 확장한 체에 존재할 수 있다. (예를 들어, ''K''가 실수 체이면, 근은 복소수 체에 존재할 수 있다.)

이 근들을 이용하여 다항식 ''P''를 다음과 같이 인수분해할 수 있다.

: $P = (t-x_1)(t-x_2)\cdots(t-x_n)$

이 식을 전개하여 계수를 비교하면, 비에타의 공식을 얻을 수 있다. 비에타의 공식은 다항식의 계수들이 근의 대칭 다항식으로 표현됨을 보여준다.

: $\begin{align}a_{n-1}&=-x_1-x_2-\cdots-x_n\\a_{n-2}&=x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n = \textstyle\sum_{1\leq i$

이처럼 다항식의 계수들은 근의 기본 대칭 다항식으로 표현된다. 대칭 다항식의 기본 정리에 따르면, ''n''개의 변수에 대한 모든 대칭 다항식은 이러한 기본 대칭 다항식들의 다항식으로 나타낼 수 있다. 즉, 모닉 다항식의 근에 대한 모든 대칭 다항식 표현은 다항식의 계수들에 대한 다항식으로 표현될 수 있다.

따라서, 근에 대한 대칭 다항식을 다룰 때, 근의 정확한 값이나 근이 존재하는 체에 대한 정보 없이도 계수와 대칭 다항식 표현 간의 관계를 파악할 수 있다. 이러한 관계의 예로는 뉴턴 항등식이 있으며, 이는 근의 거듭제곱 합을 기본 대칭 다항식으로 표현하는 방법을 제공한다.

5. 교대식

교대 다항식은 변수를 서로 바꾸면 원래의 식과 부호가 바뀌는 식이다. 예를 들어

:''g''(''x'', ''y'') = ''x''² - ''y''²

에서 변수 ''x''와 ''y''를 서로 바꾸면

:''g''(''y'', ''x'') = ''y''² - ''x''² = -''g''(''x'', ''y'')

가 된다.

부호가 바뀔 뿐이므로, 짝수 개의 교대식의 곱이나 교대식을 제곱한 식은 대칭식이 된다. 예를 들어

:''g''(''x'', ''y'')² = (''x''² - ''y''²)²

은 대칭식이다.

교대 다항식은 반데르몬드 다항식과 대칭 다항식의 곱으로 표현될 수 있으며, 대칭 다항식의 환의 이차 확대를 형성한다. 반데르몬드 다항식은 판별식의 제곱근이다.

6. 역사

1629년, 알베르 지라르는 저서 《대수학의 새로운 발명》(''Invention Nouvelle en l'Algèbre|^프랑스어'')에서 대수 방정식의 근과 계수의 관계를 발견했다. 대수 방정식의 계수는 ''n''개의 근의 기본 대칭식으로 나타낼 수 있다는 이 관계는, 일반적인 차수의 대수 방정식의 구조를 연구하는 데 중요한 발판이 되었다. 또한 지라르는 이 관계를 통해 허수의 유용성을 설명했다.

18세기 후반, 에드워드 워링과 알렉상드르-테오필 방데르몽드는 임의의 대칭식을 기본 대칭식으로 나타낼 수 있음을 제시했다. 이는 조제프루이 라그랑주의 대수 방정식의 근의 치환 연구로 이어져, 갈루아 이론의 발전에 기여했다.

1829년 오귀스탱 루이 코시는 변수 하나에 주목하는 방법으로 대칭 다항식의 기본 정리를 증명했다.

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