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막대 복합체

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목차

1. 개요

막대 복합체는 대수학 및 범주론에서 사용되는 개념으로, 결합 대수, 모노이드 대상, 그리고 그들의 가군들을 이용하여 구성되는 일련의 사슬 복합체이다. 막대 복합체는 호몰로지 대수학에서 중요한 역할을 하며, 호흐실트 호몰로지, 군 코호몰로지, 그리고 분류 공간과 같은 다양한 수학적 구조를 이해하는 데 활용된다. 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1953년에 도입했으며, 텐서곱 표기에서 유래된 명칭을 사용한다.

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막대 복합체

2. 정의

''A''가 체 ''K'' 위의 결합 대수라면, 표준 복소수는 다음과 같다.

:\cdots\rightarrow A\otimes A\otimes A\rightarrow A\otimes A\rightarrow A \rightarrow 0\,,

미분은 다음과 같이 주어진다.

:d(a_0\otimes \cdots\otimes a_{n+1})=\sum_{i=0}^n (-1)^i a_0\otimes\cdots\otimes a_ia_{i+1}\otimes\cdots\otimes a_{n+1}\,.

만약 ''A''가 단위원 ''K''-대수라면, 표준 복소수는 완전하다. 게다가 [\cdots\rightarrow A\otimes A\otimes A\rightarrow A\otimes A]는 ''A''-쌍가군 ''A''의 자유 ''A''-쌍가군 분해이다.

2. 1. 결합 대수에 대한 정의

가환환 K와 K-결합 대수 A, A-오른쪽 가군 M_A, A-왼쪽 가군 _AM'이 주어졌을 때, '''막대 복합체''' \operatorname{Bar}^K_\bullet(M,A,M')는 다음과 같은, K-가군의 범주 속의 단체 대상이다.

:\operatorname{Bar}_n(M,A,M') = M\otimes_K A^{\otimes_K n} \otimes_K M'

:\partial_{n,i} \operatorname{Bar}_n(M,A,M') \to \operatorname{Bar}_{n-1}(M,A,M')\qquad(0\le i\le n)

:\partial_{n,i} \colon

m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n\otimes_K m' \mapsto

\begin{cases}

ma_1\otimes_K a_2\otimes_K \otimes\dotsb\otimes_K a_n\otimes_K\otimes m' & i = 0 \\

m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{i-1}\otimes_K a_ia_{i+1}\otimes_K a_{i+1}\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n\otimes_K m' & 0 < i < n \\

m \otimes_K a_1\otimes_K \dotsb\otimes_K a_{n-1}\otimes_K a_nm' & i = n

\end{cases}



:s_{n,i}\colon \operatorname{Bar}_n(M,A,M') \to \operatorname{Bar}_{n+1}(M,A,M')\qquad(0\le i\le n)

:s_{n,i} \colon

m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n\otimes_K m' \mapsto

m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_i \otimes_K 1\otimes_K a_{i+1}\otimes_K \dotsb \otimes_Ka_n\otimes_K m'

특히, \partial_n = \sum_{i=0}^n (-)^i \partial_{n,i}로 정의하면, 이는 사슬 복합체를 이룬다.

만약 ''A''가 체 ''K'' 위의 결합 대수라면, 표준 복소수는 다음과 같다.

:\cdots\rightarrow A\otimes A\otimes A\rightarrow A\otimes A\rightarrow A \rightarrow 0\,,

미분은 다음과 같이 주어진다.

:d(a_0\otimes \cdots\otimes a_{n+1})=\sum_{i=0}^n (-1)^i a_0\otimes\cdots\otimes a_ia_{i+1}\otimes\cdots\otimes a_{n+1}\,.

만약 ''A''가 단위원 ''K''-대수라면, 표준 복소수는 완전하다. 게다가 [\cdots\rightarrow A\otimes A\otimes A\rightarrow A\otimes A]는 ''A''-쌍가군 ''A''의 자유 ''A''-쌍가군 분해이다.

2. 2. 일반적 정의

보다 일반적으로, 모노이드 범주 (\mathcal C,\otimes) 속의 모노이드 대상 A 및 그 왼쪽 가군 _AM과 오른쪽 가군 M'_A이 주어졌을 때, 위와 같은 구성을 마찬가지로 전개할 수 있다. 이 경우, \operatorname{Bar}^{\mathcal C}_\bullet(M,A,M')은 \mathcal C 속의 단체 대상을 이룬다.

예를 들어, 모노이드 A와 그 왼쪽 모노이드 작용을 갖는 집합 _AM 및 오른쪽 모노이드 작용을 갖는 집합 M'_A이 주어졌을 때, \operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Set}}(M,A,M')은 단체 집합을 이룬다.

만약 ''A''가 체 ''K'' 위의 결합 대수라면, 표준 복소수는 다음과 같다.

:\cdots\rightarrow A\otimes A\otimes A\rightarrow A\otimes A\rightarrow A \rightarrow 0\,,

미분은 다음과 같다.

:d(a_0\otimes \cdots\otimes a_{n+1})=\sum_{i=0}^n (-1)^i a_0\otimes\cdots\otimes a_ia_{i+1}\otimes\cdots\otimes a_{n+1}\,.

만약 ''A''가 단위원 ''K''-대수라면, 표준 복소수는 완전하다. 게다가 [\cdots\rightarrow A\otimes A\otimes A\rightarrow A\otimes A]는 ''A''-쌍가군 ''A''의 자유 ''A''-쌍가군 분해이다.

3. 성질

3. 1. 완전성

가환환 K 위의 결합 대수 A 및 그 위의 오른쪽 가군 M_A과 왼쪽 가군 _AM'가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 막대 복합체 \operatorname{Bar}_\bullet^K(M,A,M')를 생각할 수 있다. 또한, 막대 복합체의 마지막 항에

:\operatorname{Bar}_0^K(M,A,M')=M\otimes_K M'\to \operatorname{Bar}_{-1}^K(M,A,M') = M\otimes_A M'

을 추가할 수 있다. 그렇다면,

:\dotsb\to \operatorname{Bar}_1^K(M,A,M') \to \operatorname{Bar}_0^K(M,A,M')\to \operatorname{Bar}_{-1}^K(M,A,M') \to 0

은 완전열이다. 즉, 그 호몰로지는 자명군이다. 이에 따라, 막대 복합체 \operatorname{Bar}(M,A,M')은 M\otimes_AM'의 분해를 정의한다.

특히, M=M'=A인 경우, \operatorname{Bar}_\bullet^K(A,A,A)는 A의 ((A,A)-쌍가군으로서의) 분해를 이룬다.[2] 만약 ''A''가 체 ''K'' 위의 결합 대수라면, 표준 복소수는 다음과 같다.

:\cdots\rightarrow A\otimes A\otimes A\rightarrow A\otimes A\rightarrow A \rightarrow 0\,,

미분은 다음과 같다.

:d(a_0\otimes \cdots\otimes a_{n+1})=\sum_{i=0}^n (-1)^i a_0\otimes\cdots\otimes a_ia_{i+1}\otimes\cdots\otimes a_{n+1}\,.

만약 ''A''가 단위원 ''K''-대수라면, 표준 복소수는 완전하다. 게다가 [\cdots\rightarrow A\otimes A\otimes A\rightarrow A\otimes A]는 ''A''-쌍가군 ''A''의 자유 ''A''-쌍가군 분해이다.

4. 예

4. 1. 호흐실트 호몰로지

가환환 K 위의 결합 대수 A가 주어졌을 때, \operatorname{Bar}^K_\bullet(A,A,A)의 각 성분은 모두 (A,A)-쌍가군이며, 포락 대수 A^{\operatorname{e}}=A\otimes_KA^{\operatorname{op}}를 정의하면 \operatorname{Bar}_\bullet^K(A,A,A)는 A^{\operatorname{e}}-사슬 복합체를 이룬다. 임의의 (A,A)-쌍가군 M에 대하여,

:C_\bullet(A;M) = M\otimes_{A^{\operatorname{e}}}\operatorname{Bar}^K_\bullet(A,A,A)

는 A의 M계수 호흐실트 사슬 복합체이며,

:C^\bullet(A;M) = \hom_{A^{\operatorname{e}}}(\operatorname{Bar}^K_\bullet(A,A,A),M)

은 A의 M계수 호흐실트 공사슬 복합체이다.

4. 2. 군 코호몰로지

군 코호몰로지와 군 호몰로지를 계산하는 표준적인 공사슬 복합체와 사슬 복합체는 막대 복합체의 특수한 경우이다.

4. 3. 분류 공간

위상 공간의 범주론적 곱에 대한 모노이드 범주에서, 위상군 G가 주어졌다고 하자. 이는 한원소 공간 \bullet 위에 자명하게 작용한다. 이에 따라, 막대 복합체 \operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Top}}(\bullet,G,\bullet)를 정의할 수 있다. 또한, G는 스스로 위에 왼쪽 및 오른쪽에서 작용한다. 따라서, 막대 복합체 \operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Top}}(\bullet,G,G)를 정의할 수 있다. 이 경우, 표준적인 몫 사상

:\operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Top}}(\bullet,G,G)\twoheadrightarrow\operatorname{Bar}_\bullet^{\operatorname{Top}}(\bullet,G,\bullet)

이 존재한다. 이는 G-주다발을 이루며, 또한 위상군 G의 분류 공간 \operatorname E(G)\twoheadrightarrow\operatorname B(G)을 이룬다.

5. 역사

사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1953년에 막대 복합체를 도입하였다.[3] 이 명칭은 에일렌베르크와 매클레인이 오늘날 통상적으로 “\otimes”로 표기되는 텐서곱을 막대기 모양의 기호 “|”로 표기한 것에서 유래한다.[1]

6. 정규화된 표준 복합체

정규화된 (또는 축소된) 표준 복합체는 A\otimes A\otimes \cdots \otimes A\otimes A를 A\otimes(A/K) \otimes \cdots \otimes (A/K)\otimes A로 대체한다.

7. 모나드와의 관계


참조

[1] 저널 Lectures on noncommutative geometry 2005
[2] 서적 Cyclic homology Springer-Verlag 1998
[3] 저널 On the groups ''H''(Π, ''n''). Ⅰ 1953


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