델타 V

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1. 개요
2. 정의
3. 궤도 기동
- 3.1. 궤도 기동의 종류
4. 델타-v 생성
5. 델타-v 예산
- 5.1. 포크찹 플롯
6. 대한민국 우주 개발과 델타-v
- 6.1. 한국 우주인의 델타-v
7. 같이 보기
참조

1. 개요

델타-v(Δv)는 특정 기동에 필요한 속도 변화량을 나타내는 물리량으로, 로켓 과학에서 중요한 개념이다. 궤도 기동은 델타-v를 활용하여 우주선의 속도와 궤도를 변경하는 데 사용되며, 치올코프스키 로켓 방정식은 델타-v, 배기 속도, 질량비 간의 관계를 설명한다. 델타-v는 로켓 엔진의 추력뿐만 아니라, 단 분리, 비추력 증가, 추진제 질량비 개선을 통해 생성될 수 있으며, 델타-v 예산은 우주 임무에 필요한 총 델타-v를 나타낸다. 델타-v는 발사 시기 계산, 궤도 유지, 그리고 한국 우주인의 우주 비행에서도 중요한 역할을 한다.

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델타 V
개요
정의	궤도를 변경하는 데 필요한 노력의 척도
영어	Delta-v
일본어	デルタV
발음 (IPA)	/dɛltə viː/

2. 정의

델타-v (Δ''v'')는 특정 기동에 필요한 속도의 변화량으로, 다음 식으로 나타낼 수 있다.^[1]

: $\Delta{v} = \int_{t_0}^{t_1} \frac$

{m(t)}\, dt

여기서,

''T''(''t'')는 시간 ''t''에서의 순간적인 추력이다.
''m''(''t'')는 시간 ''t''에서의 순간적인 질량이다.

외부 힘이 없을 때는 다음과 같이 표현된다.

:

\Delta{v} = \int_{t_0}^{t_1} \left|\dot{v}\right|\, dt

여기서

\dot{v}

는 좌표 가속도이다.

추력이 일정한 방향으로 가해질 때는 다음 식으로 단순화된다.^[1]

:

\Delta{v} = | v_1 - v_0 |

이는 단순히 속도 변화량의 크기이다. 그러나 이 관계는 일반적인 경우에는 성립하지 않는다. 예를 들어, 일정하고 단방향적인 가속도가 일정 시간 후에 반전되면 속도 차이는 0이 되지만 델타-''v''는 반전되지 않은 추력과 동일하다.^[1]

로켓의 경우 "외부 힘의 부재"는 중력 항력 및 대기 항력의 부재, 그리고 노즐에 대한 정압의 부재를 의미하며, 따라서 차량의 델타-''v'' 능력을 계산하기 위해 로켓 방정식을 통해 진공 I가 사용된다.^[1]

3. 궤도 기동

궤도 기동은 추력기를 발사하여 우주선에 작용하는 반작용력을 생성하여 수행된다. 이 힘의 크기는 배기 가스 속도( $v_\text{exh}$ )와 추진제 유량( $\rho$ )의 곱으로 표현된다.^[1]

: $T = v_\text{exh}\ \rho$

이 힘에 의해 발생한 우주선의 가속도 $\dot{v}$ 는 추력( $T$ )을 우주선의 질량( $m$ )으로 나눈 값이다.

: $\dot{v} = \frac{T}{m} = v_\text{exh}\ \frac{\rho}{m}$

연소 동안 연료 사용으로 인해 우주선의 질량이 감소하며, 질량의 시간 미분은 다음과 같다.

: $\dot{m} = -\rho\,$

연소의 추력기 힘으로부터의 속도 증가는 다음과 같이 표현된다.

: $\Delta{v} = -\int_{t_0}^{t_1} {v_\text{exh}\ \frac{\dot{m}}{m}}\, dt$

$v_\text{exh}\,$ 를 남은 연료량에 의존하지 않는 상수로 가정하면 이 관계는 치올코프스키 로켓 방정식으로 적분된다.

: $\Delta{v} = v_\text{exh}\ \ln\left(\frac{m_0}{m_1}\right)$

여기서 $m_0$ 는 초기 질량, $m_1$ 은 최종 질량이다.

로켓의 경우 "외부 힘의 부재"는 중력 항력 및 대기 항력의 부재, 그리고 노즐에 대한 정압의 부재를 의미하며, 따라서 차량의 델타-''v'' 능력을 계산하기 위해 진공 I가 사용된다.^[1] 또한, 대기 항력 손실과 중력 항력에 대한 비용은 행성 표면에서의 발사를 다룰 때 델타-''v'' 예산에 추가된다.

추력기 힘에 의해 발생한 가속도는 우주선에 영향을 미치는 다른 가속도에 추가될 뿐이며, 이 추력기 힘을 포함하는 수치 알고리즘으로 궤도를 쉽게 전파할 수 있다.^[3] 그러나 많은 경우, 그림 1과 같이 충격 기동으로 근사하여, 속도 벡터의 순간적인 변화에 의해 한 케플러 궤도에서 다른 궤도로 이동하는 "패치된 원뿔" 방식을 사용하기도 한다.

이 근사는 화학 추진을 사용할 때 대부분 정확하다. 전기 추진 시스템과 같이 저추력 시스템의 경우 이 근사는 덜 정확하다.

3. 1. 궤도 기동의 종류

추력기를 발사하여 우주선에 반작용을 일으켜 궤도 기동을 수행한다. 이 힘의 크기는 다음과 같다.^[2]

:

T = v_\text{exh}\ \rho

여기서

$v_\text{exh}$ 는 로켓에서 배기 가스의 속도이다.
$\rho$ 는 연소실로의 추진제 유량이다.

이 힘에 의해 발생한 우주선의 가속도

\dot{v}

는 다음과 같다.^[3]

:

\dot{v} = \frac{T}{m} = v_\text{exh}\ \frac{\rho}{m}

여기서

m

은 우주선의 질량이다.

연소 동안 연료 사용으로 인해 우주선의 질량이 감소하며, 질량의 시간 미분은 다음과 같다.

:

\dot{m} = -\rho\,

힘의 방향이 연소 동안 고정되어 있으면 시간

t_0\,

에서 시작하여

t_1

에서 끝나는 연소의 추력기 힘으로부터의 속도 증가는 다음과 같다.

:

\Delta{v} = -\int_{t_0}^{t_1} {v_\text{exh}\ \frac{\dot{m}}{m}}\, dt

적분 변수를 시간

t

에서 우주선 질량

m

으로 변경하면 다음과 같다.

:

\Delta{v} = -\int_{m_0}^{m_1} {v_\text{exh}\ \frac{dm}{m}}

v_\text{exh}\,

를 남은 연료량에 의존하지 않는 상수로 가정하면 이 관계는 다음과 같이 적분된다.

:

\Delta{v} =  v_\text{exh}\ \ln\left(\frac{m_0}{m_1}\right)

이는 치올코프스키 로켓 방정식이다.

발사 질량의 20%가 2100m/s의 상수

v_\text{exh}

(전형적인 하이드라진 추력기의 값)를 제공하는 경우, 반작용 제어 시스템의 용량은 다음과 같다.

:

\Delta{v} = 2100\ \ln\left(\frac{1}{0.8}\right)\,\text{m/s} = 460\,\text{m/s}.

v_\text{exh}

가 남은 연료량의 비상수 함수인 경우^[2]

:

v_\text{exh} = v_\text{exh}(m)

반작용 제어 시스템의 용량은 적분을 통해 계산된다.

추력기 힘에 의해 발생한 가속도는 우주선에 영향을 미치는 다른 가속도에 추가될 뿐이며, 이 추력기 힘을 포함하는 수치 알고리즘으로 궤도를 쉽게 전파할 수 있다.^[3] 그러나 연구 또는 기동 최적화를 위해 충격 기동으로 근사하기도 한다. 속도 벡터의 순간적인 변화에 의해 한 케플러 궤도에서 다른 궤도로 이동하는 "패치된 원뿔" 방식을 사용할 수 있다.

충격 기동을 이용한 근사는 화학 추진을 사용할 때 대부분 정확하다. 전기 추진 시스템인 저추력 시스템의 경우 이 근사는 덜 정확하다. 그러나 정지 궤도 우주선의 궤도 외 제어를 위해 전기 추진을 사용하고, 추력기 연소가 노드 주변에서 몇 시간에 걸쳐 이뤄지는 경우에는 이 근사가 적절하다.

동력 고려 사항에서 델타-''v''를 속도 방향으로 적용할 때 단위 델타-''v''당 얻는 비 궤도 에너지는 순간 속도와 같다는 것이 밝혀졌다. 이것을 오베르트 효과라고 한다.

예를 들어, 타원 궤도에 있는 위성은 저속(고고도)보다 고속(저고도)에서 더 효율적으로 부스트된다.

차량이 행성을 통과할 때, 멀리 떨어진 곳이 아닌 가장 가까이 접근했을 때 추진제를 연소시키면 최종 속도가 훨씬 더 높아진다. 이는 목성과 같이 깊은 중력장을 가진 큰 행성일 때 더욱 그렇다.

4. 델타-v 생성

델타-v는 일반적으로 로켓 엔진의 추력에 의해 제공되지만, 이온 엔진과 같은 다른 엔진에 의해서도 생성될 수 있다. 델타-v의 시간당 변화율은 '엔진에 의해 야기된' 가속도의 크기, 즉 총 차량 질량당 추력이다. 실제 가속도 벡터는 질량당 추력에 중력 벡터와 물체에 작용하는 다른 모든 힘을 나타내는 벡터를 더하여 찾을 수 있다.

추진 시스템에서 제공하는 델타-v를 증가시키는 방법은 다음과 같다.

단 분리
비추력 증가
추진제 질량비 개선

5. 델타-v 예산

델타-v 예산은 특정 우주 임무에 필요한 총 델타-v를 나타내는 지표이다. 이는 임무 설계를 위한 중요한 요소이며, 필요한 추진제의 양을 결정하는 데 사용된다. 궤도를 설계할 때, 델타-v 예산은 얼마나 많은 추진제가 필요할지를 나타내는 좋은 지표로 사용된다.^[1] 추진제 사용량은 로켓 방정식에 따라 델타-v의 지수 함수이며, 배기 속도에도 의존한다.

에너지 보존으로부터 델타-''v'' 요구 사항을 결정하는 것은 불가능하다. 왜냐하면 배기 가스에 에너지가 실려 나가기 때문이다. 예를 들어, 대부분의 우주선은 지구의 자전 표면 속도를 활용하기 위해 발사 지점의 위도에 매우 가까운 경사 궤도로 발사된다. 임무상의 이유로 우주선을 다른 경사의 궤도에 배치해야 하는 경우, 상당한 델타-''v''가 필요하지만, 최종 궤도와 초기 궤도에서의 비선형 운동 및 위치 에너지는 같다.

로켓 추력이 짧은 시간 동안 가해질 때 다른 가속원들은 무시할 수 있으며, 한 번의 분사로 인한 속도 변화의 크기는 델타-''v''로 간단하게 근사될 수 있다. 따라서 적용해야 할 총 델타-''v''는 각 개별 연소 시 필요한 델타-''v''를 더하여 간단하게 구할 수 있다. 비록 분사 사이에는 타원 궤도에서와 같이 중력으로 인한 속도 변화의 크기와 방향이 달라진다 하더라도 말이다. 델타-''v'' 계산의 예로는 호만 전이 궤도, 중력 쐐기, 행성 간 수송 네트워크를 참조하라. 또한 큰 추력은 중력 항력을 줄일 수 있다는 점도 주목할 만하다.

델타-''v''는 위성을 궤도에 유지하는 데에도 필요하며 추진력 있는 궤도 유지 기동에 소모된다. 대부분의 위성에서 추진제 적재량은 보충할 수 없으므로, 위성에 처음에 적재된 추진제의 양이 그 유효 수명을 결정할 수 있다.

일반적인 로켓을 사용한 다양한 궤도 기동에 필요한 델타-''v''; 빨간색 화살표는 해당 방향에서 선택적 대기 제동을 수행할 수 있는 위치를 나타내며, 검은색 숫자는 양방향으로 적용되는 델타-''v''를 km/s 단위로 나타낸다.^[5]^[6] 표시된 것보다 낮은 델타-''v'' 전송을 달성할 수 있는 경우가 많지만, 드문 전송 창이 필요하거나 상당히 더 오래 걸린다.

C3: 탈출 궤도
GEO: 정지 궤도
GTO: 정지 전이 궤도
L4/5: 지구-달 라그랑주 점
LEO: 저궤도

예를 들어, 소유스 우주선은 국제 우주 정거장(ISS)에서 두 단계로 궤도 이탈을 수행한다. 첫째, 우주 정거장과의 안전한 분리를 위해 2.18m/s의 델타-v가 필요하다. 그런 다음 대기 재돌입을 위해 128m/s가 더 필요하다.^[7]

5. 1. 포크찹 플롯

행성들의 상대적인 위치는 시간에 따라 변하므로, 서로 다른 발사 날짜에 서로 다른 델타-v가 필요하다. 필요한 델타-''v''를 시간에 따라 표시한 도표를 포크찹 플롯이라고 한다. 이러한 도표는 발사 시기를 계산하는 데 유용하다. 왜냐하면 발사는 임무가 사용될 차량의 성능 범위 내에 있을 때만 수행되어야 하기 때문이다.^[4]

6. 대한민국 우주 개발과 델타-v

대한민국은 누리호 개발을 통해 델타-v 획득 기술을 확보하고 있다. 한국형 발사체의 성능 향상은 더 복잡하고 어려운 우주 임무 수행을 가능하게 한다. 달 탐사, 화성 탐사 등 심우주 탐사 계획에서 델타-v 최적화는 핵심 과제이다. 한국은 국제 우주 협력에도 참여하여 델타-v 관련 기술을 공유하고 발전시키고 있다.

6. 1. 한국 우주인의 델타-v

Союз은 국제우주정거장(ISS)에서 두 단계로 궤도 이탈을 수행한다. 첫째, 우주 정거장과의 안전한 분리를 위해 2.18m/s의 델타-v가 필요하다. 그런 다음 대기 재돌입을 위해 128m/s가 더 필요하다.^[7]

7. 같이 보기

로켓 방정식
비추력
궤도 기동
호만 전이 궤도
중력 쐐기
오베르트 효과

참조

_[1] 서적 Air Launching Eart-to-Orbit Vehicles: Delta V gains from Launch Conditions and Vehicle Aerodynamics https://www.research[...] 2004-01-05
_[2] 문서
_[3] 문서
_[4] 웹사이트 Mars Exploration: Features http://marsprogram.j[...]
_[5] 웹사이트 Rockets and Space Transportation http://www.pma.calte[...] 2013-06-01
_[6] 웹사이트 Delta-V Calculator http://www.strout.ne[...]
_[7] 웹사이트 Soyuz MS-17 safely returns three Station crewmembers to Kazakhstan https://www.nasaspac[...] 2021-04-17
_[8] 문서
_[9] 웹인용 델타 V http://m.terms.naver[...] 항공우주공학용어사전

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