매개변수변환법

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 오일러의 초기 연구 (18세기)
- 2.2. 라그랑주의 발전 (18세기 후반 ~ 19세기 초반)
3. 방법 설명
- 3.1. 2계 미분 방정식
4. 직관적 설명
5. 예제
- 5.1. 1계 미분 방정식
- 5.2. 2계 미분 방정식
참조

1. 개요

매개변수변환법은 비제차 선형 상미분 방정식을 푸는 방법으로, 스위스 수학자 레온하르트 오일러가 처음 구상하고 조제프루이 라그랑주가 완성했다. 이 방법은 미정계수법보다 더 일반적인 경우에 적용할 수 있으며, 특히 비제차 방정식의 특수해를 구하는 데 유용하다. 매개변수변환법은 1계 및 2계 미분 방정식에 적용될 수 있으며, 2계 미분 방정식의 경우 론스키 행렬식을 사용하여 해를 구한다.

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매개변수변환법
개요
이름	매개변수 변환법
분야	미분 방정식
다른 이름	상수 변화법 매개변수 변화법 상수 계수 선형 미분 방정식의 해법
상세 내용
목적	비제차 선형 미분 방정식의 특수해를 구하는 방법
적용 조건	계수가 상수이거나 변수일 때 모두 적용 가능
기본 아이디어	제차 미분 방정식의 기본 해를 알고 있을 때, 상수 대신 함수의 매개변수를 사용하여 특수해를 구함
장점	일반적인 해를 구하는 데 유용함 계수가 변하는 경우에도 적용 가능
단점	계산이 복잡할 수 있음
수학적 설명
일반적인 형태	y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)
제차해	y_h(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)
특수해	y_p(x) = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x)
u_1'(x) 및 u_2'(x)	u_1'(x) = -y_2(x) f(x) / W(x) u_2'(x) = y_1(x) f(x) / W(x)
W(x)	론스키안 = y_1(x)y_2'(x) - y_2(x)y_1'(x)
활용 예시
진동 시스템	외부 힘이 있는 감쇠 진동
전기 회로	교류 전원이 연결된 RLC 회로

2. 역사

변수 변환법은 스위스 수학자 레온하르트 오일러 (1707–1783)가 처음 고안했고, 이후 이탈리아-프랑스 수학자 조제프루이 라그랑주 (1736–1813)가 완성했다.^[1]

오일러는 1748년 목성과 토성의 상호 섭동을 연구하면서, 1749년 지구 운동 연구에서, 1753년 달 운동 연구에서 이 방법을 사용했다.^[2]^[3]^[4] 라그랑주는 1766년 처음 이 방법을 사용했고,^[5] 1778년부터 1783년까지 두 편의 논문에서,^[6]^[7] 1808년부터 1810년까지 세 번째 논문에서 이 방법을 발전시켰다.^[8]

2. 1. 오일러의 초기 연구 (18세기)

변수 변환법은 스위스 수학자 레온하르트 오일러가 처음 고안했으며, 이후 이탈리아-프랑스 수학자 조제프루이 라그랑주가 완성했다.^[1]

오일러는 1748년 목성과 토성의 상호 섭동을 연구하면서 천체 궤도 요소를 변환하는 방법을 처음 제시했다.^[2] 1749년에는 지구 운동에 대한 연구에서 궤도 요소에 대한 미분 방정식을 얻었고,^[3] 1753년에는 이 방법을 달 운동 연구에 적용했다.^[4]

2. 2. 라그랑주의 발전 (18세기 후반 ~ 19세기 초반)

변수 변환법은 스위스 수학자 레온하르트 오일러가 처음 고안했으며, 이후 이탈리아-프랑스 수학자 조제프루이 라그랑주에 의해 완성되었다.^[1]

라그랑주는 1766년에 이 방법을 처음 사용했다.^[5] 1778년부터 1783년 사이에 그는 두 편의 논문 시리즈에서 이 방법을 더욱 발전시켰는데, 하나는 행성의 운동 변화에 관한 것이었고^[6] 다른 하나는 세 번의 관측으로 혜성의 궤도를 결정하는 것에 관한 것이었다.^[7] 1808년부터 1810년까지 라그랑주는 세 번째 논문 시리즈에서 변수 변환법을 최종 형태로 제시했다.^[8]

3. 방법 설명

매개변수변환법은 비제차 선형 상미분 방정식의 특수해( $y_p(x)$ )를 구하는 방법이다. 이 방법은 미정계수법보다 더 일반적으로 적용 가능하다는 장점이 있다.

''n''차 비제차 선형 미분 방정식은 다음과 같이 표현된다.

: $y^{(n)}(x) + \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x) y^{(i)}(x) = b(x).$

이때, $y_1(x), \ldots, y_n(x)$ 를 해당 동차 방정식의 해의 기저라고 하면, 특수해는 다음과 같이 주어진다.

: $y_p(x) = \sum_{i=1}^{n} c_i(x) y_i(x)$

여기서 $c_i(x)$ 는 다음 조건을 만족하는 미분 가능한 함수이다.

: $\sum_{i=1}^n c_i'(x) y_i^{(j)}(x) = 0, \quad j = 0,\ldots, n-2.$

위 조건들을 이용하여 $c_i'(x)$ 를 구하면 다음과 같다.

: $c_i'(x) = \frac{W_i(x)}{W(x)}, \, \quad i=1,\ldots,n$

여기서 $W(x)$ 는 기저 $y_1(x), \ldots, y_n(x)$ 의 론스키 행렬식이고, $W_i(x)$ 는 $W(x)$ 의 ''i''번째 열을 $(0, 0, \ldots, b(x)).$ 로 대체한 행렬식이다.

따라서 비제차 방정식의 특수해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\sum_{i=1}^n y_i(x) \, \int \frac{W_i(x)}{W(x)}\, \mathrm dx.$
요약매개변수변환법은 미분방정식, 특히 우변 항이 0이 아닌 비제차 방정식의 해를 구하는 방법이다. 미정계수법보다 더 넓은 범위의 문제에 적용할 수 있으며, 해를 구하는 과정에서 론스키 행렬식 개념이 사용된다.

3. 1. 2계 미분 방정식

n

이 2일 때, 특수해

y_{p}\left( x \right)

는 다음과 같이 구할 수 있다.

:

y_{p}\left( x \right)=-y_{1}\int_^{\frac{y_{2}r}{W}dx+y_{2}\int_^{\frac{y_{1}r}{W}dx}}

여기서

y_{1},y_{2}

는 대응하는 제차 상미분 방정식의 해이고,

W

는

y_{1},y_{2}

의 론스키 행렬식이다.

:

W=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'

다음과 같은 2계 비제차 선형 상미분 방정식을 생각해보자.

:

u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)

이 방정식을 풀기 위해 ''D''를 미분 연산자로 하는 선형 미분 작용소

L=D^2+p(x)D+q(x)

를 정의하면, ''L'' 및 ''f''(''x'')가 알려진 상태에서 방정식 ''Lu'' = ''f''를 ''u''에 관해 푸는 문제가 된다.

매개변수변환법을 사용하려면 먼저 대응하는 제차 방정식

:

u''+p(x)u'+q(x)u=0

을 풀어야 한다. 이 방정식은 2계이므로, 선형 독립인 두 해 ''u''₁, ''u''₂를 찾으면 매개변수변환법을 적용할 수 있다.

구하는 미분 방정식의 일반해 ''u''_''G''는 다음과 같은 형태를 가진다.

:

u_G(x)=A(x)u_1(x)+B(x)u_2(x)

여기서 ''A''(''x''), ''B''(''x'')는 미지 함수이고, ''u''₁(''x''), ''u''₂(''x'')는 제차 방정식의 해이다. 만약 ''A''(''x'')와 ''B''(''x'')가 모두 상수라면 ''Lu''_''G'' = 0이 되는 것은 자명하다. ''A'' = ''A''(''x''), ''B'' = ''B''(''x'')는 다음 조건을 만족한다고 가정한다.

:

A'(x)u_1(x)+B'(x)u_2(x)=0

그러면 다음을 얻는다.

:

u_G'(x) = A(x)u_1'(x)+B(x)u_2'(x)

이를 다시 미분하면 다음을 얻는다.

:

u_G''(x) = A(x)u_1''(x)+B(x)u_2''(x)+A'(x)u_1'(x)+B'(x)u_2'(x)

따라서 ''L''의 ''u''_''G''에 대한 작용은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

Lu_G = A(x)Lu_1(x)+B(x)Lu_2(x)+A'(x)u_1'(x)+B'(x)u_2'(x)

''u''₁과 ''u''₂는 제차 방정식의 해이므로, 다음을 얻는다.

:

Lu_G(= f) = A'(x)u_1'(x)+B'(x)u_2'(x)

이제 다음 연립 방정식을 얻는다.

:

\begin{pmatrix}u_1(x) & u_2(x)\\u_1'(x) & u_2'(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}

이것을 ''A''′, ''B''′에 대해 풀면 ''A''(''x''), ''B''(''x'')를 구할 수 있다.

:

\begin{pmatrix}A'(x) \\B'(x)\end{pmatrix}={1\over W}\begin{pmatrix}u_2'(x)  & -u_2(x) \\

u_1'(x) & u_1(x) \end{pmatrix}

\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}

여기서 ''W''는 ''u''₁과 ''u''₂의 론스키 행렬식이다. ''u''₁과 ''u''₂가 선형 독립이라는 가정 하에 ''W''는 0이 아니다. 따라서 다음을 얻는다.

:

A(x) = - \int {1\over W}\, u_2(x) f(x)\,dx,\quad B(x) = \int {1 \over W}\, u_1(x)f(x)\,dx

제차 방정식이 비교적 쉽게 풀리는 경우, 이 방법을 통해 비제차 방정식의 일반해의 계수를 계산할 수 있고, 비제차 방정식의 완전한 일반해를 결정할 수 있다.

''A''(''x'')와 ''B''(''x'')는 모두 임의 상수(적분 상수)를 제외하고 결정된다. 원래의 방정식이 2계였으므로, 적분 상수가 2개 나오는 것은 예상된 결과이다. ''A''(''x'') 또는 ''B''(''x'')에 상수를 더해도, ''L''은 선형이므로, ''Lu''_''G''(''x'')의 값은 변하지 않는다.

4. 직관적 설명

적절한 단위를 사용한 강제 비분산 스프링의 방정식을 생각해 보자.

: $x''(t) + x(t) = F(t).$

여기서 $x$ 는 평형점 $x = 0$ 으로부터 스프링의 변위이고, $F(t)$ 는 시간에 따라 달라지는 외부에서 가해지는 힘이다. 외부 힘이 0일 때, 이것은 균일 방정식(해는 사인과 코사인의 선형 조합이며, 이는 스프링이 일정한 총 에너지로 진동하는 것에 해당한다)이다.

다음과 같이 물리적으로 해를 구성할 수 있다. 시간 $t=s$ 와 $t=s+ds$ 사이에서, 해에 해당하는 운동량은 순 변화량 $F(s)\,ds$ 를 갖는다(참고: 충격량 (물리학)). 비균일 방정식의 해는 현재 시간 $t > 0$ 에서, 이 방식으로 얻은 해들을 $s$ 가 0과 $t$ 사이에서 선형적으로 중첩하여 얻어진다.

시간 $t=s$ 에서 해에 작은 충격량 $F(s)\,ds$ 가 추가되는 것을 나타내는 균일 초기값 문제는 다음과 같다.

: $x''(t)+x(t)=0,\quad x(s)=0,\ x'(s)=F(s)\,ds.$

이 문제에 대한 유일한 해는 $x(t) = F(s)\sin(t-s)\,ds$ 임이 쉽게 확인된다. 이러한 모든 해들의 선형 중첩은 적분으로 주어진다.

: $x(t) = \int_0^t F(s)\sin(t-s)\,ds.$

이것이 필요한 방정식을 만족하는지 확인하기 위해:

: $x'(t)=\int_0^t F(s)\cos(t-s)\,ds$

: $x''(t) = F(t) - \int_0^tF(s)\sin(t-s)\,ds = F(t)-x(t),$

필요에 따라(참고: 라이프니츠 적분 법칙).

매개변수 변동의 일반적인 방법은 비균일 선형 방정식

: $Lx(t)=F(t)$

을 2차 선형 미분 연산자 $L$ 을 순 힘으로 간주하여 풀 수 있게 하며, 따라서 시간 $s$ 와 $s+ds$ 사이에서 해에 가해지는 총 충격량은 $F(s)ds$ 이다. $x_s$ 를 균일 초기값 문제의 해로 나타낸다.

: $Lx(t)=0, \quad x(s)=0,\ x'(s)=F (s)\,ds.$

그러면 비균일 방정식의 특수해는

: $x (t)=\int_0^t x_s (t)\,ds,$

무한소 균일 해를 선형적으로 중첩한 결과이다. 고차 선형 미분 연산자로의 일반화가 있다.

실제로 매개변수 변동은 일반적으로 균일 문제의 기본 해를 포함하며, 무한소 해 $x_s$ 는 선형적으로 독립적인 기본 해의 명시적인 선형 조합으로 주어진다. 강제 비분산 스프링의 경우, 커널 $\sin(t-s)=\sin t\cos s - \sin s\cos t$ 는 기본 해로의 관련된 분해이다.

5. 예제

매개변수변환법을 사용한 미분 방정식의 예시는 다음과 같다.

=== 1계 미분 방정식 ===

$y' + p(x)y = q(x)$ 형태의 미분 방정식에서, 보조해는 동차 방정식 $y' + p(x)y = 0$ 의 일반해이다. 이 방정식은 변수분리법 등으로 풀 수 있다. 그 결과 보조해는 $y_c = C_0 e^{-\int p(x) \, dx}$ 와 같다.

매개변수변환법을 이용해 특수해 $y_p$ 를 구하면, $y_p = C(x) e^{-\int p(x) \, dx}$ 형태로 나타낼 수 있다. 이를 원래 비동차 방정식에 대입하면 $C(x) =\int q(x) e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C_1$ 를 얻는다. 여기서 $C_1=0$ 으로 두면, 특수해는 $y_p =e^{-\int p(x) \, dx} \int q(x) e^{\int p(x) \, dx} \, dx$ 가 된다.

따라서 미분 방정식의 최종 해는 $y = y_c + y_p = C_0 e^{-\int p(x) \, dx} + e^{-\int p(x) \, dx} \int q(x) e^{\int p(x) \, dx} \, dx$ 이며, 이는 적분 인자 방법을 통해 얻은 해와 같다.

=== 2계 미분 방정식 ===

$y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)$ 형태의 2계 미분 방정식에서, 특수해 $y_p(x)$ 는 다음과 같이 구할 수 있다.

: $y_{p}\left( x \right)=-y_{1}\int_^{\frac{y_{2}r}{W}dx+y_{2}\int_^{\frac{y_{1}r}{W}dx}}$

여기서 $y_1$ , $y_2$ 는 대응하는 제차 상미분 방정식의 해이고, $W$ 는 $y_1$ , $y_2$ 의 론스키 행렬식 ( $W=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'$ )이다.

예를 들어, $y''+4y'+4y = \cosh x$ 의 경우, 동차 미분 방정식 $y''+4y'+4y=0$ 의 해는 특성 방정식 $\lambda^2+4\lambda+4=(\lambda+2)^2=0$ 을 통해 구할 수 있다. $\lambda=-2$ (중근) 이므로, $u_1 = e^{-2x}$ 와 $u_2 =x e^{-2x}$ 가 선형 독립인 두 해가 된다. 이들의 론스키안은 $W= e^{-4x}$ 이다.

따라서 비동차 방정식의 특수해는 $A(x) = - \int {1\over W} u_2(x) b(x)\,\mathrm dx$ , $B(x) = \int {1 \over W} u_1(x)b(x)\,\mathrm dx$ ( $b(x) = \cosh x$ ) 를 통해 구할 수 있다. 계산 결과, $A(x) = -{1\over 18}e^x\left(9(x-1)+e^{2x}(3x-1)\right)+C_1$ , $B(x) = {1\over 6}e^x\left(3+e^{2x}\right)+C_2$ 를 얻는다.

5. 1. 1계 미분 방정식

:

y' + p(x)y = q(x)

원래의 (비동차) 방정식에 대한 보조해는 해당 동차 방정식의 일반해이며, 아래와 같이 나타낼 수 있다.

:

y' + p(x)y = 0

이 동차 미분 방정식은 다양한 방법으로 풀 수 있으며, 예를 들어 변수 분리법이 있다.

:

\frac{d}{dx} y + p(x)y = 0

:

\frac{dy}{dx}=-p(x)y

:

{dy \over y} = -{p(x)\,dx},

:

\int \frac{1}{ y} \, dy = -\int p(x) \, dx

:

\ln |y| = -\int p(x) \, dx + C

:

y = \pm e^{-\int p(x) \, dx +C } = C_0 e^{-\int p(x) \, dx}

따라서 원래 방정식에 대한 보조해는 다음과 같다.

:

y_c = C_0 e^{-\int p(x) \, dx}

이제 비동차 방정식을 푸는 것으로 돌아간다.

:

y' + p(x)y = q(x)

매개변수 변환법을 사용하여, 특수해는 보조해에 미지의 함수 ''C''(''x'')를 곱하여 구성한다.

:

y_p = C(x) e^{-\int p(x) \, dx}

특수해를 비동차 방정식에 대입하여 ''C''(''x'')를 찾을 수 있다.

:

C' (x) e^{-\int p(x) \, dx} - C(x) p(x) e^{-\int p(x) \, dx} + p(x) C(x) e^{-\int p(x) \, dx} = q(x)

:

C' (x) e^{-\int p(x) \, dx} = q(x)

:

C' (x) = q(x) e^{\int p(x) \, dx}

:

C(x) =\int q(x) e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C_1

단일 특수해만 필요하므로 편의상

C_1=0

을 임의로 선택한다. 따라서 특수해는 다음과 같다.

:

y_p =e^{-\int p(x) \, dx} \int q(x) e^{\int p(x) \, dx} \, dx

미분 방정식의 최종 해는 다음과 같다.

:

y = y_c + y_p\\=C_0 e^{-\int p(x) \, dx} + e^{-\int p(x) \, dx} \int q(x) e^{\int p(x) \, dx} \, dx

이것은 적분 인자 방법을 다시 생성한다.

5. 2. 2계 미분 방정식

n

이 2일 때,

y_{p}\left( x \right)

를 구하는 방법은 다음과 같다.

:

y_{p}\left( x \right)=-y_{1}\int_^{\frac{y_{2}r}{W}dx+y_{2}\int_^{\frac{y_{1}r}{W}dx}}

여기서

y_{1},y_{2}

는 대응하는 제차 상미분 방정식의 해이고,

W

는

y_{1},y_{2}

의 론스키 행렬식이다.

:

W=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'

다음 방정식을 풀어보자.

:

y''+4y'+4y = \cosh x

미분 방정식의 일반 해를 구하기 위해, 동차 미분 방정식의 해를 구하면 다음과 같다.

:

y''+4y'+4y=0.

특성 방정식은 다음과 같다.

:

\lambda^2+4\lambda+4=(\lambda+2)^2=0

\lambda=-2

가 중근이므로, 선형 독립성을 보장하기 위해 하나의 해에 ''x'' 인수를 도입해야 한다:

u_1 = e^{-2x}

및

u_2 =x e^{-2x}

. 이 두 함수의 론스키안은 다음과 같다.

:

W=\begin{vmatrix}e^{-2x} & xe^{-2x} \\

2e^{-2x} & -e^{-2x}(2x-1)\\

\end{vmatrix} = -e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x} = e^{-4x}.

론스키안이 0이 아니므로, 두 함수는 선형 독립적이며, 이는 실제로 동차 미분 방정식의 일반 해이다.

''A''(''x'')''u''₁ + ''B''(''x'')''u''₂는 비동차 방정식의 특수해를 구하기 위해, 다음 적분만 계산하면 된다.

:

A(x) = - \int {1\over W} u_2(x) b(x)\,\mathrm dx,\; B(x) = \int {1 \over W} u_1(x)b(x)\,\mathrm dx

이 예에서,

:

b(x) = \cosh x

즉,

:

A(x) = - \int {1\over e^{-4x}} xe^{-2x} \cosh x \,\mathrm dx = - \int xe^{2x}\cosh x \,\mathrm dx = -{1\over 18}e^x\left(9(x-1)+e^{2x}(3x-1)\right)+C_1

:

B(x) = \int {1 \over e^{-4x}} e^{-2x} \cosh x \,\mathrm dx = \int e^{2x}\cosh x\,\mathrm dx ={1\over 6}e^x\left(3+e^{2x}\right)+C_2

여기서

C_1

과

C_2

는 적분 상수이다.

참조

_[1] 서적 An Introduction to Celestial Mechanics https://books.google[...] Dover Publications, Inc. 1914
_[2] 간행물 The theory of perturbations and Lie's theory of contact transformations, https://books.google[...] 1899
_[3] 서적 Recherches sur la question des inégalités du mouvement de Saturne et de Jupiter, sujet proposé pour le prix de l'année 1748, par l’Académie Royale des Sciences de Paris https://books.google[...] G. Martin, J.B. Coignard, & H.L. Guerin 1748
_[4] 간행물 Recherches sur la précession des équinoxes, et sur la nutation de l’axe de la terre, https://books.google[...] Berlin 1749
_[5] 서적 Theoria motus lunae: exhibens omnes ejus inaequalitates ... https://archive.org/[...] Academia Imperialis Scientiarum Petropolitanae 1753
_[6] 간행물 Solution de différens problèmes du calcul integral, https://books.google[...] 1766
_[7] 간행물 Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Premiere partie, ... , https://books.google[...] Berlin 1781
_[8] 간행물 Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Seconde partie, ... , https://books.google[...] Berlin 1782
_[9] 간행물 Théorie des variations périodiques des mouvemens des Planetes. Premiere partie, ... , https://books.google[...] Berlin 1783
_[10] 간행물 Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations, premier mémoire https://books.google[...] Berlin 1778
_[11] 간행물 Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations, second mémoire https://books.google[...] Berlin 1778
_[12] 간행물 Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observations. Troisième mémoire, dans lequel on donne une solution directe et générale du problème. http://gallica.bnf.f[...] Berlin 1783
_[13] 간행물 Sur la théorie des variations des éléments des planètes et en particulier des variations des grands axes de leurs orbites, http://gallica.bnf.f[...] Gauthier-Villars 1808
_[14] 간행물 Sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique, http://gallica.bnf.f[...] Gauthier-Villars 1809
_[15] 간행물 Second mémoire sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique, ... , http://gallica.bnf.f[...] Gauthier-Villars 1810

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