내적 범주

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 내적 범주
- 2.2. 내적 준군
3. 예
- 3.1. 집합의 범주에서의 내적 범주
- 3.2. 군의 범주에서의 내적 범주
참조

1. 개요

내적 범주는 범주 $\mathcal C$ 가 유한 곱과 당김을 가질 때, $\mathcal C$ 내에서 정의되는 특별한 범주를 의미한다. 내적 범주는 대상, 사상, 항등 사상, 정의역, 공역, 사상의 합성으로 구성되며, 특정 조건을 만족해야 한다. 내적 범주에 사상의 역원을 나타내는 사상이 존재하면 내적 준군이라고 한다. 집합과 함수의 범주에서의 내적 범주는 작은 범주이며, 군과 군 준동형의 범주에서의 내적 범주는 군 대상과 같다.

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내적 범주

2. 정의

범주 $\mathcal C$ 가 유한 곱 및 당김을 갖는 경우, $\mathcal C$ 속의 '''내적 범주'''는 대상들의 "모임", 사상들의 "모임", 그리고 이들 사이의 관계를 나타내는 사상들(항등, 정의역, 공역, 합성)로 구성된다. 이러한 구성 요소들은 범주론의 공리들을 만족시켜야 한다.^[1]^[2]^[3]^[4]

2. 1. 내적 범주

범주

\mathcal C

가 유한 곱 및 당김을 갖는다고 할 때,

\mathcal C

속의 '''내적 범주'''(internal category^영어)

(O,M,i,s,t,c)

는 다음과 같은 데이터로 주어진다.^[1]^[2]^[3]^[4]

$O\in\mathcal C$ 는 $\mathcal C$ 의 대상이다. 이는 범주 대상의 대상들의 "모임"이다.
$M\in\mathcal C$ 는 $\mathcal C$ 의 대상이다. 이는 범주 대상의 사상들의 "모임"이다.
$e\colon O\to M$ 은 $\mathcal C$ 의 사상이다. 이는 항등 사상을 나타낸다.
$s\colon M\to O$ 는 $\mathcal C$ 의 사상이다. 이는 사상의 정의역을 나타낸다.
$t\colon M\to O$ 는 $\mathcal C$ 의 사상이다. 이는 사상의 공역을 나타낸다.
$M_s\times_tM$ 이 $M\xrightarrow sO\xleftarrow tM$ 의 당김이라면, $c\colon M_s\times_tM\to M$ 은 $\mathcal C$ 의 사상이다. 이는 사상의 합성을 나타낸다.

이 데이터는 다음과 같은 조건들을 만족시켜야 한다.

(항등 사상의 정의역과 공역) $s\circ e=t\circ e=\operatorname{id}_O$ .
(합성 사상의 정의역과 공역) 다음이 가환한다.

:

\begin{matrix}M&\xleftarrow{\pi_1}&M_s\times_tM&\xrightarrow{\pi_2}&M\\{\scriptstyle t}\downarrow&&{\scriptstyle c}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle s\\O&\xleftarrow[t]{}&M&\xrightarrow[s]{}&O\end{matrix}

(합성의 결합 법칙) 다음이 가환한다.

:

\begin{matrix}M_s\times_tM_s\times_tM&\xrightarrow{\operatorname{id}_M\times c}&M_s\times_tM\\{\scriptstyle c\times\operatorname{id}_M}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle c\\M_s\times_tM&\xrightarrow[c]{}&M\end{matrix}

(항등원의 흡수 법칙) 다음이 가환한다.

:

\begin{matrix}O\times_tM&\xrightarrow{e\times_t\operatorname{id}_M}&M_s\times_tM&\xleftarrow{\operatorname{id}_M{}_s\times e}&M\times_sO\\&{\scriptstyle \pi_2}\searrow&\downarrow\scriptstyle c&\swarrow\scriptstyle\pi_1\\&&M\end{matrix}

요약하면, 당김을 갖는 범주

C

내의 내부 범주는 "대상 객체"와 "사상 객체"로 명명된 두 개의

C

-대상

C_0, C_1

과, 범주론의 공리를 나타내는 일관성 조건을 따르는 네 개의

C

-사상

d_0, d_1: C_1\rightarrow C_0, e: C_0\rightarrow C_1, m: C_1\times_{C_0}C_1\rightarrow C_1

로 구성된다.

2. 2. 내적 준군

internal groupoid^영어은 유한 곱과 당김을 갖는 범주

\mathcal C

속에서 정의되며, 다음의 데이터로 구성된다.

$(O,M,s,t,e)$ 는 내적 범주를 이룬다.
$i\colon M\to M$ 은 사상이다. 이는 사상의 역원을 나타낸다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

(역원의 정의역과 공역) 다음 그림이 가환한다.

:

\begin{matrix}M&}&M\\&{\scriptstyle s}\searrow&\downarrow\scriptstyle t\\&&O\end{matrix}

(역원의 존재) 다음 그림이 가환한다.

:

\begin{matrix}M_t\times_t M&\xleftarrow{\operatorname{diag}_M}&M\\{\scriptstyle i\times\operatorname{id}}\downarrow&&&\searrow\scriptstyle s&\\M_s\times_tM&\xrightarrow[c]{}&M&\xleftarrow[e]{}&O\\{\scriptstyle\operatorname{id}\times i}\uparrow&&&\nearrow\scriptstyle t&\\M_s\times_s M&\xleftarrow[\operatorname{diag}_M]{}&M\\\end{matrix}

3. 예

집합과 함수의 범주 $\operatorname{Set}$ 에서의 내적 범주는 작은 범주이고, 군과 군 준동형의 범주 $\operatorname{Grp}$ 에서의 내적 범주는 교차 가군(crossed module^영어)이다.^[5]

3. 1. 집합의 범주에서의 내적 범주

집합과 함수의 범주

\operatorname{Set}

에서의 내적 범주는 작은 범주이다.

3. 2. 군의 범주에서의 내적 범주

군과 군 준동형의 범주

\operatorname{Grp}

속의 내적 범주는 작은 범주의 범주

\operatorname{Cat}

속의 군 대상과 사실상 같으며, 교차 가군(crossed module^영어)이라고 불린다.^[5]

참조

_[1] 서적 Sheaves in geometry and logic : a first introduction to topos theory Springer-Verlag 1992
_[2] 서적 Categories for the working mathematician Springer 1998
_[3] 서적 Handbook of categorical algebra https://archive.org/[...] Cambridge University Press 1994
_[4] 서적 Topos theory https://archive.org/[...] Academic Press 1977
_[5] 서적 Categories for the working mathematician Springer 1998

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