편각 원리

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 증명
4. 일반화
5. 응용
6. 역사
참조

1. 개요

편각 원리는 복소해석학의 정리로, 닫힌 곡선 내부에서 유리형 함수의 영점과 극점의 개수를 적분을 통해 계산하는 방법을 제공한다. 이 원리는 오귀스탱 루이 코시에 의해 증명되었으며, 컴퓨터를 이용한 해석 함수의 영점 및 극점 계산, 루셰 정리 증명, 제어 이론의 나이퀴스트 안정도 판별법 등 다양한 분야에 응용된다. 또한, 편각 원리의 일반화된 형태는 아벨-플라나 공식을 유도하는 데에도 사용된다.

더 읽어볼만한 페이지

복소해석학 정리 - 리만 사상 정리
리만 사상 정리는 복소해석학에서 단일 연결 열린 진부분집합 사이의 각도를 보존하는 정칙함수, 즉 등각 사상의 존재를 보장하는 중요한 정리이다.
복소해석학 정리 - 리만-로흐 정리
리만-로흐 정리는 콤팩트 리만 곡면에서 인자의 차수, 유리형 함수 공간의 차원, 곡면의 종수 사이의 관계를 나타내는 정리로서, 유리형 함수를 구성하는 문제에 대한 해답을 제시하며 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

편각 원리

2. 정의

연결 열린집합 $D\subseteq\mathbb C$ 속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 $\gamma\colon[0,1]\to D$ 가 주어졌고, 유리형 함수 $f\colon D\to\widehat{\mathbb C}$ 가 $\operatorname{im}\gamma$ 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면 '''편각 원리'''에 따르면 다음이 성립한다.^[2]^[3]

: $\frac 1{2\pi i}\int_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}\mathrm dz=\sum_{z_0}N(f;z_0)$

여기서 $\textstyle\sum_{z_0}$ 는 $\operatorname{im}\gamma$ 의 내부에 포함된 점들에 대한 합이며, $N(f;z_0)\in\mathbb Z$ 는

: $f(z)=\Theta(z-z_0)^{N(f;z_0)}\qquad(z\to z_0)$

을 만족시키는 정수이다. 즉, 만약 $z_0$ 이 영점이라면 영점의 차수이며, $z_0$ 이 극점이라면 극점의 차수의 −1배이며, 영점이나 극점이 아니라면 $N(f;z_0)=0$ 이다. 유리형 함수의 영점 또는 극점은 고립점이므로, $f$ 는 $\operatorname{im}\gamma$ 에서 유한 개의 영점 또는 극점을 가지며, 따라서 이 합은 유한하다.

''f''(''z'')가 닫힌 경계 ''C'' 내부와 경계에서 유효한 유리형 함수이고 ''f''가 ''C''에 영점 또는 극점을 갖지 않는 경우,

: $\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} {f'(z) \over f(z)}\, dz=Z-P$

여기서 ''Z''와 ''P''는 각각 경계 ''C'' 내부의 ''f''(''z'')의 영점과 극점의 개수를 나타내며, 각 영점과 극점은 해당 중복도와 차수에 따라 여러 번 계산된다. 이 정리는 경계 ''C''가 자기 교차점이 없는 단순하고 반시계 방향으로 정렬되어 있다고 가정한다.

더 일반적으로, ''f''(''z'')가 복소 평면의 열린 집합 Ω에서 유리형 함수이고 ''C''가 Ω 내의 닫힌 곡선이며 ''f''의 모든 영점과 극점을 피하고 Ω 내부의 점으로 수축 가능하다고 가정한다. 각 점 ''z'' ∈ Ω에 대해, ''n''(''C'',''z'')를 ''z'' 주변의 ''C''의 회전수라고 하면,

: $\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \sum_a n(C,a) - \sum_b n(C,b)\,$

여기서 첫 번째 합은 중복도를 가진 모든 ''f''의 영점 ''a''에 대한 것이고, 두 번째 합은 차수를 가진 ''f''의 극점 ''b''에 대한 것이다.

경로 적분 $\oint_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz$ 는 치환 ''w'' = ''f''(''z'')를 사용하여 경로 ''f''(''C'')가 원점을 감는 횟수의 2π''i'' 배로 해석될 수 있다.

: $\oint_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \oint_{f(C)} \frac{1}{w}\, dw$

즉, 이는 ''z''가 ''C'' 주위를 이동할 때 ''f''(''z'')의 편각의 총 변화량에 ''i''를 곱한 값이며, 이는 정리의 이름을 설명한다. 이는 다음으로부터 유도된다.

: $\frac{d}{dz}\log(f(z))=\frac{f'(z)}{f(z)}$

그리고 편각과 로그의 관계.

3. 증명

우선, $f'/f$ 는 $\operatorname{im}\gamma$ 에서 영점이나 극점을 갖지 않으므로, $\gamma$ 위의 경로 적분이 존재한다. 임의의 $\operatorname{im}\gamma$ 내부의 점 $z_0$ 에 대하여, 유리형 함수 $g(z)=\frac{f(z)}{(z-z_0)^{N(f;z_0)}}\qquad\forall z\in D$ 를 정의한다.

$N(f;z_0)$ 의 정의에 의하여, $g$ 는 어떤 열린 근방 $D\supseteq N\ni z_0$ 에서 영점이나 극점을 갖지 않는다. 따라서 $g'/g$ 는 $N$ 에서 극점을 갖지 않는다. $0 을 잡으면, 코시 적분 정리 에 의하여$

: $\operatorname{Res}\left(\frac{f'}f;z_0\right)=\frac 1{2\pi i}\int_{|z-z_0|=r}\frac{f'(z)}{f(z)}\mathrm dz=\frac 1{2\pi i}\int_$

4. 일반화

연결 열린집합

D\subseteq\mathbb C

속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선

\gamma\colon[0,1]\to D

가 주어졌고, 유리형 함수

f\colon D\to\widehat{\mathbb C}

가

\operatorname{im}\gamma

위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 임의의 정칙 함수

g\colon D\to\mathbb C

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\frac 1{2\pi i}\int_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}g(z)\mathrm dz=\sum_{z_0}N(f;z_0)g(z_0)

^[4]

이 정리에서

g(z)=1\qquad\forall z\in D

를 취하면 편각 원리를 얻으며, 어떤

z_0\in D

에 대하여

f(z)=z-z_0\qquad\forall z\in D

를 취하면 코시 적분 공식을 얻는다. 이 정리는 아벨-플라나 공식을 증명하는 데 쓰인다.

''f''(''z'')가 닫힌 경계 ''C'' 내부와 경계에서 유효한 유리형 함수이고 ''f''가 ''C''에 영점 또는 극점을 갖지 않는 경우, 다음이 성립한다.

:

\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} {f'(z) \over f(z)}\, dz=Z-P

여기서 ''Z''와 ''P''는 각각 경계 ''C'' 내부의 ''f''(''z'')의 영점과 극점의 개수를 나타내며, 각 영점과 극점은 해당 중복도와 차수에 따라 여러 번 계산된다.

더 일반적으로, ''f''(''z'')가 복소 평면의 열린 집합 Ω에서 유리형 함수이고 ''C''가 Ω 내의 닫힌 곡선이며 ''f''의 모든 영점과 극점을 피하고 Ω 내부의 점으로 수축 가능하다고 가정하면, 다음이 성립한다.

:

\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \sum_a n(C,a) - \sum_b n(C,b)\,

여기서 첫 번째 합은 중복도를 가진 모든 ''f''의 영점 ''a''에 대한 것이고, 두 번째 합은 차수를 가진 ''f''의 극점 ''b''에 대한 것이다.

경로 적분

\oint_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz

는 치환 ''w'' = ''f''(''z'')를 사용하여 경로 ''f''(''C'')가 원점을 감는 횟수의 2π''i'' 배로 해석될 수 있다.

:

\oint_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \oint_{f(C)} \frac{1}{w}\, dw

즉, 이는 ''z''가 ''C'' 주위를 이동할 때 ''f''(''z'')의 편각의 총 변화량에 ''i''를 곱한 값이며, 이는 정리의 이름을 설명한다.

g가 영역

\Omega

에서 해석적이라고 가정하면, 편각 원리의 즉각적인 일반화는 다음과 같다.

:

\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} {f'(z) \over f(z)} g(z) \, dz = \sum_a g(a) n(C,a) - \sum_b g(b) n(C,b)\,

여기서 첫 번째 합은 다시 f의 모든 영점 ''a''에 대한 것으로, 중복도를 고려하여 계산되며, 두 번째 합은 f의 모든 극점 ''b''에 대한 것으로, 차수를 고려하여 계산된다.

5. 응용

편각 원리는 다양한 분야에서 응용된다. 컴퓨터를 이용해 유리형 함수의 영점과 극점을 효율적으로 찾을 수 있으며, 리만 가설의 수치적 검증에도 사용된다. 또한, 루셰의 정리를 증명하는 데 사용될 수 있고, 다항식 근의 범위를 제한하는 데에도 활용된다.

제어 이론에서 나이퀴스트 안정도 판별법의 이론적 기초로 사용되며,^[1] 보데의 민감도 적분 및 기타 관련 적분 관계를 유도하는 데에도 사용될 수 있다.

''f''가 단순 폐곡선 ''C'' 내부에 영점 ''z''₁, ..., ''z''_p를 갖는 다항식이고, ''g''(''z'') = ''z''^k이면, ''z''₁^k + ''z''₂^k + ... + ''z''_p^k는 ''f''의 근의 멱합 대칭 다항식이다.

또 다른 결과로, 복소 적분에서 적절한 ''g''와 ''f''를 선택하면, 이산 합과 그 적분 사이의 관계를 나타내는 아벨-플라나 공식을 얻을 수 있다.

5. 1. 컴퓨터를 이용한 영점 및 극점 계산

편각 원리는 컴퓨터에서 해석 함수(meromorphic functions)의 영점(zeros) 또는 극점(poles)을 찾는 데 효과적으로 사용될 수 있다. 반올림 오차가 있더라도, 다음 식은 정수에 가까운 결과를 산출한다.

:

{1\over 2\pi i}\oint_{C} {f'(z) \over f(z)}\, dz

여러 다른 경로 ''C''에 대해 이러한 정수들을 결정함으로써 영점과 극점의 위치에 대한 정보를 얻을 수 있다. 리만 가설의 수치 검증은 이 기법을 사용하여 임계선을 교차하는 직사각형 내에서 리만

\xi(s)

함수의 영점 개수에 대한 상한을 얻는다.

5. 2. 루셰 정리 증명

루셰 정리의 증명은 편각 원리를 사용한다.

5. 3. 제어 이론

편각 원리는 제어 이론에서 나이퀴스트 안정도 판별법의 이론적 기초로 자주 사용된다. 피드백 제어 이론에 관한 현대적인 책에서 이를 확인할 수 있다.^[1] 또한, 편각 원리의 일반화된 형태는 보데의 민감도 적분 및 기타 관련 적분 관계를 유도하는 데 사용될 수 있다.

편각 원리의 일반적인 공식은 다음과 같다. ''g''가 Ω에서 해석 함수라면,

:

\frac{1}{2\pi i} \oint_C g(z)\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \sum_a n(C,a)g(a) - \sum_b n(C,b)g(b).

예를 들어, ''f''가 단순 폐곡선 ''C'' 내부에 영점 ''z''₁, ..., ''z''_p를 갖는 다항식이고, ''g''(''z'') = ''z''^k이면,

:

\frac{1}{2\pi i} \oint_C z^k\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = z_1^k+z_2^k+\cdots+z_p^k,

는 ''f''의 근의 멱합 대칭 다항식이다.

만약 복소 적분

:

\oint_C f(z){g'(z) \over g(z)}\, dz

에서 적절한 ''g''와 ''f''를 선택하면 아벨-플라나 공식을 얻을 수 있다.

:

\sum_{n=0}^{\infty}f(n)-\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx= f(0)/2+i\int_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\, dt\,

이는 이산 합과 그 적분 사이의 관계를 보여준다.

5. 4. 기타 응용

편각 원리는 컴퓨터에서 해석 함수(meromorphic functions)의 영점(zeros) 또는 극점(poles)을 찾는 데 효과적으로 사용될 수 있다. 반올림 오차가 있더라도, 식

{1\over 2\pi i}\oint_{C} {f'(z) \over f(z)}\, dz

는 정수에 가까운 결과를 산출한다. 여러 다른 경로 ''C''에 대해 이러한 정수들을 결정함으로써 영점과 극점의 위치에 대한 정보를 얻을 수 있다. 리만 가설의 수치 검증은 이 기법을 사용하여 임계선을 교차하는 직사각형 내에서 리만

\xi(s)

함수의 영점 개수에 대한 상한을 얻는다.

루셰의 정리 증명은 편각 원리를 사용한다.

피드백 제어 이론에 관한 현대적인 책은 꽤 자주 편각 원리를 나이퀴스트 안정도 판별법의 이론적 기초로 사용한다.

편각 원리의 더 일반적인 공식화 결과는 다음과 같다. 동일한 가정하에서, ''g''가 Ω의 해석적 함수이면,

:

\frac{1}{2\pi i} \oint_C g(z)\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \sum_a n(C,a)g(a) - \sum_b n(C,b)g(b).

예를 들어, ''f''가 다항식이고 단순 폐곡선 ''C''의 내부에 영점 ''z''₁, ..., ''z''_''p''를 가지며 ''g''(''z'') = ''z''^''k''이면

:

\frac{1}{2\pi i} \oint_C z^k\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = z_1^k+z_2^k+\dots+z_p^k,

는 ''f''의 근의 멱합 대칭 다항식이다.

또 다른 결과는 복소 적분

:

\oint_C f(z){g'(z) \over g(z)}\, dz

를 ''g''와 ''f''의 적절한 선택에 대해 계산하면, 이산 합과 그 적분 사이의 관계를 나타내는 아벨-플라나 공식이다.

:

\sum_{n=0}^{\infty}f(n)-\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx= f(0)/2+i\int_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\, dt.

6. 역사

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 편각 원리를 증명하였다.^[1]

프랭크 스미티스의 저서(《코시와 복소함수론의 창조》, 케임브리지 대학교 출판부, 1997, p. 177)에 따르면, 오귀스탱 루이 코시는 1831년 11월 27일, 프랑스를 떠나 토리노(당시 피에몬테-사르데냐 왕국의 수도)에서 자진 망명하는 동안 위와 유사한 정리를 발표했다. 그러나 이 책에 따르면, 극점이 아닌 영점만 언급되었다. 코시의 이 정리는 1874년이 되어서야 손으로 쓴 형태로 출판되었기 때문에 읽기가 매우 어려웠다. 코시는 사망 2년 전인 1855년에 영점과 극점에 대한 논의를 담은 논문을 발표했다.^[1]

참조

_[1] 논문 Argument Principle and Integral Relations: Hidden Links and Generalized Forms https://ieeexplore.i[...] 2023
_[2] 서적 해설 복소함수론 경문사 2007
_[3] 서적 Complex Analysis Princeton University Press 2003
_[4] 서적 복소해석학개론 경문사 2005

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com