마팅게일

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 역사
6. 정지 시간
- 6.1. 임의 추출 정리
7. 멈춤 시간
참조

1. 개요

마팅게일은 확률 과정의 한 종류로, 조건부 기댓값이 현재 값과 같은 특성을 가진다. 이 정의는 전순서 집합과 여과 확률 공간을 기반으로 하며, 이산 시간 및 연속 시간에서 다르게 나타난다. 마팅게일은 열마팅게일, 우마팅게일과 같은 관련 개념을 가지며, 조건부 기대값의 상한 또는 하한을 포함하는 일반화가 가능하다. 무작위 행보, 공정한 동전 던지기 게임 등 다양한 예시가 있으며, 멈춤 시간과 선택적 멈춤 정리와 같은 중요한 성질을 갖는다. 마팅게일이라는 용어는 18세기 프랑스의 도박 전략에서 유래되었으며, 확률론의 발전에 기여했다.

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마팅게일
확률 이론
유형	확률 과정
관련 항목	마르코프 속성 정지 과정 도브의 마르틴게일 수렴 정리 바슐리에 모형
통계
관련 주제	수학적 금융 도박 무작위 걷기

2. 정의

마팅게일은 여과 확률 공간과 순응 확률 과정에 대해 정의되며, 다음 두 가지 조건을 만족시켜야 한다.

기댓값의 존재: 어떤 시간 $t$ 에 대해서도, 확률 변수의 기댓값의 절댓값이 무한대보다 작아야 한다. ( $\operatorname E(\|X_t\|) < \infty$ )
마팅게일 성질: 현재 시간 $s$ 까지의 정보가 주어졌을 때, 미래 시간 $t$ ( $s\le t$ )에서의 확률 변수의 조건부 기댓값은 현재 시간 $s$ 에서의 확률 변수의 값과 같다. ( $\mathbb E(X_t | \mathcal F_s) = X_s$ )

쉽게 말해, 과거의 모든 정보를 알고 있다면, 미래의 기댓값은 현재 값과 같다는 의미이다.

2. 1. 마팅게일

여과 확률 공간

(\Omega,\mathcal F_t,\Pr)_{t\in T}

위에 정의된 순응 확률 과정

(X_t\colon \Omega\to)_{t\in T}

이 다음 두 조건을 만족시키면 '''마팅게일'''이라고 한다.

(기댓값의 존재) 임의의 $t\in T$ 에 대하여, $\operatorname E(\|X_t\|) < \infty$ 이다. 즉, $X_t \in \operatorname L^1(\Omega;\mathbb R^d)$ 이다.
(마팅게일 성질) 임의의 $s,t\in T$ 에 대하여, 만약 $s\le t$ 라면, $\mathbb E(X_s | \mathcal F_s ) = \mathbb E(X_t | \mathcal F_s)\colon\mathcal F_s\to \mathbb R^d$ 이다. 즉, 임의의 $A\in\Sigma_s$ 에 대하여, $\mathbb E(X_t|A) = \mathbb E(X_s|A)\in\mathbb R^d$ 이다. 여기서 $1_A\colon \Omega\to\mathbb R$ 는 $A$ 의 지시 함수이다.

여기서

\mathbb E(-|-)

는 조건부 기댓값을 뜻한다. 마팅게일 성질은 현재

s

까지의 정보(

A\in\mathcal F_s

)만을 알고 있다면, 미래

t\ge s

에서의

X

의 값

X_t

의 기댓값

\mathbb E(X_t|A)

은 현재의 기댓값

\operatorname E(X_s|A)

과 같다는 의미이다.

이산 시간 마팅게일은 이산 시간 확률 과정에서, 모든 과거 관측값을 조건으로 한 다음 관측값의 조건부 기대값이 가장 최근의 관측값과 같다는 조건을 만족하는 경우를 말한다.

연속 시간 마팅게일은 확률 과정 ''X_t''에 대하여, 시간 ''s''까지의 모든 관측값을 조건으로 하는 시간 ''t''에서의 관측값에 대한 조건부 기대값이 시간 ''s''에서의 관측값과 같다는 속성을 만족하는 경우이다. (''s'' ≤ ''t'')

일반적으로, 바나흐 공간

S

의 값을 갖는 확률 과정

Y:T\times\Omega\to S

는 다음 조건을 만족할 때 '''여과

\Sigma_*

및 확률 측도

\mathbb P

에 대한 마팅게일'''이라고 한다.

Σ_∗는 기본 확률 공간 (Ω, Σ, $\mathbb P$ )의 여과이다.
''Y''는 여과 Σ_∗에 적응되어 있다. 즉, 색인 집합 ''T''의 각 ''t''에 대해, 확률 변수 ''Y_t''는 Σ_''t''-가측 함수이다.
각 ''t''에 대해, ''Y_t''는 ''L^p'' 공간 ''L''¹(Ω, Σ_''t'', $\mathbb P$ ; ''S'')에 속한다. 즉, $\mathbf{E}_{\mathbb{P}} (\lVert Y_{t} \rVert_{S}) < + \infty$
''s'' < ''t''인 모든 ''s''와 ''t'' 및 모든 ''F'' ∈ Σ_''s''에 대해, $\mathbf{E}_{\mathbb{P}} \left([Y_t-Y_s]\chi_F\right) =0$ (여기서 ''χ_F''는 사건 ''F''의 지시 함수)

마팅게일이라는 속성은 여과 ''및'' 확률 측도(기대값을 계산하는 기준)를 모두 포함한다는 점에 유의해야 한다.

다음은 마팅게일의 예시이다.

임의의 차원에서 무작위 보행
도박사의 재산(자본) (단, 모든 베팅 게임이 공정해야 함)
드 무아브르의 마팅게일: 동전 던지기 결과가 공정하지 않다, 즉 편향되어 앞면이 나올 확률이 ''p''이고 뒷면이 나올 확률이 ''q'' = 1 − ''p''라고 할때, $X_{n+1}=X_n\pm 1$ ( "+"는 "앞면", "−"는 "뒷면") 이고, $Y_n=(q/p)^{X_n}$ 이면, {''Y_n'' : ''n'' = 1, 2, 3, ... }는 {''X_n'' : ''n'' = 1, 2, 3, ... }에 대한 마팅게일이다.
폴리야의 항아리
우도비 검정 (통계학)
생태 공동체
월드의 마팅게일

2. 2. 열마팅게일과 우마팅게일

d=1

이라고 하자. 마팅게일의 정의에서 조건을 다음과 같이 바꾸면, 열마팅게일(劣martingale, submartingale|서브마팅게일^영어)과 우마팅게일(優martingale, supermartingale|슈퍼마팅게일^영어) 개념을 얻을 수 있다.^[1]

열마팅게일 조건: 임의의 $s,t\in T$ 에 대하여, 만약 $s\le t$ 라면, $\mathbb E(X_s | \mathcal F_s ) \le \mathbb E(X_t | \mathcal F_s)\colon\mathcal F_s\to \mathbb R^d$ 이다.
우마팅게일 조건: 임의의 $s,t\in T$ 에 대하여, 만약 $s\le t$ 라면, $\mathbb E(X_s | \mathcal F_s ) \ge \mathbb E(X_t | \mathcal F_s)\colon\mathcal F_s\to \mathbb R^d$ 이다.

만약

(X_t)_{t\in\mathbb T}

가 열마팅게일이라면,

(-X_t)_{t\in T}

는 우마팅게일이며, 그 역도 마찬가지다. 열마팅게일이자 우마팅게일인 확률 과정은 마팅게일이다.^[1]

연속 시간 확률 과정 ''X_t''에 관한 '''연속 시간 마팅게일'''은 모든 ''t''에 대해 다음을 만족하는 확률 과정 ''Y_t''이다.^[1]

:

\mathbf{E} ( \vert Y_t \vert )<\infty

:

\mathbf{E} ( Y_{t} \mid \{ X_{\tau}, \tau \leq s \} ) = Y_s\quad \forall s \le t.

이는 시간 ''s''까지의 모든 관측값을 조건으로 하는 시간 ''t''에서의 관측값에 대한 조건부 기대값이 시간 ''s''에서의 관측값과 같다는 속성을 나타낸다(물론, ''s'' ≤ ''t''인 경우).^[1]

이산 시간 '''서브마팅게일'''은 다음을 만족하는 적분 가능한 확률 변수 시퀀스 $X_1,X_2,X_3,\ldots$ 이다.^[1]

::

\operatorname E[X_{n+1}\mid X_1,\ldots,X_n] \ge X_n.

:마찬가지로, 연속 시간 서브마팅게일은 다음을 만족한다.^[1]

::

\operatorname E[X_t\mid\{X_\tau : \tau \le s\}] \ge X_s \quad \forall s \le t.

유사하게, 이산 시간 '''슈퍼마팅게일'''은 다음을 만족한다.^[1]

::

\operatorname E[X_{n+1}\mid X_1,\ldots,X_n] \le X_n.

:마찬가지로, 연속 시간 슈퍼마팅게일은 다음을 만족한다.^[1]

::

\operatorname E[X_t\mid\{X_\tau : \tau \le s\}] \le X_s \quad \forall s \le t.

모든 마팅게일은 서브마팅게일이자 슈퍼마팅게일이기도 하다. 반대로, 서브마팅게일과 슈퍼마팅게일 ''둘 다''인 확률 과정은 마팅게일이다.^[1]

예를 들어 동전던지기 게임에서 다음과 같이 정의할 수 있다.^[1]
* 만약 동전이 앞면이 나올 확률 ''p''가 1/2와 같다면, 도박꾼은 평균적으로 돈을 따지도 잃지도 않으며, 시간이 지남에 따라 도박꾼의 재산은 마팅게일이 된다.
* 만약 ''p''가 1/2보다 작다면, 도박꾼은 평균적으로 돈을 잃고, 시간이 지남에 따라 도박꾼의 재산은 슈퍼마팅게일이 된다.
* 만약 ''p''가 1/2보다 크다면, 도박꾼은 평균적으로 돈을 따고, 시간이 지남에 따라 도박꾼의 재산은 서브마팅게일이 된다.
볼록 함수의 마팅게일은 젠센 부등식에 의해 서브마팅게일이다. 예를 들어, 공정한 동전 게임에서 도박꾼의 재산의 제곱은 서브마팅게일이다.^[1] 마찬가지로, 마팅게일의 오목 함수는 슈퍼마팅게일이다.^[1]

2. 3. 이산 시간 마팅게일

확률 과정의 자연 여과 확률 공간을 고려하는 경우, 시간 집합이 자연수 집합과 같이 이산적이면 마팅게일의 정의는 더 간결하게 표현될 수 있다. 이 경우 조건부 기댓값은 이전 시점까지의 확률 변수들에 대한 조건부 기댓값으로 나타낼 수 있다.

이산 시간 '''마팅게일'''은 다음 조건을 만족하는 이산 시간 확률 과정(즉, 확률 변수의 수열) ''X''₁, ''X''₂, ''X''₃, ...이다.

임의의 시간 ''n''에 대해 다음이 성립한다.

:

\mathbf{E} ( \vert X_n \vert )< \infty

:

\mathbf{E} (X_{n+1}\mid X_1,\ldots,X_n)=X_n.

즉, 모든 과거 관측값을 조건으로 한 다음 관측값의 조건부 기대값은 가장 최근의 관측값과 같다.

더 일반적으로, 수열 ''Y''₁, ''Y''₂, ''Y''₃ ...는 또 다른 수열 ''X''₁, ''X''₂, ''X''₃ ...에 관하여 '''마팅게일'''이라고 하며, 모든 ''n''에 대해 다음이 성립한다.

:

\mathbf{E} ( \vert Y_n \vert )< \infty

:

\mathbf{E} (Y_{n+1}\mid X_1,\ldots,X_n)=Y_n.

마찬가지로, '''연속 시간''' 확률 과정 ''X_t''에 관한 '''연속 시간 마팅게일'''은 모든 ''t''에 대해 다음을 만족하는 확률 과정 ''Y_t''이다.

:

\mathbf{E} ( \vert Y_t \vert )<\infty

:

\mathbf{E} ( Y_{t} \mid \{ X_{\tau}, \tau \leq s \} ) = Y_s\quad \forall s \le t.

이는 시간 ''s''까지의 모든 관측값을 조건으로 하는 시간 ''t''에서의 관측값에 대한 조건부 기대값이 시간 ''s''에서의 관측값과 같다는 속성을 나타낸다(물론, ''s'' ≤ ''t''인 경우).

T = \mathbb N=\{0,1,2,\dotsc\}

(자연수 집합)인 경우, 즉 이산 시간 확률 과정에서

(X_t\colon\Omega\to\mathbb R^d)_{t\in\mathbb Z}

가 마팅게일이 될 조건은 다음과 같다.

(기댓값의 존재) 임의의 $t\in\mathbb N$ 에 대하여, $\mathbb E(\|X_t\|) < \infty$
(마팅게일 성질) $\mathbb E(X_{s+1} | X_0,X_1,\dotsc,X_s) = \mathbb E(X_s)$

이 조건은

t=s+1

인 경우로, 일반적 정의보다 더 약한 것처럼 보이지만, 수학적 귀납법으로 모든

t\ge s

에 대하여 성립함을 보일 수 있다.

정보 증가 계열 {''F''_''n''}_{''n ∈ T''}가 주어졌을 때, 실수값을 갖는 이산 시간 확률 과정 ''X''_''n'', n ∈ T가 마팅게일이라는 것은 다음 조건을 만족하는 것이다.

임의의 시각 ''n''에 대해 ''X''_''n''은 ''F''_''n'' 가측 함수이다.
임의의 시각 ''n''에 대해 ''X''_''n''은 적분 가능하다.
임의의 시각 ''n''에 대해 E[''X''_''n''+1|''F''_''n'']=''X''_''n''이 성립한다.

3. 성질

마팅게일은 현재 관측값 ''X_n''이 미래 조건부 기대값 ''E''[''X''_''n''+1 | ''X''₁,...,''X_n'']과 항상 같을 필요는 없지만, 조건부 기대값의 상한 또는 하한을 포함하는 두 가지 일반화된 개념이 존재한다. 이는 마팅게일 이론과 포텐셜 이론, 즉 조화 함수 연구 간의 관계를 보여준다. 연속 시간 마팅게일이 E[''X''_''t'' | {''X''_''τ'' : ''τ'' ≤ ''s''}] − ''X''_''s'' = 0 ∀''s'' ≤ ''t''를 만족하는 것처럼, 조화 함수 ''f''는 편미분 방정식 Δ''f'' = 0을 만족한다. 여기서 Δ는 라플라시안 연산자이다. 브라운 운동 과정 ''W''_''t''와 조화 함수 ''f''가 주어지면, 결과 과정 ''f''(''W''_''t'') 또한 마팅게일이 된다.

이산 시간 '''열마팅게일'''(submartingale)은 다음을 만족하는 적분 가능한 확률 변수 시퀀스 $X_1, X_2, X_3, \ldots$ 이다.

::

\operatorname E[X_{n+1} | X_1, \ldots, X_n] \ge X_n.

:마찬가지로, 연속 시간 열마팅게일은 다음을 만족한다.

::

\operatorname E[X_t | \{X_\tau : \tau \le s\}] \ge X_s \quad \forall s \le t.

:포텐셜 이론에서, 준조화 함수 ''f''는 Δ''f'' ≥ 0을 만족한다. 구의 경계에서 조화 함수로 상한을 갖는 준조화 함수는 구 내부의 모든 점에서도 조화 함수로 상한을 갖는다. 마찬가지로, 열마팅게일과 마팅게일이 특정 시점에 동일한 기대값을 가지면, 열마팅게일의 과거는 마팅게일의 과거에 의해 상한을 받는 경향이 있다. "열-"이라는 접두사는 현재 관측값 ''X_n''이 조건부 기대값 ''E''[''X_n''₊₁ | ''X''₁,...,''X_n'']보다 작거나 같기 때문에 사용되며, 현재 관측값은 미래 조건부 기대값을 아래에서 지원하고, 과정은 미래에 증가하는 경향을 보인다.

이산 시간 '''우마팅게일'''(supermartingale)은 다음을 만족한다.

::

\operatorname E[X_{n+1} | X_1, \ldots, X_n] \le X_n.

:마찬가지로, 연속 시간 우마팅게일은 다음을 만족한다.

::

\operatorname E[X_t | \{X_\tau : \tau \le s\}] \le X_s \quad \forall s \le t.

:포텐셜 이론에서, 과조화 함수 ''f''는 Δ''f'' ≤ 0을 만족한다. 구의 경계에서 조화 함수로 하한을 갖는 과조화 함수는 구 내부의 모든 점에서도 조화 함수로 하한을 갖는다. 마찬가지로, 우마팅게일과 마팅게일이 특정 시점에 동일한 기대값을 가지면, 우마팅게일의 과거는 마팅게일의 과거에 의해 하한을 받는 경향이 있다. "우-"라는 접두사는 현재 관측값 ''X_n''이 조건부 기대값 ''E''[''X_n''₊₁ | ''X''₁,...,''X_n'']보다 크거나 같기 때문에 사용되며, 현재 관측값은 미래 조건부 기대값을 위에서 지원하고, 과정은 미래에 감소하는 경향을 보인다.

편향되지 않은 동전을 계속 던져 ''n''번째 결과를 ''X''_''n''으로 표시하는 이산 시간 마팅게일의 예를 들 수 있다. (앞면은 1, 뒷면은 -1). 정보 증가 계열을 ''X'' 외에 정보를 제공하지 않는 것으로 정의하면, ''X'' 자신과 그 합 모두 마팅게일이 된다. ''S''_''n''은 동전 앞면에 매번 1원을 걸었을 때 ''n''번째의 소지금액을 나타낸다. 더 복잡한 도박 전략을 취하여 다음 도박 금액을 현재 소지금액의 함수로 설정하더라도, ''T''_''n''은 여전히 마팅게일이다. 이처럼 전략을 변경하는 것을 '''마팅게일 변환'''이라고 하며, 일반적으로 실행 가능한 전략에 의한 마팅게일 변환으로 얻어지는 확률 과정도 마팅게일이 된다고 알려져 있다.

4. 예시

무작위 행보는 마팅게일의 대표적인 예시이다.^[1]^[2] 원래 ''마팅게일''은 18세기 프랑스에서 유행했던 일련의 베팅 전략을 지칭한다. 이러한 전략 중 가장 간단한 것은 동전 던지기에서 앞면이 나오면 베팅한 돈을 따고, 뒷면이 나오면 잃는 게임을 위해 고안되었다. 이 전략은 도박꾼이 한 번 잃을 때마다 베팅 금액을 두 배로 늘려 첫 번째 승리로 이전의 모든 손실을 회수하고 원래 베팅 금액과 같은 이익을 얻도록 하는 것이었다.

마팅게일의 예시는 다음과 같다.

임의의 차원에서 무작위 보행은 마팅게일의 한 예이다.
도박사의 재산(자본)은 도박사가 하는 모든 베팅 게임이 공정하다면 마팅게일이다. 도박사는 동전 던지기 게임을 하고 있다. ''X_n''이 도박사가 공정한 동전을 ''n''번 던진 후의 재산이라고 가정하고, 동전 던지기 결과가 앞면이면 1USD를 얻고 뒷면이면 1USD를 잃는다고 가정한다. 도박사가 다음 게임 이후의 조건부 기대 재산은 이전의 재산과 같다. 따라서 이 시퀀스는 마팅게일이다.
''Y_n'' = ''X_n''² − ''n''으로 하고, 여기서 ''X_n''은 이전 예시에서 도박사의 재산이라고 하자. 그러면 시퀀스 {''Y_n'' : ''n'' = 1, 2, 3, ... }은 마팅게일이다. 이것은 도박사의 총 이득 또는 손실이 플레이된 동전 던지기 게임 수의 제곱근의 플러스 또는 마이너스 사이에서 대략적으로 변동한다는 것을 보여주기 위해 사용될 수 있다.
드 무아브르의 마팅게일: 동전 던지기 결과가 공정하지 않다, 즉 편향되어 앞면이 나올 확률이 ''p''이고 뒷면이 나올 확률이 ''q'' = 1 − ''p''라고 하자. ''X_n+1'' = ''X_n'' ± 1'' 로 정의한다. 여기서 "+"는 "앞면"인 경우이고 "−"는 "뒷면"인 경우이다. ''Y_n'' = (''q''/''p'')^''X_n'' 로 정의하면 {''Y_n'' : ''n'' = 1, 2, 3, ... }는 {''X_n'' : ''n'' = 1, 2, 3, ... }에 대한 마팅게일이다.
폴리야의 항아리에는 여러 가지 색상의 구슬이 들어 있다. 각 반복마다 항아리에서 구슬을 무작위로 선택하여 같은 색상의 구슬을 여러 개 더 넣어 교체한다. 주어진 색상에 대해 해당 색상의 구슬이 항아리에서 차지하는 비율은 마팅게일이다.
우도비 검정 (통계학): 확률 변수 ''X''는 확률 밀도 ''f'' 또는 다른 확률 밀도 ''g''에 따라 분포한다고 생각된다. 무작위 표본 ''X''₁, ..., ''X''_''n''이 추출된다. ''Y''_''n''을 "우도비"라고 하면, ''Y_n'' = Π_''i''=1^''n'' (''g''(''X_i'') / ''f''(''X_i'')) 로 표현할 수 있다. 만약 X가 실제로 ''g''가 아닌 밀도 ''f''에 따라 분포한다면, {''Y_n'' :''n''=1, 2, 3,...}는 {''X_n'' :''n''=1, 2, 3, ...}에 대한 마팅게일이다.

생태 공동체, 즉 특정 영양 단계에 있는 종들이 지역에서 유사한 자원을 놓고 경쟁하는 집단에서, 특정 크기의 모든 특정 종의 개체 수는 (이산) 시간의 함수이며, 일련의 확률 변수로 볼 수 있다. 이 시퀀스는 생물 다양성 및 생물 지리학의 통합 중립 이론에 따른 마팅게일이다.
만약 { ''N_t'' : ''t'' ≥ 0 }이 강도 ''λ''를 갖는 푸아송 과정이라면, 보상된 푸아송 과정 { ''N_t'' − ''λt'' : ''t'' ≥ 0 }은 우연속/좌극한 표본 경로를 갖는 연속 시간 마팅게일이다.
월드의 마팅게일
어떤 공간 ''S^d''에서 ''d''차원 과정 ''M'' = (''M''⁽¹⁾,...,''M''^(d))는 각 구성 요소 ''T_i''(''M'') = ''M''⁽ⁱ⁾가 ''S''에서 1차원 마팅게일인 경우 ''S^d''에서 마팅게일이다.
모든 마팅게일은 서브마팅게일이자 슈퍼마팅게일이기도 하다. 반대로, 서브마팅게일과 슈퍼마팅게일 ''둘 다''인 확률 과정은 마팅게일이다.
다시, 동전이 앞면이 나오면 1USD를 따고 뒷면이 나오면 1USD를 잃는 도박꾼을 생각해 보자. 이제 동전에 편향이 있어서 앞면이 나올 확률이 ''p''라고 가정해 보자.
만약 ''p''가 1/2와 같다면, 도박꾼은 평균적으로 돈을 따지도 잃지도 않으며, 시간이 지남에 따라 도박꾼의 재산은 마팅게일이 된다.
만약 ''p''가 1/2보다 작다면, 도박꾼은 평균적으로 돈을 잃고, 시간이 지남에 따라 도박꾼의 재산은 슈퍼마팅게일이 된다.
만약 ''p''가 1/2보다 크다면, 도박꾼은 평균적으로 돈을 따고, 시간이 지남에 따라 도박꾼의 재산은 서브마팅게일이 된다.
볼록 함수의 마팅게일은 젠센 부등식에 의해 서브마팅게일이다. 예를 들어, 공정한 동전 게임에서 도박꾼의 재산의 제곱은 서브마팅게일이다(이는 또한 ''X_n''² − ''n''이 마팅게일이라는 사실에서 비롯된다). 마찬가지로, 마팅게일의 오목 함수는 슈퍼마팅게일이다.

이산 시간 마팅게일의 예를 들면 다음과 같다. 편향되지 않은 동전을 계속 던졌을 때의 ''n''번째 결과를 ''X''_''n''으로 표기한다. 단, 동전이 앞면일 경우 1, 뒷면일 경우 -1로 정한다. 정보 증가 계열에 대해서는 이 ''X'' 외에 정보를 제공하는 것은 없다고 한다. 즉, ''F''_''n'' := σ(''X''₁, ''X''₂, ..., ''X_n'') 로 정의한다. 이때 먼저 ''X'' 자신이 마팅게일이 된다. 또한 그 합 ''S_n'' := Σ_''i''=1^''n'' ''X_i'' 도 마팅게일이 된다. 이 ''S''_''n''은 동전의 앞면에 매번 1KRW을 걸었을 때 ''n''번째에서의 소지금액을 나타낸다고 할 수 있다. 좀 더 복잡한 도박 전략을 취해서 다음 도박 금액을 현재 소지금액의 함수가 되도록 했다고 하자. ''T''₀을 초기 자금으로 ''T_n'' := ''T''_''n''-1 + ''f''(''T''_''n''-1)''X_n'' 의 경우도 역시 ''T''_''n''은 마팅게일이 된다. 이처럼 전략을 변경하는 것을 '''마팅게일 변환'''이라고 부르는데, 일반적으로 실행 가능한 전략에 의한 마팅게일 변환에 의해 얻어지는 확률 과정도 마팅게일이 됨이 알려져 있다.

5. 역사

프랑스 남부의 마르티그에서 '마팅게일'(martingale|마르탱갈^프랑스어)이라는 단어가 유래한다.^[7] 마르탱갈은 18세기 프랑스에서 유행하였던 도박 전략의 하나였다.^[7] 이 전략은 이기거나 질 확률, 그리고 이겼을 때 얻는 금액과 졌을 때 잃는 금액이 모두 같은 도박에서 사용할 수 있다. 즉, 한 번 졌을 때 다음 판에 거는 판돈을 두 배로 늘리는 방식이다. 이렇게 하면 언젠가 한 번 이기기만 하면 첫 판돈에 해당하는 금액을 따게 된다. 도박꾼의 재산이 무한하다면 언젠가는 거의 확실하게 이기겠지만, 실제로는 재산이 유한하므로 돈을 따기 전에 모두 잃을 수도 있다. '마르탱갈'이라는 단어는 마르티그 사람들( 파리 사람들의 편견에 따르면 어리숙하고 순진한)에 빗대어 이 전략의 어리석음을 나타낸 것이다.^[7]

폴 피에르 레비(Paul Pierre Lévy^프랑스어)가 확률론에 처음으로 마팅게일 전략을 도입하였고, 조지프 두브 역시 마팅게일 이론 발전에 큰 기여를 하였다. 마팅게일이 확률론에 도입된 이유 중 하나는 마팅게일 전략을 사용해도 도박으로 돈을 벌 수 없다는 것을 증명하기 위한 것이었다.

6. 정지 시간

정지 시간(Stopping Time)은 확률 과정에서 특정 사건이 발생하는 시점을 나타내는 확률 변수이다. 이는 미래의 정보에 의존하지 않고 현재 또는 과거의 정보에만 의존하여 결정된다.^[1] 예를 들어, 도박사가 도박 테이블을 떠나는 시간은 이전의 당첨금에 따라 결정될 수 있지만, 아직 플레이하지 않은 게임 결과에 따라 결정될 수는 없다.^[1]

수학적으로, 확률 변수 ''X''₁, ''X''₂, ''X''₃, ... 의 수열에서 정지 시간 τ는 각 시점 ''t''에서 사건 ''τ'' = ''t''의 발생 여부가 ''X''₁, ''X''₂, ..., ''X''_''t''의 값에만 의존하는 확률 변수이다.^[1] 즉, 특정 시점 ''t''에서 지금까지의 수열을 보고 멈출 때인지 아닌지를 알 수 있다.^[1]

어떤 경우에는 사건 ''τ'' = ''t''의 발생 여부가 ''X''_{''t'' + 1}, ''X''_{''t'' + 2}, ... 와 통계적 독립이기만 하면 되는 더 약한 조건으로 정의되기도 하지만, 시간 ''t''까지의 과정에 의해 완전히 결정될 필요는 없다.^[1]

마팅게일의 중요한 성질 중 하나는, $(X_t)_{t>0}$ 이 (서브-/슈퍼-)마팅게일이고 $\tau$ 가 멈춤 시간인 경우, $X_t^\tau:=X_{\min\{\tau,t\}}$ 로 정의된 멈춰진 과정 $(X_t^\tau)_{t>0}$ 도 (서브-/슈퍼-)마팅게일이라는 것이다.^[1]

멈춰진 마팅게일의 개념은 선택적 멈춤 정리와 같은 중요한 정리로 이어진다. 선택적 멈춤 정리는 어떤 조건에서 멈춤 시간에 대한 마팅게일의 기대값이 초기값과 같다는 것을 보여준다.^[1]

정지 시각은 '마르코프 시각' 또는 'stopping time'이라고도 불리며, 내기를 멈추는 시각을 수학적으로 형식화한 것이다.^[1] 미래에 일어날 내기 결과를 알고 멈출 수는 없지만, 과거에 일어난 일은 정지 시각에 반영해도 된다.^[1] 예를 들어, "아까 까마귀가 울었으니 그만둔다"와 같이 동전 던지기와 상관없어 보이는 사건도 정지 시각이 될 수 있다.^[1]

수학적으로 ''T'' ∪ {∞ }에 값을 갖는 확률 변수 τ가 정지 시각이라는 것은, 임의의 시각 ''t'' ∈ ''T''에 대해 {τ ≤ t } ∈ ''F''_''t''를 만족하는 것을 의미한다.^[1] 이는 현재 또는 과거에 정지 시각이 있었는지는 현재 얻을 수 있는 정보라는 의미이다.^[1]

6. 1. 임의 추출 정리

''σ''와 ''τ''를 ''σ'' ≦ ''τ''를 만족하는 정지 시간이라고 하자. 또한, ''Y''_{''τ'' ∧ ''n''}를 균등 적분 가능한 열등 마팅게일이라고 한다. 이때,

:

이고, 또한

:

가 성립한다. 이것을 임의 추출 정리라고 한다. 여기서 ''τ'' ∧ ''n''은 min(''τ'', ''n'')을 의미한다.

7. 멈춤 시간

확률 변수 ''X''₁, ''X''₂, ''X''₃, ... 에 대한 멈춤 시간은 각 ''t''에 대해 사건 ''τ'' = ''t''의 발생 여부가 오직 ''X''₁, ''X''₂, ''X''₃, ..., ''X''_''t''의 값에만 의존하는 확률 변수 τ이다. 이 정의의 직관적인 의미는 특정 시점 ''t''에서 지금까지의 수열을 보고 멈출 때인지 아닌지를 알 수 있다는 것이다.

예를 들어 도박사가 도박 테이블을 떠나는 시간은 이전의 당첨금에 대한 함수일 수 있지만(예를 들어, 파산할 때만 떠날 수 있음), 아직 플레이하지 않은 게임의 결과에 따라 가거나 머무르는 것을 선택할 수는 없다.

어떤 맥락에서는 "멈춤 시간"의 개념이 사건 ''τ'' = ''t''의 발생 여부가 ''X''_{''t'' + 1}, ''X''_{''t'' + 2}, ... 와의 통계적 독립만 요구함으로써 정의되지만, 시간 ''t''까지의 과정의 역사에 의해 완전히 결정되어야 하는 것은 아니다. 이것은 위에 나온 단락에 있는 것보다 더 약한 조건이지만, 멈춤 시간이 사용되는 일부 증명에 사용하기에 충분히 강력하다.

$(X_t)_{t>0}$ 이 (서브-/슈퍼-)마팅게일이고 $\tau$ 가 멈춤 시간인 경우, $X_t^\tau:=X_{\min\{\tau,t\}}$ 로 정의된 해당 멈춰진 과정 $(X_t^\tau)_{t>0}$ 도 (서브-/슈퍼-)마팅게일이라는 것이 마팅게일의 기본적인 성질 중 하나이다.

멈춰진 마팅게일의 개념은 일련의 중요한 정리로 이어지며, 예를 들어 어떤 조건하에서 멈춤 시간에 대한 마팅게일의 기대값이 초기값과 같다는 선택적 멈춤 정리가 있다.

이산 시간 마팅게일의 예를 들어, 편향되지 않은 동전을 계속 던졌을 때의 ''n''번째 결과를 ''X''_''n''으로 표기한다. (단, 동전이 앞면일 경우 1, 뒷면일 경우 -1) 정보 증가 계열에 대해서는 이 ''X'' 외에 정보를 제공하는 것은 없다고 한다. 즉,

: $\mathcal{F}_n := \sigma(X_1, X_2, \dots, X_n)$

로 정의한다. 이때 먼저 ''X'' 자신이 마팅게일이 된다. 또한 그 합

: $S_n := \sum_{i=1}^n X_i$

도 마팅게일이 된다. 이 ''S''_''n''은 동전의 앞면에 매번 1원을 걸었을 때 ''n''번째에서의 소지금액을 나타낸다고 할 수 있다. 좀 더 복잡한 도박 전략을 취해서 다음 도박 금액을 현재 소지금액의 함수가 되도록 했다고 하자. ''T''₀을 초기 자금으로

: $T_n := T_{n-1}+f(T_{n-1})X_n$

의 경우도 역시 ''T''_''n''은 마팅게일이 된다. 이처럼 전략을 변경하는 것을 '''마팅게일 변환'''이라고 부르는데, 일반적으로 실행 가능한 전략에 의한 마팅게일 변환에 의해 얻어지는 확률 과정도 마팅게일이 됨이 알려져 있다.

정지 시각(마르코프 시각, stopping time, Markov time 등이라고도 함)은 내기를 멈추는 시각을 수학적으로 정식화한 것이다. 미래에 일어날 내기의 결과를 알고 멈출 수는 없지만, 과거에 일어난 일이라면 정지 시각에 반영해도 괜찮을 것이다. 예를 들어, 동전 던지기와는 상관없어 보이는 "아까 까마귀가 울었으니 그만둔다"와 같은 것도 정지 시각이 될 수 있다.

수학적으로 ''T'' ∪ {∞ }에 값을 갖는 확률 변수 τ가 정지 시각이라는 것은

임의의 시각 ''t'' ∈ ''T''에 대해, {τ ≤ t } ∈ ''F''_''t''

를 만족하는 것이다. 이것은 현재 정확히 정지 시각이거나 또는 과거에 정지 시각이 있었는지는 현재 얻을 수 있는 정보라는 의미이다.

참조

_[1] 서적 Money Management Strategies for Futures Traders https://archive.org/[...] Wiley Finance
_[2] 간행물 The origins of the Word "Martingale" http://www.jehps.net[...] 2009-06
_[3] 서적 Probability and Random Processes Oxford University Press
_[4] 서적 Gaussian Measures American Mathematical Society
_[5] 문서 １／2の確率で勝てば賭け金が倍、残りの１／2の確率で０になる、という賭けにおいて、”負けた場合にはその前に賭けた額の倍を賭け、勝った場合に賭けを止め、初回の最低掛け金の段階に戻る”という手法。別名「倍プッシュ」。
_[6] 서적 Probability with martingales Cambridge University Press 1991
_[7] 저널 2005

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