당김 (범주론)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 밑 변환
3. 성질
- 3.1. 곱과의 관계
- 3.2. 당김 사각형의 붙임
4. 예
5. 약한 당김
참조

1. 개요

당김은 주어진 범주에서 특정 가환 그림을 만족시키는 대상과 사상으로 구성된 범주론적 개념이다. 대상 X, Y, Z와 사상 f: X → Z, g: Y → Z가 주어졌을 때, X와 Y의 당김은 가환 그림을 만족시키는 대상 P와 사상 p1: P → X, p2: P → Y로 구성되며, 이를 당김 사각형이라고 한다. 당김은 극한의 일종으로, 보편 성질을 만족해야 하며, 존재한다면 동형 사상까지 유일하다. 당김은 곱, 동등자, 핵쌍, 밑 변환 등과 밀접한 관련이 있으며, 다양한 범주에서 정의되고 활용된다. 특히, 집합, 군, 환, 가환환 등의 범주에서 당김이 존재하며, 위상 공간, 스킴, 함수의 그래프 등에서도 당김의 개념이 사용된다. 약한 당김은 중재 사상의 유일성을 요구하지 않는 당김의 변형이다.

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당김 (범주론)
범주론에서의 당김
범주론에서의 당김
다른 이름	섬유곱 역상 끌어당기기
정의
대상	범주론에서, 사상 f : X → Z와 g : Y → Z의 당김(또는 섬유곱)은 대상 P와 사상 P → X, P → Y로 구성되며, 다음 조건을 만족시킨다.
사상	P → X, P → Y
조건	P에서 Z로 가는 두 사상 f(P → X)와 g(P → Y)가 같다.
보편 성질	위 조건을 만족하는 모든 대상 W와 사상 W → X, W → Y에 대해, W → P로 가는 유일한 사상이 존재한다.
표기법
당김	X ×Z Y
사상	P → X는 π1 P → Y는 π2
다른 표기	f(Y) 또는 g(X)
예시
집합론	X ×Z Y는 {(x, y) ∈ X × Y \| f(x) = g(y)} π1은 (x, y) → x π2는 (x, y) → y
환론	A와 B가 R-대수이고, 텐서곱 A ⊗R B는 A와 B의 당김이다. R → A와 R → B를 사상으로 간주한다.
위상 공간론	X와 Y가 Z 위의 공간이고, 곱 공간 X × Y는 X와 Y의 당김이다. X → Z와 Y → Z를 연속 사상으로 간주한다.
성질
교환 법칙	(X ×Z Y) ≅ (Y ×Z X)
결합 법칙	(X ×Z Y) ×Y W ≅ X ×Z (Y ×Y W)
자기 동형 사상	X ×X X ≅ X
함자	당김은 함자이다.
극한	당김은 범주론적 극한의 일종이다.
관련 개념
쌍대 개념	밀어내기

2. 정의

어떤 범주에서 대상 $X,Y,Z$ 및 사상 $X\xrightarrow fZ\xleftarrow gY$ 이 주어졌을 때, $X$ 와 $Y$ 의 '''당김''' $X\times_ZY$ 는 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 대상 $P$ 및 사상 $p_1,p_2$ 로 구성된다.

: $\begin{matrix}P&\overset{p_1}\to&X\\{\scriptstyle p_2}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\Y&\underset g\to&Z\end{matrix}$

위와 같은 가환 그림을 '''당김 사각형'''(pullback square^영어)이라고 한다.

이는 극한을 이루어야 한다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다. 다른 모든 대상 $P'$ 및 사상 $p'_1\colon P'\to X$ , $p'_2\colon P'\to Y$ 에 대하여, 만약 $f\circ p'_1=g\circ p'_2$ 라면 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 $u\colon P'\to P$ 가 유일하게 존재한다.

: $\begin{matrix}&&P'\\^{p'_1}&\swarrow&\downarrow\scriptstyle\exists!u&\searrow&^{p'_2}\\X&\leftarrow&P&\rightarrow&Y\\_f&\searrow&&\swarrow&_g\\&&Z\end{matrix}$

만약 $X=Y$ 이며 $f=g$ 일 경우, $X\xrightarrow fZ\xleftarrow fX$ 의 당김은 '''핵쌍'''(核雙, kernel pair^영어)이라고 한다.

모든 보편적 구성과 마찬가지로, 당김은 존재한다면 동형 사상까지 유일하다. 실제로, 동일한 cospan $X\to Z\leftarrow Y$ 의 두 당김 $(A,a_1,a_2)$ 와 $(B,b_1,b_2)$ 가 주어지면, 당김 구조를 존중하는 $A$ 와 $B$ 사이의 유일한 동형 사상이 존재한다.^[1]

2. 1. 밑 변환

범주

\mathcal C

의 사상에 대한 어떤 성질

\mathfrak P

가 밑 변환에 대하여 안정적이라는 것은,

\mathfrak P

사상

f\colon X\to Y

및 임의의 사상

Y'\to Y

에 대하여 밑 변환

f'\colon X\times_YY'\to Y'

역시

\mathfrak P

사상이라는 것을 의미한다.

밑 변환에 의하여, 임의의 사상

f\colon B'\to B

에 대하여 조각 범주 사이의 함자

:

f^*\colon\mathcal C/B\to\mathcal C/B'

가 존재하며, 이는 조각 범주의 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다.

:

f^*\colon (X\to B)\mapsto (X\times_BB'\to B')

:

f^*\colon \begin{pmatrix}X\\{\scriptstyle g}\downarrow&\searrow\\Y&\to&B\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}X\times_BB'\\{\scriptstyle f^*g}\downarrow&\searrow\\Y\times_BB'&\to&B\end{pmatrix}

여기서 사상

X\times_BB'\to Y\times_BB'

는 당김 보조정리에 의하여 존재한다.

만약

\mathcal C

가 토포스라면, 그 위의 조각 범주

\mathcal C/B

,

\mathcal C/B'

역시 토포스이며, 밑 변환 함자는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 갖는다.

:

f_!\dashv f^*\dashv f_*

또한,

(f_!,f^*,f_*)

는 토포스 사이의 본질적 기하학적 사상을 이룬다.

3. 성질

곱과 동등자가 존재하는 범주에서는 당김이 존재한다. 구체적으로, 곱

: $X\xleftarrow{\pi_X}X\times Y\xrightarrow{\pi_Y}Y$

이 주어졌을 때,

: $X\xrightarrow fZ\xleftarrow gY$

의 당김은

: $X\times Y\xrightarrow[g\circ\pi_Y]{f\circ\pi_X}Z$

의 동등자이다. 반대로, 당김과 곱이 존재하는 범주에서는 동등자가 존재한다.

단사 사상은 풀백에 대해 안정적이다. 즉, 아래 그림에서 화살표 $f$ 가 단사 사상이면, 화살표 $p_2$ 도 단사 사상이다. 마찬가지로, $g$ 가 단사 사상이면, $p_1$ 도 단사 사상이다.^[3] 동형 사상 역시 안정적이다.

아벨 범주에서 모든 풀백이 존재하며,^[4] 핵을 보존한다. 만약 위 그림이 풀백 다이어그램이라면, 유도된 사상 $\ker(p_2) \rightarrow \ker(f)$ 는 동형 사상이고,^[5] 유도된 사상 $\ker(p_1) \rightarrow \ker(g)$ 도 동형 사상이다.

3. 1. 곱과의 관계

범주론에서, 끝 대상이 존재하는 경우 당김은 곱의 일반화이다. 구체적으로, 끝 대상

1

이 존재할 경우,

X\times_1Y\cong X\times Y

이다.^[2] 즉, 끝 대상이 존재하는 경우 당김(올곱)은 곱의 일반화이다.

만약

Z

를 끝 대상으로 특수화하여 "사소화"하면,

f

와

g

가 고유하게 결정되므로 정보를 전달하지 않으며, 이 코스팬의 당김은

X

와

Y

의 곱으로 볼 수 있다.

3. 2. 당김 사각형의 붙임

'''당김 보조정리'''(pullback lemma^영어)에 따르면, 두 개의 당김 사각형을 붙여 당김 사각형을 만들 수 있다.

다음과 같은 가환 그림을 생각해 보자.

:

\begin{matrix}\bullet&\to&\bullet&\to&\bullet\\\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\\bullet&\to&\bullet&\to&\bullet\\\end{matrix}

이 그림에서 왼쪽 사각형, 오른쪽 사각형, 전체 사각형이 각각 당김 사각형을 이루는지 여부를 따져볼 수 있다. 당김 보조정리에 따르면, 오른쪽 사각형이 당김 사각형일 때, 왼쪽 사각형이 당김 사각형인 것과 전체 사각형이 당김 사각형인 것은 동치이다.

하지만 이러한 정리는 왼쪽 사각형에 대해서는 성립하지 않는다. 즉, 두 개의 당김 사각형을 붙여 당김 사각형을 만들 수 있고, 반대로 당김 사각형을 반으로 나누었을 때 오른쪽이 당김 사각형이라면 왼쪽도 마찬가지이다. (그러나 왼쪽이 당김 사각형일 경우 오른쪽은 아닐 수 있다.)

다음은 가능한 경우를 표로 나타낸 것이다. ("예"는 당김 사각형인 경우, "아니오"는 당김 사각형이 아닌 경우)

오른쪽	왼쪽	전체	가능?
예	예	예	가능
예	예	아니오	불가능
예	아니오	예	불가능
예	아니오	아니오	가능
아니오	예	예	가능
아니오	예	아니오	가능
아니오	아니오	예	가능
아니오	아니오	아니오	가능

또한, 자연 동형 사상 (''A''×_''C''''B'')×_''B'' ''D'' ≅ ''A''×_''C''''D''가 존재한다. 구체적으로, 이는 다음을 의미한다.

사상 ''f'' : ''A'' → ''C'', ''g'' : ''B'' → ''C'', ''h'' : ''D'' → ''B''가 주어지고,
''f''와 ''g''의 풀백이 ''r'' : ''P'' → ''A'', ''s'' : ''P'' → ''B''로 주어지고,
''s''와 ''h''의 풀백이 ''t'' : ''Q'' → ''P'', ''u'' : ''Q'' → ''D''로 주어진다면,
''f''와 ''gh''의 풀백은 ''rt'' : ''Q'' → ''A'', ''u'' : ''Q'' → ''D''로 주어진다.

이는 두 개의 풀백 사각형이 나란히 배치되어 하나의 사상을 공유할 때, 내부 공유 사상을 무시하면 더 큰 풀백 사각형을 형성한다는 것을 그림으로 나타낸 것이다.

:

\begin{array}{ccccc}Q&\xrightarrow{t}&P& \xrightarrow{r} & A \\\downarrow_{u} &  & \downarrow_{s} & &\downarrow_{f}\\D & \xrightarrow{h} & B &\xrightarrow{g} & C\end{array}

4. 예

대수 구조 다양체로 정의되는 범주에서는 당김이 항상 존재하며, 보통 '''올곱'''으로 불린다. 예를 들어 집합과 함수의 범주, 군의 범주, 아벨 군의 범주, 유사환의 범주, 환의 범주, 가환환의 범주 등에서 당김이 존재한다. 이러한 범주에서 당김은 특정한 조건을 만족하는 원소들의 쌍으로 구성된다.

항등원을 갖는 가환환의 범주에서 당김은 섬유곱이라고 불린다. 가환환 $A, B, C$와 환 준동형 사상 $ \alpha : A \to C $, $ \beta : B \to C $가 주어졌을 때, 당김은 다음과 같이 정의된 곱환 $ A \times B $의 부분환으로 주어진다.

: $A \times_{C} B = \left\{(a,b) \in A \times B \; \big| \; \alpha(a) = \beta(b) \right\}$

이때, 사상 $ \beta' : A \times_{C} B \to A $와 $ \alpha' : A \times_{C} B \to B $는 모든 $ (a, b) \in A \times_C B $에 대해 $ \beta'(a, b) = a $ 및 $ \alpha'(a, b) = b $로 주어지며, $ \alpha \circ \beta' = \beta \circ \alpha' $를 만족한다.

집합 범주에서 함수 $ f : X \to Z $와 $ g : Y \to Z $의 당김은 항상 존재하며, 다음 집합으로 주어진다.

:

X\times_Z Y = \{(x, y) \in X \times Y| f(x) = g(y)\} = \bigcup_{z \in f(X) \cap g(Y)} f^{-1}[\{z\}] \times g^{-1}[\{z\}] ,

이와 함께 $ X \times_Z Y $로의 사영 사상 $ \pi_1 $ 및 $ \pi_2 $의 제한이 주어진다. 또는, 집합 범주에서 당김을 비대칭적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

X\times_Z Y  \cong \coprod_{x\in X} g^{-1}[\{f(x)\}] \cong \coprod_{y\in Y} f^{-1}[\{g(y)\}]

여기서 $\coprod$은 집합의 분리 합집합을 나타낸다.

섬유 다발 이론에서 다발 사상 $ \pi : E \to B $와 연속 함수 $ f : X \to B $가 주어지면, 위상 공간 범주에서 연속 사상으로 형성된 당김 $ X \times_B E $는 $ X $ 위의 섬유 다발로, 당김 다발이라고 불린다.

함수 아래 집합의 원상은 당김으로 설명할 수 있다.^[1] 함수 $ f : A \to B $와 부분집합 $ B_0 \subseteq B $가 주어졌을 때, 포함 사상 $ g : B_0 \hookrightarrow B $를 생각하면, 집합 범주에서 $ f $와 $ g $의 풀백은 원상 $ f^{-1}[B_0] $와 원상의 $ A $로의 포함 사상, 그리고 $ f $를 $ f^{-1}[B_0] $로 제한한 함수로 주어진다.

양의 정수의 곱셈 모노이드를 하나의 대상이 있는 범주로 고려할 때, 두 양의 정수 $ m $과 $ n $의 풀백은 $ (\frac{\operatorname{lcm}(m,n)}{m}, \frac{\operatorname{lcm}(m,n)}{n}) $이며, 여기서 분자는 모두 $ m $과 $ n $의 최소공배수이다.

4. 1. 대수적 범주

대수 구조 다양체로 정의되는 범주의 경우, 당김이 항상 존재하며, 보통 '''올곱'''으로 불린다. 예를 들어 다음과 같은 범주들에서 당김이 존재한다.

집합과 함수의 범주 $\operatorname{Set}$
군의 범주 $\operatorname{Grp}$
아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}$
유사환의 범주 $\operatorname{Rng}$
환의 범주 $\operatorname{Ring}$
가환환의 범주 $\operatorname{CRing}$

이러한 범주에서,

:

X\xrightarrow fZ\xleftarrow gY

와 같은 대수 구조 및 준동형의 당김은 다음과 같이 정의된다.

:

X\times_ZY=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\in Z\}=\bigsqcup_{z\in Z}f^{-1}(z)\times g^{-1}(z)\subset X\times Y

이때, 사상

X\times_ZY\to X

,

X_\times ZY\to Y

는 자연스러운 사영 함수

(x,y)\mapsto x

,

(x,y)\mapsto y

이다.

항등원을 갖는 가환환의 범주에서 당김은 섬유 곱이라고 불린다.

4. 2. 위상 공간

위상 공간의 범주에서,

X\to Z\leftarrow Y

의 당김은 곱공간

X\times Y

의 다음과 같은 부분 공간이다.

:

X\times_ZY=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=f(y)\}\subseteq X\times Y

집합으로서 이는 집합의 범주에서의 당김과 같다.

특히, 올다발

\pi\colon E\to B

및 연속 함수

X\to B

가 주어졌을 때,

E\times_BX

는

X

위에서 정의된

\pi

의 당김 올다발이다. "당김"이라는 이름은 이로부터 유래하였다.

당김의 또 다른 예는 섬유 다발 이론에서 비롯된다. 다발 사상

\pi\colon E\to B

와 연속 함수

f\colon X\to B

가 주어지면, 당김(위상 공간 범주에서 연속 사상으로 형성됨)

X\times_BE

는

X

위의 섬유 다발로, 당김 다발이라고 불린다.

4. 3. 스킴

스킴의 범주

\operatorname{Sch}

는 유한 완비 범주이며, 특히 모든 당김을 갖는다. 스킴의 당김은 (망각 함자

\operatorname{Sch}\to\operatorname{Top}

아래) 일반적으로 위상 공간의 당김과 다르다.

스킴 사상의 성질 가운데 밑 변환에 대하여 안정적인 것과 불안정한 것은 다음과 같다.

밑 변환에 대하여 안정적인 성질	밑 변환에 대하여 불안정한 성질

4. 4. 함수의 그래프

함수

f \colon X \to Y

의 ''그래프''는 다음과 같은 집합이다.

\Gamma_f = \{(x, f(x)) \colon x \in X\} \subseteq X \times Y

그래프는

f

와

Y

의 항등 함수의 당김으로 재구성할 수 있다. 정의에 따르면, 이 당김은

X \times_{f,Y,1_Y} Y = \{(x, y) \colon f(x) = 1_Y(y)\} = \{(x, y) \colon f(x) = y\} \subseteq X \times Y

이며, 이는

\Gamma_f

와 같다.

4. 5. 원상과 교집합

함수의 원상은 당김으로 설명할 수 있다. 함수 , , 집합 에 대해, 를 에서 로의 포함 사상이라고 하자. 그러면 와 의 당김은 원상 와, 의 로의 포함 사상 , 그리고 를 로 제한한 함수 로 주어진다.^[1]

이러한 성질 때문에 일반적인 범주에서 사상 와 단사 사상 의 당김은 아래에서 가 지정한 부분 대상의 "원상"으로 생각할 수 있다. 마찬가지로, 두 단사 사상의 당김은 두 부분 대상의 "교집합"으로 생각할 수 있다.^[1]

4. 6. 최소공배수

양의 정수의 곱셈 모노이드를 하나의 대상이 있는 범주로 생각할 수 있다. 이 범주에서 두 양의 정수 $m$과 $n$의 당김은 $(\frac{\operatorname{lcm}(m,n)}{m}, \frac{\operatorname{lcm}(m,n)}{n})$이며, 여기서 분자는 모두 $m$과 $n$의 최소공배수이다. 같은 쌍은 푸시 아웃이기도 하다.

5. 약한 당김

의 '''약한 당김'''은 중재 사상 가 유일할 필요가 없다는 점에서 약하게 보편적인 코뿔이다. 즉, 코스팬에 대한 원뿔이다.^[8]

참조

_[1] 서적 Mitchell
_[2] 서적 Adámek
_[3] 서적 Mitchell
_[4] 서적 Mitchell
_[5] 서적 Mitchell
_[6] 서적 Mitchell
_[7] 서적 Mitchell
_[8] 간행물 weak limit

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