파노 다양체

3. 성질

파노 다양체는 항상 사영 대수다양체이다. 복소수 위의 파노 다양체 ''X''에 대해, 고다이라 소멸 정리에 따르면 구조층의 층 코호몰로지 군 $H^j(X\; ,\; \backslash mathcal\{O\}\_X)$는 $j>\; 0$일 때 0이다. 특히, 토드 종수 $\backslash chi\; (X,\; \backslash mathcal\{O\})=\; \backslash sum\; (-1)^j\; h^j(X\; ,\; \backslash mathcal\{O\}\_X)$는 자동적으로 1이다. 이 소멸 명제의 $j=1,2$ 경우는 첫 번째 천 종류가 동형 사상 $c\_1:\; Pic(X)\backslash to\; H^2(X,\; \backslash mathbb\{Z\})$을 유도한다는 것을 보여준다.^[1]

야우의 칼라비 추측 해결에 따르면, 매끄러운 복소수 다양체는 파노 다양체인 경우에만 양의 리치 곡률을 갖는 켈러 계량을 갖는다. 마이어스 정리에 따르면 파노 다양체의 보편 덮개는 콤팩트하며, 유한 덮개일 수밖에 없다. 파노 다양체의 토드 종수가 1이어야 하고, 토드 종수는 유한 덮개 아래에서 곱셈적이므로, 모든 파노 다양체는 단일 연결이다.

모든 파노 다양체는 고다이라 차원이 −∞이다.

캄파나와 꼴라르–미야오카–모리는 대수적으로 닫힌 체 위의 매끄러운 파노 다양체가 유리적으로 사슬 연결되어 있음을 보였다. 즉, 두 닫힌 점은 유리 곡선 사슬로 연결될 수 있다.^[1] 꼴라르–미야오카–모리는 특성 0의 대수적으로 닫힌 체 위에서 주어진 차원의 매끄러운 파노 다양체가 유계족을 형성한다는 것도 보였는데, 이는 유한 개의 대수적 다양체의 점으로 분류된다는 의미이다.^[2] 특히, 각 차원의 파노 다양체의 변형류는 유한 개만 존재한다. 이러한 점에서 파노 다양체는 일반형 다양체와 같은 다른 종류의 다양체보다 훨씬 더 특별하다.

4. 예

• 사영 공간은 파노 다양체의 기본적인 예이다. 체 ''k'' 위의 '''P'''^''n''의 반표준 선다발은 ''O''(''n''+1)이며, 이는 매우 풍부하다. (복소수 위에서 그 곡률은 푸비니-스터디 심플렉틱 형식의 ''n+1''배이다.)
• '''P'''ⁿ의 매끄러운 코드차원 1인 부분다양체 ''D''에 대해, 접합 공식에 따르면, ''K''_''D'' = (''K''_''X'' + ''D'')|_''D'' = (−(''n''+1)''H'' + deg(''D'')H)|_''D''인데, 여기서 ''H''는 초평면의 클래스이다. 따라서, 초곡면 ''D''는 deg(''D'') < ''n''+1일 때만 파노이다.
• 더 일반적으로, ''n''차원 사영 공간에서 초곡면의 매끄러운 완전 교차는 그 차수의 합이 ''n'' 이하일 때만 파노이다.
• 가중 사영 공간 '''P'''(''a''₀,...,''a''_''n'')은 특이점 (klt) 파노 다양체이다. 이것은 생성원의 차수가 ''a''₀,...,''a''_''n''인 등급 다항식환과 관련된 사영 스킴이다. 만약 이것이 잘 정돈되어 있다면, 즉 숫자 ''a'' 중 ''n''개가 1보다 큰 공통 인수를 갖지 않는다면, 그 차수의 합이 ''a''₀+...+''a''_''n''보다 작은 초곡면의 완전 교차는 파노 다양체이다.
• 표수 0에서 선형 대수적 군에 의해 균질인 모든 사영 다양체는 파노이다.

5. 분류

1차원 파노 곡선은 사영 직선과 동형이다.^[1]

2차원 파노 다양체는 델 페초 곡면이라고 한다.

3차원에서는 '''P'''⁴의 3차 3-폴드(클레멘스-그리피스에 의해서)와 '''P'''⁴의 4차 3-폴드(이스콥스키흐-마닌에 의해서)와 같이, 유리적이지 않은 매끄러운 복소수 파노 다양체가 존재한다.

5. 1. 1차원

5. 2. 2차원

5. 3. 3차원

6. 역사

이탈리아의 수학자 지노 파노(Gino Fano^it)가 연구하였다.^[5][6]

참조

_[1] 논문 Rational Curves on Algebraic Varieties. Theorem V.2.13
_[2] 논문 Rational Curves on Algebraic Varieties. Corollary V.2.15
_[3] 논문 Rational Curves on Algebraic Varieties. Theorem V.2.13
_[4] 논문 Rational Curves on Algebraic Varieties. Corollary V.2.15
_[5] 서적 Proc. Internat. Congress Mathematicians (Bologna) , 4 , Zanichelli 1934
_[6] 저널 Su alcune varietà algebriche a tre dimensioni razionali, e aventi curve-sezioni canoniche http://gdz.sub.uni-g[...]