기약표현

3. 군 표현의 기본 개념

군 표현은 군의 원소를 선형 공간의 선형 변환으로 나타내는 준동형 사상이다. 리처드 브라우어는 1940년대부터 군 표현론을 일반화하여 모듈러 표현론을 제시했는데, 이는 행렬 연산자가 실수 또는 복소수의 체가 아닌 임의의 표수를 가진 $K$ 체 상의 벡터 공간에서 작동하는 이론이다. 이 이론에서 기약 표현에 해당하는 구조는 단순 가군이다.^[8]

군의 원소는 행렬로 표현될 수 있는데, 군의 표현은 군 원소에서 행렬의 일반 선형군으로의 사상이다. 군의 곱의 표현은 표현의 행렬 곱셈으로 변환된다. 군의 항등원의 표현 행렬은 항등 행렬 또는 항등 행렬의 블록 행렬이 된다.

표현이 비자명한 G-불변 부분 공간을 포함하는 경우, 즉 모든 행렬 $D(a)$가 동일한 가역 행렬 $P$에 의해 상삼각 블록 형태로 나타낼 수 있다면, 표현은 가약적이다. 다시 말해, 다음과 같은 유사 변환이 존재한다면:

:$D\text{'}(a)\; \backslash equiv\; P^\{-1\}\; D(a)\; P,$

이 변환은 표현의 모든 행렬을 동일한 패턴의 상삼각 블록으로 매핑한다. 이때 모든 정렬된 순서의 작은 블록은 군의 부분 표현이다. 만약 $D^\{(12)\}(a)\; =\; 0$을 만족시키는 행렬 $P$를 찾을 수 있다면, $D(a)$는 가약적일 뿐만 아니라 분해 가능하기도 하다.

'''주의:''' 표현이 가약적이더라도, 행렬 표현이 여전히 상삼각 블록 형식이 아닐 수 있다. 표준 기저에 위에서 언급한 행렬 $P^\{-1\}$을 적용하여 얻을 수 있는 적절한 기저를 선택해야만 이러한 형식이 된다.

기약 표현은 더 이상 작은 표현으로 쪼개지지 않는, 군 표현의 기본 구성 요소이다. 가약 표현, 분해 가능 표현, 불가능 표현 등은 표현의 구조를 설명하는 중요한 개념이다.

3. 1. 표현과 부분 표현

3. 2. 기약 표현과 가약 표현

3. 3. 분해 가능 표현과 불가능 표현

4. 군 표현의 종류

군 표현은 연구 대상, 표현 공간, 기저 등에 따라 다양하게 분류된다. 모든 군 $G$는 모든 군 원소를 항등 변환에 매핑하여 1차원, 기약 자명 표현을 갖는다.^[8] 임의의 일차원 표현은 고유한 비자명 불변 부분 공간을 갖지 않으므로 기약 표현이다.^[9]

체 ''F'' 위의 벡터 공간 ''V''에서의 군 ''G''의 표현 ρ: ''G'' → GL(''V'')가 주어졌을 때, ''V''의 기저를 잡으면 ρ를 군에서 정칙 행렬로 이루어진 적당한 집합 위로의 사상(준동형 사상)으로 볼 수 있다. 이 문맥에서는 '''행렬 표현'''이라고 불리지만, 기저를 잡지 않고 공간 ''V''를 생각하는 편이 사물의 본질을 단순하게 한다.^[8]

''V''의 선형 부분 공간 ''W''가 ''' ''G''-불변'''이라는 것은, 임의의 $g\; \backslash in\; G$ 및 $w\; \backslash in\; W$에 대해 $gw\; \backslash in\; W$가 성립하는 것을 말한다. 표현 ρ를 ''G''-불변 부분 공간 ''W''로 제한한 것을 '''부분 표현'''이라고 한다. 표현 ρ: ''G'' → GL(''V'')가 '''기약'''이라는 것은 자명하지 않은 부분 표현을 갖지 않는 것을 말한다. (임의의 표현은 자명한 ''G''-불변 부분 공간, 즉 전체 공간 ''V''와 {0}을 부분 표현으로서 반드시 포함한다.) 진정한 비자명 불변 부분 공간을 갖는 표현 ρ는 '''가약'''(reducible)이라고 한다.^[8]

표현이 '''직가약'''(decomposable)이라는 것은, 그 표현의 임의의 행렬을 대각화하는 닮음 행렬 ''P''에 의한 닮음 변환^[8]

: $D(a)\; \backslash mapsto\; P^\{-1\}\; D(a)\; P$

에 의해 표현의 각 행렬이 같은 패턴의 대각 블록으로 변환되는 것을 말한다. (각 블록은 서로 독립적인 군의 표현을 제공한다.) 표현 행렬 ''D''(''a'')와 ''P''⁻¹''D''(''a'')''P''는 '''동치인 표현'''이라고 한다.^[9] 표현 행렬이 ''k''개의 행렬의 직합

: $D(a)\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$

D^{(1)}(a) & 0 & \cdots & 0 \\

0 & D^{(2)}(a) & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & \cdots & D^{(k)}(a) \\

\end{pmatrix} = D^{(1)}(a) \oplus D^{(2)}(a) \oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a)

로 분해될 수 있을 때 (즉, ''D''(''a'')가 '''직가약'''일 때), 각 직합 인자 행렬에는 ''D''^(''n'')(''a'') (''n'' = 1, 2, …, ''k'')와 같이 보통 위첨자 첨자를 괄호로 묶지만, 괄호를 붙이지 않고 쓰는 문헌도 있다. ''D''(a)의 차원은 각 블록의 차원의 총합

: $\backslash mathrm\{dim\}[D(a)]\; =\; \backslash mathrm\{dim\}[D^\{(1)\}(a)]\; +\; \backslash mathrm\{dim\}[D^\{(2)\}(a)]\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathrm\{dim\}[D^\{(k)\}(a)]$

과 일치한다. 표현 행렬이 이러한 블록 대각 행렬로 만들 수 없을 때, 그 표현은 '''직기약'''(indecomposable)이라고 한다.^[8][10]

군의 원은 행렬로 표현할 수 있는데, 이때 "표현한다"는 것은 군의 원 전체 집합에서 행렬이 이루는 일반 선형군으로의 사상을 의미한다. ''G''의 원은 ''a'', ''b'', ''c'', …로 나타내고, 군의 곱셈은 기호를 생략하여 ''ab''는 ''a''와 ''b''의 곱을 의미한다. 표현을 ''D''라고 할 때, 군의 원 ''a''의 표현 행렬은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $D(a)\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$

D(a)_{11} & D(a)_{12} & \cdots & D(a)_{1n} \\

D(a)_{21} & D(a)_{22} & \cdots & D(a)_{2n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

D(a)_{n1} & D(a)_{n2} & \cdots & D(a)_{nn} \\

\end{pmatrix}

군의 표현의 정의에 따라, 군의 원의 곱의 표현 행렬은 각 원의 표현 행렬의 곱으로 나타낼 수 있다.

: $D(ab)\; =\; D(a)D(b)$

군의 단위 원 ''e'' (즉, ''ae'' = ''ea'' = ''a''를 만족하는 원)에 대해, ''D''(''e'')는 단위 행렬 또는 단위 행렬로 구성된 블록 행렬이 되어야 한다.

: $D(ea)\; =\; D(ae)\; =\; D(a)D(e)\; =\; D(e)D(a)\; =\; D(a)$

1940년대부터 리처드 브라우어는 군 표현론을 일반화하여, 행렬 작용소가 (실수 또는 복소수를 성분으로 하는 벡터가 아닌) 임의의 표수의 가환체 ''K'' 상에서 작용하는 모듈러 표현론을 제시했다. 이러한 이론에서 기약 표현의 유사 구조물을 단순 가군이라고 부른다.^[8]

4. 1. 유한군의 표현론

• $\backslash Z\; /\; n\backslash Z$의 기약 복소수 표현은 정확히 $1\; \backslash mapsto\; \backslash gamma$로 주어지며, 여기서 $\backslash gamma$는 $n$차 단위근이다.
• $V$를 기저 $\backslash \{v\_i\backslash \}^n\_\{i=1\}$를 갖는 $S\_n$의 $n$차원 복소수 표현이라고 하자. 그러면 $V$는 기약 표현

• $G$를 군이라고 하자. $G$의 정칙 표현은 군 작용 $g\; \backslash cdot\; e\_\{g\text{'}\}\; =\; e\_\{gg\text{'}\}$을 갖는 기저 $\backslash \{e\_g\backslash \}\_\{g\; \backslash in\; G\}$에 대한 자유 복소수 벡터 공간이며, $\backslash Complex\; G$로 표시된다. $G$의 모든 기약 표현은 $\backslash Complex\; G$의 기약 표현의 직합으로의 분해에 나타난다.
• $G$를 $p$군이라고 하고, $V\; =\; \backslash mathbb\{F\}\_p^\{n\}$을 $\backslash mathbb\{F\}\_p$ 상의 $G$의 유한 차원 기약 표현이라고 하자. 궤도-안정자 정리에 따르면, $p$군 $G$에 의해 작용하는 모든 $V$ 원소의 궤도는 $p$의 거듭제곱 크기를 갖는다. 이 모든 궤도의 크기는 $G$의 크기까지 더해지며, $0\; \backslash in\; V$는 크기가 1인 궤도 안에만 있으므로, 합이 일치하려면 크기가 1인 다른 궤도가 있어야 한다. 즉, 모든 $g\; \backslash in\; G$에 대해 $gv\; =\; v$인 $v\backslash in\; V$가 존재한다. 이는 $\backslash mathbb\{F\}\_p$ 상의 $p$군의 모든 기약 표현이 1차원이 되도록 한다.

4. 2. 리 군의 표현론

• 리 대수의 표현론
• SU(2)의 표현론
• SL2(R)의 표현론
• 갈릴레이 군의 표현론
• 미분동형사상 군의 표현론
• 푸앵카레 군의 표현론

4. 3. 기타 표현론

5. 양자역학 및 화학에서의 응용

양자 물리학과 양자 화학에서 해밀턴 연산자의 각 축퇴 고유 상태 집합은 해밀턴 연산자의 대칭군에 대한 표현("멀티플렛")에 대한 벡터 공간을 구성하며, 이는 기약 부분으로의 축소를 통해 가장 잘 연구된다. 기약 표현을 식별하면 상태를 레이블링하고, 에너지 준위 분리에 따라 어떻게 분리될지 예측하며, 다른 상태로의 전이를 예측할 수 있다. 따라서 양자 역학에서 시스템의 대칭군의 기약 표현은 시스템의 에너지 준위를 부분적으로 또는 완전히 레이블링하여 선택 규칙을 결정할 수 있게 한다.^[6]

5. 1. 양자역학에서의 대칭성

5. 2. 분자 대칭성

5. 3. 얀-텔러 효과

6. 물리학에서의 응용

군 표현론은 양자역학, 입자물리학 등 다양한 물리학 분야에서 중요한 역할을 한다. 특히, 로렌츠 군의 표현론을 기반으로 상대론적 파동 방정식을 유도할 수 있다.^[7]

6. 1. 로렌츠 군과 상대론적 파동 방정식

6. 2. 표준 모형과 군 표현

7. 결합 대수

결합 대수의 표현은 단순 가군 및 기약 가군, 직기약 가군으로 나타낼 수 있다.

참조

_[1] 서적 Group theory and its application to the quantum mechanics of atomic spectra Academic press
_[2] 서적 Group Theory in Physics https://books.google[...] World Scientific
_[3] 서적 Group Theory in Physics https://books.google[...] World Scientific
_[4] 서적 Algebra Pearson
_[5] 서적 Linear Representations of Finite Groups https://archive.org/[...] Springer-Verlag
_[6] 서적 Quantum Chemistry Prentice-Hall 1991
_[7] 간행물 Geometry of spacetime propagation of spinning particles
_[8] 서적 Group theory and its application to the quantum mechanics of atomic spectra Academic press
_[9] 서적 Group Theory in Physics https://books.google[...] World Scientific
_[10] 서적 Group Theory in Physics https://books.google[...] World Scientific
_[11] 뉴스 Geometry of spacetime propagation of spinning particles http://www.sciencedi[...]