변수분리법

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1. 개요
2. 상미분 방정식
3. 편미분 방정식
4. 적용 가능성
- 4.1. 편미분 방정식
참조

1. 개요

변수분리법은 미분 방정식을 푸는 방법으로, 상미분 방정식과 편미분 방정식에 모두 적용될 수 있다. 상미분 방정식의 경우, 방정식을 변수 분리 가능한 형태로 변형하여 각 변수를 등호의 다른 쪽에 위치시킨 후 적분을 통해 해를 구한다. 편미분 방정식의 경우, 해를 변수들의 곱 또는 합으로 가정하고, 이를 통해 상미분 방정식으로 분리하여 풀 수 있다. 열 방정식, 파동 방정식, 라플라스 방정식 등 다양한 편미분 방정식을 푸는 데 활용되며, 방정식의 대칭성에 따라 적용 가능성이 달라진다. 스펙트럼 정리는 변수분리법이 모든 해를 찾도록 보장한다.

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변수분리법

2. 상미분 방정식

상미분 방정식은 $\frac{d}{dx} f(x) = g(x)h(f(x))$ 와 같은 꼴로 나타낼 수 있는 미분 방정식이다. 여기서 $y = f(x)$ 로 놓으면, 식은 $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$ 로 더 간단해진다. ''h''(''y'') ≠ 0 일 때, 양변을 ''h''(''y'')로 나누면 ${dy \over h(y)} = {g(x)dx}$ 와 같이 변수를 분리할 수 있다. 이처럼 변수 ''x''와 ''y''가 등호 양쪽에 분리된 형태를 변수분리되었다고 한다.

변수분리된 식의 양변을 적분하면, $\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx$ 와 같이 표현할 수 있다. 이 적분을 계산하면 미분 방정식의 해를 구할 수 있다. 이 과정에서 $\frac{dy}{dx}$ 를 분수처럼 취급하여 변수를 분리하는 것이 핵심이다.

방정식 양변을 적분할 때, 두 개의 적분 상수를 사용할 필요 없이, 하나의 상수 $C$ 로 표현할 수 있다.

2. 1. 변수분리법

상미분 방정식이 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있을 때 변수분리가 가능하다.

:

\frac{d}{dx} f(x) = g(x)h(f(x))

y = f(x)

로 치환하면,

:

\frac{dy}{dx}=g(x)h(y).

''h''(''y'') ≠ 0 일 때, 양변을 ''h''(''y'')로 나누고, ''dx''를 곱하면 다음과 같은 변수분리된 형태를 얻는다.

:

{dy \over h(y)} = {g(x)dx}

이렇게 했을 때, ''x'' 와 ''y'' 가 각 등호의 한쪽 편에만 나타난 모양을 변수분리되었다고 한다.

이를 좀 더 잘 보이기 위해 양변을

x

에 대해 적분하면,

:

\int \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx

라는 방정식을 얻을 수 있으며, 이를 치환적분을 통해 다른 방식으로 나타내면

:

\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx

꼴로, "변수분리"의 뜻이 명확한 표현을 얻을 수 있다.

이 양변의 적분을 할 수 있으면 방정식의 해를 얻게 되는 것이다. 이때

\frac{dy}{dx}

를 일반 분수처럼 써서

dx

,

dy

를 옮긴 것과 같은 모양을 얻을 수 있다는 것에 주목할 수 있다.

(양변의 적분에서 두 개의 적분 상수를 사용할 필요는 없다.

:

\int \frac{1}{h(y)} \, dy + C_1 = \int g(x) \, dx + C_2,

단일 상수

C = C_2 - C_1

으로 동일하기 때문이다.)

2. 2. 다른 표기법

`

dx

`, `

dy

`라는 표현이 익숙하지 않은 경우, 다음과 같이 방정식을 나타낼 수 있다.

:

\frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x),

그러나 이 표기법은 "변수분리"라는 이름이 붙은 이유를 명확하게 보여주지 않는다.

이러한 의미를 더 잘 이해하기 위해, 양변을 `

x

`에 대해 적분하고 치환적분을 적용하면 다음과 같은 식을 얻는다.

:

\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx

이 과정을 통해 변수분리의 의미가 더 명확해진다. 즉, 양변의 적분을 계산하면 방정식의 해를 구할 수 있고, 이 과정에서

\frac{dy}{dx}

를 마치 분수처럼 다루어 `

dx

`와 `

dy

`를 분리하는 것과 같은 효과를 얻는다.^[1]

2. 3. 예제: 로지스틱 방정식

개체수 증가는 종종 로지스틱 미분 방정식으로 모델링된다.

:

\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)

여기서

P

는 시간

t

에 따른 개체수,

k

는 성장률,

K

는 환경의 수용 능력이다. 변수 분리를 하면 다음과 같다.

:

\begin{align}& \int\frac{dP}{P\left(1-P/K \right)}=\int k\,dt\end{align}

이는 좌변에 부분 분수를 사용하여 쉽게 적분되며 다음과 같다.

:

P(t)=\frac{K}{1+Ae^{-kt}}

여기서

A

는 적분 상수이다.

t=0

에서

P\left(0\right)=P_0

의 관점에서

A

를 찾을 수 있다.

e^0=1

임을 확인하면 다음을 얻는다.

:

A=\frac{K-P_0}{P_0}.

상미분 방정식

:

\frac{df(x)}{dx} = f(x)\,(1-f(x))

은 더 간단하게

:

\frac{dy}{dx} = y(1-y)

로 쓸 수 있는데, 여기서 ''g'' (''x'' ) = 1, ''h'' (''y'' ) = ''y'' (1-''y'' ) 라고 하면, 이 미분 방정식은 변수분리가 가능하다.

위의 설명에 따라 ''dy'' 와 ''dx'' 를 분리하여 취급할 수 있다. 즉, 양변에 ''dx'' 를 곱하고, 양변을 ''y'' (1-''y'' )로 나누면

:

\frac{dy}{y(1-y)} = dx

가 된다. 이렇게 하여 ''x'' 와 ''y'' 를 분리할 수 있었다. 즉, ''x'' 는 우변에만 있고, ''y'' 는 좌변에만 있는 상태가 되었다.

양변을 적분하면

:

\int \frac{dy}{y(1-y)} = \int dx

가 된다. 이것을 부분 분수 분해하면

:

\int \left( \frac{1}{y} + \frac{1}{1-y} \right) dy = \int dx

이고, 적분을 계산하면

:

\log{y}-\log(1-y)=x+C

가 된다. 여기서 ''C'' 는 적분 상수이다. 약간의 계산으로 ''y'' 에 대해 풀면

:

y = \frac{1}{1 + Be^{-x}}

가 된다. ''B'' 는 임의의 상수이다. 이 해를 ''x'' 로 미분하면 이 해가 옳다는 것을 확인할 수 있다. 그 결과는 원래의 미분 방정식과 일치해야 한다.

그런데, 양변을 ''y'' (1-''y'' )로 나눌 때, ''y'' (''x'' ) = 0 나 ''y'' (''x'' ) = 1 이 미분 방정식의 해가 되는지 검토할 필요가 있다. 그러한 해는 특이해가 될 수 있다.

2. 4. n계 상미분 방정식으로의 일반화

변수분리법은 1계 상미분 방정식뿐만 아니라, 2계, 3계, 또는 n계 상미분 방정식에도 적용될 수 있다. n계 분리 가능 상미분 방정식은 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.^[6]

:

\frac{d^ny}{dx^n}=f\!\left(y^{(n-1)}\right)g(x)

3. 편미분 방정식

편미분 방정식을 풀 때, 여러 변수를 포함하는 경우 해가 각 변수에 대한 함수의 곱 또는 합으로 표현될 수 있다면 변수분리법을 적용할 수 있다.

''n''개의 변수에 대한 함수 F가 다음과 같은 꼴로 주어졌다고 하자.

: $F(x_1,x_2,\dots,x_n)$

이 함수에 대한 편미분 방정식을 풀 때, 다음과 같은 형태의 해가 있는지 시도해 볼 수 있다.^[1]

: $F = F_1(x_1) \cdot F_2(x_2) \cdots F_n(x_n)$

또는

: $F = f_1(x_1) + f_2(x_2) + \cdots + f_n(x_n)$

이러한 형태로 해를 가정하면, 편미분 방정식을 상미분 방정식의 묶음으로 표현할 수 있으며, 이 과정에서 '''변수분리상수'''가 도입된다. 이 방법으로 풀 수 있는 방정식을 변수분리 가능한 편미분 방정식이라고 한다.

변수분리법은 열 방정식, 파동 방정식, 라플라스 방정식, 헬름홀츠 방정식 및 쌍조화 방정식과 같이 경계 조건 및 초기 조건을 갖는 다양한 선형 편미분 방정식을 푸는 데 사용된다.^[1]

편미분 방정식을 풀기 위한 변수분리법은 해석적 방법이며, 이는 편미분 방정식 시스템을 푸는 데 사용할 수 있는 불변 구조 분해의 계산 방법으로 일반화될 수 있다.^[1]

3. 1. 변수분리법의 적용

''n''개의 변수를 갖는 함수 F에 대한 편미분 방정식을 풀 때, 해를 다음과 같은 형태로 가정한다.

:

F = F_1(x_1) \cdot F_2(x_2) \cdots F_n(x_n)

또는

:

F = f_1(x_1) + f_2(x_2) + \cdots + f_n(x_n)

이 가정을 통해 편미분 방정식을 상미분 방정식의 묶음으로 변환할 수 있으며, '''변수분리상수'''라는 것이 도입될 수 있다.^[1] 이 방법으로 풀 수 있는 방정식을 변수분리 가능한 편미분방정식이라고 한다.

예를 들어 미지 함수 '''F''' (''x'', ''y'', ''z'' )와, 이것이 만족하는 편미분 방정식

:

\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}+ \frac{\partial F}{\partial z}  =  0    \qquad\qquad (1)

을 생각해보자.

함수 '''F''' (''x'', ''y'', ''z'' )가

:

F(x,y,z) = X(x) + Y(y) + Z(z)    \qquad\qquad (2)

의 형태로 쓸 수 있다고 가정하면, (1)식은

:

\frac{dX}{dx} + \frac{dY}{dy} + \frac{dZ}{dz}  =  0

이 된다.

여기서 각 항은 상수가 되므로,

:

\frac{dX}{dx} = c_1, \quad\frac{dY}{dy} = c_2, \quad\frac{dZ}{dz} = c_3  \qquad\qquad (3)

와 같이 표현할 수 있다.

상수 ''c''₁, ''c''₂, ''c''₃ 는

:

c_1 + c_2 + c_3 = 0    \qquad\qquad (4)

을 만족한다.

(3) 식은 3개의 상미분 방정식의 집합이다. 이 경우, 각각의 미분 방정식은 단순히 적분하는 것만으로 해를 구할 수 있으며, 답은

:

F(x,y,z) = c_1 x + c_2 y + c_3 z + c_4    \qquad\qquad (5)

이 된다. 적분 상수 ''c''₄ 는 초기 조건에 의해 정해진다.

3. 2. 예제: 열 방정식

1차원 열 방정식은 변수분리법으로 풀 수 있는 대표적인 편미분 방정식이다. 방정식은 다음과 같다.^[1]

:

\frac{\partial u}{\partial t} - \alpha\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = 0

변수 ''u''는 온도를 나타낸다. 경계 조건은 균질하며, 즉 다음과 같다.^[1]

:

u\big|_{x=0}=u\big|_{x=L}=0

이 경계 조건을 만족하는 해를 다음과 같이 가정한다.^[1]

:

u(x,t) = X(x) T(t).

이를 열 방정식에 대입하고 곱 규칙을 사용하면, 다음과 같은 식을 얻는다.^[1]

:

\frac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}.

좌변은 ''t''에만, 우변은 ''x''에만 의존하므로, 양변은 어떤 상수 값(

-\lambda

)과 같아야 한다. 따라서 다음과 같은 두 상미분 방정식을 얻는다.^[1]

:

T'(t) = - \lambda \alpha T(t),

:

X''(x) = - \lambda X(x).

여기서 −''λ''는 두 미분 연산자에 대한 고유값이며, ''T''(''t'')와 ''X''(''x'')는 해당 고유함수이다.^[1]

''λ'' ≤ 0인 경우 ''X''(''x'')의 해가 발생할 수 없다. ''λ'' < 0이면, ''X''(''x'')는 지수 함수 형태가 되어 경계 조건을 만족시킬 수 없다. ''λ'' = 0이면, ''X''(''x'')는 선형 함수 형태가 되는데, 역시 경계 조건을 만족시키지 못한다. 따라서 ''λ'' > 0이어야 한다.^[1]

''λ'' > 0인 경우, ''X''(''x'')는 삼각 함수 형태가 되며, 경계 조건을 만족시키기 위해 다음과 같은 조건을 만족해야 한다.^[1]

:

\sqrt{\lambda} = n \frac{\pi}{L}

(단, ''n''은 양의 정수)

일반적으로, 경계 조건을 만족하는 열 방정식의 해는 다음과 같이 무한급수로 나타낼 수 있다.^[1]

:

u(x,t) = \sum_{n = 1}^{\infty} D_n \sin \frac{n\pi x}{L} \exp\left(-\frac{n^2 \pi^2 \alpha t}{L^2}\right),

여기서 ''D''_''n''는 초기 조건에 의해 결정되는 계수이다. 초기 조건 (

u\big|_{t=0}=f(x)

)이 주어지면, 다음과 같이 ''D''_''n''을 구할 수 있다.^[1]

:

D_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} \, dx.

이것은 사인 급수로 전개된 ''f''(''x'')이며, 푸리에 분석을 통해 계수를 구한다. 이 방법은 고유 함수 ''X''가 직교하고 완전해야 한다는 조건이 필요한데, 이는 Sturm–Liouville 이론에 의해 보장된다.^[1]

3. 3. 비동차 방정식 및 혼합 도함수

비동차 열 방정식이나 혼합 도함수를 포함하는 방정식의 경우에도 변수분리법을 적용할 수 있는 경우가 있다.

방정식이 비동차인 경우를 생각해보자.

:

\frac{\partial u}{\partial t}-\alpha\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=h(x,t)

경계 조건은 이전과 같다.

이 경우, 먼저 동차 방정식의 해를 구하고, 비동차 항에 대한 특수해를 구하여 더하는 방식으로 해를 구한다. ''h''(''x,t''), ''u''(''x'',''t'') 및 초기조건

f(x)

를 다음과 같이 전개한다.

:

h(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}h_{n}(t)\sin\frac{n\pi x}{L},

:

u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(t)\sin\frac{n\pi x}{L},

:

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin\frac{n\pi x}{L},

여기서 ''h''_''n''(''t'')과 ''b''_''n''은 적분을 통해 계산할 수 있으며, ''u''_''n''(''t'')는 결정해야 한다. 위의 식을 대입하고 사인 함수의 직교성을 고려하면,

:

u'_{n}(t)+\alpha\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}u_{n}(t)=h_{n}(t),

일련의 선형 미분 방정식을 얻게 되는데, 이는 라플라스 변환이나 적분 인자로 쉽게 풀 수 있다. 마지막으로, 다음을 얻을 수 있다.

:

u_{n}(t)=e^{-\alpha\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}} t} \left (b_{n}+\int_{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}} s} \, ds \right).

만약 경계 조건이 비동차라면, 위의 전개는 더 이상 유효하지 않다. 경계 조건만 만족하는 함수 ''v''를 찾아 ''u''에서 빼야 한다. 그러면 함수 ''u-v''는 동차 경계 조건을 만족하며, 위 방법을 사용하여 풀 수 있다.

혼합 도함수가 포함된 방정식 (예: 쌍조화 방정식)의 경우, 변수분리 가정을 통해 얻은 방정식을 변형하여 변수분리가 가능한 형태로 만들 수 있다. 2차원 쌍조화 방정식을 고려해 보자.

:

\frac{\partial^4 u}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4 u}{\partial x^2\partial y^2} + \frac{\partial^4 u}{\partial y^4} = 0.

이 방정식의 해를 다음과 같은 형태로 표현한다.

:

u(x,y) = X(x)Y(y)

그러면 다음 방정식을 얻는다.

:

\frac{X^{(4)}(x)}{X(x)} + 2\frac{X''(x)}{X(x)}\frac{Y''(y)}{Y(y)} + \frac{Y^{(4)}(y)}{Y(y)} = 0.

이 방정식을 다음과 같은 형태로 작성한다.

:

E(x) + F(x)G(y) + H(y) = 0,

이 식을

x

에 대해 미분하면

E'(x)+F'(x)G(y)=0

이 되며, 이는

G(y)=const.

또는

F'(x)=0

을 의미하고, 마찬가지로

y

에 대해 미분하면

F(x)G'(y)+H'(y)=0

이 되어

F(x)=const.

또는

G'(y)=0

이 되므로, ''F''(''x'') 또는 ''G''(''y'')는 상수, 즉 −λ여야 한다. 이는 추가적으로

-E(x)=F(x)G(y)+H(y)

또는

-H(y)=E(x)+F(x)G(y)

가 상수임을 의미한다. ''X''와 ''Y''에 대한 방정식으로 돌아가면 두 가지 경우가 있다.

:

\begin{align}X''(x) &= -\lambda_1X(x) \\X^{(4)}(x) &= \mu_1X(x) \\Y^{(4)}(y) - 2\lambda_1Y''(y) &= -\mu_1Y(y)\end{align}

그리고

:

\begin{align}Y''(y) &= -\lambda_2Y(y) \\Y^{(4)}(y) &= \mu_2Y(y) \\X^{(4)}(x) - 2\lambda_2X''(x) &= -\mu_2X(x)\end{align}

각각

\lambda_i<0, \lambda_i=0, \lambda_i>0

에 대한 개별 경우를 고려하고

\mu_i=\lambda_i^2

임을 알아차림으로써 풀 수 있다.

3. 4. 곡선 좌표계

직교 곡선 좌표계에서 변수분리법은 여전히 사용될 수 있지만, 몇 가지 세부 사항에서 데카르트 좌표계와는 다르다. 예를 들어, 정규성 또는 주기적 조건은 경계 조건 대신 고유값을 결정할 수 있다. 구면 조화 함수를 참조.^[1]

4. 적용 가능성

변수 분리법은 열 방정식, 파동 방정식, 라플라스 방정식, 헬름홀츠 방정식, 양하모닉 방정식 등과 같은 경계 조건 및 초기 조건을 갖는 광범위한 선형 편미분 방정식을 푸는 데 사용된다.^[1]

편미분 방정식을 풀기 위한 변수 분리법의 해석적 방법은 편미분 방정식 시스템을 푸는 데 사용할 수 있는 불변 구조 분해의 계산 방법으로 일반화되었다.^[1]

4. 1. 편미분 방정식

변수 분리법은 열 방정식, 파동 방정식, 라플라스 방정식, 헬름홀츠 방정식, 양하모닉 방정식과 같은 경계 조건 및 초기 조건을 갖는 광범위한 선형 편미분 방정식을 푸는 데 사용된다.^[1]

파동 방정식, 헬름홀츠 방정식, 슈뢰딩거 방정식 등 많은 편미분 방정식에서 변수 분리법을 적용할 수 있는지는 스펙트럼 정리의 결과에 달려있다. 어떤 경우에는 변수 분리가 불가능할 수 있다. 변수 분리는 어떤 좌표계에서는 가능하지만 다른 좌표계에서는 불가능할 수 있으며,^[2] 어떤 좌표계에서 분리가 가능한지는 방정식의 대칭성에 따라 달라진다.^[3]

편미분 방정식을 풀기 위한 변수 분리법의 해석적 방법은 편미분 방정식 시스템을 푸는 데 사용할 수 있는 불변 구조 분해의 계산 방법으로 일반화되었다.^[1]

참조

_[1] 서적 Harmonic Wave Systems: Partial Differential Equations of the Helmholtz Decomposition https://books.google[...] Scientific Research Publishing, Inc. USA 2017-12-15
_[2] 문서 Separation of variables
_[3] 서적 Symmetry and Separation of Variables Cambridge University Press 1984
_[4] 서적 Music: A Mathematical Offering Cambridge University Press 2007
_[5] 웹사이트 Symbolic algebra and Mathematics with Xcas http://www-fourier.u[...]
_[6] 서적 常微分方程式80余例とその厳密解近代文芸社 2005
_[7] 웹사이트 常微分方程式80余例と求積法による解法 https://researchmap.[...] researchmap 2020-06-29

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