뮤어헤드의 부등식
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1. 개요
뮤어헤드의 부등식은 여러 양의 실수에 대한 대칭 합으로 표현되는 부등식이다. 이 부등식은 두 수열의 관계를 통해 공식화되며, 이중 확률 행렬의 존재 여부와 관련하여 성립 조건을 정의한다. 뮤어헤드의 부등식은 a-평균 개념을 사용하며, 산술-기하 평균 부등식과 같은 다양한 부등식을 증명하는 데 활용될 수 있다.
2n개의 실수 와 이 다음 두 식을 만족한다고 하자.
2. 공식화
# (k
#
그러면, 뮤어헤드의 부등식은 다음과 같이 공식화할 수 있다.[2]
여기서, 은 의 순서를 바꾸어 가능한 모든 n!개의 경우에 대한 합을 계산하는 것이다. 예를 들어, 은 을 의미한다.
뮤어헤드 부등식은 모든 ''x''''i'' > 0 인 모든 ''x''에 대해 [''a''] ≤ [''b'']가 성립할 필요충분조건은, ''a'' = ''Pb''를 만족하는 이중 확률 행렬 ''P''가 존재한다는 것이다. 모든 ''i'' ∈ { 1, ..., ''n'' }.
또한, 그 경우에 [''a''] = [''b'']는 ''a'' = ''b''이거나 모든 ''x''''i''가 같을 필요충분조건이다.
후자의 조건은 여러 동등한 방식으로 표현될 수 있다.
이 증명은 모든 이중 확률 행렬이 순열 행렬(비르크호프-폰 노이만 정리)의 가중 평균이라는 사실을 이용한다.
3. 정의
3. 1. ''a''-평균
임의의 실수 벡터 공간
:
에 대해 양의 실수 ''x''1, ..., ''x''''n''의 "''a''-평균" [''a'']는 다음과 같이 정의된다.[1]
:
여기서 합은 {1, ..., ''n''}의 모든 순열 σ에 걸쳐 수행된다.[1]
''a''의 원소가 음이 아닌 정수일 때, ''a''-평균은 단항식 대칭 다항식 을 통해 다음과 같이 동등하게 정의할 수 있다.[1]
:
여기서 ℓ은 ''a''에 있는 고유한 원소의 수이고, ''k''1, ..., ''k''ℓ는 그들의 중복도이다.[1]
위에서 정의된 ''a''-평균은 인 경우에만 일반적인 평균의 속성(예: 동일한 수의 평균이 그 수와 같음)을 갖는다. 일반적인 경우, 대신 을 고려할 수 있으며, 이를 뮤어헤드 평균이라고 한다.[1]3. 2. 이중 확률 행렬
''n'' × ''n'' 행렬 ''P''는 ''이중 확률적''이며, ''P''와 그 전치 행렬 ''P''T가 모두 확률 행렬인 경우에 해당한다. 확률 행렬은 각 열의 항목 합이 1인 음이 아닌 실수 항목의 정사각 행렬이다. 따라서 이중 확률 행렬은 각 행의 항목 합과 각 열의 항목 합이 1인 음이 아닌 실수 항목의 정사각 행렬이다.
4. 조건
뮤어헤드 부등식에서 모든 ''x''''i'' > 0 인 모든 ''x''에 대해 [''a''] ≤ [''b'']가 성립할 필요충분조건은, ''a'' = ''Pb''를 만족하는 이중 확률 행렬 ''P''가 존재한다는 것이다. 모든 ''i'' ∈ { 1, ..., ''n'' }.
또한, 그 경우에 [''a''] = [''b'']는 ''a'' = ''b''이거나 모든 ''x''''i''가 같을 필요충분조건이다.
후자의 조건은 여러 동등한 방식으로 표현될 수 있으며, 그 중 하나는 다음과 같다.
이 증명은 모든 이중 확률 행렬이 순열 행렬(비르크호프-폰 노이만 정리)의 가중 평균이라는 사실을 이용한다.
==== 동치 조건 ====
합의 대칭성 때문에 지수를 내림차순으로 정렬해도 일반성을 잃지 않는다.
:
:
이때, ''a'' = ''Pb''를 만족하는 이중 확률 행렬 ''P''의 존재는 다음 부등식 체계와 동치이다.
:
(''마지막'' 것은 등식이고 나머지는 약한 부등식이다.)
수열 은 수열 을 '''메이저라이즈'''한다고 말한다.
4. 1. 동치 조건
합의 대칭성 때문에 지수를 내림차순으로 정렬해도 일반성을 잃지 않는다.:
:
이때, ''a'' = ''Pb''를 만족하는 이중 확률 행렬 ''P''의 존재는 다음 부등식 체계와 동치이다.
:
(''마지막'' 것은 등식이고 나머지는 약한 부등식이다.)
수열 은 수열 을 '''메이저라이즈'''한다고 말한다.
5. 대칭합 표기법
2n개의 실수 와 이 다음 두 식을 만족한다고 하자.
# (k
#
그러면, 뮤어헤드의 부등식은 다음과 같이 공식화할 수 있다.[2]
- n개의 임의 양의 실수 에 대하여,
여기서, 은 의 순서를 바꾸어 가능한 모든 n!개의 경우에 대한 합을 계산하는 것이다. 예를 들어, 은 을 의미한다.
합을 표현하기 위해 특별한 표기법을 사용하는 것이 편리하다.
:
이 표기법은 모든 순열을 전개하여, 예를 들어, ''n''!개의 단항식으로 구성된 식을 생성해야 한다.
:
6. 예시
6. 1. 산술-기하 평균 부등식
다음과 같이 놓자.:
그리고
:
다음이 성립한다.
:
그러면
: [''aA''] ≥ [''aG''],
즉
:
이 부등식을 얻는다.
6. 2. 기타 예시
''x''2 + ''y''2 ≥ 2''xy''임을 증명하기 위해 대칭 합 표기법으로 변환하면 다음과 같다.:
수열 (2, 0)은 수열 (1, 1)을 주요하므로, 묶음에 의해 부등식이 성립한다.
마찬가지로, 다음 부등식을 증명할 수 있다.
:
이를 대칭 합 표기법을 사용하여 다음과 같이 작성한다.
:
이는 다음과 같다.
:
수열 (3, 0, 0)이 수열 (1, 1, 1)을 주요하므로, 묶음에 의해 부등식이 성립한다.
참조
[1]
서적
Handbook of means and their inequalities
Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht
2003
[2]
서적
한국수학올림피아드 바이블 2
도서출판 세화
2008
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