대각 사상
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1. 개요
대각 사상은 기수와 범주 속 대상이 주어졌을 때, 곱 또는 쌍대곱의 보편 성질에 의해 유도되는 사상이다. 곱의 경우, 대상 X에서 X의 곱으로 가는 사상이며, 쌍대곱의 경우, X의 쌍대곱에서 X로 가는 사상을 의미한다. 이는 항등 사상과 끝 대상 또는 시작 대상으로 가는 사상으로 특수한 경우를 갖는다. 집합, 작은 범주, 조각 범주, 위상 공간, 스킴의 범주 등 다양한 범주에서 대각 사상의 개념이 활용되며, 해당 범주의 특성을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.
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대각 사상 |
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2. 정의
기수 및 범주 속의 대상 가 주어졌다고 하자. 만약 개의 들의 곱 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 로부터 유도되는 사상
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이 존재한다. 이를 '''대각 사상'''이라고 한다. 만약 일 경우 이는 항등 사상 이며, 만약 일 경우 이는 끝 대상 으로 가는 유일한 사상 이다.
마찬가지로, 만약 개의 들의 쌍대곱 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 로부터 유도되는 사상
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이 존재한다. 이를 '''쌍대 대각 사상'''(codiagonal morphism영어)이라고 한다. 만약 일 경우 이는 항등 사상 이며, 만약 일 경우 이는 시작 대상 에서 로 가는 유일한 사상 이다.
2. 1. 대각 사상
기수 및 범주 속의 대상 가 주어졌을 때, 개의 들의 곱 이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 로부터 유도되는 사상:
이 존재한다. 이를 '''대각 사상'''이라고 한다. 만약 일 경우 이는 항등 사상 이다. 일 경우에는 끝 대상 으로 가는 유일한 사상 이 된다.
만약 개의 들의 쌍대곱 이 존재한다고 하면, 쌍대곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 로부터 유도되는 사상
:
이 존재한다. 이를 '''쌍대 대각 사상'''(codiagonal morphism영어)이라고 한다. 일 경우에는 항등 사상 이며, 일 경우에는 시작 대상 에서 로 가는 유일한 사상 이다.
2. 2. 쌍대 대각 사상
기수 와 범주 속의 대상 가 주어졌을 때, 개의 들의 쌍대곱 이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, 쌍대곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 로부터 유도되는 사상:
이 존재한다. 이를 '''쌍대 대각 사상'''(codiagonal morphism영어)이라고 한다. 일 경우 이는 항등 사상 이며, 일 경우 이는 시작 대상 에서 로 가는 유일한 사상 이다.
3. 예시
3. 1. 집합의 범주
집합과 함수의 범주 는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합 과 기수 가 주어졌을 때, 곱집합 으로 가는 대각 함수는 다음과 같다.:
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대각 사상의 치역을 '''대각 부분 집합'''(diagonal subset영어)이라고 한다.
이며, 가 유한 집합이며, 에 임의의 전순서를 주면 의 원소는 변의 길이가 인 정사각 행렬의 한 성분으로 생각할 수 있다. 이 경우, 대각 사상은 모든 원소를 정사각 행렬의 (왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는) 대각선 위의 성분에 대응시키며, "대각 사상"이라는 이름은 이로부터 유래하였다.
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3. 2. 작은 범주의 범주
작은 범주와 함자의 범주 는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 작은 범주 위의 대각 함자:
는 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다.
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3. 3. 조각 범주
범주 속의 대상 위의 조각 범주 를 생각하자. 조각 범주의 대상 의 대각 사상 은 (만약 존재한다면) 에서 다음과 같다.:
즉, 이는 당김 에 대한 대각 사상 을 이룬다.
3. 4. 위상 공간의 범주
위상 공간의 범주 에서, 대각 사상 은 집합으로서의 대각 함수와 같으며, 대각 사상은 항상 그 상으로의 위상 동형을 정의한다.위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
3. 5. 스킴의 범주
스킴의 범주에서, 당김에 대한 대각 사상 는 다음과 같이 다양한 정의·정리들에 등장한다.- 스킴 사상 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 는 항상 스킴 몰입이다. 즉, 어떤 열린 몰입 및 닫힌 몰입 의 합성이다.
- 스킴 사상 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 가 준콤팩트 함수라면 를 준분리 사상이라고 한다.
- 스킴 사상 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 가 닫힌 몰입이라면 를 분리 사상이라고 한다.[9] 이는 대각 사상의 상이 닫힌집합인 것과 동치이다.[9]
- 국소 유한 표시 사상 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 가 열린 몰입이라면 를 비분기 사상이라고 한다.[10]
- 스킴 사상 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 사상을 '''보편 단사 사상'''(universally injective morphism영어)이라고 한다.
- * 임의의 스킴 사상 에 대하여, 밑 변환 이 단사 함수이다.
- * 대각 사상 가 전사 함수이다.
4. 참고 문헌
- S. Awodey영어 (1996). “수학 및 논리의 구조: 범주론적 관점”. 《철학 수학(Philosophia Mathematica)》 4 (3): 209–237. doi:10.1093/philmat/4.3.209. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
- John C. Baez영어 (2004). 〈양자 난제: 범주론적 관점〉. 《양자 중력의 구조적 기초》. 240–265쪽. arXiv:quant-ph/0404040. Bibcode:2004quant.ph..4040B. doi:10.1093/acprof:oso/9780199269693.003.0008. ISBN 978-0-19-926969-3. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
- J. Scott Carter영어; Alissa Crans영어; Mohamed Elhamdadi영어; Masahico Saito영어 (2008). “범주적 자기 분배성의 코호몰로지”. 《호모토피 및 관련 구조 저널(Journal of Homotopy and Related Structures)》 3 (1): 13–63. arXiv:math/0607417. Bibcode:2006math......7417C. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
- Carl Faith영어 (1973). 〈곱과 공곱〉. 《대수》. 83–109쪽. doi:10.1007/978-3-642-80634-6_4. ISBN 978-3-642-80636-0. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
- Msakia Kashiwara영어; Pierre Schapira영어 (2006). 〈극한〉. 《범주와 층》. 수학의 기본 원리(Grundlehren der mathematischen Wissenschaften) 332. 35–69쪽. doi:10.1007/3-540-27950-4_3. ISBN 978-3-540-27949-5. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
- Barry Mitchell영어 (1965). 《범주론》. Academic Press. ISBN 978-0-12-499250-4. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
- Fernando Muro영어 (2016). “A-무한대 대수에서의 호모토피 단위”. 《미국 수학회 회보(Trans. Amer. Math. Soc.)》 368: 2145–2184. arXiv:1111.2723. doi:10.1090/tran/6545. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
- Masakatsu Uzawa영어 (1972). “복소 공간의 몇 가지 범주적 속성, 파트 II”. 《지바 대학교 교육학부 회보(Bulletin of the Faculty of Education, Chiba University)》 21: 83–93. ISSN 0577-6856. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
- Nicolae Popescu영어; Liliana Popescu영어 (1979). 〈범주와 함수자〉. 《범주론》. 1–148쪽. doi:10.1007/978-94-009-9550-5_1. ISBN 978-94-009-9552-9. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
- R. Pupier프랑스어 (1964). “범주의 작은 가이드(Petit guide des catégories)”. 《수학부 출판물(Publications du Département de Mathématiques (Lyon))》 1 (1): 1–18. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
참조
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서적
Algebraic geometry
Springer
1977
[10]
저널
Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie
http://www.numdam.or[...]
2016-02-26
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