대칭 작용소

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 일반적인 위상 벡터 공간에서의 정의
- 2.2. 힐베르트 공간에서의 정의
3. 성질
- 3.1. 결점 지표
- 3.2. 대칭 확장
4. 예
참조

1. 개요

대칭 작용소는 주어진 체 위의 위상 벡터 공간에서 정의되는 선형 변환으로, 작용소와 그 켤레의 곱이 대칭성을 만족하는 경우를 말한다. 힐베르트 공간에서는 대칭 작용소를 여러 가지 방법으로 정의할 수 있으며, 자기 수반 작용소의 개념과 밀접하게 연관된다. 대칭 작용소는 결점 지표와 대칭 확장의 개념을 통해 분석되며, 자기 수반 확장을 가질 조건은 결점 지표 간의 관계에 의해 결정된다. 유한 차원 힐베르트 공간에서는 대칭 작용소와 자기 수반 작용소, 에르미트 행렬이 서로 동치이다.

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대칭 작용소
개요
종류	선형 연산자
성질	정의역 내의 모든 함수에 대해 = 를 만족
관련 개념	에르미트 연산자, 자기 수반 연산자
정의
대칭 작용소 조건	모든 함수 u와 v에 대해 = 를 만족
힐베르트 공간	힐베르트 공간 H
선형 작용소	조밀하게 정의된 선형 연산자 A: H → H
내적 공간	< , >는 H의 내적
추가 정보
참고 문헌	테슐, 제럴드. (2009). 양자 역학의 수학적 방법: 슈뢰딩거 연산자 응용. American Mathematical Society.

2. 정의

실수체 또는 복소수체 가운데 하나인 $\mathbb K$ 에 대하여, $\mathbb K$ -위상 벡터 공간 $E$ 가 주어졌다고 하자. $E$ 의 조밀 부분 벡터 공간 $\operatorname{dom}A$ 와 $\mathbb K$ -선형 변환 $A\colon \operatorname{dom}A \to E^*$ 가 주어졌을 때, 만약 $A$ 가 다음 조건을 만족하면 $A$ 를 '''대칭 작용소'''라고 한다.

: $\langle Ax|y\rangle = \overline{\langle Ay|x\rangle}\qquad\forall x,y\in\operatorname{dom}A$

이때,

$E^*$ 는 $E$ 의 연속 쌍대 공간이다.
$\bar{\color{White}a}\colon \mathbb K \to \mathbb K$ 는 $\mathbb K=\mathbb C$ 일 경우 복소켤레, $\mathbb K=\mathbb R$ 일 경우 항등 함수이다.
$\langle|\rangle$ 는 $E$ 와 $E^*$ 사이의 자연스러운 곱 (즉, 연속 범함수의 값매김)이다.

힐베르트 공간에서는 리스 표현 정리에 따라

H\cong H^*

이므로, 대칭 작용소를 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

\mathbb K

-힐베르트 공간

(H,\langle\cdot|\cdot\rangle)

의 조밀 부분 벡터 공간

\operatorname{dom}A\subseteq H

에 정의된 선형 변환

:

A\colon\operatorname{dom}A\to H

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^[1]

$A$ 는 대칭 작용소이다.
모든 $u,v\in\operatorname{dom}A$ 에 대하여, $\langle u|A|v\rangle=\langle Au|v\rangle$ 이다.
$\operatorname{dom}A\subset\operatorname{dom}A^*$ 이며, 모든 $u\in\operatorname{dom}A$ 에 대하여 $Au=A^*u$ 이다. 여기서 $A^*$ 는 에르미트 수반이다.

힐베르트 공간 위의 대칭 작용소의 경우 항상

\operatorname{dom}A\subset\operatorname{dom}A^*

이며, 따라서

\operatorname{dom}A^*

역시 조밀 집합이다.

대칭 작용소

A

의 경우,

\operatorname{dom}A = \operatorname{dom}A^*

일 필요는 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, '''자기 수반 작용소'''의 개념을 얻는다.

2. 1. 일반적인 위상 벡터 공간에서의 정의

다음이 주어졌다고 하자.

K^영어∈R^영어, C^영어 (실수체 또는 복소수체 가운데 하나)
K^영어-위상 벡터 공간 E^영어
E^영어의 조밀 부분 벡터 공간 domA^영어
K^영어-선형 변환 A^영어: domA^영어 → E^영어*^영어

만약 A^영어가 다음 조건을 만족시킨다면, A^영어를 '''대칭 작용소'''라고 한다.

:⟨Ax^영어|y^영어⟩ = ⟨Ay^영어|x^영어⟩¯　∀ x^영어,y^영어∈domA^영어

여기서

E^영어*^영어는 E^영어의 연속 쌍대 공간이다.
a^영어¯: K^영어 → K^영어는 K^영어=C^영어일 경우 복소켤레이며, K^영어=R^영어일 경우 항등 함수이다.
⟨|⟩는 E^영어와 E^영어*^영어 사이의 자연스러운 곱 (즉, 연속 범함수의 값매김)이다.

2. 2. 힐베르트 공간에서의 정의

리스 표현 정리에 따라

H\cong H^*

이다. 이 경우, 대칭 작용소는 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

\mathbb K

-힐베르트 공간

(H,\langle\cdot|\cdot\rangle)

의 조밀 부분 벡터 공간

\operatorname{dom}A\subseteq H

에 정의된 선형 변환

:

A\colon\operatorname{dom}A\to H

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^[1]

$A$ 는 대칭 작용소이다.
모든 $u,v\in\operatorname{dom}A$ 에 대하여, $\langle u|A|v\rangle=\langle Au|v\rangle$ 이다.
$\operatorname{dom}A\subset\operatorname{dom}A^*$ 이며, 모든 $u\in\operatorname{dom}A$ 에 대하여 $Au=A^*u$ 이다. 여기서 $A^*$ 는 에르미트 수반이다.

힐베르트 공간 위의 대칭 작용소의 경우 항상

\operatorname{dom}A\subset\operatorname{dom}A^*

이며, 따라서

\operatorname{dom}A^*

역시 조밀 집합이다.

대칭 작용소

A

의 경우,

\operatorname{dom}A = \operatorname{dom}A^*

일 필요는 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, '''자기 수반 작용소'''의 개념을 얻는다.

3. 성질

힐베르트 공간 $H$ 의 조밀 부분 벡터 공간 $D$ 위에 정의된 작용소 $D\to H$ 들의 종류에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

자기 수반 작용소	⊂	대칭 작용소	⊂	작용소
∪		∪		∪
유계 자기 수반 작용소	=	유계 대칭 작용소	⊂	유계 작용소

여기서 둘째 줄(유계 작용소)의 경우 $D = H$ 이다. 즉, '''헬링거-퇴플리츠 정리'''(Hellinger–Toeplitz theorem^영어)에 따르면, 정의역이 힐베르트 공간 전체인 대칭 작용소는 유계 작용소이다.^[1]

유한 차원 힐베르트 공간 $\mathbb C^n$ 위의 작용소 $A$ 에 대하여, 다음은 서로 동치이다.

$A$ 는 대칭 작용소이다.
$A$ 는 자기 수반 작용소이다.
$A$ 의 행렬은 에르미트 행렬이다.

3. 1. 결점 지표

복소수 힐베르트 공간

H

위의 대칭 작용소

:

A\colon\operatorname{dom}A\to H

를 생각하자. 즉, 부분 공간

:

\operatorname{dom}A \subseteq \operatorname{dom}A^* \subseteq H

이 존재한다. 이제 다음과 같은 두 부분 공간을 정의하자.

:

N_\pm = \operatorname{im}(A \pm \mathrm i)^\perp = \left\{y\in H\colon \forall x\in \operatorname{dom}A\colon \langle y|A|x\rangle = - \mathrm i\langle y|x\rangle \right\}

이들은 직교 여공간이므로 닫힌집합이며, 특히 힐베르트 공간을 이룬다. 그 차원

:

\dim N_\pm

을

A

의 '''결점 지표'''(deficiency index^영어)라고 한다.

'''폰 노이만 공식'''(von Neumann formula^영어)에 따르면, 다음이 성립한다.

:

N_\pm = \ker(A^* \mp \mathrm i)

3. 2. 대칭 확장

\mathbb K

-힐베르트 공간

H

위의 대칭 작용소

A\colon\operatorname{dom}A\to H

의 '''대칭 확장'''(對稱擴張, symmetric extension^영어)은 다음 조건을 만족시키는 작용소

\tilde A\colon\operatorname{dom}\tilde A\to H

이다. 이 경우

A\subseteq\tilde A

라고 표기한다.

$\operatorname{dom}A\subseteq\operatorname{dom}\tilde A$
$\forall v\in\operatorname{dom}A\colon Av=\tilde Av$

즉, 이는

:

\operatorname{graph}A\subseteq\operatorname{graph}\tilde A\subseteq H\oplus H

인 조건과 같다.

대칭 확장 관계를 통해,

H

위의 대칭 작용소들의 집합은 부분 순서 집합을 이룬다. 대칭 작용소의 대칭 확장은 일반적으로 유일하지 않으며, 존재하지 않을 수도 있다.

\mathbb K=\mathbb C

라고 추가로 가정하자. 대칭 작용소

A

의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.^[1]

:

U\colon N_+ \to N_-

특히,

A

가 자기 수반 확장을 가질 필요충분조건은 두 결점 지표가 같은 것이다.

:

\dim N_+=\dim N_-

또한,

A

가 유일한 자기 수반 확장을 가질 필요충분조건은 두 결점 지표가 모두 0인 것이다.

:

0=\dim N_+=\dim N_-

4. 예

다음과 같은 함수 공간을 생각하자.

: $H = \operatorname L^2([0,1];\mathbb C)$

: $\operatorname{dom}A = \{f\in \mathcal C^1([0,1],\mathbb C) \colon f(0) = f(1) = 0\} \subsetneq H$

: $A \colon \operatorname{dom}A \to H$

: $A \colon f \mapsto -\mathrm i \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$

이 경우, $A$ 는 대칭 작용소이다. $N_\pm$ 는 다음과 같은 미분 방정식의 해의 공간이다.

: $\mp\frac{\mathrm du}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm du}{\mathrm dx}$

이는 각각 1차원이며, 구체적으로 다음과 같다.

: $N_\pm = \operatorname{Span} \{ x\mapsto \exp(\mp x)\}$

따라서 $A$ 는 자기 수반 연산자가 아니지만, 자기 수반 확장을 갖는다. 자기 수반 확장의 공간은 $\operatorname U(1)$ 과 동형이다.

구체적으로, 다음을 생각하자.

: $\operatorname{dom}\tilde A = \{f\in \mathcal C^1([0,1],\mathbb C) \colon f(0) = f(1)\} \subsetneq H$

: $\tilde A \colon \operatorname{dom}A \to H$

: $\tilde A \colon f \mapsto -\mathrm i \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$

이는 $A$ 의 대칭 확장인데, 이 경우 $N_+(\tilde A) = N_-(\tilde A) = 0$ 이므로, 유일한 자기 수반 확장을 갖는다.

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