델 페초 곡면

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1. 개요
2. 정의
3. 분류
- 3.1. 차수별 델 페초 곡면
4. 성질
- 4.1. (-1)-곡선
- 4.2. 호지 수
5. 약한 델 페초 곡면
6. 역사
7. 응용
참조

1. 개요

델 페초 곡면은 대수적으로 닫힌 체 K에 대해 정의되는 대수 곡면의 일종으로, 파노 다양체이면서 차원이 2인 대수다양체이다. 델 페초 곡면은 유리 곡면이며 사영 평면과 쌍유리 동치이며, 사영 평면의 k개 점에서의 부풀리기 또는 P1 × P1과 동형이다. 델 페초 곡면은 차수가 최대 9이며, 차수에 따라 (-1)-곡선과 모듈라이 공간 차원이 결정된다. 델 페초 곡면은 이론 물리학, 특히 거울 대칭, 자이베르그 이중성, M이론 등에서 활용된다. 약한 델 페초 곡면은 반표준 묶음이 네프이고 빅인 완전 비특이 곡면이다. 이 개념은 1880년대 파스콸레 델 페초에 의해 연구되었다.

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델 페초 곡면

2. 정의

대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대하여, '''델 페초 곡면'''은 다음 두 조건을 만족시키는 $K$ -대수다양체 $X$ 이다.

대수 곡면이다. 즉, 크룰 차원이 2차원이다.
파노 다양체이다. 즉, 반표준 인자 $-K_X$ 가 풍부한 인자이며, 완비 대수다양체이다.

델 페초 곡면은 풍부한 반표준 번들을 가진 완전한 비특이 곡면이다. 델 페초 곡면 ''X''의 '''차수''' ''d''는 정의상 표준 클래스 ''K''의 교차수(''K'', ''K'')이다.

3. 분류

델 페초 곡면은 유리 곡면이며, 사영 평면과 쌍유리 동치이다. 델 페초 곡면의 '''차수''' ''d''는 반표준 인자(또는 표준 인자)의 제곱이며, 표준 인자의 자기 교차수와 같고, 최대 9이다.

모든 델 페초 곡면은 다음 중 하나와 동형이다.

사영 평면의 $k$ 개의 점에서의 부풀리기 ( $k=0,1,2,\dots,8$ ).
$\mathbb P^1\times\mathbb P^1$ .

사영 평면에서 9개 이상의 점을 부풀리면 더 이상 반표준 인자가 풍부하지 않다. 델 페초 곡면 ''X'' 위의 모든 곡선은 자기 교차수가 최소 −1이다. 자기 교차수가 −1인 곡선의 수는 유한하며 차수에 따라 달라진다(차수가 8인 경우는 제외). (−1)-곡선은 자기 교차수가 −1인 유리 곡선이다. ''d > 2''의 경우, 이러한 곡선이 반표준 임베딩에 따라 사영 공간에 투영된 이미지는 선이다.

델 페초 곡면 위의 모든 (−1)-곡선의 날림은 차수가 1 더 큰 델 페초 곡면이다. 델 페초 곡면 위의 모든 점의 블로우업은 차수가 1 작은 델 페초 곡면이다. 단, 그 점이 (−1)-곡선 위에 있지 않고 차수가 2보다 큰 경우이다. 차수가 2일 때, 점이 반표준 사상과 관련된 가이저 대합에 의해 고정되지 않는다는 조건을 추가해야 한다.

델 페초는 델 페초 곡면의 차수 ''d''가 최대 9임을 증명했다. 대수적으로 닫힌 체 위에서 모든 델 페초 곡면은 두 개의 사영 직선의 곱(''d''=8)이거나, 세 점이 공선상에 있지 않고, 6개의 점이 원뿔 위에 있지 않으며, 8개의 점이 그 중 하나에 노드가 있는 3차 곡선 위에 있지 않은 9 − ''d''개의 점을 가진 사영 평면의 블로우업이다.

차수 ''d''의 델 페초 곡면의 피카르 군은 2개의 직선의 곱인 경우를 제외하고 홀수 단일 모듈 격자 I_1,9−''d''이다. 2개의 직선의 곱인 경우에는 피카르 군은 짝수 단일 모듈 격자 II_1,1이다.

3. 1. 차수별 델 페초 곡면

기호	차수 $d$	(−1)-곡선의 수	피카르 군	모듈라이 공간의 차원	비고
$\operatorname{dP}_8$	1	240	$\operatorname I_{1,8}$	8	(−1)-곡선들은 E₈의 근계와 대응
$\operatorname{dP}_7$	2	56	$\operatorname I_{1,7}$	6	분지선이 평면 4차 곡선인, 사영 평면의 2겹 피복 공간
$\operatorname{dP}_6$	3	27	$\operatorname I_{1,6}$	4	$\mathbb P^3$ 속의 3차 곡면
$\operatorname{dP}_5$	4	16	$\operatorname I_{1,5}$	2	$\mathbb P^4$ 속의 세그레 곡면 (=두 이차 곡면의 교차)
$\operatorname{dP}_4$	5	10	$\operatorname I_{1,4}$	0
$\operatorname{dP}_3$	6	6	$\operatorname I_{1,3}$	1
$\operatorname{dP}_2$	7	3	$\operatorname I_{1,2}$	1
$\operatorname{dP}_1$	8	1	$\operatorname I_{1,1}$	0	히르체브루흐 곡면
$\mathbb P^1\times\mathbb P^1$	8	0	$\operatorname{II}_{1,1}$	0	두 개의 사영 직선의 곱 (이차 곡면)
$\operatorname{dP}_0$	9	0	$\operatorname I_{1,0}$	0	사영 평면 $\mathbb P^2$

차수 1 델 페초 곡면은 ''E''₈ 근계의 근에 해당하는 240개의 (−1)-곡선을 가지며, 8차원 패밀리를 형성한다. 반표준 제수는 매우 풍부하지 않다. 선형계 |−2''K''|는 델 페초 곡면에서 '''P'''³의 이차 원뿔로의 차수 2 맵을 정의하며, 삼차 곡면에 의해 잘린 비특이 속 4 곡선에서 분기된다.

차수 2 델 페초 곡면은 ''E''₇ 격자의 쌍대 격자의 극소 벡터에 해당하는 56개의 (−1)-곡선을 가지며, 6차원 패밀리를 형성한다. 반표준 제수는 매우 풍부하지 않으며, 선형계는 델 페초 곡면에서 사차 평면 곡선에서 분기되는 사영 평면으로의 맵을 정의한다. 이 맵은 일반적으로 2 대 1이므로 이 곡면을 델 페초 이중 평면이라고도 한다. 델 페초 곡면의 56개의 선은 쌍으로 28개의 사차 곡선의 이중 접선에 매핑된다.

차수 3 델 페초 곡면은 본질적으로 '''P'''³의 삼차 곡면이다. 삼차 곡면은 반표준 매입의 이미지이다. ''E''₆ 격자의 쌍대 격자의 하나의 코셋의 극소 벡터에 해당하는 27개의 (−1)-곡선을 가지며, 이는 삼차 곡면의 27개의 선으로 매핑된다.

차수 4 델 페초 곡면은 본질적으로 두 개의 이차 곡면의 교차로 주어진 '''P'''⁴의 세그레 곡면이다. 16개의 (−1)-곡선을 가지며, 2차원 패밀리를 형성한다.

차수 5 델 페초 곡면은 ''A''₄ 격자의 쌍대 격자의 하나의 코셋의 극소 벡터에 해당하는 10개의 (−1)-곡선을 갖는다. 동형 사상까지 유일한 그러한 곡면이 있으며, 이는 사영 평면에서 한 선 위에 3개의 점이 없는 4개의 점을 불어냄으로써 주어진다.

차수 6 델 페초 곡면은 6개의 (−1)-곡선을 갖는다. 동형 사상까지 유일한 그러한 곡면이 있으며, 이는 한 선 위에 있지 않은 3개의 점에서 사영 평면을 불어냄으로써 주어진다. 근계는 ''A''₂ × ''A''₁이다.

차수 7 델 페초 곡면은 3개의 (−1)-곡선을 갖는다. 동형 사상까지 유일한 그러한 곡면이 있으며, 이는 2개의 서로 다른 점에서 사영 평면을 불어냄으로써 주어진다.

차수 8 델 페초 곡면은 2개의 동형 사상 유형을 갖는다. 하나는 사영 평면의 한 점에서 블로우 업으로 주어진 히르체브루흐 곡면이며, 1개의 (−1)-곡선을 갖는다. 다른 하나는 두 개의 사영 직선의 곱이며, 이는 사영 평면에서 시작하여 점을 블로우 업하여 얻을 수 없는 유일한 델 페초 곡면이다. 픽카드 군은 짝수 2차원 단일 모듈 부정 격자 II_1,1이며, (−1)-곡선을 포함하지 않는다.

차수 9 델 페초 곡면은 '''P'''²이다. 그 반표준 매입은 삼차 곡선의 선형계를 사용하여 '''P'''⁹로의 차수 3 베로네세 매입이다.

4. 성질

델 페초 곡면의 차수 ''d''는 표준 인자 ''K''의 교차수( $(K,K)$ )로 정의된다. 델 페초 곡면 위의 모든 곡선은 자기 교차수가 -1 이상이다. 자기 교차수가 -1인 곡선의 수는 유한하며 차수에 따라 달라진다(차수가 8인 경우는 제외).^[1]

델 페초 곡면에서 (-1)-곡선은 자기 교차수가 -1이며, 표준 인자와의 교차수 역시 -1인 유리 곡선이다. ''d > 2''인 경우, 이러한 곡선들이 반표준 임베딩에 따라 사영 공간에 투영된 이미지는 선이다.

델 페초 곡면 위의 모든 (-1)-곡선을 날려보내면 차수가 1 더 큰 델 페초 곡면을 얻는다. 또한 델 페초 곡면 위의 모든 점을 블로우업하면 차수가 1 작은 델 페초 곡면을 얻는다. 단, 점이 (-1)-곡선 위에 있지 않고 차수가 2보다 큰 경우에 해당한다. 차수가 2일 때는, 점이 반표준 사상과 관련된 가이저 대합에 의해 고정되지 않아야 한다는 조건이 추가된다.

델 페초는 델 페초 곡면의 차수 ''d''가 최대 9임을 증명하였다. 대수적으로 닫힌 체 위에서 모든 델 페초 곡면은 두 개의 사영 직선의 곱(''d''=8)이거나, 세 점이 공선상에 있지 않고, 6개의 점이 원뿔 곡선 위에 있지 않으며, 8개의 점이 그 중 하나에 노드가 있는 3차 곡선 위에 있지 않은 9 − ''d''개의 점을 가진 사영 평면의 블로우업이다. 반대로 이러한 조건을 만족하는 점들로 평면을 블로우업하면 델 페초 곡면을 얻는다.

차수 ''d''의 델 페초 곡면의 피카르 군은 두 개의 직선의 곱인 경우(피카르 군이 짝수 단일 모듈 격자 II_1,1)를 제외하고 홀수 단일 모듈 격자 I_1,9−''d''이다. 홀수 격자인 경우, 표준 요소는 (3, 1, 1, 1, ....)이고, 특이 곡선은 다음 벡터의 첫 번째 좌표를 제외한 모든 좌표의 순열로 표시된다.

(0, -1, 0, 0, ....) 블로우업된 점의 특이 곡선,
(1, 1, 1, 0, 0, ...) 2점을 지나는 선,
(2, 1, 1, 1, 1, 1, 0, ...) 5점을 지나는 원뿔,
(3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, ...) 그 중 하나에 이중점을 갖는 7점을 지나는 3차 곡선,
(4, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1) 3개에 이중점을 갖는 8점을 지나는 4차 곡선,
(5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1) 모두 8개 중 2개를 제외한 모든 점에 이중점을 갖는 8점을 지나는 5차 곡선,
(6, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2) 중복도 3인 단일점을 제외한 모든 점에 이중점을 갖는 8점을 지나는 6차 곡선.

4. 1. (-1)-곡선

(−1)-curve^영어은 자기 교차수가 −1이며, 표준 인자와의 교차수 역시 −1인 (기약) 곡선이다.^[1]

\pi\colon\operatorname{dP}_n\twoheadrightarrow\mathbb P^2

에서,

\mathbb P^2

의 세르 뒤틀림 층

O(1)

의 당김을

H=\pi^*O(1)

라고 하고, 부풀리기로 발생하는 예외적 인자들을

E_1,\dots,E_n

이라고 하자. 이는 델 페초 곡면의 피카르 군

\operatorname{Pic}(\operatorname{dP}_n)=\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\{H,E_1,\dots,E_n\}\cong\mathbb Z^{n+1}

의 기저를 이룬다.

교차수는 다음과 같다.

:

E_i.E_j=-\delta_{ij}

:

E_i.H=0

:

H.H=1

표준 인자는 다음과 같다.

:

K=-3H+\sum_iE_i

인자

C=aH-\sum_{i=1}^nb_iE_i

가 (−1)-곡선을 이루려면, 다음 연립 디오판토스 방정식을 만족시켜야 한다.^[1]

:

a^2-\sum_{i=1}^nb_i^2=-3a+\sum_{i=1}^nb_i=-1

이 디오판토스 방정식의 해는

n<9

인 경우 다음과 같다.

$a$	0이 아닌 $b_i$	개수	해석
0	−1	$n$	예외 곡선
1	1, 1	$\binom n2$	부풀려진 두 점을 지나는 사영 직선
2	1, 1, 1, 1, 1	$\binom n5$	부풀려진 5개의 점을 지나는 원뿔 곡선
3	2, 1, 1, 1, 1, 1, 1	$7\binom n7$	하나의 2중점을 갖는 3차 유리 곡선. $n=7,8$ 인 경우에만 가능
4	2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1	56	세 개의 2중점을 갖는 4차 유리 곡선. $n=8$ 인 경우에만 가능
5	2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1	28	6개의 2중점을 갖는 5차 유리 곡선. $n=8$ 인 경우에만 가능
6	3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2	8	7개의 2중점과 하나의 3중점을 갖는 6차 유리 곡선. $n=8$ 인 경우에만 가능

4. 2. 호지 수

사영 평면을

n

번 부풀려 얻은 곡면인 델 페초 곡면

\operatorname{dP}_n

은 호지 수 가운데

h^{1,1}

만이

n

만큼 증가하고, 나머지 호지 수들은 사영 평면의 호지 수와 같다. 즉,

\operatorname{dP}_n

의 호지 수는 다음과 같다.

		1
	0		0
0		1+n		0
	0		0
		1

$\mathbb P^1\times\mathbb P^1$ 의 경우 두 사영 직선의 곱이므로 호지 수를 쉽게 계산할 수 있으며, 다음과 같다.

		1
	0		0
0		2		0
	0		0
		1

5. 약한 델 페초 곡면

반표준 묶음이 네프(nef)이고 빅(big)인 완전 비특이 곡면을 '''약한 델 페초 곡면'''이라고 한다.

약한 델 페초 곡면 위에 존재하는 모든 (−1)-곡선을 날려 보내면(blowdown) 차수가 1 더 큰 약한 델 페초 곡면을 얻는다. 또한, 약한 델 페초 곡면 위의 점을 날려 보낼 때, 그 점이 −2-곡선 위에 있지 않고 차수가 1보다 크다면, 차수가 1 작은 약한 델 페초 곡면을 얻는다.

약한 델 페초 곡면 위의 모든 곡선은 자기 교차수(self intersection number)가 −2 이상이다. 자기 교차수가 −2인 곡선은 최대 9−''d''개이며, 자기 교차수가 −1인 곡선의 수는 유한하다.

6. 역사

나폴리의 수학자 파스콸레 델 페초(Pasquale del Pezzo^it)가 1880년대에 연구하였다.^[2]^[3]

7. 응용

델 페초 곡면은 이론 물리학에서 다양하게 등장한다. 델 페초 곡면은 거울 대칭의 중요한 예이다.^[4] 델 페초 곡면은 또한 자이베르그 이중성에 사용되며,^[5] M이론의 '''신비로운 이중성'''(mysterious duality^영어)에 등장한다.^[6]

참조

_[1] 웹인용 Arithmetic of del Pezzo surfaces http://math.rice.edu[...] 2010-10
_[2] 논문 Sulle superficie dell ordine $n$ immerse negli spazi di $n+1$ dimensioni 1885
_[3] 논문 Sulle superficie dell’ $n$ ^mo ordine immerse nello spazio di $n$ dimensioni 1887
_[4] 논문 Mirror symmetry for Del Pezzo surfaces: Vanishing cycles and coherent sheaves
_[5] 논문 Seiberg duality is an exceptional Mutation
_[6] 논문 A mysterious duality 2002

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