밀너 환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 모티브
3. 성질
4. 예
5. 응용
6. 역사
참조

1. 개요

밀너 환은 체 K 위의 n차 밀너 환으로 정의되며, 자연수 계수의 등급환을 이룬다. 밀너 환의 n등급 성분은 n차 밀너 K군이라고 하며, 기호로 표현된다. 밀너 환은 모티브, 성질, 이차 형식과의 관계를 가지며, 고차 류체론에서 중요한 역할을 한다. 블록-가토 추측은 밀너 K-이론과 에탈 코호몰로지 사이의 관계를 설명하며, 밀너 추측은 이차 형식과 관련된다. 밀너 환은 존 밀너에 의해 1970년에 도입되었으며, 대수적 K군과 연관되어 연구된다.

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밀너 환
밀너 K-이론
분야	대수적 K-이론
개발자	존 밀너
발표 시기	1970년
참고 문헌	Milnor, John (1970). Algebraic K-theory and quadratic forms. Inventiones Mathematicae. 9 (4): 318–344. Totaro, Burt. Milnor K-Theory is the Simplest Part of Algebraic K-Theory.

2. 정의

체 $K$ 위의 '''밀너 환''' $\operatorname K^{\operatorname M}(K)$ 은 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname K^{\operatorname M}(K)=\frac{\operatorname T(K^\times;\mathbb Z)}{(a\otimes_{\mathbb Z}(1-a))_{a\in K\setminus\{0,1\}}}$

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$K^\times = K \setminus \{0\}$ 는 체 $K$ 의 가역원군 (0이 아닌 원소들의 곱셈에 대한 군)이다.
$\textstyle\operatorname T(K^\times;\mathbb Z)=\bigoplus_{n=0}^\infty(K^\times)^{\otimes_{\mathbb Z}n}$ 는 $K^\times$ 를 정수 계수로 하는 텐서 대수이다. 이는 $K^\times$ 의 원소들을 형식적으로 텐서곱하여 만들어지는 대수 구조이다.
$(a\otimes_{\mathbb Z}(1-a))_{a\in K\setminus\{0,1\}}$ 는 $a \in K$ 이고 $a \neq 0, 1$ 인 모든 원소 $a$ 에 대해 $a\otimes_{\mathbb Z}(1-a)$ 형태의 원소들로 생성되는 $\operatorname T(K^\times;\mathbb Z)$ 의 양쪽 아이디얼이다. 즉, 이 아이디얼은 밀너 환에서 0으로 간주되는 관계식을 정의한다.

밀너 환

\operatorname K^{\operatorname M}(K)

은 자연수를 등급으로 가지는 등급환 구조를 가진다. 자연수

n

에 대해, 밀너 환의 등급

n

성분을 '''

n

차 밀너 K군'''(

n

次Milnor K群,

n

th Milnor K-group^영어)이라고 부르며,

\operatorname K^{\operatorname M}_n(K)

로 표기한다.

밀너 환의

n

등급 원소, 즉

\operatorname K^{\operatorname M}_n(K)

의 원소는 보통 다음과 같이 표기한다.

:

\{a_1,a_2,\dots,a_n\} \in \operatorname K^{\operatorname M}_n(K) \qquad (a_1,\dots,a_n \in K^\times)

이 표기

\{a_1,a_2,\dots,a_n\}

는

n

차 '''기호'''(記號, symbol^영어)라고도 불린다. 이는 힐베르트 기호가 유사한 관계식(

(a,1-a)=1

)을 만족시키는 것에서 유래한 명칭이다. (힐베르트 기호의 경우, 군 연산을 곱셈으로 표기하므로 관계식의 결과가 0 대신 1이 된다.)

2. 1. 모티브

가환환의 그로텐디크 군

K(R)

이 정의된 이후, 수학자들은 무한히 많은 고차 K-이론 군

K_i(R)

이 존재할 것이라고 예상했다. 이는 특정 짧은 완전 시퀀스

:

K(R,I) \to K(R) \to K(R/I) \to 0

가 긴 완전 시퀀스로 확장될 수 있어야 한다는 생각에서 비롯되었다. 여기서 왼쪽의 군은 상대 K-이론 군이다. 이 예상은 많은 후속 연구를 촉발했다.

고차 K-이론이 어떤 모습일지에 대한 첫 번째 추측 중 하나로, 밀너는 체

F

에 대한 정의를 제시했다. 그의 아이디어는 차수가 1과 2인 경우의 K-이론 계산 결과에 기반했다. 즉,

K_1(F)

와

K_2(F)

가 어떤 형태를 가져야 하는지에 대한 관찰을 일반화하려 한 것이다. 밀너는 만약 일반적인 대수적 K-이론

K_*(R)

의 생성자가 차수 1에 있고, 그들 사이의 관계가 차수 2에서 결정된다면, 이 두 정보만으로 전체 K-이론 환의 구조를 파악할 수 있을 것이라고 가정했다. 이러한 가정 하에, 그는 텐서 대수와 특정 관계식(나중에 스타인버그 관계로 알려짐)을 이용하여 고차 K-군을 구성하는 "임시"적인 정의를 만들었다.

낮은 차수에서의 K-군은 다음과 같이 알려져 있었다.

$K_0(F)$ : 체 $F$ 위에서 유한하게 생성된 가군은 유한 차원의 벡터 공간뿐이므로, $K_0(F) = \mathbb{Z}$ 로 비교적 쉽게 계산된다.
$K_1(F)$ : $K_1(F)$ 는 체 $F$ 의 곱셈군 $F^*$ (0을 제외한 원소들의 곱셈에 대한 군)과 자연스럽게 동형이다. 즉, 동형 사상 $l\colon K_1(F) \to F^*$ 가 존재한다.
$K_2(F)$ : 마츠모토 히데야는 $K_2(F)$ 가 다음과 같이 표현됨을 보였다.

:

K_2(F) = \frac{F^*\otimes F^*}{\langle l(a)\otimes l(1-a) : a \in F, a \neq 0 ,1 \rangle}

여기서 분모는

a \neq 0, 1

인 모든

a

에 대해

l(a)\otimes l(1-a)

형태의 원소들로 생성되는 아이디얼이다. 이 관계

l(a)\otimes l(1-a) = 0

을 스타인버그 관계라고 부른다.

밀너는 마츠모토가 찾은 스타인버그 관계가

K_*(F)

를 정의하는 유일한 추가적인 관계일 것이라고 추측하고, 이를 바탕으로 모든 차수

n

에 대한 밀너 K-군

K_n^M(F)

을 다음과 같이 정의했다.

:

K_n^M(F) = \frac{\overbrace{F^*\otimes \cdots \otimes F^*}^n}{\langle l(a_1)\otimes \cdots \otimes l(a_n) : \exists i, a_i + a_{i+1} = 1 \rangle}

이는

K_1(F) \cong F^*

를 이용한 표현이다. 모든 차수의 밀너 K-군을 모은

K_*^M(F) = \bigoplus_{n=0}^\infty K_n^M(F)

는

F^*

의 텐서 대수

T(F^*)

를 스타인버그 관계

l(a)\otimes l(1-a)

(단,

a \neq 0, 1

)로 생성된 양면 아이디얼로 나눈 것과 같다.

:

K_*^M(F) \cong \frac{T(F^*)}{\langle l(a)\otimes l(1-a) : a \neq 0,1 \rangle}

이 정의에서 원소

l(a_1)\otimes \cdots \otimes l(a_n)

의 상(image)을 기호

\{a_1,\ldots,a_n\}

로 나타낸다. 특히

n=2

일 때

\{a, 1-a\} = 0

이 스타인버그 관계가 되며, 이를 슈타인버그 기호(Steinberg symbol)라고 부른다.^[13] 텐서곱은

K_*^M(F)

에 곱셈 구조

K_m^M(F) \times K_n^M(F) \rightarrow K_{m+n}^M(F)

를 부여하며, 이는 차수 가환(graded-commutative)적인 성질을 만족한다.^[12]

나중에 퀼런 등이 정의한 일반적인 대수적 K-이론

K_n(F)

는 밀너의 예상보다 더 복잡한 구조를 가지는 것으로 밝혀졌다. 밀너 K-이론

K_n^M(F)

는

n=0, 1, 2

에 대해서는 퀼런 K-이론

K_n(F)

와 일치하지만,

n \ge 3

부터는 일반적으로 같지 않다. 다만, 유리수

\mathbb{Q}

와의 텐서곱을 취하면 밀너 K-이론은 퀼런 K-이론의 부분군으로 포함된다. 즉,

K_n^M(F)\otimes \mathbb{Q} \subseteq K_n(F)\otimes \mathbb{Q}

이다.^[3] 하지만 자연스러운 사상

\lambda:K_4^M(F) \to K_4(F)

는 전역 체

F

에 대해 단사(injective)가 아님이 알려져 있다.^[3]^{pg 96}

3. 성질

밀너 환은 등급 가환 등급환이다.

밀너 K군 $\operatorname K^{\operatorname M}_n(K)$ 에서 퀼런 K군 $\operatorname K_n(K)$ 으로 가는 자연스러운 군 준동형이 존재한다.

: $\operatorname K^{\operatorname M}_n(K)\to\operatorname K_n(K)\;\forall n\in\mathbb N$

이는 $n\le2$ 에 대하여 동형 사상이지만, $n\ge3$ 일 때는 일반적으로 동형 사상이 아니다.

등급 가군 $K_*^M(F)$ 는 등급 가환 환이다.^[1]^{pg 1-3}^[4] 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

: $(l(a_1)\otimes\cdots \otimes l(a_n))\cdot (l(b_1)\otimes\cdots \otimes l(b_m)) = l(a_1)\otimes\cdots \otimes l(a_n) \otimes l(b_1)\otimes\cdots \otimes l(b_m)$

이때 $\xi \in K_i^M(F)$ 이고 $\eta \in K^M_j(F)$ 에 대해 다음 등식이 성립한다.

: $\xi \cdot \eta = (-1)^{i \cdot j}\eta \cdot \xi$

이 성질의 증명 과정에서 몇 가지 추가적인 성질이 나타난다. 예를 들어, $l(a) \in K_1(F)$ 에 대해 $l(a)l(-a) = 0$ 이므로 $l(a)^2 = l(a)l(-1)$ 이 성립한다. 또한, 체 F의 0이 아닌 원소 $a_1, \dots, a_n$ 에 대해 만약 $a_1+\cdots + a_n$ 이 0 또는 1과 같다면, $l(a_1)\cdots l(a_n) = 0$ 이다.

이는 산술적으로 중요한 의미를 갖는다. 예를 들어, 체 F에서 -1이 제곱들의 합으로 표현될 수 있다는 것은 모든 양의 차수 $n$ 에 대해 밀너 K-군 $K_n^M(F)$ 가 멱영이라는 것과 필요충분조건이다. 이는 밀너 K-군의 구조에 대한 강력한 정보이다. 특히, $\mathbb{Q}(i)$ 나, $\sqrt{-1} \not\in \mathbb{Q}_p$ 인 경우의 $\mathbb{Q}_p(i)$ 와 같은 체에 대해서는 모든 밀너 K-군이 멱영이다. 반대로, 만약 모든 양의 차수 밀너 K-군이 멱영이 아니라면, 체 F는 실수 닫힌 체에 포함될 수 있으며, 이는 체 F에 완전 순서를 부여할 수 있음을 의미한다.

체 F의 K₂ 계산을 통해 밀너는 '고차' K-군을 다음과 같이 정의했다.

: $K^M_*(F) := T^*F^\times/(a\otimes (1-a))$

이는 0 또는 1이 아닌 원소 $a$ 에 대해 $a\otimes (1-a)$ 형태의 원소들로 생성된 양쪽 아이디얼로 나눈, 체 F의 곱셈군 F^×의 텐서 대수 $T^*F^\times$ 의 등급별 성분이다. n = 0, 1, 2에 대해서는 퀼런 K군과 일치하지만, n ≥ 3에 대해서는 일반적으로 같지 않다. '''기호''' $\{a_1,\ldots,a_n\}$ 은 $a_1 \otimes \cdots \otimes a_n$ 의 상으로 정의되며, n = 2일 때 이는 Steinberg symbol^영어이다^[13]。

텐서 대수의 텐서곱은 $K^M_*(F)$ 를 등급 가환적인 등급환으로 만드는 곱셈 연산 $K_m \times K_n \rightarrow K_{m+n}$ 을 유도한다^[12]。

3. 1. 블록-가토 추측

임의의 체

K

및

K

의 표수의 배수가 아닌 정수

l\in\mathbb Z\setminus(\operatorname{char}K)\mathbb Z

이 주어졌다고 하자.

\mu_l

이 1의

l

거듭제곱근으로 구성된,

K

의 주어진 분해 가능 폐포

K^{\operatorname{sep}}

에 대한 절대 갈루아 군

\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)

의 가군이라고 하자.

'''블록-가토 추측'''(Bloch–Kato conjecture|블록-가토 추측^영어)에 따르면, 다음과 같은 군의 동형이 존재한다.

:

\frac{\operatorname K_n^{\operatorname M}(K)}{l\operatorname K_n^{\operatorname M}(K)}\to\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^n(K;\mu_l^{\otimes n})=\operatorname H^n(\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K);\mu_l^{\otimes n})

여기서 좌변은

l

차 꼬임 군이 되는 몫군이며, 우변은 절대 갈루아 군의 군 코호몰로지(또는 에탈 코호몰로지)이다. 이 동형 사상을 '''갈루아 기호'''(Galois symbol|갈루아 기호^영어)라고 한다.

이 추측은 노름 잉여 동형 정리라고도 불리며, 밀너 K-이론을 갈루아 코호몰로지 또는 에탈 코호몰로지와 관련시키는 훨씬 더 깊은 결과이다. 이는 체 ''F''에서 가역적인 모든 양의 정수 ''r''에 대해 다음과 같이 표현될 수 있다.^[9]

:

K^M_n(F)/r \cong H^n_{\mathrm{et}}(F, \Z/r(n))

블록-가토 추측은 알렉산더 메르쿠리예프와 안드레이 수슬린의 정리(

n = 2

인 경우)와 밀너 추측(

r = 2

인 경우)을 특수한 경우로 포함한다.^[9]

블록-가토 추측은 스펜서 블록과 가토 가즈야가 제시하였고, 블라디미르 보예보츠키가 2008년에 모티브 코호몰로지를 사용하여 증명하였다.^[15] 이 증명에는 마르쿠스 로스트 등의 기여도 포함된다.^[9]

3. 2. 이차 형식과의 관계

K

가 표수가 2가 아닌 체라고 하자. 그 비트 환

\operatorname W(K)

의 '''기본 아이디얼'''(fundamental ideal^영어)

\mathfrak i(K)\subseteq \operatorname W(K)

은 짝수 차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식들의 비트 동치류들로 구성된 아이디얼이다. 이는 다음과 같은 군 준동형의 핵으로 정의된다.

:

\operatorname W(K)\to\mathbb Z/2

:

[(V,Q)]\mapsto\dim_KV\bmod2

이때, 밀너 K-이론과 기본 아이디얼 사이에는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

:

\frac{\operatorname K_n^{\operatorname M}(K)}{2\operatorname K_n^{\operatorname M}(K)}\to\frac{\mathfrak i(K)^n}{\mathfrak i(K)^{n+1}}

:

\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\mapsto\operatorname{diag}(1,-a_1)\otimes\operatorname{diag}(1,-a_2)\otimes\cdots\otimes\operatorname{diag}(1,-a_n)

여기서

\operatorname{diag}(a,b)

는 대각화된 2차원 이차 형식을 의미하며,

\otimes

는 이차 형식의 텐서곱이다. 우변과 같은 형태의 이차 형식을 '''피스터 형식'''(Pfister form^영어)이라고 부르며, 이는 독일 수학자 알브레히트 피스터(Albrecht Pfister^de)가 1965년에 도입하였다.^[16]^[10]^[13]

'''밀너 추측'''(Milnor conjecture^영어)은 위에서 정의된 군 준동형이 항상 아벨 군의 동형 사상을 이룬다는 내용이다.^[14] 이 추측은 존 밀너가 처음 제시하였으며, 2007년 드미트리 오를로프(Дми́трий Орло́в^ru), 알렉산드르 비시크(Алекса́ндр Вишик^ru), 그리고 블라디미르 보예보츠키에 의해 증명되었다.^[17]^[11]

3. 3. 모티브 코호몰로지 표현

모티브 코호몰로지, 특히 모티브 호모토피 이론의 맥락에서, 아벨 군

A

를 계수로 하는 밀너 K-이론의 일반화를 나타내는 층

K_{n,A}

가 존재한다.

A_{tr}(X) = \mathbb{Z}_{tr}(X)\otimes A

로 표기할 때, 층

K_{n,A}

는 다음 사전층의 층화로 정의된다.^[5]^{pg 4}

K_{n,A}^{pre}: U \mapsto A_{tr}(\mathbb{A}^n)(U)/A_{tr}(\mathbb{A}^n - \{0\})(U)

이 사전층의 단면은

A

를 계수로 가지며, 열린 집합

U

에 대해

U\times\mathbb{A}^n

상의 등차원적이고 유한한 사이클들의 동치류로 이해할 수 있다 (이는

\mathbb{Z}_{tr}(X)

의 정의에서 직접적으로 따른다). 이 층

K_{n,A}

는 모티브 에일렌베르크-매클레인 층

K(A, 2n,n)

과

\mathbb{A}^1

-약한 동치 관계를 갖는다는 것을 보일 수 있다 (등급 매김 규칙에 따라 다를 수 있음).

4. 예

임의의 체 $K$ 에 대하여, 밀너 K-군은 다음과 같다.

: $\operatorname K^{\operatorname M}_0(K)\cong\mathbb Z$ (정수 환)

: $\operatorname K^{\operatorname M}_1(K)\cong K^\times$ ( $K$ 의 곱셈군)

유한체 $\mathbb F_q$ 의 경우, 차수가 2 이상인 밀너 K-군은 모두 자명군이다.

: $\operatorname K^{\operatorname M}_n(\mathbb F_q)=0\qquad\forall n\ge2$

이는 $\operatorname K_1^{\operatorname M}(\mathbb F_q) \cong \mathbb F_q^\times$ 가 $q-1$ 차 순환군이고, 밀너 K-환의 등급 가환성( $l(a)l(b) = -l(b)l(a)$ )에 의해 $l(a)^2 = 0$ 이 성립하며, Steinberg 관계를 이용하여 $\operatorname K_2^{\operatorname M}(\mathbb F_q)=0$ 임을 보일 수 있기 때문이다.

복소수체 $\mathbb C$ 의 경우, 2차 밀너 K-군 $\operatorname K_2^{\operatorname M}(\mathbb C)$ 는 비가산 집합이며, 유리수체 위의 벡터 공간이다. 또한, 이는 비가산 유일 가분군이다.^[7]

실수체 $\mathbb R$ 의 경우, 2차 밀너 K-군 $\operatorname K_2^{\operatorname M}(\mathbb R)$ 는 위수 2의 순환군과 비가산 유일 가분군의 직합이다.

p-진수체 $\mathbb Q_p$ 의 경우, 2차 밀너 K-군 $\operatorname K_2^{\operatorname M}(\mathbb Q_p)$ 는 유한체 $\mathbb F_p$ 의 곱셈군과 비가산 유일 가분군의 직합이다.

유리수체 $\mathbb Q$ 의 경우, 2차 밀너 K-군은 다음과 같다.

: $\operatorname K_2^{\operatorname M}(\mathbb Q) \cong \operatorname{Cyc}(2)\oplus\bigoplus_{p=3,5,7,11,\dots}\mathbb F_p^\times$

여기서 $\operatorname{Cyc}(n)$ 은 $n$ 차 순환군을 뜻한다. 즉, 위수 2의 순환군과 모든 홀수 소수 $p$ 에 대한 위수 $p-1$ 인 순환군들의 직합이다. 3차 이상의 밀너 K-군은 다음과 같다.

: $\operatorname K_n^{\operatorname M}(\mathbb Q) \cong \mathbb Z/2\mathbb Z \qquad \forall n\ge3$ ^[1]

일반적인 국소체 $F$ (예: $\mathbb Q_p$ 의 유한 확장)에 대해, 밀너 K-군 $\operatorname K_n^{\operatorname M}(F)$ 는 가분군이다.

5. 응용

밀너 K-이론은 고차 류체론에서 기본적인 역할을 수행하며, 1차원 류체론에서 사용되는 곱셈군 $F^{\times}$ 를 고차원으로 일반화하는 역할을 한다. 즉, $K_1^M(F) = F^{\times}\!$ 이다.

밀너 K-이론은 동형 사상을 통해 더 넓은 범위의 모티브 코호몰로지와 연결된다. 체 $F$ 에 대해 다음과 같은 동형 관계가 성립한다:^[8]

: $K^M_n(F) \cong H^n(F, \Z(n))$

이 동형 관계는 체의 특정 모티브 코호몰로지 군을 생성원과 관계를 통해 명시적으로 계산할 수 있게 해준다는 점에서 중요하다.

더 나아가, 노름 잉여 동형 정리(블로흐-카토 추측이라고도 불림)는 밀너 K-이론을 갈루아 코호몰로지 또는 에탈 코호몰로지와 관련시킨다.

: $K^M_n(F)/r \cong H^n_{\mathrm{et}}(F, \Z/r(n))$

이 관계는 체 ''F''에서 가역적인 모든 양의 정수 ''r''에 대해 성립하며, 블라디미르 보예보드스키가 마르쿠스 로스트 등의 기여를 바탕으로 증명했다.^[9] 이 정리는 알렉산더 메르쿠리예프와 안드레이 수슬린의 정리( $n=2$ 인 경우)와 밀너 추측( $r=2$ 인 경우)을 특수한 경우로 포함한다.

마지막으로, 밀너 K-이론은 이차 형식과도 깊은 관련이 있다. 표수가 2가 아닌 체 ''F''에 대해, 이차 형식의 비트 링 $W(F)$ 의 기본 아이디얼 ''I''는 이차 형식의 차원에 의해 정의되는 준동형 사상 $W(F) \to\Z/2$ 의 핵이다. 밀너는 다음과 같은 준동형 사상을 정의했다.

: $\begin{cases} K_n^M(F)/2 \to I^n/I^{n+1} \\ \{a_1, \ldots, a_n \} \mapsto \langle \langle a_1, \ldots , a_n \rangle \rangle = \langle 1, -a_1 \rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1, -a_n \rangle \end{cases}$

여기서 $\langle \langle a_1, a_2, \ldots , a_n \rangle \rangle$ 는 ''n''-겹 Pfister 형식의 클래스를 나타낸다.^[10]^[13] 이 준동형 사상의 상은 $I^n/I^{n+1}$ 에 속하며, 피스터 형식들이 가법적으로 $I^n$ 을 생성하기 때문에 전사 사상이다.^[14] 드미트리 오를로프, 알렉산더 비시크, 그리고 블라디미르 보예보드스키는 이 준동형 사상 $K_n^M(F)/2 \to I^n/I^{n+1}$ 이 동형 사상이라는 밀너 추측을 증명했다.^[11]

6. 역사

존 밀너가 1970년에 도입하였다.^[18] 이는 역사적으로 2차 대수적 K군의 최초의 올바른 구성이었다. 밀너는 마찬가지로 고차 밀너 K군을 정의하였는데, 이는 사실 고차 대수적 K군과 다르다는 것이 훗날 밝혀졌다. 그러나 고차 밀너 K군은 대수적 K군보다 더 다루기 편하며, 또 그 자체로 블록-가토 추측 등 여러 흥미로운 성질을 가진다는 것이 밝혀졌다.

참조

_[1] 논문 Algebraic K -theory and quadratic forms https://gdz.sub.uni-[...] 1970-12-01
_[2] 웹사이트 Milnor K-Theory is the Simplest Part of Algebraic K-Theory https://www.math.ucl[...]
_[3] 논문 Relations between the milnor and quillen K-theory of fields 1981-01-01
_[4] 간행물
_[5] arXiv Reduced power operations in motivic cohomology 2001-07-15
_[6] 논문 Motivic and Real Etale Stable Homotopy Theory 2018-05
_[7] 문서
_[8] 간행물
_[9] 간행물
_[10] 간행물
_[11] 간행물
_[12] 간행물
_[13] 간행물
_[14] 간행물
_[15] 저널 On motivic cohomology with Z/l coefficients 2008
_[16] 저널
_[17] 저널 An exact sequence for K_*^''M''/2 with applications to quadratic forms
_[18] 저널 http://reh.math.uni-[...] 2016-04-03

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