뉴턴 다각형

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 기하학적 정의 (추가 설명)
3. 성질
- 3.1. 근과 값매김의 관계
- 3.2. 대칭 함수와의 관계 (추가 설명)
4. 예
- 4.1. 뉴턴 다각형 계산
- 4.2. 근의 값매김 추론
5. 역사
참조

1. 개요

뉴턴 다각형은 완비 국소환의 분수체에 속하는 다항식의 근의 행동을 연구하는 데 사용되는 기법이다. 다항식의 계수를 이용하여 확장된 실수 평면에 점을 찍고, 이 점들을 포함하는 볼록 껍질을 뉴턴 다각형으로 정의한다. 기하학적으로는, 평면에 점을 찍고 반시계 방향으로 회전하는 반직선을 이용하여 다각형을 구성하거나, 점들을 둘러싼 고무줄을 늘여서 뉴턴 다각형을 얻을 수 있다. 뉴턴 다각형의 변의 기울기와 x축 사영 길이를 통해 다항식 근의 값매김에 대한 정보를 얻을 수 있으며, 아이작 뉴턴이 1676년에 헨리 올든버그에게 보낸 편지에서 처음 언급되었다.

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뉴턴 다각형
뉴턴 다각형
유형
수학 분야	대수기하학, 복소해석학
역사
이름의 유래	아이작 뉴턴
관련 개념
관련 개념	푸아즈 방정식
예시
뉴턴 다각형의 예시

2. 정의

완비 이산 값매김환 $D$ 와 그 분수체 $K = \operatorname{Frac}D$ , 그리고 다항식 $p = a_nx^n + \dotsb + a_1x + a_0\in K[x]$ 가 주어졌다고 하자. $K$ 위의 이산 값매김을 $\nu \colon K \setminus\{0\} \to \mathbb Z$ 로 표기하고, 편의상 $\nu(0) = +\infty$ 로 놓는다.

이때, 확장된 실수 평면에서 다음과 같은 점들을 생각한다.

: $\{(i, \nu(a_i)) \colon i\in\mathbb Z\} \subsetneq (\mathbb Z\sqcup\{\infty\})^2 \subsetneq (-\infty,\infty]^2$

이 점들을 포함하는 볼록 껍질을 $p$ 의 '''뉴턴 다각형'''이라고 한다. 뉴턴 다각형은 다항식의 근의 행동을 연구하는 한 가지 기법을 제공한다.

$K$ 를 비아르키메데스 값매김 $v_K: K \to \mathbb R\cup \{ \infty \}$ 을 갖춘 체라고 하고,

: $f(x) = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0 \in K[x],$

이고, $a_0 a_n \ne 0$ 이라고 하자. 그러면 $f$ 의 뉴턴 다각형은 $P_i=\left(i,v_K(a_i)\right),$ 집합의 볼록 껍질의 아래쪽 경계로 정의되며, $a_i = 0$ 인 점은 무시한다.

기하학적으로 설명하면, ''xy''-평면에 모든 점 ''P''_''i''를 그리고, 점의 인덱스가 왼쪽에서 오른쪽으로 증가한다고 가정한다(''P''_''0''은 가장 왼쪽 점, ''P''_''n''은 가장 오른쪽 점). ''P''₀에서 시작하여 ''y''축에 평행하게 아래로 뻗는 반직선을 반시계 방향으로 회전시켜 점 ''P''_k₁(반드시 ''P''₁일 필요는 없음)에 닿게 한다. 여기서 반직선을 끊고, ''P''_k₁에서 ''y''축에 평행하게 아래로 뻗는 두 번째 반직선을 반시계 방향으로 회전시켜 점 ''P''_k₂에 닿게 한다. 이 과정을 ''P''_''n''에 도달할 때까지 계속하면, 결과적으로 생성된 다각형(점 ''P''₀, ''P''_k₁, ''P''_k₂, ..., ''P''_{k_m}, ''P''_''n''을 포함)이 뉴턴 다각형이다.

다른 방법으로 설명하면, 모든 점 ''P''₀, ..., ''P''_n을 둘러싸는 고무줄을 위로 늘려서 고무줄이 점의 아래쪽에 붙어 있도록 한다(점은 xy 평면에 부분적으로 박힌 못처럼 작용). 뉴턴 다각형의 꼭짓점은 정확히 그러한 점들이다.

2. 1. 기본 정의

완비 이산 값매김환

D

와 그 분수체

K = \operatorname{Frac}D

, 그리고 다항식

p = a_nx^n + \dotsb + a_1x + a_0\in K[x]

가 주어졌다고 하자.

K

위의 이산 값매김을

\nu \colon K \setminus\{0\} \to \mathbb Z

로 표기하고, 편의상

\nu(0) = +\infty

로 놓는다.

이때, 확장된 실수 평면에서 다음과 같은 점들을 생각한다.

:

\{(i, \nu(a_i)) \colon i\in\mathbb Z\} \subsetneq (\mathbb Z\sqcup\{\infty\})^2 \subsetneq (-\infty,\infty]^2

이 점들을 포함하는 볼록 껍질을

p

의 '''뉴턴 다각형'''이라고 한다. 뉴턴 다각형은 다항식의 근의 행동을 연구하는 한 가지 기법을 제공한다.

5진법 평가에 따른 다항식 1 + 5 ''X'' + 1/5 ''X''² + 35 ''X''³ + 25 ''X''⁵ + 625 ''X''⁶의 뉴턴 다각형 구성

좀 더 구체적으로,

K

가 비아르키메데스 값매김

v_K: K \to \mathbb R\cup \{ \infty \}

을 갖춘 체이고,

:

f(x) = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0 \in K[x],

이며,

a_0 a_n \ne 0

이라고 하자. 그러면

f

의 뉴턴 다각형은

P_i=\left(i,v_K(a_i)\right)

집합의 볼록 껍질의 아래쪽 경계로 정의된다. (

a_i = 0

인 점은 무시한다.)

기하학적으로 설명하면, ''P''_''i'' 점들을 ''xy''-평면에 그리고, 점의 인덱스가 왼쪽에서 오른쪽으로 증가한다고 가정한다(''P''_''0''은 가장 왼쪽 점, ''P''_''n''은 가장 오른쪽 점). ''P''₀에서 시작하여 ''y''축에 평행하게 아래로 뻗는 반직선을 반시계 방향으로 돌려 ''P''_k₁에 닿게 하고, 여기서 반직선을 끊는다. 이후 ''P''_k₁에서 같은 과정을 반복하여 ''P''_k₂에 닿게 한다. 이 과정을 ''P''_''n''에 도달할 때까지 계속하면 뉴턴 다각형이 완성된다.

다른 설명으로는, 모든 점을 둘러싸는 고무줄을 늘려 점의 아래쪽에 붙도록 하면, 뉴턴 다각형의 꼭짓점은 고무줄이 붙은 점들이 된다.

2. 2. 기하학적 정의 (추가 설명)

완비 이산 값매김환

D

와 그 분수체

K = \operatorname{Frac}D

, 그리고 다항식

p = a_nx^n + \dotsb + a_1x + a_0\in K[x]

가 주어졌다고 하자.

K

위의 이산 값매김을

\nu \colon K \setminus\{0\} \to \mathbb Z

로 표기하고, 편의상

\nu(0) = +\infty

로 놓는다.

이때, 확장된 실수 평면에서 다음과 같은 점들을 생각한다.

:

\{(i, \nu(a_i)) \colon i\in\mathbb Z\} \subsetneq (\mathbb Z\sqcup\{\infty\})^2 \subsetneq (-\infty,\infty]^2

이 점들을 포함하는 볼록 껍질을 다항식

p

의 뉴턴 다각형이라고 한다.

뉴턴 다각형은 어떤 체 위의 다항식의 근의 행동을 연구하는 한 가지 기법을 제공한다.

K

를 비아르키메데스 값매김

v_K: K \to \mathbb R\cup \{ \infty \}

을 갖춘 체라고 하고,

:

f(x) = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0 \in K[x],

이고,

a_0 a_n \ne 0

이라고 하자. 그러면

f

의 뉴턴 다각형은

P_i=\left(i,v_K(a_i)\right),

집합의 볼록 껍질의 아래쪽 경계로 정의되며,

a_i = 0

인 점은 무시한다.

기하학적으로 설명하면, ''xy''-평면에 모든 점 ''P''_''i''를 그리고, 점의 인덱스가 왼쪽에서 오른쪽으로 증가한다고 가정한다(''P''_''0''은 가장 왼쪽 점, ''P''_''n''은 가장 오른쪽 점). ''P''₀에서 시작하여 ''y''축에 평행하게 아래로 뻗는 반직선을 반시계 방향으로 회전시켜 점 ''P''_k₁(반드시 ''P''₁일 필요는 없음)에 닿게 한다. 여기서 반직선을 끊고, ''P''_k₁에서 ''y''축에 평행하게 아래로 뻗는 두 번째 반직선을 반시계 방향으로 회전시켜 점 ''P''_k₂에 닿게 한다. 이 과정을 ''P''_''n''에 도달할 때까지 계속하면, 결과적으로 생성된 다각형(점 ''P''₀, ''P''_k₁, ''P''_k₂, ..., ''P''_{k_m}, ''P''_''n''을 포함)이 뉴턴 다각형이다.

다른 방법으로 설명하면, 모든 점 ''P''₀, ..., ''P''_n을 둘러싸는 고무줄을 위로 늘려서 고무줄이 점의 아래쪽에 붙어 있도록 한다(점은 xy 평면에 부분적으로 박힌 못처럼 작용). 뉴턴 다각형의 꼭짓점은 정확히 그러한 점들이다.

3. 성질

다항식 $p\in K[x]$ 및 대수적 폐포 $\bar K$ 가 주어졌을 때, 이산 값매김을 $\bar K$ 에 다음과 같이 확장할 수 있다.

: $\bar\nu \colon K^\times \to \mathbb Q$

$p$ 의 뉴턴 다각형의 변의 수가 $r$ 이고, 각 변의 기울기가 $(\mu_1,\dotsc,\mu_r)$ 이며, 각 변을 ''x''축에 사영하였을 때의 길이가 $(\lambda_1,\dotsc,\lambda_r)$ 라고 하자. 그렇다면, $p$ 의 $\bar K$ 에서의 근

: $\alpha_1,\alpha_2,\dotsc,\alpha_{\deg p}$

: $p(\alpha_i) =0$

가운데, 값매김이 $-\mu_a$ 인 것의 수는 $\lambda_a$ 개이다.

3. 1. 근과 값매김의 관계

어떤 다항식

p\in K[x]

와 대수적 폐포

\bar K

가 주어졌다고 가정하자. 그러면 이산 값매김을

\bar K

로 다음과 같이 확장할 수 있다.

:

\bar\nu \colon K^\times \to \mathbb Q

p

의 뉴턴 다각형에서 변의 개수가

r

개이고, 각 변의 기울기가 다음과 같다고 하자.

:

(\mu_1,\dotsc,\mu_r)

또한, 각 변을 ''x''축에 사영했을 때의 길이는 다음과 같다고 하자.

:

(\lambda_1,\dotsc,\lambda_r)

그러면

p

가

\bar K

에서 갖는 근

:

\alpha_1,\alpha_2,\dotsc,\alpha_{\deg p}

:

p(\alpha_i) =0

중에서 값매김이

-\mu_a

인 것의 개수는

\lambda_a

개이다.

이전 절에서 사용한 표기법을 따르면, 뉴턴 다각형에 관한 주요 결과는 다음 정리와 같다.^[1] 이 정리는

f

의 근의 평가가 뉴턴 다각형에 의해 완전히 결정됨을 보여준다.

f(x)

의 뉴턴 다각형의 선분들의 기울기를

\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_r

(위에서 정의한 대로)라고 하고, 이를 오름차순으로 정렬하자. 그리고 x축에 투영된 선분들의 해당 길이(즉, 점

P_i

와

P_j

사이에 뻗어있는 선분이 있다면, 길이는

j-i

이다)를

\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_r

이라고 하자.

$\mu_i$ 는 서로 다르다.
$\sum_i \lambda_i = n$ .
만약 $\alpha$ 가 $K$ 에서 $f$ 의 근이라면, $v(\alpha) \in \{-\mu_1, \ldots , -\mu_r\}$ .
모든 $i$ 에 대해, 평가가 $-\mu_i$ 와 같은 $f$ 의 근의 수(중복도를 포함하여 계산)는 $\lambda_i$ 보다 작거나 같으며, $f$ 가 $K$ 위에서 일차 인수의 곱으로 분해될 경우 등식이 성립한다.

3. 2. 대칭 함수와의 관계 (추가 설명)

평가 맥락에서, 다항식 근의 기본 대칭 함수 값의 형태로 특정 정보를 얻으며, 대수적 폐포에서 실제 근의 값에 대한 정보가 필요하다. 이는 분기 이론과 특이점 이론의 측면을 모두 가지고 있다. 뉴턴 항등식을 통해 거듭제곱합 대칭 다항식의 값으로 추론할 수 있다.

4. 예

5진 정수의 이산 값매김환 $\mathbb Z_5$ 계수의 6차 다항식

: $1 + 5x + 5^{-1}x^2 + 3x^3 + 5^2x^5 + 5^4x^6$

을 생각해보자. 이 다항식의 뉴턴 다각형은 아래 표와 같이 세 변으로 구성된다.

시작점	끝점	x축 사영 길이	기울기
(0,0)	(2,−1)	2	−½
(2,−1)	(5,2)	3	1
(5,2)	(6,4)	1	2

이 표를 통해, 주어진 다항식의 6개의 근 가운데 5진 값매김이 ½인 것은 2개, −1인 것은 3개, −2인 것은 1개임을 알 수 있다.

4. 1. 뉴턴 다각형 계산

5진 정수의 이산 값매김환

\mathbb Z_5

계수의 6차 다항식

:

1 + 5x + 5^{-1}x^2 + 3x^3 + 5^2x^5 + 5^2x^5 + 5^4x^6

을 생각하자. 그렇다면, 뉴턴 다항식을 정의하는 점들은 다음과 같다.

:

\{(0,0), (1,1), (2,-1), (3,0), (4,\infty), (5,2), (6,4), (7,\infty), (8,\infty),\dotsc\}

따라서, 그 볼록 껍질인 뉴턴 다각형은 다음과 같이 주어지며 세 개의 변으로 구성된다.

시작점	끝점	x축 사영 길이	기울기
(0,0)	(2,−1)	2	−½
(2,−1)	(5,2)	3	1
(5,2)	(6,4)	1	2

따라서, 이 다항식의 6개의 근 가운데, 5진 값매김이 ½인 것은 2개이며, −1인 것은 3개이며, −2인 것은 1개이다.^[1]

4. 2. 근의 값매김 추론

5진 정수의 이산 값매김환

\mathbb Z_5

계수의 6차 다항식

:

1 + 5x + 5^{-1}x^2 + 3x^3 + 5^2x^5 + 5^2x^5 + 5^4x^6

을 생각하자. 그렇다면, 뉴턴 다항식을 정의하는 점들은 다음과 같다.

:

\{(0,0), (1,1), (2,-1), (3,0), (4,\infty), (5,2), (6,4), (7,\infty), (8,\infty),\dotsc\}

따라서, 그 볼록 껍질인 뉴턴 다각형은 다음과 같이 주어지며, 세 개의 변으로 구성된다.

시작점	끝점	x축 사영 길이	기울기
(0,0)	(2,−1)	2	−½
(2,−1)	(5,2)	3	1
(5,2)	(6,4)	1	2

이 다항식의 6개의 근 가운데, 5진 값매김이 ½인 것은 2개이며, −1인 것은 3개이며, −2인 것은 1개이다.

뉴턴 다각형에 관한 주요 결과는 다음과 같은 정리^[1]이며, 이 정리는 $f$ 의 근의 값매김이 뉴턴 다각형에 의해 완전히 결정된다는 것을 명시한다.

$\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_r$ 을 $f(x)$ 의 뉴턴 다각형의 선분들의 기울기라고 하고, 오름차순으로 정렬하며,

$\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_r$ 을 x축에 투영된 선분들의 해당 길이라고 하자.

$\mu_i$ 는 서로 다르다.
$\sum_i \lambda_i = n$ .
만약 $\alpha$ 가 $K$ 에서 $f$ 의 근이라면, $v(\alpha) \in \{-\mu_1, \ldots , -\mu_r\}$ .
모든 $i$ 에 대해, 값매김이 $-\mu_i$ 와 같은 $f$ 의 근의 수(중복도를 포함하여 계산)는 $\lambda_i$ 보다 작거나 같으며, $f$ 가 $K$ 위에서 일차 인수의 곱으로 분해될 경우 등식이 성립한다.

5. 역사

뉴턴 다각형은 1676년 아이작 뉴턴이 헨리 올덴버그Henry Oldenburg|헨리 올든버그^영어Heinrich Oldenburg^de에게 보낸 서신에서 처음 언급하고 일부 사용법을 설명하면서 그의 이름을 따서 명명되었다.^[4]

참조

_[1] 논문 Descartes' rule of signs, Newton polygons, and polynomials over hyperfields 2021
_[2] 문서
_[3] 서적 Local Fields
_[4] 서적 Plane Algebraic Curves 1986

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