대수함수

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1. 개요
2. 역사
3. 일변수 대수 함수
- 3.1. 정의
- 3.2. 성질
4. 다변수 대수 함수
5. 복소수의 역할
- 5.1. 모노드로미
참조

1. 개요

대수 함수는 다항 방정식을 만족하는 함수로, 르네 데카르트 시대부터 연구되었다. 일변수 대수 함수는 다항 방정식 aₙ(x)yⁿ + aₙ₋₁(x)yⁿ⁻¹ + … + a₀(x) = 0을 만족하는 y = f(x) 형태의 함수이며, 덧셈, 곱셈, 나눗셈, n제곱근 등의 연산을 통해 구성될 수 있다. 대수 함수의 역함수 또한 대수 함수이다. 다변수 대수 함수는 m+1 변수의 다항식 방정식 p(y, x₁, x₂, …, xₘ) = 0의 해로 정의된다. 복소수는 대수 함수 연구에 중요한 역할을 하며, 복소해석학의 기술을 사용하여 대수 함수의 성질을 분석할 수 있다. 대수 함수의 모노드로미는 임계점에서 분기되며, 모노드로미 군은 대수 함수의 갈루아 군의 모노드로미 표현을 형성한다.

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대수함수
대수 함수
분야	수학
하위 분야	해석학, 대수학
정의	유한 번의 대수 연산으로 구성된 함수
함수 종류	다항 함수, 유리 함수, 무리 함수
상세 정보
대수적 수와의 관계	대수 함수의 값은 종종 대수적 수가 됨.
초월 함수와의 관계	대수 함수가 아닌 함수는 초월 함수임. (예: 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수)
특이점	대수 함수는 특이점을 가질 수 있음.

2. 역사

대수 함수에 대한 개념은 적어도 르네 데카르트까지 거슬러 올라간다. 에드워드 웨어링은 1794년 저서 《인간 지식의 원리에 대한 에세이》(''An Essay on the Principles of Human Knowledge'')에서 대수 함수에 대해 처음으로 논했으며, 다음과 같이 적고 있다.

: 종속 변수를 나타내는 양을, 통상의 나눗셈과 제곱근 추출 방법을 통해, ''x''의 차수에 따라 증가하거나 감소하는 무한 급수로 줄여서, 각 항의 적분을 구함으로써, 독립 변수 ''x''의 대수 함수로 나타낸다.

3. 일변수 대수 함수

대수 함수는 덧셈, 곱셈, 나눗셈, ''n''제곱근과 같은 대수 연산을 사용하여 만들 수 있는 함수이다. 갈루아 이론의 기본 정리에 따르면, 대수 함수는 근으로 표현될 필요는 없다.

다항 함수 $y = p(x)$ 는 방정식 $y-p(x) = 0$ 의 해이므로 대수 함수이다.
유리 함수 $y=\frac{p(x)}{q(x)}$ 는 방정식 $q(x)y-p(x)=0$ 의 해이므로 대수 함수이다.
다항식 $y=\sqrt[n]{p(x)}$ 의 ''n''제곱근은 방정식 $y^n-p(x)=0$ 을 만족하는 대수 함수이다.

대수 함수의 역함수는 대수 함수이다. ''x''와 ''y''의 역할을 바꾸어 방정식을 다시 표현하면, ''x''는 ''y''에 대한 대수 함수로 표현된다. 하지만 모든 함수가 역함수를 가지는 것은 아니다. 예를 들어, ''y'' = ''x''²는 수평선 테스트를 통과하지 못하며, 일대일 함수가 아니다.

대수 함수를 정의하는 다항식 방정식의 가지의 집합은 대수 곡선의 그래프이다.

3. 1. 정의

일변수 ''x''의 차수 ''n''의 대수 함수는 다음과 같은 다항식 방정식을 만족하는 함수 ''y'' = ''f''(''x'')이다.

:

a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\dotsb+a_0(x)=0

여기서 계수

a_i(x)

는 주어진 집합 ''S''에 속하는 ''x''의 다항 함수이다.

''n''차 방정식은 ''n''개의 근을 가지므로, 다항식 방정식은 하나의 함수가 아니라, ''n''개의 함수(이들은 분지 또는 가지라고 불린다)를 정의할 수 있다. 예를 들어 단위 원의 방정식

:

y^2+x^2=1\,

은 ''y''를 결정하며, 두 개의 가지를 가진다.

:

y=\pm \sqrt{1-x^2}.\,

대수 함수를 일반적인 대수 연산(덧셈, 곱셈, 나눗셈, ''n''제곱근)을 사용하여 표현할 수 있는 함수로 간주할 수 있다. 그러나 갈루아 이론의 기본 정리 때문에, 대수 함수가 반드시 근으로 표현될 필요는 없다.

다음은 대수 함수의 예시이다.

임의의 다항 함수 $y = p(x)$ 는 방정식 $y-p(x) = 0$ 의 해 ''y''이므로 대수 함수이다.
임의의 유리 함수 $y=\frac{p(x)}{q(x)}$ 는 방정식 $q(x)y-p(x)=0$ 의 해이므로 대수 함수이다.
임의의 다항식 $y=\sqrt[n]{p(x)}$ 의 ''n''제곱근은 방정식 $y^n-p(x)=0$ 을 만족하는 대수 함수이다.

대수 함수의 역함수는 대수 함수이다. 각 ''x'' 값에 대해 ''y''가 방정식

a_n(x)y^n+\cdots+a_0(x)=0

의 해라면, 각 ''y'' 값에 대해 ''x''도 이 방정식의 해이다. ''x''와 ''y''의 역할을 바꾸고 항을 모으면,

:

b_m(y)x^m+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots+b_0(y)=0.

''x''를 ''y''의 함수로 표현하면 역함수가 되며, 이는 또한 대수 함수이다.

하지만 모든 함수가 역함수를 갖는 것은 아니다. 예를 들어, ''y'' = ''x''²는 수평선 테스트를 통과하지 못하며, 일대일 함수가 아니다. 역함수는 대수 "함수"

x = \pm\sqrt{y}

이다. 대수 함수를 정의하는 다항식 방정식의 가지의 집합은 대수 곡선의 그래프이다.

3. 2. 성질

덧셈, 곱셈, 나눗셈, ''n''제곱근과 같은 대수 연산을 사용하여 만들 수 있는 함수를 대수 함수라고 한다. 갈루아 이론의 기본 정리에 따르면, 대수 함수는 근으로 표현될 필요는 없다.

임의의 다항 함수

y = p(x)

는 방정식

y-p(x) = 0

의 해 ''y''이므로 대수 함수이다.

일반적으로, 임의의 유리 함수

y=\frac{p(x)}{q(x)}

는 방정식

q(x)y-p(x)=0

의 해이므로 대수 함수이다.

또한, 임의의 다항식

y=\sqrt[n]{p(x)}

의 ''n''제곱근은 방정식

y^n-p(x)=0

을 만족하는 대수 함수이다.

대수 함수의 역함수는 대수 함수이다. 각 ''x'' 값에 대해 ''y''가 방정식

a_n(x)y^n+\cdots+a_0(x)=0

의 해라면, 각 ''y'' 값에 대해서도 ''x''는 이 방정식의 해이다. ''x''와 ''y''의 역할을 바꾸고 항을 모으면,

b_m(y)x^m+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots+b_0(y)=0

이 된다. 따라서 ''x''를 ''y''의 함수로 표현하면 역함수가 되며, 이 또한 대수 함수이다.

하지만 모든 함수가 역함수를 가지는 것은 아니다. 예를 들어, ''y'' = ''x''²는 수평선 테스트를 통과하지 못하므로 일대일 함수가 아니다. 이 함수의 역함수는 대수 "함수"

x = \pm\sqrt{y}

이다.

대수 함수를 정의하는 다항식 방정식의 가지의 집합은 대수 곡선의 그래프이다.

4. 다변수 대수 함수

'''m''' 변수 대수 함수는 변수의 적당한 다항식 방정식

: $p(y,x_1,x_2,\dots,x_m)=0$

의 해가 되는 함수 로 정의된다. 일반적으로 는 기약 다항식으로 가정된다. 그러면 대수 함수의 존재는 음함수 정리에 의해 보장된다.

형식적으로, 가환체 상의 변수 대수 함수는 유리 함수체 의 대수적 폐포의 원소이다.

5. 복소수의 역할

대수적인 관점에서 복소수는 대수 함수 연구에 자연스럽게 나타난다. 대수학의 기본 정리에 따르면, 복소수는 대수적으로 닫힌 체이다. 따라서 다항식 관계 ''p''(''y'', ''x'') = 0에서 ''y''가 복소수 값을 가질 수 있다면, 각 점 ''x''에서 적어도 하나의 해를 갖는 것이 보장된다.

실수 대수 함수에 관심이 있더라도, 복소수를 사용하지 않고는 덧셈, 곱셈, 나눗셈 및 ''n''제곱근을 사용하여 함수를 표현할 방법이 없을 수 있다(casus irreducibilis 참조). 예를 들어, 다음 방정식으로 결정되는 대수 함수를 생각해보자.

:

y^3-xy+1=0.\,

삼차 방정식의 근의 공식을 사용하면, 다음을 얻는다.

:

y=-\frac{2x}{\sqrt[3]{-108+12\sqrt{81-12x^3}}}+\frac{\sqrt[3]{-108+12\sqrt{81-12x^3}}}{6}.

x\le \frac{3}{\sqrt[3]{4}}

일 때, 제곱근은 실수이고 세제곱근은 잘 정의되어 유일한 실근을 제공한다. 반면,

x>\frac{3}{\sqrt[3]{4}}

일 때, 제곱근은 실수가 아니며, 비실수 제곱근을 선택해야 한다. 따라서 세제곱근은 세 개의 비실수 중에서 선택해야 하며, 공식의 두 항에서 동일한 선택을 하면 첨부된 이미지에 표시된 세 개의 분기가 나타난다.

결과 함수가 그래프의 정의역에서 실수 값을 갖더라도, 실수만 사용하여 ''n''제곱근으로 이 함수를 표현할 수 없다.

이론적으로 복소수를 사용하면 복소해석학의 강력한 기술을 사용하여 대수 함수를 논의할 수 있다. 특히, 편각 원리를 사용하여 모든 대수 함수가 적어도 다가(multiple-valued) 함수의 의미에서 해석 함수임을 보일 수 있다.

형식적으로, ''p''(''x'', ''y'')를 복소 변수 ''x''와 ''y''에 대한 복소 다항식이라고 하자. ''x''₀ ∈ '''C'''에서 다항식 ''p''(''x''₀, ''y'')의 ''y''가 서로 다른 ''n''개의 영점을 갖는다고 가정하고, 대수 함수가 ''x''₀의 근방에서 해석적임을 보이자. 각 영점을 포함하는 ''n''개의 겹치지 않는 원반 Δ_''i''를 선택하면, 편각 원리에 의해 다음이 성립한다.

:

\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Delta_i} \frac{p_y(x_0,y)}{p(x_0,y)}\,dy = 1.

연속성에 의해, 이는 ''x''₀의 근방에 있는 모든 ''x''에 대해서도 성립한다. 특히, ''p''(''x'', ''y'')는 잔류 정리에 의해 주어진 Δ_''i''에 하나의 근만 가지며, 이는 다음과 같다.

:

f_i(x) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Delta_i} y\frac{p_y(x,y)}{p(x,y)}\,dy

이것은 해석 함수이다.

5. 1. 모노드로미

모노드로미 덮개는 임계점(및 가능하게는 무한대 점) 위에서 분기된다. 따라서 ''f''_''i''의 정칙 확장은 최악의 경우 임계점 위에서 대수적 극점과 일반적인 대수적 분기를 갖는다.

임계점에서 멀리 떨어진 곳에서는 다음과 같다.

:

p(x,y) = a_n(x)(y-f_1(x))(y-f_2(x))\cdots(y-f_n(x))

''f''_''i''가 정의에 의해 ''p''의 서로 다른 영점이기 때문이다. 모노드로미 군은 인자를 순열함으로써 작용하며, 따라서 ''p''의 갈루아 군의 '''모노드로미 표현'''을 형성한다. (보편 덮개 공간에서의 모노드로미 작용은 리만 곡면 이론에서 관련되지만 다른 개념이다.)

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