군 코호몰로지

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1. 개요

군 코호몰로지는 군의 작용이 있는 아벨 군에 대해 정의되는 일련의 아벨 군이다. 이는 유도 함자, Ext 함자, Tor 함자 또는 구체적인 (공)사슬 복합체를 통해 정의될 수 있으며, 이 정의들은 서로 동치이다. 군 코호몰로지는 가군을 그 불변량으로 구성된 아벨 군으로 대응시키는 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의되며, 군 호몰로지는 쌍대 불변량으로 구성된 몫군을 만드는 함자의 왼쪽 유도 함자로 정의된다. 군 코호몰로지는 군환에 대한 Ext 함자의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 군환에 대한 Tor 함자의 특별한 경우이다. 낮은 차수의 군 (코)호몰로지는 군의 작용, 교차 준동형, 군의 확대 등과 관련하여 해석될 수 있으며, 2차 군 코호몰로지는 군의 확대를 분류한다. 군 (코)호몰로지는 분류 공간의 특이 (코)호몰로지와 동형이며, 분류 공간 위의 층 (코)호몰로지와 같다. 군 코호몰로지는 군 준동형에 대해 반변적으로 작용하며, 컵 곱(cup product)이라는 자연스러운 사상을 통해 곱 구조를 갖는다. 군 코호몰로지와 호몰로지는 짧은 완전 순서를 통해 서로 관련되어 있으며, 혼합 곱과 군의 변화, 분류 공간의 코호몰로지 등을 통해 계산할 수 있다. 유한군의 코호몰로지 군은 꼬임군이며, 테이트 코호몰로지 군은 유한군의 호몰로지와 코호몰로지를 결합한다. 군 코호몰로지는 대수적 K-이론, 사영 표현, 군의 확대 등 다양한 분야에 응용된다.

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군 코호몰로지
개요
분야	군론
주제	군의 호몰로지와 코호몰로지
세부 사항
정의	대수적 위상수학의 방법을 사용하여 군을 연구하는 데 사용되는 도구
관련 항목	군론 대수적 위상수학 호몰로지 대수학 아벨 군 사슬 복합체 Ext 함자 Tor 함자 사영 가군 자유 분해 에일렌베르크-매클레인 공간 스펙트럼 열
표기법	Hⁿ(G, M)은 군 G의 n차 코호몰로지 군을 나타냄
예시
정수군의 코호몰로지	Hⁿ(Z, Z) = 0 (n > 0)
원군의 코호몰로지	Hⁿ(S¹, Z) = 0 (n > 1)
2차 순환군의 코호몰로지	Hⁿ(Z/2Z, Z) = Z/2Z (n이 홀수일 때)
무한 사영 공간의 코호몰로지	Hⁿ(P^∞(R), Z/2Z) = Z/2Z (0 ≤ n < ∞)

2. 정의

군 코호몰로지는 군의 작용이 있는 아벨 군에 대해 정의되는 일련의 아벨 군이다. 군 코호몰로지는 유도 함자, Ext 함자, Tor 함자, 또는 구체적인 (공)사슬 복합체를 통해 정의될 수 있으며, 이 정의들은 서로 동치이다.

군 $G$ 와 $\mathbb Z[G]$ -왼쪽 가군 $_{\mathbb Z[G]}M$ 이 주어졌을 때, 임의의 자연수 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $G$ 의 $M$ 계수 $n$ 차 군 호몰로지 $\operatorname H_n(G;M)$ 및 $G$ 의 $M$ 계수 $n$ 차 군 코호몰로지 $\operatorname H^n(G;M)$ 는 각각 아벨 군이다.

군론의 일반적인 패러다임은 군 ''G''를 그 군 표현을 통해 연구해야 한다는 것이다. 이러한 표현의 일반화는 ''G''-가군인데, ''G''-가군은 아벨 군 ''M''과 ''G''의 ''M''에 대한 군 작용을 갖는 것으로, ''G''의 모든 원소가 ''M''의 자기 동형 사상으로 작용한다. ''G''-가군 ''M''이 주어지면, ''G''-불변 원소의 부분 가군을 고려하는 것은 자연스럽다.

: $M^{G} = \lbrace x \in M \ | \ \forall g \in G : \ gx=x \rbrace.$

일반적으로 군 코호몰로지 함자 $H^*$ 는 불변량을 취하는 것이 완전열을 존중하지 않는 정도를 측정한다. 이것은 긴 완전열로 표현된다.

2. 1. 유도 함자를 통한 정의

군 코호몰로지는 군

G

에 대하여, 불변량 함자

(-)^G

의 오른쪽 유도 함자로 정의된다.

\mathbb Z[G]

의 왼쪽 가군들의 범주

_{\mathbb Z[G]}\text{Mod}

는 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주이다.

다음과 같은 함자를 정의한다.

:

(-)^G\colon{}_{\mathbb Z[G]}\text{Mod}\to\operatorname{Ab}

:

(-)^G\colon M\mapsto M^G=\bigcap_{g\in G}\ker_M(1-g)=\{m\in M\colon\forall g\in M\colon m=gm\}

이는 가군을 그 불변량으로 구성된 아벨 군으로 대응시킨다.

(-)^G

는 왼쪽 완전 함자이므로, 그

n

번째 오른쪽 유도 함자를

G

의

n

차 군 코호몰로지라고 한다.

:

\operatorname H^n(G;-)=\operatorname R^n(-)^G

군 호몰로지는 쌍대 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자로 정의된다. 다음과 같은 함자를 정의한다.

:

(-)_G\colon{}_{\mathbb Z[G]}\text{Mod}\to\operatorname{Ab}

:

(-)_G\colon M\mapsto\frac M{\operatorname D(M)}

여기서

:

\operatorname D(M)=\sum_{g\in G}(1-g)M\subseteq M

이다. 즉,

M_G

는

M

의 쌍대 불변량(coinvariant^영어)으로 구성된다.

(-)_G

는 오른쪽 완전 함자이므로, 그

n

번째 왼쪽 유도 함자를

G

의

n

차 군 호몰로지라고 한다.

:

\operatorname H_n(G;-)=\operatorname L^n(-)_G

^[20]

2. 2. Ext와 Tor를 통한 정의

군 코호몰로지는 군환에 대한 Ext 함자의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 군환에 대한 Tor 함자의 특별한 경우이다.

구체적으로, 군

G

및

\mathbb Z[G]

-왼쪽 가군

_{\mathbb Z[G]}M

이 주어졌다고 하자.

\mathbb Z

를 자명한

\mathbb Z[G]

-왼쪽 가군으로 여길 수 있다. (임의의

g\in G

및

n\in\mathbb Z

에 대하여

g\cdot n = n

이다.) 그렇다면,

\mathbb Z[G]

-왼쪽 가군의 범주

_{\mathbb Z[G]}\operatorname{Mod}

에서 Ext 함자를 취할 수 있다.

G

의

M

계수의 군 코호몰로지는 다음과 같은 Ext 함자이다.

:

\operatorname H^n(G;M) = \operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)

마찬가지로,

\mathbb Z

를 자명한

\mathbb Z[G]

-오른쪽 가군으로 여길 수 있다. (임의의

g\in G

및

n\in\mathbb Z

에 대하여

n\cdot g = n

이다.) 그렇다면, 오른쪽 가군

\mathbb Z_{\mathbb Z[G]}

와 왼쪽 가군

_{\mathbb Z[G]}M

사이의 Tor 함자를 취할 수 있다.

G

의

M

계수의 군 호몰로지는 다음과 같은 Tor 함자이다.

:

\operatorname H_n(G;M) = \operatorname{Tor}_n^{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)

군론의 일반적인 패러다임은 군 ''G''를 그 군 표현을 통해 연구해야 한다는 것이다. 군 코호몰로지에서 ''G''-가군을 군환

\Z[G]

위의 가군으로 해석하면 다음과 같다.

:

H^{0}(G,M) = M^G = \operatorname{Hom}_{\Z[G]}(\Z ,M),

즉, ''M''의 ''G''-불변 원소들의 부분군은

\Z

에서 ''M''으로의 준동형 사상의 군과 동일시된다. 여기서

\Z

는 자명한 ''G''-가군(''G''의 모든 원소가 항등원으로 작용)으로 취급된다.

따라서, Ext 함자는 Hom 함자의 도함 함자이므로, 자연스러운 동형 사상이 존재한다.

:

H^{n}(G,M) = \operatorname{Ext}^{n}_{\Z [G]}(\Z, M).

이러한 Ext 군은

\Z

의 사영 분해를 통해 계산할 수도 있는데, 이러한 분해는 ''M''이 아닌 ''G''에만 의존한다는 장점이 있다.

2. 3. 군 코호몰로지의 구체적 정의

군 G^영어와 정수 G^영어-가군 M^영어에 대해, 양의 정수 n^영어에 대하여 n^영어차 '''공사슬'''(共사슬, cochain^영어)을 함수 Gⁿ→ M^영어으로 정의하고, 그 집합을 Cⁿ(G,M)^영어으로 표기한다. Cⁿ(G,M)^영어은 덧셈에 대해 아벨 군을 이룬다. (여기서 Gⁿ^영어은 군의 직접곱 G×G×…×G^영어이다.)

'''공경계 준동형'''(共境界準同形, coboundary homomorphism^영어) dⁿ: Cⁿ(G,M)→Cⁿ⁺¹(G,M)^영어을 다음과 같이 정의한다.

:

이 때, 다음이 성립한다.

:

따라서 Cⁿ^영어은 공사슬 복합체를 이루며, 코호몰로지 군 Hⁿ(G;M)^영어을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:}}

이를 M^영어을 계수로 갖는 G^영어의 n^영어차 '''군 코호몰로지'''라고 한다.

2. 4. 군 호몰로지의 구체적 정의

G

가 군이고

M

이

\mathbb Z[G]

-왼쪽 가군이라고 하자.

양의 정수

n

에 대하여,

n

차 '''사슬'''(chain^영어)의 집합은 다음과 같다.

:

C_n(G;M) = \mathbb Z[G^{\times n}] \otimes_{\mathbb Z} M

그 사이에 다음과 같은 '''경계 준동형'''(境界準同形, boundary homomorphism^영어)을 정의한다.

:

\partial \colon (g_1,g_2,\dotsc,g_n,m)\mapsto(g_2,\dotsc,g_n,m)+\sum_{i=1}^{n-1} (-)^i (g_1,\dotsc,g_{i-1},g_ig_{i+1},g_{i+2},\dotsc,g_n,m)+ (-)^n (g_1,\dotsc,g_{n-1},g_nm)

그렇다면, 다음과 같은 사슬 복합체를 얻는다.

:

\dotsb \xrightarrow\partial C_2(G;M)\xrightarrow\partial C_1(G;M) \xrightarrow\partial C_0(G;M) \to 0

이는 막대 복합체

\operatorname{Bar}_n^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],M)

과 같다.

그 호몰로지 군

:

\operatorname H_n(G;M)=\frac{\ker\partial_n}{\operatorname{im}\partial_{n+1}}

을

M

계수를 가진

G

의

n

차 '''군 호몰로지'''라고 한다.

Tor 함자

\operatorname{Tor}_\bullet^{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)

은

\mathbb Z_{\mathbb Z[G]}

의 사영 분해

\operatorname{Bar}^{\mathbb Z}_\bullet(\mathbb Z,\mathbb Z[G],\mathbb Z[G])

를 사용하면 다음과 같은 사슬 복합체

:

\operatorname{Bar}_\bullet^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],M)

의 호몰로지로 계산된다.

:

\dotsb\to\mathbb Z[G^{\times3}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M\to\mathbb Z[G^{\times2}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M\to\mathbb Z[G] \otimes_{\mathbb Z[G]} M \cong M

그런데

:

\mathbb Z[G^{\times(n+1)}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M \cong \mathbb Z[G^{\times n}] \otimes_{\mathbb Z} M

이므로, 이는 군 호몰로지를 정의하는

n

차 사슬의 집합과 같다.

군 코호몰로지의 구성과 이중적으로, '''군 호몰로지'''는 다음과 같이 정의된다. 주어진 ''G''-가군 ''M''에 대해, ''DM''을 ''g''·''m'' − ''m'' 형태의 원소로 생성되는 부분 가군으로 설정한다. (여기서 ''g'' ∈ ''G'', ''m'' ∈ ''M''이다.) ''M''에 소위 ''공변량''을 할당하면, 몫

:

M_G:=M/DM

은 오른쪽 완전 함자이다. 이의 왼쪽 유도 함자는 정의에 따라 군 호몰로지

:

H_n(G,M)

이다. ''M_G''를 ''M''에 할당하는 공변 함자는 ''M''을

\Z \otimes_{\Z[G]} M

로 보내는 함자와 동형이다.^[21] 따라서, Tor 함자를 사용하여 군 호몰로지에 대한 표현식을 얻을 수도 있다.

:

H_n(G,M) = \operatorname{Tor}_n^{\Z[G]}(\Z,M)

코호몰로지/호몰로지에 대한 위첨자/아래첨자 규칙은 군 불변량/공변량에 대한 규칙과 일치하며, "co-"가 전환된다는 점에 유의해야 한다.

위첨자는 코호몰로지 ''H*''와 불변량 ''X^G''에 해당한다.
아래첨자는 호몰로지 ''H''_∗와 공변량 ''X_G'' := ''X''/''G''에 해당한다.

구체적으로, 호몰로지 군 ''H_n''(''G'', ''M'')은 다음과 같이 계산할 수 있다. 자명한

\Z[G]

-가군

\Z

의 사영 분해 ''F''로 시작한다. 공변 함자

\cdot \otimes_{\Z[G]} M

을 ''F''에 항별로 적용하여 사슬 복합체

F \otimes_{\Z[G]} M

을 얻는다.

:

\cdots \to F_n\otimes_{\Z[G]}M\to F_{n-1}\otimes_{\Z[G]}M \to\cdots \to F_0\otimes_{\Z[G]}M\to \Z\otimes_{\Z[G]}M

그런 다음 ''H''_''n''(''G'', ''M'')은 이 사슬 복합체의 호몰로지 군이며, ''n'' ≥ 0에 대해

H_n(G,M)=H_n(F\otimes_{\Z[G]}M)

이다.

군 호몰로지와 코호몰로지는 특히 유한군과 같은 일부 군에 대해 완전 분해와 테이트 코호몰로지 군을 사용하여 통일적으로 처리할 수 있다.

가환군 ''G''의 군 호몰로지

H_*(G, k)

는 주 아이디얼 정역 ''k''를 값으로 가지며, 외대수

\wedge^* (G \otimes k)

와 밀접한 관련이 있다.

2. 5. 구체적 정의의 유도

Ext 함자와 Tor 함자를 사용한 정의로부터 군 (코)호몰로지의 구체적 정의를 유도할 수 있다.

G

가 군이고

M

이

\mathbb Z[G]

-가군이라고 하자.

n

차 '''공사슬'''(共사슬, cochain^영어)은 함수

G^n\to M

로 정의하고,

n

차 공사슬의 집합을

C^n(G,M)

으로 쓴다.

C^n(G,M)

은 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. 여기서

G^n

은 군의 직접곱

G\times G\times\dotsb\times G

이다.

'''공경계 준동형'''(共境界準同形, coboundary homomorphism^영어)

d^n\colon C^n(G,M)\to C^{n+1}(G,M)

을 다음과 같이 정의한다.

:

\left(d^n\varphi\right)(g_0,\dots,g_n) = g_0\cdot \varphi(g_1,\dots,g_n)

::

{} + \sum_{i=1}^n (-1)^{i} \varphi(g_0,\dots,g_{i-2},g_{i-1}g_i,g_{i+1},\dots,g_n)

::

{} + (-1)^{n+1} \varphi(g_0,\dots,g_{n-1})

그러면

d^{n+1}\circ d^n=0

이므로

C^n

은 공사슬 복합체를 이루며, 이에 따라 코호몰로지 군

\operatorname H^n(G;M)

을 정의할 수 있다. 이를

M

계수를 가진

G

의

n

차 '''군 코호몰로지'''라고 한다.

G

가 군이고

M

이

\mathbb Z[G]

-왼쪽 가군이라고 하자.

n

차 '''사슬'''의 집합은

C_n(G;M) = \mathbb Z[G^{\times n}] \otimes_{\mathbb Z} M

이다.

그 사이에 다음과 같은 '''경계 준동형'''(境界準同形, boundary homomorphism^영어)을 정의하자.

:

\partial \colon (g_1,g_2,\dotsc,g_n,m)\mapsto(g_2,\dotsc,g_n,m)+\sum_{i=1}^{n-1} (-)^i (g_1,\dotsc,g_{i-1},g_ig_{i+1},g_{i+2},\dotsc,g_n,m)+ (-)^n (g_1,\dotsc,g_{n-1},g_nm)

그러면 다음과 같은 사슬 복합체를 얻는다.

:

\dotsb \xrightarrow\partial C_2(G;M)\xrightarrow\partial C_1(G;M) \xrightarrow\partial C_0(G;M) \to 0

이는 막대 복합체

\operatorname{Bar}_n^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],M)

과 같다.

그 호몰로지 군

:

\operatorname H_n(G;M)=\frac{\ker\partial_n}{\operatorname{im}\partial_{n+1}}

을

M

계수를 가진

G

의

n

차 '''군 호몰로지'''라고 한다.

아벨 군의 아벨 범주

\operatorname{Ab}=\operatorname{Mod}_{\mathbb Z}

에서,

\mathbb Z

-결합 대수 (즉, 환)

\mathbb Z[G]

의 왼쪽 가군

_{\mathbb Z[G]}\mathbb Z

및 오른쪽 가군

\mathbb Z[G]_{\mathbb Z[G]}

를 생각하면,

:

\mathbb Z[G]\otimes_{\mathbb Z[G]} \mathbb Z\cong \mathbb Z

이다. 이를 사용하여, 다음과 같은 막대 복합체를 생각하자.

:

\operatorname{Bar}_n^{\mathbb Z}(\mathbb Z[G],\mathbb Z[G],\mathbb Z) =\overbrace{\mathbb Z[G]\otimes_{\mathbb Z}\dotsb\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z[G]}^{n+1}\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z\cong \mathbb Z[\overbrace{G\times\dotsb\times G}^n]

그러면,

:

\dotsb \xrightarrow\partial\mathbb Z[G\times G] \xrightarrow\partial \mathbb Z[G] \twoheadrightarrow \mathbb Z

는

\mathbb Z

의 분해를 이룬다.

막대 복합체의 모든 성분들은

\mathbb Z[G]

-사영 가군이므로, 막대 복합체

\operatorname{Bar}(\mathbb Z[G],\mathbb Z[G],\mathbb Z)

는

\mathbb Z

의 사영 분해를 정의한다. 이에 따라서, Ext 함자

\operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)

은 다음과 같은 공사슬 복합체의 코호몰로지로 얻어진다.

:

0 \to \hom_{\mathbb Z[G]} (\mathbb Z[G], M) \to \hom_{\mathbb Z[G]} (\mathbb Z[G\times G], M) \to \dotsb

그런데

\mathbb Z[G^{\times(n+1)}]

은

\mathbb Z[G]

-자유 가군이므로, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

:

\hom_{\operatorname{Set}}(G^{\times n},M) \to \hom_{\mathbb Z[G]} (\mathbb Z[G^{\times(n+1)}], M)

여기서

\hom_{\operatorname{Set}}(G^{\times n},M)

은 모든 함수

G^n\to M

의 집합이며, 이는 군 코호몰로지를 정의하는

n

차 공사슬의 집합과 같다.

마찬가지로, Tor 함자

\operatorname{Tor}_\bullet^{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z,M)

은

\mathbb Z_{\mathbb Z[G]}

의 사영 분해

\operatorname{Bar}^{\mathbb Z}_\bullet(\mathbb Z,\mathbb Z[G],\mathbb Z[G])

를 사용하면 다음과 같은 사슬 복합체

:

\operatorname{Bar}_\bullet^{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z[G],M)

의 호몰로지로 계산된다.

:

\dotsb\to\mathbb Z[G^{\times3}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M\to\mathbb Z[G^{\times2}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M\to\mathbb Z[G] \otimes_{\mathbb Z[G]} M \cong M

그런데

:

\mathbb Z[G^{\times(n+1)}] \otimes_{\mathbb Z[G]} M \cong \mathbb Z[G^{\times n}] \otimes_{\mathbb Z} M

이다. 이는 군 호몰로지를 정의하는

n

차 사슬의 집합과 같다.

3. 성질

군 코호몰로지 함자 $H^*$ 는 불변량을 취하는 것이 완전열을 보존하지 않는 정도를 측정하며, 이는 긴 완전열로 표현된다.^[8]

만약

: $0 \to L \to M \to N \to 0$

가 ''G''-가군의 짧은 완전 순서라면, 다음과 같은 긴 완전 순서가 유도된다.

: $0\longrightarrow L^G \longrightarrow M^G \longrightarrow N^G \overset{\delta^0}{\longrightarrow} H^1(G,L) \longrightarrow H^1(G,M) \longrightarrow H^1(G,N) \overset{\delta^1}{\longrightarrow} H^2(G,L)\longrightarrow \cdots$

여기서

$L^G, M^G, N^G$ 는 각 G-가군에서 G-불변인 원소들의 부분군이다.
$\delta^0, \delta^1$ 등은 접속 준동형이다.

접속 준동형

\delta^n : H^n (G,N) \to H^{n+1}(G, L)

은 비균질 코체인을 사용하여 설명할 수 있다. 만약

c \in H^n(G, N)

이 ''n''-코사이클

\phi: G^n \to N

으로 표시된다면,

\delta^n(c)

는

d^n(\psi)

로 표시된다. 여기서

\psi

는

\phi

를 "올리는" ''n''-코체인

G^n \to M

이다.

3. 1. 낮은 차수의 군 (코)호몰로지

낮은 차수의 군 (코)호몰로지는 군의 작용, 교차 준동형, 군의 확대 등과 관련하여 해석할 수 있다.

공사슬 종류	기호	해석	자명한 작용일 경우의 해석
0차 완전 공사슬	$\operatorname{im} \mathrm d_{-1}$	$0\in M$
0차 닫힌 사슬	$\ker\partial_0$	임의의 원소 $m\in M$
0차 닫힌 공사슬	$\ker\mathrm d_0$	불변량: $m\in M$ 가운데, 임의의 $g\in G$ 에 대하여 $gm=m$ 인 것	임의의 원소 $m\in M$
0차 완전 사슬	$\operatorname{im}\partial_1$	불변량: $m\in M$ 가운데, 임의의 $g\in G$ 에 대하여 $gm=m$ 인 것	임의의 원소 $m\in M$
1차 닫힌 공사슬	$\ker\mathrm d_1$	교차 준동형(crossed homomorphism^영어): 함수 $\phi\colon G\to M$ 가운데, $\phi(gh) = \phi(g) + g\phi(h)$ 인 것	군 준동형 $(G,\cdot) \to (M,+)$
1차 완전 공사슬	$\operatorname{im}\mathrm d_0$	주 교차 준동형(principal crossed homomorphism^영어, $m\in M$ 에 대하여, $g\mapsto (g-1)m$ 꼴의 교차 준동형)들의 선형 결합	상수 함수 $g\mapsto0$
1차 닫힌 사슬	$\ker\partial_1$	선형 결합 $\textstyle\sum_i\alpha_i(g_i,m)$ 가운데, $\textstyle\sum_i \alpha_ig_im_i = \sum_i\alpha_i m_i$ 인 것	선형 결합 $\textstyle\sum_i\alpha_i(g_i,m)$
1차 완전 사슬	$\operatorname{im}\partial_2$	$(h,m) - (gh,m) + (g,hm)$ 꼴의 선형 결합들의 합 ( $g,h\in G,\;m\in M$ )	$\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\{g+h-gh \colon g,h\in G\} \otimes_{\mathbb Z}M$ 의 원소

$G$ 의 $M$ 위의 작용이 자명할 때, 다음이 성립한다.

: $\operatorname H^0(G;M) = M$

: $\operatorname H_0(G;M) = 0$

: $\operatorname H^1(G;M) = \hom_{\operatorname{Grp}}(G,M)$

:2차 군 코호몰로지 $\operatorname H^1(G;M)$ 는 군 $(G,\cdot)$ 의 아벨 군 $(M,+)$ 에 대한 확대들을 분류한다.

1차 코호몰로지 군은 교차 준동형 사상의 몫이다. 즉 모든 ''G''의 ''a'', ''b''에 대해 ''f''(''ab'') = ''f''(''a'') + ''af''(''b'')를 만족하는 (집합의) 사상 ''f'' : ''G'' → ''M''을 주 교차 준동형 사상으로 나눈 것이다. 주 교차 준동형 사상이란 어떤 고정된 ''m'' ∈ ''M''에 대해 ''f''(''g'') = ''gm''−''m''로 주어지는 사상 ''f'' : ''G'' → ''M''을 말한다.^[1]

''G''가 ''M''에 작용하는 것이 ''자명''할 경우, ''H''¹(''G'',''M'') = Hom(''G'', ''M'')로 축약된다. 이는 교차 준동형 사상은 일반적인 준동형 사상과 같고, 코경계(즉, 주 교차 준동형 사상)는 반드시 0을 이미지로 가져야 하기 때문이다.^[2]

$H^1(\Z/2, \Z_-)$ 의 경우를 보자. 여기서 $\Z_-$ 는 정수의 덧셈 군에 대한 ''비자명한'' $\Z/2$ -구조를 나타내며, 이는 모든 $a \in \Z$ 에 대해 ''a''를 ''-a''로 보낸다. 또한 $\Z/2$ 를 $\{ \pm 1 \}$ 군으로 간주한다. $\{ 1,-1 \}$ 의 이미지에 대한 모든 가능한 경우를 고려하여 교차 준동형 사상은 $f_t: \{ \pm 1 \} \to \Z$ 와 같은 모든 사상으로 구성되며, 이는 임의의 정수 ''t''에 대해 $f_t(1) = 0$ 및 $f_t(-1) = t$ 를 만족한다. 주 교차 준동형 사상은 추가적으로 어떤 정수 ''m''에 대해 $f_t(-1) = (-1)*m - m = -2m$ 을 만족해야 한다. 따라서 ''-1''을 짝수 정수 $t = -2m$ 로 보내는 모든 교차 준동형 사상 $f_t$ 는 주 교차 준동형 사상이므로 다음과 같다.

: $H^1(\Z/2,\Z_{-})\cong \Z/2 = {\rm\ (예를 들어)\ \it} \langle f: f(1)=0, f(-1)=1\rangle,$

이때 군 연산은 점별 덧셈이며, $(f_s+f_t)(x) = f_s(x) + f_t(x) = f_{s+t}(x)$ 이고, $f_0$ 는 항등원이다.^[3]

만약 ''M''이 자명한 ''G''-가군(즉, ''G''의 ''M''에 대한 작용이 자명하다면)이라면, 두 번째 코호몰로지 군 ''H''²(''G'',''M'')은 ''M''에 대한 ''G''의 중앙 확대 집합과 일대일 대응을 이룬다(자연스러운 동치 관계에 따라). 더 일반적으로, ''G''의 ''M''에 대한 작용이 비자명하다면, ''H''²(''G'',''M'')은 모든 확대 $0 \to M \to E \to G \to 0$ 의 동형류를 분류하며, 여기서 ''G''의 ''E''에 대한 작용( 내부 자기 동형에 의해)은 (''M''의 상)에 동형적인 ''G''-가군 구조를 부여한다.^[4]

$H^1$ 섹션의 예에서, 주어진 비자명한 작용을 갖는 $\Z/2$ 에 의한 $\Z$ 의 유일한 확장이 무한 이면체군이므로 $H^2(\Z/2, \Z_-) =0$ 이며, 이는 분리 확대이고, 따라서 $H^2$ 군 내에서 자명하다. 이것은 $H^1(\Z/2, \Z_-)$ 의 유일한 비자명 원소의 군론적 의미이다.^[5]

두 번째 코호몰로지 군의 예는 브라우어 군이다. 이는 가분 폐포에서 가역 원소에 작용하는 체 ''k''의 절대 갈루아 군의 코호몰로지이다.

: $H^2\left(\mathrm{Gal}(k), (k^\mathrm{sep})^\times\right).$ ^[6]

3. 2. 위상 코호몰로지와의 관계

만약

G

의

M

위의 작용이 자명하다면, 군 코호몰로지는 (이산 위상을 부여한 위상군으로서의) 분류 공간

\mathrm BG

의 특이 코호몰로지와 동형이다.^[4]

:

\operatorname H^k(G;M)=\operatorname H_\text{sing}^k(\mathrm BG;M)

보다 일반적으로,

G

의 작용이 자명하지 않다면,

M

은

\mathrm BG

위의 일종의 층

\underline M

을 정의하며, 이 층의 층 코호몰로지는

G

의

M

계수 군 코호몰로지와 같다.^[13]^[14]

:

\operatorname H^\bullet(G;M) \cong \operatorname H^\bullet(\mathrm BG;\underline M)

이는 다음과 같은 동형사상을 통해 층 코호몰로지와 같은 위상 코호몰로지 이론과 밀접한 관련이 있음을 보여준다.

:

H^n (BG, \Z) \cong H^n (G, \Z).

여기서 좌변의 ''

BG

''는

G

에 대한 분류 공간이다. 이것은 Eilenberg–MacLane 공간

K(G,1)

이며, 즉 기본군이

G

이고 고차 호모토피 군이 사라지는 공간이다.

3. 3. 函手性 (Functoriality)

군 코호몰로지는 군 에 대해 반변적으로 작용한다. 즉, 군 준동형사상 가 주어지면, 자연스럽게 유도된 사상 이 존재한다. 여기서 은 를 통해 가군으로 간주된다. 이 사상을 '''제한 사상'''(restriction map)이라고 한다.^[9]

만약 가 에서 유한 지수를 갖는 부분군이라면, 반대 방향의 사상도 존재하는데, 이를 '''전이 사상'''(transfer map)이라고 한다.^[9] 전이 사상은 다음과 같이 정의된다.

:

cor_H^G : H^n(H, M) \to H^n (G, M).

0차 코호몰로지 군에 대해서, 전이 사상은 다음과 같이 주어진다.

:

\begin{cases} M^H \to M^G \\ m \mapsto \sum_{g \in G/H} gm \end{cases}

가군 사이의 사상 가 주어지면, 코호몰로지 군 사이의 사상 을 얻는다.

3. 4. 곱 구조 (Product Structure)

군 코호몰로지는 특이 코호몰로지나 드람 코호몰로지와 같은 다른 위상수학 및 기하학의 코호몰로지 이론처럼 곱 구조를 갖는다. 이는 컵 곱(cup product)이라고 하는 자연스러운 사상을 통해 나타나는데, 임의의 두 G-가군 M과 N에 대해 다음과 같이 정의된다.^[10]

:

H^n(G, N) \otimes H^m(G, M) \to H^{n+m} (G, M \otimes N)

이는

\oplus_{n \geqslant 0} H^n(G, R)

에 등급 반가환환 구조를 생성한다. 여기서 R은

\Z

또는

\Z/p

와 같은 환이다. 유한군 G에 대해, 이 코호몰로지 환의 표수 p에 대한 짝수 부분

\oplus_{n \geqslant 0} H^{2n}(G, \Z/ p)

는 군 G의 구조에 대한 많은 정보를 담고 있다. 예를 들어 이 환의 크룰 차원은 아벨 부분군

(\Z / p)^r

의 최대 랭크와 같다.^[10]

만약 M = k가 체이면, H*(G; k)는 등급을 가진 k-대수이며, 군의 곱의 코호몰로지는 다음의 Künneth 공식에 의해 각 군의 코호몰로지와 관련된다.

:

H^*(G_1\times G_2;k)\cong H^*(G_1;k)\otimes H^*(G_2;k).

예를 들어, G가 계수 r을 갖는 기본 아벨 2-군이고

k=\mathbb{F}_2

이면, Künneth 공식은 G의 코호몰로지가 H¹(G; k)에 있는 r개의 클래스에 의해 생성된 다항식 k-대수임을 보여준다.

:

H^*(G;k)\cong k[x_1, \ldots, x_r].

3. 5. 호몰로지와 코호몰로지의 관계

Ext 함자는 Hom 함자의 유도 함자이므로, 다음과 같은 자연 동형이 성립한다.

:

H^{n}(G,M) = \operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z} [G]}(\mathbb{Z}, M).

이는 군 코호몰로지

H^n(G, M)

이 Ext 함자를 통해 표현될 수 있음을 의미한다. Ext 군은

\mathbb{Z}

의 사영 분해를 통해 계산할 수 있으며, 이 분해는 ''M''이 아닌 ''G''에만 의존한다.

군 호몰로지는 Tor 함자를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

H_n(G,M) = \operatorname{Tor}_n^{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M)

코호몰로지와 호몰로지의 위첨자/아래첨자 규칙은 군 불변량/공변량에 대한 규칙과 일치한다.

위첨자는 코호몰로지 ''H*''와 불변량 ''X^G''에 해당한다.
아래첨자는 호몰로지 ''H''_∗와 공변량 ''X_G'' := ''X''/''G''에 해당한다.

특이 코호몰로지와 마찬가지로, 군 코호몰로지와 호몰로지는 다음과 같은 짧은 완전 순서를 통해 서로 관련되어 있다.^[11]

:

0 \to \mathrm{Ext}^1_{\mathbb{Z}}\left(H_{n-1}(G, \mathbb{Z}), A\right) \to H^n(G, A) \to \mathrm{Hom}\left(H_n(G, \mathbb{Z}), A\right) \to 0,

여기서 ''A''는 자명한 ''G''-작용을 가지며, 왼쪽 항은 첫 번째 Ext 군이다.

3. 6. 혼합 곱 (Amalgamated Products)

두 군 ''G''₁과 ''G''₂의 부분군 ''A''가 주어졌을 때, 아말감화 곱

G := G_1 \star_A G_2

의 호몰로지(정수 계수)는 다음과 같은 긴 완전열에 포함된다.

:

\cdots \to H_n (A) \to H_n (G_1) \oplus H_n (G_2) \to H_n (G) \to H_{n-1}(A) \to \cdots

이를 통해

\mathrm{SL}_2(\Z) = \Z / 4 \star_{\Z/2} \Z/6

의 호몰로지를 계산할 수 있다.

:

H_n(\mathrm{SL}_2(\Z)) = \begin{cases} \Z & n =0 \\ \Z/12 & \text{홀수 차수} \\ 0 & \text{그 외} \end{cases}

이 완전열은 무한체 ''k''에 대해

\mathrm{SL}_2(k[t])

와 특수 선형군

\mathrm{SL}_2(k)

의 호몰로지가 일치함을 보이는 데에도 적용될 수 있다.^[12]

3. 7. 군의 변화 (Change of Group)

호흐쉴트-세르 스펙트럼 열은 군 ''G''의 정규 부분군 ''N''과 몫군 ''G/N''의 코호몰로지를 군 ''G''의 코호몰로지와 관련시킨다(프로 유한군 ''G''의 경우).^[1] 이를 통해 확대-제한 완전열을 얻을 수 있다.^[1]

3. 8. 분류 공간의 코호몰로지 (Cohomology of the Classifying Space)

군 코호몰로지는 분류 공간의 코호몰로지와 동형이며, 이는 층 코호몰로지로 일반화될 수 있다.^[13]

:

H^n (BG, \Z) \cong H^n (G, \Z).

여기서

BG

는 군

G

의 분류 공간이며, 아이렌베르크-맥레인 공간

K(G,1)

이다. 즉, 기본군이

G

이고 고차 호모토피 군이 자명한 공간이다.

\Z, \Z/2

및

\Z/n

에 대한 분류 공간은 각각 1-구 '''S'''¹, 무한 실수 사영 공간

\mathbb{P}^{\infty}(\R) = \cup_n \mathbb{P}^n(\R),

및 렌즈 공간이다. 일반적으로,

BG

는

G

가 자유롭게 작용하는 수축 가능한 공간

EG

의 몫공간

EG/G

로 구성될 수 있다.

더 일반적으로, 임의의

G

-가군

M

에 대해 국소 계수를

BG

에 대응시킬 수 있으며, 위의 동형사상은 다음과 같이 일반화된다.^[14]

:

H^n (BG, M) = H^n (G, M).

군 코호몰로지는 특이 코호몰로지나 드람 코호몰로지와 같은 다른 코호몰로지 이론처럼 곱 구조를 갖는다.

G

-가군

M

과

N

에 대해 '''컵 곱'''으로 불리는 자연스러운 사상

:

H^n(G, N) \otimes H^m(G, M) \to H^{n+m}(G, M \otimes N)

이 존재한다. 이는

\textstyle \bigoplus_{n \ge 0} H^n(G, R)

에 등급 반가환환 구조를 부여한다. (여기서

R

은

\Z

또는

\Z/p

와 같은 환이다.)

G

를 위수 2의 이산군이라고 하자. 실수 사영 공간

\mathbb{P}^{\infty}(\R)

은 군

G

의 분류 공간이다.

k = \mathbb{F}_2

를 이원체라고 하면, 다음이 성립한다.

:

H^*(G, k) \cong k[x]

이는

\mathbb{P}^{\infty}(\R)

의 포인트 코호몰로지 환이다.

4. 예

위상수학에서 생성자 $\sigma$ 를 갖는 차수 $m$ 의 유한 순환군 $G=C_m$ 에 대해, 관련된 군환에서 원소 $\sigma -1 \in \mathbb{Z}[G]$ 는 0의 약수이다. 그 이유는 이 원소가 다음으로 주어지는 $N$ 과 곱해지기 때문이다.^[2]^[3]

: $N = 1 + \sigma + \sigma^2 + \cdots + \sigma^{m-1} \in \mathbb{Z}[G]$

이때, 다음이 성립한다.

: $\begin{align}N(1-\sigma) &= 1 + \sigma + \cdots + \sigma^{m-1} \\&\quad- \sigma - \sigma^2 - \cdots - \sigma^{m} \\&=1 - \sigma^m \\&= 0.\end{align}$

이러한 성질을 사용하여 자명한 $\mathbb{Z}[G]$ -가군 $\mathbb{Z}$ 의 분해를 구성할 수 있다.

: $\cdots \xrightarrow{\sigma - 1}\mathbb{Z}[G] \xrightarrow{N} \mathbb{Z}[G] \xrightarrow{\sigma - 1}\mathbb{Z}[G] \xrightarrow{\text{aug}} \mathbb{Z} \to 0$

이것은 임의의 $\mathbb{Z}[G]$ -가군 $A$ 에 대한 군 코호몰로지 계산을 제공한다.

랭크 $n$ 의 적분 격자 $\Lambda$ ( $\mathbb{Z}^n$ 과 동형)의 경우, 군 코호몰로지는 랭크 $n$ 의 원환면의 정수 코호몰로지와 동형 관계를 가진다.

: $H^k(\Lambda,\mathbb{Z}_{\text{triv}}) \cong H^k(\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n,\mathbb{Z})$

4. 1. 자유군

k

개의 원소로 생성되는 자유군

F_k

를 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군

M

에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.^[5]

:

\operatorname H^n(F_k;M)=\operatorname H_n(F_k;M)=\begin{cases}M&n=0\\M^{\oplus k}&n=1\\0&n>1\end{cases}

집합

S

가 주어지면, 연관된 자유군

G = \text{Free}(S) = \underset{s \in S}{*} \mathbb{Z}

는 자명한 가군

\mathbb{Z}_{\text{triv}}

의 명시적인 분해를 가지는데, 이는 쉽게 계산할 수 있다. 증가 사상

:

\text{aug}:\mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z}_{\text{triv}}

가 자유 부분 가군

I_S

에 의해 주어지는 커널을 갖는다는 것을 주목하자. 여기서

I_S

는 집합

\{s - 1 : s \in S \}

에 의해 생성된다. 즉,

:

I_S = \bigoplus_{s \in S} \mathbb{Z}[G]\cdot (s-1)

.

이 객체가 자유이므로, 이는 분해를 제공한다.

:

0 \to I_S \to \mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z}_{\text{triv}} \to 0

따라서 계수가

\mathbb{Z}_{\text{triv}}

인

G

의 군 코호몰로지는 복합체

0 \to I_S \to \mathbb{Z}[G] \to 0

에 펀터

\text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(-,\mathbb{Z})

을 적용하여 계산할 수 있으며, 결과는 다음과 같다.

:

H^k(G,\mathbb{Z}_{\text{triv}}) = \begin{cases}\mathbb{Z} & k = 0 \\\bigoplus_{s \in S}\mathbb{Z} & k = 1 \\0 & k \geq 2\end{cases}

이는 쌍대 사상

:

\text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}[G],\mathbb{Z}_{\text{triv}}) \to\text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(I_S,\mathbb{Z}_{\text{triv}})

가 모든

\mathbb{Z}[G]

-가군 준동형 사상

:

\phi:\mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z}_{\text{triv}}

를 포함을 합성하여

I_S

에 대한 유도된 준동형 사상으로 보내기 때문이다. 0으로 보내지는 유일한 사상은 증가 사상의

\mathbb{Z}

-배수이며, 첫 번째 코호몰로기 군을 제공한다. 두 번째 코호몰로기 군은 다른 유일한 사상을 주목함으로써 찾을 수 있는데,

:

\psi \in \text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(I_S,\mathbb{Z}_{\text{triv}})

는 고정된

s \in S

에 대해

(s-1) \mapsto 1

을 보내고, 임의의

s' \in S - \{s\}

에 대해

(s'-1) \mapsto 0

을 보내는 사상의

\mathbb{Z}

-기저에 의해 생성될 수 있다.

자유군

\mathbb{Z}*\mathbb{Z}*\cdots *\mathbb{Z}

의 군 코호몰로지는

n

개의 문자로 생성되며, 위상수학적 해석과 비교하여 쉽게 계산할 수 있다. 모든 군

G

에 대해, 군의 분류 공간이라고 불리는 위상 공간

BG

가 존재하는데, 이 공간은 다음의 성질을 갖는다.

:

\pi_1(BG) = G \text{ 이고 } \pi_k(BG) = 0 \text{ for } k \geq 2

.

또한, 그 위상적 코호몰로지는 군 코호몰로지와 동형이라는 성질을 가지므로,

:

H^k(BG,\mathbb{Z}) \cong H^k(G,\mathbb{Z})

일부 군 코호몰로지 군을 계산하는 방법을 제공한다. 여기서

\mathbb{Z}

는 아벨 군

V

에 대한 맵

:

\pi_1(G) \to GL(V)

에 의해 결정되는 임의의 지역적 시스템

\mathcal{L}

으로 대체될 수 있다.

n

개의 문자에 대한

B(\mathbb{Z}*\cdots * \mathbb{Z})

의 경우, 이는

n

개의 원

S^1 \vee \cdots \vee S^1

의 쐐기 합으로 표현되며, 반-캄펜 정리를 사용하여 이를 보일 수 있다. 이를 통해 다음과 같은 군 코호몰로지를 얻는다.

:

H^k(\mathbb{Z}*\cdots * \mathbb{Z}) = \begin{cases}\mathbb{Z} & k = 0 \\\mathbb{Z}^n & k = 1 \\0 & k \geq 2\end{cases}

4. 2. 순환군

순환군의 군 (코)호몰로지는 주기적인 성질을 갖는다.

k

차 순환군

\operatorname{Cyc}(k)

에 대해, 자명한 작용을 가진 아벨 군

M

의 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.^[2]^[3]

:

\operatorname H^n(\operatorname{Cyc}(k);M)=\operatorname H_n(\operatorname{Cyc}(k);M)=\begin{cases}M&n=0\\(\ker n)\subseteq M&2\nmid n\\M/nM&2\mid n>0\\\end{cases}

여기서

\ker n=\{m\in M\colon nm=0\}

은

M

의

n

-꼬임 부분군이다.

이는 순환군의 분류 공간인

\mathbb S^\infty/\operatorname{Cyc}(k)

의 특이 호몰로지와 같다. 특히,

k=2

일 경우 이는 무한 차원 실수 사영 공간

\operatorname{RP}^\infty

의 특이 호몰로지이다.

위상수학에서 생성자

\sigma

를 갖는 차수

m

의 유한 순환군

G=C_m

에 대해, 관련된 군환에서 원소

\sigma -1 \in \mathbb{Z}[G]

는 0의 약수이다. 그 이유는 이 원소가 다음으로 주어지는

N

과 곱해지기 때문이다.

:

N = 1 + \sigma + \sigma^2 + \cdots + \sigma^{m-1} \in \mathbb{Z}[G],

이때, 다음이 성립한다.

:

\begin{align}N(1-\sigma) &= 1 + \sigma + \cdots + \sigma^{m-1} \\&\quad- \sigma - \sigma^2 - \cdots - \sigma^{m} \\&=1 - \sigma^m \\&= 0.\end{align}

이러한 성질을 사용하여 자명한

\mathbb{Z}[G]

-가군

\mathbb{Z}

의 다음과 같은 분해를 구성할 수 있다.

:

\cdots \xrightarrow{\sigma - 1}\mathbb{Z}[G] \xrightarrow{N} \mathbb{Z}[G] \xrightarrow{\sigma - 1}\mathbb{Z}[G] \xrightarrow{\text{aug}} \mathbb{Z} \to 0

이것은 임의의

\mathbb{Z}[G]

-가군

A

에 대한 군 코호몰로지 계산을 제공한다. 증가 사상은 다음을 통해 자명한 가군

\mathbb{Z}

에

\mathbb{Z}[G]

-구조를 부여한다.

:

\text{aug}\left(\sum_{g \in G}a_gg \right) = \sum_{g \in G}a_g

이 분해는 코호몰로지 군의 동형 사상

:

H^k(G,A) \cong \text{Ext}^k_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},A)

이 존재하기 때문에 군 코호몰로지 계산을 제공한다. 위의 복합체에 펀서

\text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(-,A)

를 적용하면(

\mathbb{Z}

는 준동형사상이므로 제거됨) 다음 계산을 얻을 수 있다.

:

H^k(G,A) = \begin{cases}A^G/NA & k\text{ 짝수}, k \geq 2 \\{}_NA/(\sigma - 1)A & k\text{ 홀수}, k \geq 1\end{cases}

여기서

:

{}_NA = \{a \in A : Na = 0\}

예를 들어,

A = \mathbb{Z}

인 자명한 가군의 경우,

\mathbb{Z}^G = \mathbb{Z}

,

N\mathbb{Z} = \text{aug}(N)\mathbb{Z} = m\mathbb{Z}

, 그리고

{}_N\mathbb{Z} = 0

이므로, 다음이 성립한다.

:

H^k(C_m,\mathbb{Z}) = \begin{cases}\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} & k\text{ 짝수}, k \geq 2 \\0 & k\text{ 홀수}, k \geq 1\end{cases}

4. 3. 자유 아벨 군

k

차 자유 아벨 군

\mathbb Z^{\oplus k}

을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군

M

에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.

:

\operatorname H^n(\mathbb Z^{\oplus k};M)=\operatorname H_n(\mathbb Z^{\oplus k};M)=M^{\oplus\binom kn}

여기서

\textstyle\binom kn

은 이항 계수이다. 이는 자유 아벨 군의 분류 공간인 원환면

\mathbb T^k

의 특이 호몰로지와 같다.

4. 4. 반직접곱 (Semidirect Products)

군의 반직접곱

G = N \rtimes H

에 대해, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.^[1]

$1 \to N \to N\rtimes H \to H \to 1$

관련된 에일렌베르크-맥레인 공간을 사용하면 다음과 같은 세르 올림이 존재한다.^[1]

$K(N,1) \to K(G,1) \to K(H,1)$

이것은 세르 스펙트럼 열을 통해 넣을 수 있다. 이는

E_2

-페이지를 제공하며,^[1]

$E_2^{p,q} = H^p(K(H,1),H^q(K(N,1))) \Rightarrow H^{p+q}(K(G,1))$

이는

H, N

의 군 코호몰로지 군으로부터

G

의 군 코호몰로지에 대한 정보를 제공한다. 이 형식주의는 린던-호흐쉴트-세르 스펙트럼 열을 사용하여 순수하게 군론적인 방식으로 적용될 수 있다.^[1]

5. 유한군의 코호몰로지

마슈케 정리에 따르면, 유한군의 표현 범주는 표수가 0인 모든 체(또는 군의 위수를 나누지 않는 표수를 가진 체) 위에서 반단순이다. 따라서 이 아벨 범주에서 도출된 함자로서 군 코호몰로지는 0이 된다. 다른 설명으로는, 표수가 0인 체 위에서 유한군의 군 대수는 행렬 대수(원래 체의 확장인 나눗셈 대수 위일 수도 있음)의 직합이고, 행렬 대수는 기본 체와 Morita 동치이므로 자명한 코호몰로지를 갖는다는 것이다.^[15]

''G''의 위수가 ''G''-가군 ''M''에서 가역적이면(예: ''M''이 $\Q$ -벡터 공간), $H^n(G,M) =0$ ( $n \geqslant 1$ )이다. 이 사실의 전형적인 적용 예시는 다음과 같다. 단사 완전열(세 군 모두 자명한 ''G''-작용을 가짐)의 긴 완전 코호몰로지 열

: $0 \to \Z \to \Q \to \Q / \Z \to 0$

은 다음 동형 사상을 생성한다.

: $\mathrm{Hom}(G, \Q / \Z) = H^1(G, \Q /\Z) \cong H^2(G, \Z).$

테이트 코호몰로지 군은 유한군 ''G''의 호몰로지와 코호몰로지를 결합한다.

: $\widehat H^n(G, M) := \begin{cases} H^n(G, M) & n \geqslant 1 \\ \operatorname{coker} N & n=0 \\ \ker N & n = -1 \\ H_{-n-1}(G, M) & n \leqslant -2, \end{cases}$

여기서 $N: M_G \to M^G$ 는 노름 사상에 의해 유도된다.

: $\begin{cases} M \to M \\ m \mapsto \sum_{g \in G} gm \end{cases}$

테이트 코호몰로지는 긴 완전열, 곱 구조와 같은 유사한 특징을 갖는다. 중요한 응용 분야는 류수론이며, 류 형성을 참조한다.

유한 순환군 $G = \Z/n$ 의 테이트 코호몰로지는 2-주기적이다. 즉, 다음 동형사상이 존재한다.

: $\widehat H^m(G, M) \cong \widehat H^{m+2}(G, M) \qquad \text{for all } m \in \Z.$

''d''-주기적 코호몰로지의 필요충분조건은 ''G''의 아벨 부분군이 순환군뿐이라는 것이다.^[15] 예를 들어, 모든 반직접곱 $\Z / n \rtimes \Z /m$ 은 서로소 정수 ''n''과 ''m''에 대해 이 속성을 갖는다.

6. 응용

군 코호몰로지는 대수적 K-이론, 선형군의 호몰로지, 사영 표현, 군의 확대 등 다양한 분야에 응용된다.

대수적 K-이론은 군 코호몰로지와 밀접하게 관련되어 있다. 다니엘 퀼렌의 +-구성에서, 고리 ''R''의 K-이론은 공간 $\mathrm{BGL}(R)^+$ 의 호모토피 군으로 정의된다. 여기서 $\mathrm{GL}(R) = \cup_{n \ge 1} \mathrm{GL}_n(R)$ 는 무한 일반 선형군이다. 공간 $\mathrm{BGL}(R)^+$ 은 $\mathrm{BGL}(R)$ , 즉, GL(''R'')의 군 호몰로지와 동일한 호몰로지를 갖는다. 어떤 경우에, ''안정성'' 결과는 다음 코호몰로지 군의 수열에서

: $\dots \to H_m\left(\mathrm{GL}_n (R)\right) \to H_m\left(\mathrm{GL}_{n+1}(R)\right) \to \cdots$

충분히 큰 ''n''에 대해 정지 상태가 되어, 무한 일반 선형군의 코호몰로지 계산을 어떤 $\mathrm{GL}_n(R)$ 의 코호몰로지 계산으로 줄일 수 있다고 주장한다. 이러한 결과는 ''R''이 체^[16] 또는 수론적 정수환인 경우에 확립되었다.^[17]

양자역학에서 대칭군 $G$ 를 가진 시스템을 다룰 때, 힐베르트 공간 $\mathcal{H}$ 에 대한 $G$ 의 작용은 유니타리 행렬 $U(g)$ 로 표현된다. $U(g_1) U(g_2)= U(g_1g_2)$ 가 성립할 것으로 예상되지만, 실제 양자역학에서는 다음과 같은 식이 나타난다.

: $U(g_1) U(g_2)= \exp \{2\pi i\omega(g_1,g_2)\} U(g_1g_2),$

여기서 $\exp\{2\pi i\omega(g_1,g_2)\}\in{\rm U}(1)$ 는 위상이다. 이러한 $G$ 의 사영 표현은 $\mathrm{U}(1)$ 에 의한 $G$ 의 군 확대 $\tilde G$ 의 일반적인 표현으로도 볼 수 있으며, 이는 다음과 같은 완전 시퀀스로 설명된다.

: $1 \to {\rm U}(1) \to \tilde G \to G\to 1.$

결합 법칙 $U(g_1)[U(g_2)U(g_3)]= [U(g_1)U(g_2)]U(g_3)$ 을 적용하면 다음이 유도된다.

: $\omega(g_2, g_3)-\omega(g_1g_2, g_3)+ \omega(g_1,g_2g_3)-\omega(g_1,g_2)=0,$

이는 $d\omega(g_1,g_2,g_3)=0,$ 즉 $\omega$ 가 $\R/\Z\simeq {\rm U}(1)$ 값을 갖는 코사이클이라는 것을 의미한다.

$U(g)\to \exp\{2\pi i\eta(g)\} U(g)$ 와 같이 재정의를 통해 위상을 제거할 수 있는지 고려해 볼 수 있다.

이는 $\omega(g_1,g_2)$ 를 다음과 같이 변화시킨다.

: $\omega(g_1,g_2) \to \omega(g_1,g_2) + \eta (g_2)- \eta(g_1g_2)+\eta(g_1).$

이는 코바운더리 $\omega \to \omega+d\eta$ 에 의해 $\omega$ 를 이동시키는 것으로 볼 수 있다. 따라서 고유한 사영 표현은 $H^2(G, \R/\Z)$ 로 분류된다. 만약 위상 자체에 그룹의 작용을 허용한다면 (예를 들어 시간 반전은 위상을 복소 켤레로 만듦), 각 코바운더리 연산의 첫 번째 항은 이전 섹션에서 코바운더리의 일반적인 정의에서와 같이, 그것에 작용하는 $g_1$ 을 갖게 된다. 예를 들어, $d\eta(g_1,g_2) \to g_1\eta(g_2)-\eta(g_1g_2)+\eta(g_1).$

6. 1. 대수적 K-이론과 선형군의 호몰로지

대수적 K-이론은 군 코호몰로지와 밀접하게 관련되어 있다. 퀼렌의 +-구성에서, 고리 ''R''의 K-이론은 공간

\mathrm{BGL}(R)^+

의 호모토피 군으로 정의된다. 여기서

\mathrm{GL}(R) = \cup_{n \ge 1} \mathrm{GL}_n(R)

는 무한 일반 선형군이다. 공간

\mathrm{BGL}(R)^+

은

\mathrm{BGL}(R)

, 즉, GL(''R'')의 군 호몰로지와 동일한 호몰로지를 갖는다. 어떤 경우에, ''안정성'' 결과는 다음 코호몰로지 군의 수열에서

:

\dots \to H_m\left(\mathrm{GL}_n (R)\right) \to H_m\left(\mathrm{GL}_{n+1}(R)\right) \to \cdots

충분히 큰 ''n''에 대해 정지 상태가 되어, 무한 일반 선형군의 코호몰로지 계산을 어떤

\mathrm{GL}_n(R)

의 코호몰로지 계산으로 줄일 수 있다고 주장한다. 이러한 결과는 ''R''이 체^[16] 또는 수론적 정수환인 경우에 확립되었다.^[17]

6. 2. 사영 표현과 군의 확대

양자역학에서 대칭군

G

를 가진 시스템을 다룰 때, 힐베르트 공간

\mathcal{H}

에 대한

G

의 작용은 유니타리 행렬

U(g)

로 표현된다.

U(g_1) U(g_2)= U(g_1g_2)

가 성립할 것으로 예상되지만, 실제 양자역학에서는 다음과 같은 식이 나타난다.

:

U(g_1) U(g_2)= \exp \{2\pi i\omega(g_1,g_2)\} U(g_1g_2),

여기서

\exp\{2\pi i\omega(g_1,g_2)\}\in{\rm U}(1)

는 위상이다. 이러한

G

의 사영 표현은

\mathrm{U}(1)

에 의한

G

의 군 확대

\tilde G

의 일반적인 표현으로도 볼 수 있으며, 이는 다음과 같은 완전 시퀀스로 설명된다.

:

1 \to {\rm U}(1) \to \tilde G \to G\to 1.

결합 법칙

U(g_1)[U(g_2)U(g_3)]= [U(g_1)U(g_2)]U(g_3)

을 적용하면 다음이 유도된다.

:

\omega(g_2, g_3)-\omega(g_1g_2, g_3)+ \omega(g_1,g_2g_3)-\omega(g_1,g_2)=0,

이는

d\omega(g_1,g_2,g_3)=0,

즉

\omega

가

\R/\Z\simeq {\rm U}(1)

값을 갖는 코사이클이라는 것을 의미한다.

U(g)\to \exp\{2\pi i\eta(g)\} U(g)

와 같이 재정의를 통해 위상을 제거할 수 있는지 고려해 볼 수 있다.

이는

\omega(g_1,g_2)

를 다음과 같이 변화시킨다.

:

\omega(g_1,g_2) \to \omega(g_1,g_2) + \eta (g_2)- \eta(g_1g_2)+\eta(g_1).

이는 코바운더리

\omega \to \omega+d\eta

에 의해

\omega

를 이동시키는 것으로 볼 수 있다. 따라서 고유한 사영 표현은

H^2(G, \R/\Z)

로 분류된다. 만약 위상 자체에 그룹의 작용을 허용한다면 (예를 들어 시간 반전은 위상을 복소 켤레로 만듦), 각 코바운더리 연산의 첫 번째 항은 이전 섹션에서 코바운더리의 일반적인 정의에서와 같이, 그것에 작용하는

g_1

을 갖게 된다. 예를 들어,

d\eta(g_1,g_2) \to g_1\eta(g_2)-\eta(g_1g_2)+\eta(g_1).

참조

_[1] 문서 Page 62 of [[#Reference-Mil2008|Milne 2008]] or section VII.3 of [[#Reference-Se1979|Serre 1979]]
_[2] 서적 Abstract algebra John Wiley & Sons 2003-07-14
_[3] 서적 Cohomology of groups Springer 2012-12-06
_[4] 논문 The braided monoidal structures on a class of linear Gr-categories
_[5] 서적 The cohomology of groups https://www.worldcat[...] Clarendon Press 1991
_[6] 서적 Algebraic topology Cambridge University Press 2002
_[7] 웹사이트 An Introduction to the Cohomology of Groups http://www-users.mat[...]
_[8] 문서 Remark II.1.21 of [[#Reference-Mil2008|Milne 2008]]
_[9] 문서 Brown, 1972, §III.9
_[10] 논문 The spectrum of an equivariant cohomology ring. I. II.
_[11] 문서 Brown, 1972, Exercise III.1.3
_[12] 문서 Knudson, 2001, Chapter 4
_[13] 논문 Continuous cohomology of groups and classifying spaces 1978-07-01
_[14] 문서 Adem, Milgram, 2004, Chapter II.
_[15] 문서 Brown, 1972, §VI.9
_[16] 논문 Homology of $\operatorname{GL}_n$ , characteristic classes and Milnor K-theory Springer
_[17] 논문 Stable real cohomology of arithmetic groups
_[18] 논문 Field-Theory Representation of Gauge-Gravity Symmetry-Protected Topological Invariants, Group Cohomology, and Beyond 2015-01-22
_[19] 논문 Construction of bosonic symmetry-protected-trivial states and their topological invariants via G×SO(∞) nonlinear σ models 2015-05-04
_[20] 문서 これは {{mvar|G}} 加群の圏が[[群環]] {{math|'''Z'''[''G'']}} 上の加群圏と同値なので[[十分多くの入射対象]]をもつことを使っている。
_[21] 문서 テンソル積 {{math|''N'' ⊗_{'''Z'''[''G'']} ''M''}} はどんな右 {{math|'''Z'''[''G'']}} 加群 {{mvar|N}} と左 {{math|'''Z'''[''G'']}} 加群 {{mvar|M}} に対しても定義されていることを思い出そう。もし {{mvar|N}} が左 {{math|'''Z'''[''G'']}} 加群ならば、すべての {{math|''g'' ∈ ''G''}} と {{math|''a'' ∈ ''N''}} に対して {{math|''ag'' {{=}} ''g''⁻¹''a''}} と定めることで、{{mvar|N}} を右 {{math|'''Z'''[''G'']}} 加群にする。この取り決めによりテンソル積 {{math|''N'' ⊗_{'''Z'''[''G'']} ''M''}} は {{mvar|N, M}} が左 {{math|'''Z'''[''G'']}} 加群のときにも定義できる。
_[22] 논문 The spectrum of an equivariant cohomology ring. I. II.
_[23] 서적 Cohomology of finite groups Springer-Verlag
_[24] 서적 Cohomology of groups Springer-Verlag
_[25] 서적 An introduction to the theory of groups Springer-Verlag

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