기하학적 위상

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1. 개요
2. 양자역학에서의 베리 위상
3. 베리 연결과 베리 곡률
4. 여러 예시
5. 주기 포텐셜
참조

1. 개요

기하학적 위상은 양자역학적 시스템이 닫힌 경로를 따라 운동할 때 파동 함수의 위상에 나타나는 현상으로, 시스템의 기억을 반영한다. 이 위상은 광학, 핵자기 공명 등의 실험으로 관찰되며, 단열 정리와 밀접한 관련이 있다. 베리 위상은 해밀토니안의 변화에 따라 나타나며, 주기적인 변화에서는 불변량이 되어 관측 가능한 특성이 된다. 기하학적 위상은 푸코의 진자, 광섬유 내 편광, 확률적 펌프 효과, 스핀 ½ 입자, 분자 아디아바틱 포텐셜 표면 교차, 사이클로트론 운동 양자화 등 다양한 물리 시스템에서 나타난다.

2. 양자역학에서의 베리 위상

양자역학에서 ''n''번째 고유 상태에 있을 때, 단열 정리에 따라 해밀토니안의 단열적 진화는 시스템이 해밀토니안의 ''n''번째 고유 상태에 머무르는 동시에 위상 인자를 얻게 된다. 얻어진 위상은 상태의 시간 진화로부터의 기여와 해밀토니안 변화에 따른 고유 상태의 변화로부터의 기여를 갖는다. 두 번째 항은 베리 위상에 해당하며, 해밀토니안의 비주기적 변화의 경우, 진화의 각 지점에서 해밀토니안의 고유 상태와 관련된 위상을 다르게 선택하여 소멸시킬 수 있다.

그러나 변화가 주기적이면 베리 위상은 소멸될 수 없으며, 이는 불변량이 되고 시스템의 관측 가능한 특성이 된다. 막스 보른과 블라디미르 포크가 유럽 물리 저널 '''51''', 165 (1928)에 제시한 단열 정리의 증명을 검토함으로써, 단열 과정의 전체 변화를 위상 항으로 특징지을 수 있다. 단열 근사 하에서 단열 과정에서 ''n''번째 고유 상태의 계수는 다음과 같다.

: $C_n(t) = C_n(0) \exp\left[-\int_0^t \langle\psi_n(t')|\dot\psi_n(t')\rangle \,dt'\right] = C_n(0) e^{i\gamma_n(t)}.$

여기서 $\gamma_n(t)$ 는 매개변수 ''t''에 대한 베리 위상이다. 변수 ''t''를 일반화된 매개변수로 변경하면, 베리 위상을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

: $\gamma_n[C] = i\oint_C \langle n, t| \big(\nabla_R |n, t\rangle\big)\,dR.$

여기서 $R$ 은 주기적인 단열 과정을 매개변수화한다. $|n, t\rangle$ 의 정규화는 피적분 함수가 허수임을 의미하므로 $\gamma_n[C]$ 는 실수이다. 이는 적절한 매개변수 공간에서 닫힌 경로 $C$ 를 따른다. 닫힌 경로 $C$ 를 따라가는 기하 위상은 또한 $C$ 에 의해 둘러싸인 표면에 대한 베리 곡률을 적분하여 계산할 수 있다.

베리 위상은 포텐셜 에너지 곡면의 원뿔 교차(conical intersection)^[17]^[19]나 아로노프-보옴 효과에서 나타난다. 원뿔 교차가 관여하는 예시에서는 분자 좌표가 단열 매개변수가 된다. C₆H₃F₃⁺ 분자의 전자 기저 상태와 관련된 원뿔 교차 주변의 베리 위상은 Bunker and Jensen의 교과서^[20] (385-386 페이지)에서 논의된다. 아로노프-보옴 효과의 경우, 두 개의 간섭 경로로 둘러싸인 자기장이 단열 매개변수가 되며, 이 두 경로는 루프를 형성하므로 주기적이다.

양자역학 외에도, 고전 광학과 같은 다양한 파동계에서 베리 위상이 나타난다. 계의 위상의 어떤 특이점이나 구멍 근방에서 파동을 특징짓는 두 개 이상의 매개변수가 존재할 때, 베리 위상이 발견될 수 있다는 것이 경험적으로 알려져 있다. 두 개의 매개변수가 필요한 이유는 비특이 상태의 집합이 단일 연결 공간이 되지 않고 홀로노미가 0이 아니기 때문이다.

파동은 그 진폭과 위상으로 특징지어지며, 파동의 변화는 이것들을 매개변수로 하는 함수로 기술된다. 베리 위상은 두 매개변수가 동시에 매우 천천히 (단열적으로) 변화하여 최종적으로 초기 배치로 돌아갈 때 발생한다. 양자역학에서는, 회전 운동뿐만 아니라 입자의 병진 운동도 이러한 되돌아가는 조작에 포함될 수 있다. 이러한 조작 하에서의 시간 전개에서는, 계의 파동은 그 진폭과 위상으로 특징지어지는 초기 상태로 돌아갈 것으로 기대되지만, 매개변수 공간 내에서의 시간 전개가 자기 회귀적인 전후 이동이 아닌 루프를 이룰 경우, 초기 상태와 최종 상태의 위상에 차이가 발생할 수 있다. 이 위상차야말로 베리 위상이며, 그 발생은 전형적으로 계의 매개변수 의존성 안에서 특이한 매개변수 세트가 존재하는 것에 대응한다.

파동계에서의 베리 위상을 측정하기 위해 간섭 실험이 사용된다. 푸코의 진자는 고전 역학적으로 베리 위상을 설명하기 위해 자주 사용되는 예시이며, 계에서의 베리 위상의 유사성은 Hannay 각으로 알려져 있다^[21].

3. 베리 연결과 베리 곡률

양자계에서 ''n''번째 고유 상태에 있을 때, 단열 정리에 따라 해밀토니안이 단열적으로 진화하면 시스템은 해밀토니안의 ''n''번째 고유 상태에 머무르면서 위상 인자를 얻는다. 이 위상 인자는 상태의 시간 진화와 해밀토니안 변화에 따른 고유 상태 변화에 의해 발생한다. 두 번째 항은 베리 위상에 해당하며, 해밀토니안의 비주기적 변화의 경우, 진화의 각 지점에서 해밀토니안의 고유 상태와 관련된 위상을 다르게 선택하여 소멸시킬 수 있다.

하지만 변화가 주기적이면 베리 위상은 소멸될 수 없으며, 이는 불변량이 되고 시스템의 관측 가능한 특성이 된다. 막스 보른과 블라디미르 포크가 유럽 물리 저널 '''51''', 165 (1928)에 제시한 단열 정리의 증명을 검토함으로써, 단열 과정의 전체 변화를 위상 항으로 특징지을 수 있다. 단열 근사 하에서 단열 과정에서 ''n''번째 고유 상태의 계수는 다음과 같다.

: $C_n(t) = C_n(0) \exp\left[-\int_0^t \langle\psi_n(t')|\dot\psi_n(t')\rangle \,dt'\right] = C_n(0) e^{i\gamma_n(t)},$

여기서 $\gamma_n(t)$ 는 매개변수 ''t''에 대한 베리 위상이다. 변수 ''t''를 일반화된 매개변수로 변경하면, 베리 위상을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

: $\gamma_n[C] = i\oint_C \langle n, t| \big(\nabla_R |n, t\rangle\big)\,dR,$

여기서 $R$ 은 주기적인 단열 과정을 매개변수화한다. $|n, t\rangle$ 의 정규화는 피적분 함수가 허수임을 의미하므로 $\gamma_n[C]$ 는 실수이다. 이는 적절한 매개변수 공간에서 닫힌 경로 $C$ 를 따른다. 닫힌 경로 $C$ 를 따라가는 기하 위상은 또한 $C$ 에 의해 둘러싸인 표면에 대한 베리 곡률을 적분하여 계산할 수 있다.

베리 위상은 포텐셜 에너지 곡면의 원뿔 교차(conical intersection)^[17]^[19]나 아haronov-보옴 효과에서 나타난다. 원뿔 교차가 관여하는 예시에서는 분자 좌표가 단열 매개변수가 된다. C₆H₃F₃⁺ 분자의 전자 기저 상태와 관련된 원뿔 교차 주변의 베리 위상은 Bunker and Jensen의 교과서^[20] (385-386 페이지)에서 논의된다. Aharonov-보옴 효과의 경우, 두 개의 간섭 경로로 둘러싸인 자기장이 단열 매개변수가 되며, 이 두 경로는 루프를 형성하므로 주기적이다. 양자역학 외에도, 고전 광학과 같은 다양한 파동계에서 베리 위상이 나타난다. 계의 위상의 어떤 특이점이나 구멍 근방에서 파동을 특징짓는 두 개 이상의 매개변수가 존재할 때, 베리 위상이 발견될 수 있다는 것이 경험적으로 알려져 있다. 두 개의 매개변수가 필요한 이유는 비특이 상태의 집합이 단일 연결 공간이 되지 않고 홀로노미가 0이 아니기 때문이다.

파동은 그 진폭과 위상으로 특징지어지며, 파동의 변화는 이것들을 매개변수로 하는 함수로 기술된다. 베리 위상은 두 매개변수가 동시에 매우 천천히 (단열적으로) 변화하여 최종적으로 초기 배치로 돌아갈 때 발생한다. 양자역학에서는, 회전 운동뿐만 아니라 입자의 병진 운동도 이러한 되돌아가는 조작에 포함될 수 있다. 이러한 조작 하에서의 시간 전개에서는, 계의 파동은 그 진폭과 위상으로 특징지어지는 초기 상태로 돌아갈 것으로 기대되지만, 매개변수 공간 내에서의 시간 전개가 자기 회귀적인 전후 이동이 아닌 루프를 이룰 경우, 초기 상태와 최종 상태의 위상에 차이가 발생할 수 있다. 이 위상차야말로 베리 위상이며, 그 발생은 전형적으로 계의 매개변수 의존성 안에서 특이한 매개변수 세트가 존재하는 것에 대응한다.

파동계에서의 베리 위상을 측정하기 위해 간섭 실험이 사용된다. 푸코의 진자는 고전 역학적으로 베리 위상을 설명하기 위해 자주 사용되는 예시이며, 계에서의 베리 위상의 유사성은 Hannay 각으로 알려져 있다^[21].

게이지 독립적인 베리 접속(Berry connection)은 다음과 같다.

: $\mathcal{A}_n(\mathbf R)=i\langle n(\mathbf R)|\nabla_{\mathbf R}|n(\mathbf R)\rangle$

따라서,

: $\gamma_n=\int_\mathcal{C} d\mathbf R\cdot \mathcal{A}_n(\mathbf R)$

스토크스 정리에 의해

: $\gamma_n=\int_\mathcal{S} d\mathbf S\cdot\mathbf\Omega_n (\mathbf R).$

여기서, 베리 곡률(Berry curvature)은 다음과 같다.

: $\Omega_{n,\mu\nu} (\mathbf R)={\partial\over\partial R^\mu}\mathcal{A}_{n,\nu}(\mathbf R)-{\partial\over\partial R^\nu}\mathcal{A}_{n,\mu}(\mathbf R).$

4. 여러 예시

푸코 진자^[7], 단일 모드 광섬유에 들어가는 선형 편광된 빛^[8], 확률적 펌프^[11], 자기장 내 스핀 1/2 입자^[1] 등 다양한 예시에서 기하학적 위상을 관찰할 수 있다.

푸코 진자: 푸코 진자의 세차운동은 진자가 이동하는 경로에 의해 결정되는 기하학적 위상으로 설명된다.
광섬유 편광: 광섬유 내 빛의 편광 변화는 빛의 운동량 벡터가 그리는 경로에 따른 기하학적 위상으로 나타난다.
확률적 펌프: 확률적 펌프 효과는 확률적 전류의 모멘트 생성 함수 진화에서 기하학적 위상으로 해석될 수 있다.
스핀 1/2: 자기장 내 스핀 1/2 입자의 기하학적 위상은 정확하게 평가 가능하다.

이 외에도 베리 위상은 포텐셜 에너지 곡면의 원뿔 교차나 아로노프-보옴 효과에서 나타난다. 또한, 고전 광학과 같은 다양한 파동계에서도 베리 위상이 발견될 수 있다.

4. 1. 푸코 진자

푸코 진자는 기하학적 위상을 설명하는 쉬운 예시 중 하나이다. 윌첵(Wilczek)과 샤페어(Shapere)는 기하학적 위상의 관점에서 푸코 진자를 설명했다.^[7] 진자가 일반적인 경로 ''C''를 따라 움직일 때, 적도를 따라 이동하면 세차운동을 하지 않는다. 만약 ''C''가 측지선 세그먼트로 구성된 경우, 세차운동은 측지선 세그먼트가 만나는 각도에서 발생한다. 총 세차운동은 순 결손 각도와 같으며, 이는 ''C''가 둘러싼 입체각 modulo 2''π''와 같다. 임의의 루프는 일련의 측지선 세그먼트로 근사할 수 있으므로, 가장 일반적인 결과는 순 세차운동이 둘러싸인 입체각과 같다는 것이다.

달리 표현하면, 진자를 세차운동하게 할 수 있는 관성력은 없으므로, 세차운동(진자가 이동하는 경로의 이동 방향에 상대적임)은 전적으로 이 경로의 회전에 기인한다. 따라서 진자의 방향은 평행 이동을 겪는다. 원래의 푸코 진자의 경우, 경로는 위도의 원이며, 가우스-보네 정리에 의해 위상 변화는 둘러싸인 입체각으로 주어진다.^[8]

4. 1. 1. 유도

구면 위의 닫힌 루프 주위 벡터의 평행 수송: 벡터가 회전하는 각도는 루프 내부 면적에 비례한다.

지구와 함께 움직이지만 지구 자전축을 공유하지 않는 거의 관성 좌표계에서 진자의 매달린 지점은 항성일 동안 원형 경로를 그린다.

북위 48도 51분인 파리에서는 완전한 세차 운동 주기가 32시간이 조금 안 걸린다. 항성일 하루가 지나면, 지구가 하루 전과 같은 방향을 유지하게 되고, 진동면은 270도 조금 넘게 회전한다. 만약 진동면이 처음에 남북 방향이었다면, 하루가 지난 후에는 동서 방향이 된다.

이것은 운동량의 교환이 있었음을 의미한다. 지구와 진자 추가 운동량을 교환했다. 지구는 진자 추보다 훨씬 더 질량이 크기 때문에 지구의 운동량 변화는 알아차릴 수 없다. 그럼에도 불구하고, 진자 추의 진동면이 이동했으므로, 보존 법칙은 교환이 일어났음을 의미한다.

운동량 변화를 추적하는 대신, 진동면의 세차 운동은 평행 수송의 경우로 효율적으로 설명될 수 있다. 이를 위해, 무한소 회전을 조합하여, 세차 운동 속도는 지구의 각속도를 지구의 법선 방향으로 직교 투영한 것에 비례한다는 것을 증명할 수 있다. 이는 진동면의 궤적이 평행 수송을 겪을 것임을 의미한다. 24시간 후, 지구 좌표계에서 궤적의 초기 및 최종 방향의 차이는 이며, 이는 가우스-보네 정리에 의해 주어진 값에 해당한다. 는 또한 진자의 홀로노미 또는 기하학적 위상이라고도 한다. 지구상의 운동을 분석할 때, 지구 좌표계는 관성 좌표계가 아니며, 하루에 라디안의 유효 속도로 국소 수직 방향으로 회전한다. 지구 표면에 접하는 원뿔 내에서 평행 수송을 사용하는 간단한 방법을 사용하여 푸코 진자의 진동면 회전 각도를 설명할 수 있다.^[9]^[10]

지구에 고정된 좌표계(측정 원과 관찰자는 지구에 고정되어 있으며, 코리올리 힘에 대한 지형 반응이 관찰자가 움직일 때 관찰자에게 감지되지 않더라도)에서 축이 동쪽을 가리키고 축이 북쪽을 가리키는 직사각형 좌표계를 사용하면 진자의 세차 운동은 코리올리 힘 때문이다 (중력 및 원심력과 같은 다른 가상력은 직접적인 세차 운동 성분이 없으며 오일러 힘은 지구의 회전 속도가 거의 일정하기 때문에 낮다). 일정한 고유 진동수 를 갖는 작은 각도 근사에서 평면 진자를 고려해보자. 진자 추에 작용하는 두 가지 힘이 있다: 중력과 줄에 의해 제공되는 복원력, 그리고 코리올리 힘(중력 복원력에 반대되는 원심력은 무시할 수 있다). 위도 에서 코리올리 힘은 작은 각도 근사에서 수평이며 다음과 같이 주어진다.

:}

여기서 는 지구의 회전 주파수이고, 는 방향의 코리올리 힘 성분이고 는 방향의 코리올리 힘 성분이다.

작은 각도 근사에서 복원력은 원심력을 무시하고 다음과 같이 주어진다.

:}

세차 운동 주기 및 위도에 따른 항성일당 세차 운동 그래프. 푸코 진자가 남반구에서 시계 반대 방향으로 회전하고 북반구에서 시계 방향으로 회전함에 따라 부호가 변경된다. 예는 파리에 있는 진자가 매일 271° 세차 운동을 하며, 회전당 31.8시간이 걸린다는 것을 보여준다.

뉴턴의 운동 법칙을 사용하면 다음 방정식 시스템이 된다.

:}

복소 좌표 로 전환하면 방정식은 다음과 같다.

:

에 대한 1차에서 이 방정식은 다음 해를 갖는다.

:

시간이 일 단위로 측정되면 이고 진자는 하루에 의 각도로 회전한다.

4. 2. 광섬유 내 편광

단일 모드 광섬유에 들어가는 선형 편광된 빛을 생각해 보자. 섬유가 공간에서 어떤 경로를 따라가고, 빛이 들어간 방향과 같은 방향으로 섬유를 빠져나온다고 가정할 때, 초기 편광과 최종 편광을 비교한다. 반고전적 근사에서 섬유는 도파관 역할을 하며, 빛의 운동량은 항상 섬유에 접한다. 편광은 운동량에 수직인 방향으로 생각할 수 있다. 섬유가 경로를 따라감에 따라 빛의 운동량 벡터는 운동량 공간의 구면을 따라 경로를 그린다. 초기 및 최종 빛의 방향이 일치하므로 경로는 닫히고, 편광은 구면에 접하는 벡터이다. 운동량 공간으로 가는 것은 가우스 맵을 취하는 것과 같다. 편광을 회전시킬 수 있는 힘은 없고, 단지 구면에 접하는 상태를 유지해야 한다는 제약만 있다. 따라서 편광은 평행 이동을 거치며, 위상 변화는 덮인 입체각에 의해 주어진다(빛의 경우 스핀 1을 곱한다).

4. 3. 확률적 펌프 효과

확률적 펌프는 매개변수의 주기적인 변화에 대해 평균적으로 0이 아닌 전류로 반응하는 고전적인 확률적 시스템이다. 확률적 펌프 효과는 확률적 전류의 모멘트 생성 함수의 진화에서 기하 위상으로 해석될 수 있다.^[11]

4. 4. 스핀 1/2

자기장 내의 스핀 입자에 대해 기하 위상을 정확하게 평가할 수 있다.^[1] 베리 위상은 포텐셜 에너지 곡면의 원뿔 교차^[17]^[19]나 아haronov-보옴 효과에서 나타난다.

4. 5. 분자 아디아바틱 포텐셜 표면 교차에서의 발현

보른-오펜하이머 근사 틀 내에서 분자의 기하 위상을 계산하는 방법에는 여러 가지가 있다. 한 가지 방법은 "비단열 결합

M \times M

행렬"을 이용하는 것이다. 이 행렬은 다음과 같이 정의된다.^[17]^[19]

:

\tau_{ij}^\mu = \langle \psi_i | \partial^\mu \psi_j \rangle

여기서

\psi_i

는 핵 매개변수

R_\mu

에 의존하는 단열 전자 파동 함수이다. 비단열 결합은 윌슨 루프와 유사한 루프 적분을 정의하는 데 사용될 수 있으며, 이는 분자 구조에 대해 M. Baer에 의해 독립적으로 개발되었다. 닫힌 루프

\Gamma

가 주어지면, ''D''-행렬은 다음과 같다.

:

D[\Gamma] = \hat{P} e^{\oint_\Gamma \tau^\mu \,dR_\mu}

(

\hat{P}

는 경로 정렬 기호이다). 충분한 수의 전자 상태가 고려되면 이 행렬은 대각 행렬이 되며, 대각 요소는

e^{i\beta_j}

와 같고, 여기서

\beta_j

는

j

번째 단열 전자 상태에 대한 루프와 관련된 기하 위상이다.

시간 반전 대칭 전자 해밀토니안의 경우, 기하 위상은 루프가 둘러싼 원뿔형 교차점의 수를 반영한다.

:

e^{i\beta_j} = (-1)^{N_j}

여기서

N_j

는 루프

\Gamma

에 의해 둘러싸인 단열 상태

\psi_j

와 관련된 원뿔형 교차점의 수이다.

''D''-행렬 접근 방식에 대한 대안은 판차라트남 위상을 직접 계산하는 것이다. 이것은 단일 단열 상태의 기하 위상에만 관심이 있는 경우 특히 유용하다. 이 접근 방식에서는 루프

R(t_n)

를 따라 여러 개의 점을 가져온 다음, ''j''번째 단열 상태

\psi_j[R(t_n)]

만 사용하여 중첩의 판차라트남 곱을 계산한다.

:

I_j(\Gamma, N) = \prod\limits_{n=0}^{N-1} \langle \psi_j[R(t_n)] | \psi_j[R(t_{n+1})] \rangle

N \to \infty

의 극한에서 다음을 얻는다.

:

I_j(\Gamma, N) \to e^{i\beta_j}

베리 위상은 포텐셜 에너지 곡면의 원뿔 교차^[17]^[19]나 아로노프-보옴 효과에서 나타난다. 원뿔 교차가 관여하는 예시에서는 분자 좌표가 단열 매개변수가 된다. C₆H₃F₃⁺ 분자의 전자 기저 상태와 관련된 원뿔 교차 주변의 베리 위상은 Bunker and Jensen의 교과서^[20] (385-386 페이지)에서 논의된다. 아로노프-보옴 효과의 경우, 두 개의 간섭 경로로 둘러싸인 자기장이 단열 매개변수가 되며, 이 두 경로는 루프를 형성하므로 주기적이다.

파동은 그 진폭과 위상으로 특징지어지며, 파동의 변화는 이것들을 매개변수로 하는 함수로 기술된다. 베리 위상은 두 매개변수가 동시에 매우 천천히 (단열적으로) 변화하여 최종적으로 초기 배치로 돌아갈 때 발생한다. 이러한 조작 하에서의 시간 전개에서는, 계의 파동은 그 진폭과 위상으로 특징지어지는 초기 상태로 돌아갈 것으로 기대되지만, 매개변수 공간 내에서의 시간 전개가 자기 회귀적인 전후 이동이 아닌 루프를 이룰 경우, 초기 상태와 최종 상태의 위상에 차이가 발생할 수 있다. 이 위상차야말로 베리 위상이며, 그 발생은 전형적으로 계의 매개변수 의존성 안에서 특이한 매개변수 세트가 존재하는 것에 대응한다.

파동계에서의 베리 위상을 측정하기 위해 간섭 실험이 사용된다.

4. 6. 사이클로트론 운동 양자화와 기하학적 위상

자기장(

B

) 속에서 전자는 원형(사이클로트론) 궤도로 운동한다.^[14] 고전역학에서는 어떤 사이클로트론 반지름(

R_c

)이라도 허용되지만, 양자역학에서는 이산적인 에너지 준위(란다우 준위)만이 허용된다.

R_c

는 전자의 에너지와 관련되어 있으므로, 이는

R_c

가 양자화된 값을 갖는다는 것을 의미한다. 슈뢰딩거 방정식을 풀면 에너지 양자화 조건을 얻을 수 있는데, 예를 들어 자유 전자(진공)의 경우

E = (n + \alpha)\hbar\omega_c,

\alpha = 1/2

이고, 그래핀의 전자에서는

E = v \sqrt{2(n + \alpha)eB\hbar},\quad \alpha = 0

이다. 여기서

n = 0, 1, 2, \ldots

이다.^[14]

이러한 결과는 란다우 준위 양자화에 대한 통찰력을 제공하는 반고전적인 보어-조머펠트 양자화 조건을 통해 유도할 수도 있다.

\hbar\oint d\mathbf{r} \cdot \mathbf{k} - e\oint d\mathbf{r}\cdot\mathbf{A} + \hbar\gamma = 2 \pi \hbar (n + 1/2),

위 식에는 전자가 사이클로트론 궤도의 폐쇄 루프를 따라 (실 공간에서) 운동하면서 얻는 기하학적 위상

\gamma

가 포함되어 있다.^[14] 자유 전자의 경우

\gamma = 0,

이고, 그래핀의 전자의 경우

\gamma = \pi

이다. 기하학적 위상은 자유 전자의

\alpha = 1/2

및 그래핀 전자의

\alpha = 0

과 직접적으로 연결된다.

5. 주기 포텐셜

블로흐의 정리에 따르면 다음과 같다.

: $\psi(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{R})=e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{R}}\psi(\boldsymbol{r})$

이 때, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

: $H(k)=e^{-ikr}H(r)e^{ikr}$

: $H(k)u_k(r)=E_ku_k(r)$

그리고, k는 자연스럽게 파라미터 R이다.

고체 내에서, 베리 곡률은 자기장과 유사한 효과를 만들어내지만, 시간 반전 대칭과 공간 대칭이 동시에 존재한다면 베리 곡률은 0이 된다.^[23]

참조

_[1] 논문 Understanding geometrical phases in quantum mechanics: An elementary example
_[2] 논문 Generalized Theory of Interference, and Its Applications. Part I. Coherent Pencils
_[3] 논문 Studies of the Jahn-Teller effect .II. The dynamical problem
_[4] 논문 Quantal Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes
_[5] 논문 Intersection of potential energy surfaces in polyatomic molecules
_[6] 서적 Molecular Symmetry and Spectroscopy NRC Research Press 1998
_[7] 서적 Geometric Phases in Physics https://archive.org/[...] World Scientific 1989
_[8] 논문 Foucault pendulum through basic geometry
_[9] 논문 The Description of Foucault's Pendulum
_[10] 논문 A simple geometric model for visualizing the motion of a Foucault pendulum
_[11] 논문 The Berry phase and the pump flux in stochastic chemical kinetics
_[12] 논문 Geometrical phase and amplitude accumulations in dissipative systems with cyclic attractors
_[13] 논문 The geometric phase in nonlinear dissipative systems
_[14] 문서 Berry phase and the unconventional quantum Hall effect in graphene https://arxiv.org/ab[...] 2013
_[15] 논문 Understanding geometrical phases in quantum mechanics: An elementary example
_[16] 논문 Generalized theory of interference, and its applications https://doi.org/10.1[...] 1956-11-01
_[17] 논문 Studies of the Jahn-Teller effect .II. The dynamical problem https://royalsociety[...] 1958-02-25
_[18] 논문 Quantal phase factors accompanying adiabatic changes https://royalsociety[...] 1984-03-08
_[19] 논문 Intersection of potential energy surfaces in polyatomic molecules https://pubs.rsc.org[...] 1963-01-01
_[20] 서적 Molecular symmetry and spectroscopy https://www.worldcat[...] NRC Research Press 2006
_[21] 논문 Angle variable holonomy in adiabatic excursion of an integrable Hamiltonian https://iopscience.i[...] 1985-02-01
_[22] 논문 The Berry phase and the pump flux in stochastic chemical kinetics
_[23] 논문 Berry phase effects on electronic properties https://link.aps.org[...] 2010-07-06
_[24] 논문 Generalized Theory of Interference, and Its Applications. Part I. Coherent Pencils
_[25] 논문 Studies of the Jahn-Teller effect .II. The dynamical problem
_[26] 논문 Quantal Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes

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