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몫 규칙

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목차

1. 개요

몫 규칙은 두 함수의 몫의 도함수를 구하는 미분법의 기본 규칙이다. 두 함수 f와 g가 x0에서 미분 가능하고 g(x0) ≠ 0일 때, 몫 f(x)/g(x)도 x = x0에서 미분 가능하며, 그 도함수는 (f'(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0)) / g(x0)^2으로 주어진다. 몫 규칙은 다양한 방법으로 증명될 수 있으며, 곱의 미분법, 연쇄 법칙, 뉴턴의 차분몫, 음함수 미분법, 로그 미분법 등을 활용한다.

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몫 규칙
개요
이름몫의 미분법
분야미적분학
대상함수
종류미분
정의
설명두 함수의 몫에 대한 미분 규칙
공식(f/g)' = (f'g - fg')/g^2
조건g(x) ≠ 0

2. 정의

두 함수 f, g가 x_0에서 미분 가능하고, g(x_0) \ne 0이면, 몫 \frac{f}{g} 역시 x_0에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

:\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = \frac{f'(x_0)g(x_0) - f(x_0)g'(x_0)}{g(x_0)^2}

선형 근사 d(-)를 사용하여 표기하면 다음과 같다.

:\left.d\left(\frac{f}{g}\right)\right|_{x=x_0} = \left.\frac{gdf - fdg}{g^2}\right|_{x=x_0}

g, h가 모두 미분 가능하고 h(x) \ne 0이며 f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}이면, 몫 f의 미분은 다음과 같다.

:f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

3. 예

몫의 법칙을 활용하여 여러 함수들의 미분값을 구하는 예시들은 다음과 같다.


  • \frac{(4x - 2)}{(x^2 + 1)}의 미분
  • \sin(x)/x^2의 미분 (x \ne 0 일 때)
  • f(x) = \frac{2x^2}{x^3}를 미분
  • tan x의 미분

3. 1. 기본적인 예제

\frac{(4x - 2)}{(x^2 + 1)}의 미분은 다음과 같다.

:\begin {aligned} \frac{d}{dx} \frac{4x - 2}{x^2 + 1} & = \frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \\ & =\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2} \\ & =\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}\end {aligned}

위의 예제에서는 g(x) = 4x - 2, h(x) = x^2 + 1로 지정했다.

\sin(x)/x^2의 미분 (x \ne 0 일 때)은 다음과 같다.

:

\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}



f(x) = \frac{2x^2}{x^3}를 미분할 경우, g(x) = 2x^2이고 h(x) = x^3이며, g'(x) = 4x이고 h'(x) = 3x^2이므로, 다음과 같다.

:\begin {aligned}

f'(x) & = \frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2}

\\ & = \frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}

\\ & = \frac{-2x^4}{x^6}

\\ & = -\frac{2}{x^2}\end {aligned}

3. 2. 탄젠트 함수의 미분

몫의 미분법을 사용하여 탄젠트 함수 \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}의 도함수를 다음과 같이 구할 수 있다.

\begin{align}

\frac{d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \\

&= \frac{\left(\frac{d}{dx}\sin x\right)(\cos x) - (\sin x)\left(\frac{d}{dx}\cos x\right)}{\cos^2 x} \\

&= \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} \\

&= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\

&= \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.

\end{align}

3. 3. 역수 규칙

역수 규칙은 분자가 f(x)=1인 몫 규칙의 특수한 경우이다. 몫 규칙을 적용하면 다음과 같다.

h'(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right]=\frac{0 \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{g(x)^2}=\frac{-g'(x)}{g(x)^2}.

연쇄 법칙을 이용하면 동일한 결과를 얻을 수 있다.

4. 증명

두 함수 f, g\colon I\to\mathbb R가 x_0\in I\subseteq\mathbb R에서 미분 가능하고, g(x_0)\ne0이면, f/g 역시 x_0에서 미분 가능하다. 그 미분은 다음과 같다.

:\left(\frac fg\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g(x_0)^2}

함수의 선형 근사 d(-)를 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:\left.d\left(\frac fg\right)\right|_{x=x_0}=\left.\frac{gdf-fdg}{g^2}\right|_{x=x_0}

만약 f(x) = \frac {g(x)} {h(x)}이고 g(x)=1일 때, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:(f(x))^{'}=\left(\right)^{'}

:\;\;\;=\over{(h(x))^2}}

:\;\;\;=-

4. 1. 뉴턴의 차분몫을 이용한 증명

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}이고 h(x) \ne 0이며 g와 h가 미분 가능한 함수라면, 다음과 같이 증명할 수 있다.

:

\begin{align}

f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x} \\

&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) \\

&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) \\

&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) \\

&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)} \\

&= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))} \\

&= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

\end{align}


4. 2. 곱의 미분법과 연쇄 법칙을 이용한 증명

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} = g(x) \cdot h(x)^{-1}로 놓고 곱의 미분법과 연쇄 법칙을 적용하면 다음과 같이 증명할 수 있다.

:f'(x) = g'(x)h(x)^{-1} + g(x)(h(x)^{-1})'이고, 우변 두 번째 항의 미분은 연쇄 법칙과 power rule|멱의 미분 법칙영어을 사용하면 f'(x) = g'(x)h(x)^{-1} + g(x) \cdot (-1) h(x)^{-2} h'(x)를 얻는다.

이를 정리하면 다음과 같다.

:\begin{align}

f'(x) &= \frac{g'(x)}{h(x)} - \frac{g(x)h'(x)}{h(x)^2} \\

&= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^2}

\end{align}

4. 3. 음함수 미분법을 이용한 증명

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}이면 g(x) = f(x)h(x)이므로, 곱의 미분법에 의해 g'(x) = f'(x)h(x) + f(x)h'(x)가 된다. f'(x)에 대해 풀면 다음과 같다.

:\begin{align}

f'(x) &=\frac{g'(x) - f(x)h'(x)}{h(x)} \\

&= \frac{g'(x) - \frac{g(x)}{h(x)}\cdot h'(x)}{h(x)} \\

&= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^2}

\end{align}

4. 4. 로그 미분법을 이용한 증명

h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}라고 하자. 식의 양변에 절댓값과 자연 로그를 취하면 다음과 같다.

:\ln|h(x)|=\ln\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|

절댓값과 로그의 성질을 적용하면 다음과 같다.

:\ln|h(x)|=\ln|f(x)|-\ln|g(x)|

양변의 로그 미분을 구하면 다음과 같다.

:\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}

h'(x)에 대해 풀고, h(x)에 \tfrac{f(x)}{g(x)}를 다시 대입하면 다음과 같다.

:\begin{align}

h'(x)&=h(x)\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\

&=\frac{f(x)}{g(x)}\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\

&=\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2}\\

&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}.

\end{align}

함수의 절댓값을 취하는 것은 음수 값을 가질 수 있는 함수의 로그 미분에 필요하다. 로그는 양의 인수에 대해서만 실수 값이기 때문이다. 이는 \tfrac{d}{dx}(\ln|u|)=\tfrac{u'}{u}이므로 작동하며, 로그 미분을 위해 함수의 절댓값을 취하는 것을 정당화한다.

5. 고계 도함수

음함수 미분법을 사용하여 몫의 n계 도함수를 (n-1계까지의 도함수를 사용하여) 계산할 수 있다. 예를 들어, f=gh를 두 번 미분하면 f'' = g''h + 2g'h' + gh''가 되고, h''에 대해 풀면 다음을 얻는다.

:h'' = \left(\frac{f}{g}\right)'' = \frac{f''-g''h-2g'h'}{g}.

같은 방식으로, 1 = f \cdot h = g를 두 번 미분하고 f''에 대해 풀면 다음을 얻는다.

:f'' = \left(\frac{g}{h}\right)'' = \frac{g'' - 2f'h' - fh''}{h}

참조

[1] 서적 Calculus: Early Transcendentals Brooks/Cole
[2] 서적 Calculus Brooks/Cole
[3] 서적 Thomas' Calculus: Early Transcendentals Addison-Wesley


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