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뮤어헤드의 부등식

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1. 개요

뮤어헤드의 부등식은 여러 양의 실수에 대한 대칭 합으로 표현되는 부등식이다. 이 부등식은 두 수열의 관계를 통해 공식화되며, 이중 확률 행렬의 존재 여부와 관련하여 성립 조건을 정의한다. 뮤어헤드의 부등식은 a-평균 개념을 사용하며, 산술-기하 평균 부등식과 같은 다양한 부등식을 증명하는 데 활용될 수 있다.

2. 공식화

2n개의 실수 a_n \le a_{n-1} \le ... \le a_1b_n \le b_{n-1} \le ... \le b_1 이 다음 두 식을 만족한다고 하자.

# \sum_{i=1}^{k} b_i \le \sum_{i=1}^{k} a_i. (k
# \sum_{i=1}^{n} b_i = \sum_{i=1}^{n} a_i.

그러면, 뮤어헤드의 부등식은 다음과 같이 공식화할 수 있다.[2]


  • n개의 임의 양의 실수 x_1, x_2, ..., x_n 에 대하여, \sum_{sym} x_1^{b_1}x_2^{b_2}...x_n^{b_n} \le \sum_{sym} x_1^{a_1}x_2^{a_2}...x_n^{a_n}.


여기서, \sum_{sym} f(x_1, x_2, ..., x_n)(x_1, x_2, ..., x_n) 의 순서를 바꾸어 가능한 모든 n!개의 경우에 대한 합을 계산하는 것이다. 예를 들어, \sum_{sym} f(x, y, z)f(x, y, z) + f(x, z, y) + f(y, z, x) + f(y, x, z) + f(z, x, y) + f(z, y, x) 을 의미한다.

뮤어헤드 부등식은 모든 ''x''''i'' > 0 인 모든 ''x''에 대해 [''a''] ≤ [''b'']가 성립할 필요충분조건은, ''a'' = ''Pb''를 만족하는 이중 확률 행렬 ''P''가 존재한다는 것이다. 모든 ''i'' ∈ { 1, ..., ''n'' }.

또한, 그 경우에 [''a''] = [''b'']는 ''a'' = ''b''이거나 모든 ''x''''i''가 같을 필요충분조건이다.

후자의 조건은 여러 동등한 방식으로 표현될 수 있다.

이 증명은 모든 이중 확률 행렬이 순열 행렬(비르크호프-폰 노이만 정리)의 가중 평균이라는 사실을 이용한다.

3. 정의

3. 1. ''a''-평균

임의의 실수 벡터 공간

:a=(a_1,\dots,a_n)

에 대해 양의 실수 ''x''1, ..., ''x''''n''의 "''a''-평균" [''a'']는 다음과 같이 정의된다.[1]

:[a]=\frac{1}{n!}\sum_\sigma x_{\sigma_1}^{a_1}\cdots x_{\sigma_n}^{a_n},

여기서 합은 {1, ..., ''n''}의 모든 순열 σ에 걸쳐 수행된다.[1]

''a''의 원소가 음이 아닌 정수일 때, ''a''-평균은 단항식 대칭 다항식 m_a(x_1,\dots,x_n)을 통해 다음과 같이 동등하게 정의할 수 있다.[1]

:[a] = \frac{k_1!\cdots k_l!}{n!} m_a(x_1,\dots,x_n),

여기서 ℓ은 ''a''에 있는 고유한 원소의 수이고, ''k''1, ..., ''k''는 그들의 중복도이다.[1]

위에서 정의된 ''a''-평균은 a_1+\cdots+a_n=1인 경우에만 일반적인 평균의 속성(예: 동일한 수의 평균이 그 수와 같음)을 갖는다. 일반적인 경우, 대신 [a]^{1/(a_1+\cdots+a_n)}을 고려할 수 있으며, 이를 뮤어헤드 평균이라고 한다.[1]

  • ''a'' = (1, 0, ..., 0)에 대해, ''a''-평균은 ''x''1, ..., ''x''''n''의 일반적인 산술 평균이다.[1]
  • ''a'' = (1/''n'', ..., 1/''n'')에 대해, ''a''-평균은 ''x''1, ..., ''x''''n''기하 평균이다.[1]
  • ''a'' = (''x'', 1 − ''x'')에 대해, ''a''-평균은 하인츠 평균이다.[1]
  • ''a'' = (−1, 0, ..., 0)에 대한 뮤어헤드 평균은 조화 평균이다.[1]

3. 2. 이중 확률 행렬

''n'' × ''n'' 행렬 ''P''는 ''이중 확률적''이며, ''P''와 그 전치 행렬 ''P''T가 모두 확률 행렬인 경우에 해당한다. 확률 행렬은 각 열의 항목 합이 1인 음이 아닌 실수 항목의 정사각 행렬이다. 따라서 이중 확률 행렬은 각 행의 항목 합과 각 열의 항목 합이 1인 음이 아닌 실수 항목의 정사각 행렬이다.

4. 조건

뮤어헤드 부등식에서 모든 ''x''''i'' > 0 인 모든 ''x''에 대해 [''a''] ≤ [''b'']가 성립할 필요충분조건은, ''a'' = ''Pb''를 만족하는 이중 확률 행렬 ''P''가 존재한다는 것이다. 모든 ''i'' ∈ { 1, ..., ''n'' }.

또한, 그 경우에 [''a''] = [''b'']는 ''a'' = ''b''이거나 모든 ''x''''i''가 같을 필요충분조건이다.

후자의 조건은 여러 동등한 방식으로 표현될 수 있으며, 그 중 하나는 다음과 같다.

이 증명은 모든 이중 확률 행렬이 순열 행렬(비르크호프-폰 노이만 정리)의 가중 평균이라는 사실을 이용한다.

==== 동치 조건 ====

합의 대칭성 때문에 지수를 내림차순으로 정렬해도 일반성을 잃지 않는다.

: a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n

: b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n.

이때, ''a'' = ''Pb''를 만족하는 이중 확률 행렬 ''P''의 존재는 다음 부등식 체계와 동치이다.

:

\begin{align}

a_1 & \leq b_1 \\

a_1+a_2 & \leq b_1+b_2 \\

a_1+a_2+a_3 & \leq b_1+b_2+b_3 \\

& \,\,\, \vdots \\

a_1+\cdots +a_{n-1} & \leq b_1+\cdots+b_{n-1} \\

a_1+\cdots +a_n & = b_1+\cdots+b_n.

\end{align}



(''마지막'' 것은 등식이고 나머지는 약한 부등식이다.)

수열 b_1, \ldots, b_n은 수열 a_1, \ldots, a_n을 '''메이저라이즈'''한다고 말한다.

4. 1. 동치 조건

합의 대칭성 때문에 지수를 내림차순으로 정렬해도 일반성을 잃지 않는다.

:a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n

:b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n.

이때, ''a'' = ''Pb''를 만족하는 이중 확률 행렬 ''P''의 존재는 다음 부등식 체계와 동치이다.

:

\begin{align}

a_1 & \leq b_1 \\

a_1+a_2 & \leq b_1+b_2 \\

a_1+a_2+a_3 & \leq b_1+b_2+b_3 \\

& \,\,\, \vdots \\

a_1+\cdots +a_{n-1} & \leq b_1+\cdots+b_{n-1} \\

a_1+\cdots +a_n & = b_1+\cdots+b_n.

\end{align}



(''마지막'' 것은 등식이고 나머지는 약한 부등식이다.)

수열 b_1, \ldots, b_n은 수열 a_1, \ldots, a_n을 '''메이저라이즈'''한다고 말한다.

5. 대칭합 표기법

2n개의 실수 a_n \le a_{n-1} \le ... \le a_1b_n \le b_{n-1} \le ... \le b_1 이 다음 두 식을 만족한다고 하자.

# \sum_{i=1}^{k} b_i \le \sum_{i=1}^{k} a_i. (k
# \sum_{i=1}^{n} b_i = \sum_{i=1}^{n} a_i.

그러면, 뮤어헤드의 부등식은 다음과 같이 공식화할 수 있다.[2]


  • n개의 임의 양의 실수 x_1, x_2, ..., x_n 에 대하여, \sum_{sym} x_1^{b_1}x_2^{b_2}...x_n^{b_n} \le \sum_{sym} x_1^{a_1}x_2^{a_2}...x_n^{a_n}.


여기서, \sum_{sym} f(x_1, x_2, ..., x_n)(x_1, x_2, ..., x_n) 의 순서를 바꾸어 가능한 모든 n!개의 경우에 대한 합을 계산하는 것이다. 예를 들어, \sum_{sym} f(x, y, z)f(x, y, z) + f(x, z, y) + f(y, z, x) + f(y, x, z) + f(z, x, y) + f(z, y, x) 을 의미한다.

합을 표현하기 위해 특별한 표기법을 사용하는 것이 편리하다.

:\sum_\text{sym} x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}

이 표기법은 모든 순열을 전개하여, 예를 들어, ''n''!개의 단항식으로 구성된 식을 생성해야 한다.

:\begin{align}

\sum_\text{sym} x^3 y^2 z^0 &= x^3 y^2 z^0 + x^3 z^2 y^0 + y^3 x^2 z^0 + y^3 z^2 x^0 + z^3 x^2 y^0 + z^3 y^2 x^0 \\

&= x^3 y^2 + x^3 z^2 + y^3 x^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2 + z^3 y^2

\end{align}

6. 예시

6. 1. 산술-기하 평균 부등식

다음과 같이 놓자.

:a_G = \left( \frac 1 n , \ldots , \frac 1 n \right)

그리고

:a_A = ( 1 , 0, 0, \ldots , 0 ).

다음이 성립한다.

:

\begin{align}

a_{A1} = 1 & > a_{G1} = \frac 1 n, \\

a_{A1} + a_{A2} = 1 & > a_{G1} + a_{G2} = \frac 2 n, \\

& \,\,\, \vdots \\

a_{A1} + \cdots + a_{An} & = a_{G1} + \cdots + a_{Gn} = 1.

\end{align}



그러면

: [''aA''] ≥ [''aG''],



:\frac 1 {n!} (x_1^1 \cdot x_2^0 \cdots x_n^0 + \cdots + x_1^0 \cdots x_n^1) (n-1)! \geq \frac 1 {n!} (x_1 \cdot \cdots \cdot x_n)^{1/n} n!

이 부등식을 얻는다.

6. 2. 기타 예시

''x''2 + ''y''2 ≥ 2''xy''임을 증명하기 위해 대칭 합 표기법으로 변환하면 다음과 같다.

:\sum_ \mathrm{sym} x^2 y^0 \ge \sum_\mathrm{sym} x^1 y^1.

수열 (2, 0)은 수열 (1, 1)을 주요하므로, 묶음에 의해 부등식이 성립한다.

마찬가지로, 다음 부등식을 증명할 수 있다.

:x^3+y^3+z^3 \ge 3 x y z

이를 대칭 합 표기법을 사용하여 다음과 같이 작성한다.

:\sum_ \mathrm{sym} x^3 y^0 z^0 \ge \sum_\mathrm{sym} x^1 y^1 z^1,

이는 다음과 같다.

: 2 x^3 + 2 y^3 + 2 z^3 \ge 6 x y z.

수열 (3, 0, 0)이 수열 (1, 1, 1)을 주요하므로, 묶음에 의해 부등식이 성립한다.

참조

[1] 서적 Handbook of means and their inequalities Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht 2003
[2] 서적 한국수학올림피아드 바이블 2 도서출판 세화 2008



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