미분대수방정식

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1. 개요
2. 미분대수방정식의 형태
- 2.1. 일반적인 형태
- 2.2. 반명시적 형태 (Semi-explicit DAE)
3. 예시: 진자 문제
- 3.1. 데카르트 좌표계에서의 진자 모델
- 3.2. 미분 지수
4. DAE의 수치적 해법
5. DAE의 구조적 분석
- 5.1. 시그니처 행렬
6. DAE의 다루기 쉬움 (Tractability)
7. 응용 분야
참조

1. 개요

미분대수방정식(DAE)은 미분과 대수 변수를 포함하는 방정식 시스템으로, 상미분방정식(ODE)과 구별된다. DAE는 일반적으로 $F(\dot x, x, y, t) = 0$ 형태로 표현되며, 여기서 x는 미분 변수, y는 대수 변수, t는 독립 변수이다. DAE는 진자 문제와 같은 역학 시스템을 모델링하는 데 사용되며, 수치적 해법은 지수 감소 및 일관된 초기 조건과 같은 문제로 인해 ODE보다 더 복잡하다. DAE의 구조적 분석은 시그니처 행렬을 사용하여 수행할 수 있으며, 미분 지수와 같은 지표는 DAE의 수치적 해법의 난이도를 나타낸다.

2. 미분대수방정식의 형태

미분대수방정식(DAE)과 상미분방정식(ODE)의 차이는 종속 변수 중 일부가 미분 없이 나타날 때 분명해진다. 종속 변수의 벡터는 ''(x,y)'' 쌍으로 작성될 수 있으며, DAE의 미분 방정식 시스템은 다음과 같은 형태로 나타난다.

:: $F\left(\dot x, x, y, t\right) = 0$

여기서,

$x$ 는 $\R^n$ 의 벡터로, 미분이 존재하는 종속 변수이다(''미분 변수'').
$y$ 는 $\R^m$ 의 벡터로, 미분이 존재하지 않는 종속 변수이다(''대수 변수'').
$t$ 는 스칼라(보통 시간)로 독립 변수이다.
$F$ 는 이러한 $n+m+1$ 개의 변수와 $n$ 개의 도함수의 부분 집합을 포함하는 $n+m$ 개의 함수 벡터이다.

전체적으로, DAE 집합은 다음과 같은 함수이다.

::

F: \R^{(2n+m+1)} \to \R^{(n+m)}.

초기 조건은 다음과 같은 형태의 방정식 시스템의 해여야 한다.

::

F\left(\dot x(t_0),\, x(t_0), y(t_0), t_0 \right) = 0.

2. 1. 일반적인 형태

일반적인 미분대수방정식(DAE)은 다음과 같은 형태로 표현된다.

::

F\left(\dot x, x, y, t\right) = 0

여기서,

$x$ 는 $\R^n$ 의 벡터로, 미분이 존재하는 종속 변수(''미분 변수'')이다.
$y$ 는 $\R^m$ 의 벡터로, 미분이 존재하지 않는 종속 변수(''대수 변수'')이다.
$t$ 는 스칼라(보통 시간)로 독립 변수이다.
$F$ 는 이러한 $n+m+1$ 개의 변수와 $n$ 개의 도함수의 부분 집합을 포함하는 $n+m$ 개의 함수 벡터이다.

전체적으로, DAE 집합은 다음과 같은 함수이다.

::

F: \R^{(2n+m+1)} \to \R^{(n+m)}.

초기 조건은 다음과 같은 형태의 방정식 시스템의 해여야 한다.

::

F\left(\dot x(t_0),\, x(t_0), y(t_0), t_0 \right) = 0.

2. 2. 반명시적 형태 (Semi-explicit DAE)

다음과 같은 형태의 미분대수방정식(DAE)을

::

\begin{align}\dot x&=f(x,y,t),\\0&=g(x,y,t).\end{align}

반-명시적이라고 부른다. 지수 1의 조건은 ''g''가 y에 대해 풀 수 있어야 한다는 것이다. 다시 말해, 대수 방정식을 t에 대해 미분하여 음함수적 ODE 시스템이 나오면 미분 지수가 1이 된다.

::

\begin{align}\dot x&=f(x,y,t)\\0&=\partial_x g(x,y,t)\dot x+\partial_y g(x,y,t)\dot y+\partial_t g(x,y,t),\end{align}

이 시스템은

\det\left(\partial_y g(x,y,t)\right)\ne 0.

이면

(\dot x,\,\dot y)

에 대해 풀 수 있다.

충분히 매끄러운 모든 DAE는 거의 모든 곳에서 이 반-명시적 지수 1 형태로 축소될 수 있다.

3. 예시: 진자 문제

데카르트 좌표계(''x'',''y'')에서 중심이 (0,0)이고 길이가 ''L''인 진자의 운동은 오일러-라그랑주 방정식을 통해 다음과 같은 미분대수방정식(DAE)으로 표현된다.

:: $\begin{align}\dot x&=u,&\dot y&=v,\\\dot u&=\lambda x,&\dot v&=\lambda y-g,\\x^2+y^2&=L^2,\end{align}$

여기서 $\lambda$ 는 라그랑주 승수이다. 운동량 변수 ''u''와 ''v''는 에너지 보존 법칙에 의해 제한되며 그 방향은 원을 따라간다. 마지막 방정식의 미분은 다음과 같다.

:: $\begin{align}&&\dot x\,x+\dot y\,y&=0\\\Rightarrow&& u\,x+v\,y&=0,\end{align}$

이는 운동 방향을 원의 접선으로 제한한다. 이 방정식의 다음 미분은 다음을 의미한다.

:: $\begin{align}&&\dot u\,x+\dot v\,y+u\,\dot x+v\,\dot y&=0,\\\Rightarrow&& \lambda(x^2+y^2)-gy+u^2+v^2&=0,\\\Rightarrow&& L^2\,\lambda-gy+u^2+v^2&=0,\end{align}$

마지막 항등식의 미분은 $L^2\dot\lambda-3gv=0$ 으로 단순화되며, 이는 적분 후 상수 $E=\tfrac32gy-\tfrac12L^2\lambda=\frac12(u^2+v^2)+gy$ 가 운동 에너지와 위치 에너지의 합이므로 에너지 보존을 의미한다.

모든 종속 변수에 대해 고유한 미분 값을 얻기 위해 마지막 방정식을 세 번 미분했고, 이는 3의 미분 지수를 제공하며, 이는 제한된 기계 시스템에서 전형적이다.

초기 값 $(x_0,u_0)$ 과 ''y''의 부호가 주어지면, 다른 변수는 $y=\pm\sqrt{L^2-x^2}$ 를 통해 결정되며, $y\ne0$ 이면 $v=-ux/y$ 및 $\lambda=(gy-u^2-v^2)/L^2$ 이다. 다음 지점으로 진행하려면 ''x''와 ''u''의 미분, 즉 해결해야 할 시스템을 얻는 것으로 충분하다.

:: $\begin{align}\dot x&=u,\\\dot u&=\lambda x,\\[0.3em]0&=x^2+y^2-L^2,\\0&=ux+vy,\\0&=u^2-gy+v^2+L^2\,\lambda.\end{align}$

이것은 지수가 1인 반 명시적 DAE이다.

3. 1. 데카르트 좌표계에서의 진자 모델

데카르트 좌표계(''x'',''y'')에서 중심이 (0,0)이고 길이가 ''L''인 진자의 운동은 오일러-라그랑주 방정식을 통해 다음과 같은 미분대수방정식(DAE)으로 표현된다.

::

\begin{align}\dot x&=u,&\dot y&=v,\\\dot u&=\lambda x,&\dot v&=\lambda y-g,\\x^2+y^2&=L^2,\end{align}

여기서

\lambda

는 라그랑주 승수이다. 운동량 변수 ''u''와 ''v''는 에너지 보존 법칙에 의해 제한되며 그 방향은 원을 따라간다. 마지막 방정식의 미분은 다음과 같다.

::

\begin{align}&&\dot x\,x+\dot y\,y&=0\\\Rightarrow&& u\,x+v\,y&=0,\end{align}

이는 운동 방향을 원의 접선으로 제한한다. 이 방정식의 다음 미분은 다음을 의미한다.

::

\begin{align}&&\dot u\,x+\dot v\,y+u\,\dot x+v\,\dot y&=0,\\\Rightarrow&& \lambda(x^2+y^2)-gy+u^2+v^2&=0,\\\Rightarrow&& L^2\,\lambda-gy+u^2+v^2&=0,\end{align}

마지막 항등식의 미분은

L^2\dot\lambda-3gv=0

으로 단순화되며, 이는 적분 후 상수

E=\tfrac32gy-\tfrac12L^2\lambda=\frac12(u^2+v^2)+gy

가 운동 에너지와 위치 에너지의 합이므로 에너지 보존을 의미한다.

모든 종속 변수에 대해 고유한 미분 값을 얻기 위해 마지막 방정식을 세 번 미분했고, 이는 3의 미분 지수를 제공하며, 이는 제한된 기계 시스템에서 전형적이다.

초기 값

(x_0,u_0)

과 ''y''의 부호가 주어지면, 다른 변수는

y=\pm\sqrt{L^2-x^2}

를 통해 결정되며,

y\ne0

이면

v=-ux/y

및

\lambda=(gy-u^2-v^2)/L^2

이다. 다음 지점으로 진행하려면 ''x''와 ''u''의 미분, 즉 해결해야 할 시스템을 얻는 것으로 충분하다.

::

\begin{align}\dot x&=u,\\\dot u&=\lambda x,\\[0.3em]0&=x^2+y^2-L^2,\\0&=ux+vy,\\0&=u^2-gy+v^2+L^2\,\lambda.\end{align}

이것은 지수가 1인 반 명시적 DAE이다.

3. 2. 미분 지수

4. DAE의 수치적 해법

미분대수방정식(DAE)은 상미분 방정식(ODE)과 달리 수치적으로 해를 구하기가 더 까다롭다.

미분대수방정식(DAE)을 푸는 데 있어 두 가지 주요 문제는 ''지수 감소''와 ''일관된 초기 조건''이다. 대부분의 수치적 해법은 다음과 같은 형태의 상미분 방정식과 대수 방정식을 필요로 한다.

: $\begin{align}\frac{dx}{dt}&=f\left(x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{align}$

임의의 DAE 시스템을 순수한 ODE 해법으로 풀기 위해 ODE로 변환하는 것은 쉽지 않은 작업이다. 사용될 수 있는 기술에는 ''판텔리데스 알고리즘''과 ''더미 미분 지수 감소법''이 있다. 또는 불일치하는 초기 조건을 가진 고차수 DAE의 직접적인 해법도 가능하다. 이 해법은 ''유한 요소에 대한 직교 콜로케이션'' 또는 ''직접 전사''를 통해 미분 요소를 대수식으로 변환하는 것을 포함한다. 이를 통해 임의의 지수를 가진 DAE를 다음과 같은 열린 방정식 형태로 재배열하지 않고 풀 수 있다.

: $\begin{align}0&=f\left(\frac{dx}{dt},x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{align}$

모델이 대수 방정식 형태로 변환되면 대규모 비선형 프로그래밍 해법으로 풀 수 있다( APMonitor 참조).

4. 1. 지수 감소 (Index Reduction)

미분대수방정식(DAE)을 푸는 데 있어 두 가지 주요 문제는 ''지수 감소''와 ''일관된 초기 조건''이다. 대부분의 수치적 해법은 다음과 같은 형태의 상미분 방정식과 대수 방정식을 필요로 한다.

:

\begin{align}\frac{dx}{dt}&=f\left(x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{align}

임의의 DAE 시스템을 순수한 ODE 해법으로 풀기 위해 ODE로 변환하는 것은 쉽지 않은 작업이다. 사용될 수 있는 기술에는 ''판텔리데스 알고리즘''과 ''더미 미분 지수 감소법''이 있다. 또는 불일치하는 초기 조건을 가진 고차수 DAE의 직접적인 해법도 가능하다. 이 해법은 ''유한 요소에 대한 직교 콜로케이션'' 또는 ''직접 전사''를 통해 미분 요소를 대수식으로 변환하는 것을 포함한다. 이를 통해 임의의 지수를 가진 DAE를 다음과 같은 열린 방정식 형태로 재배열하지 않고 풀 수 있다.

:

\begin{align}0&=f\left(\frac{dx}{dt},x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{align}

모델이 대수 방정식 형태로 변환되면 대규모 비선형 프로그래밍 해법으로 풀 수 있다( APMonitor 참조).

4. 2. 일관된 초기 조건 (Consistent Initial Conditions)

DAE를 푸는 데 있어 두 가지 주요 문제는 ''지수 감소''와 ''일관된 초기 조건''이다. 대부분의 수치적 해법은 다음과 같은 형태의 상미분 방정식과 대수 방정식을 필요로 한다.

::

\begin{align}\frac{dx}{dt}&=f\left(x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{align}

임의의 DAE 시스템을 순수한 ODE 해법으로 풀기 위해 ODE로 변환하는 것은 쉽지 않은 작업이다. 사용될 수 있는 기술에는 ''판텔리데스 알고리즘''과 ''더미 미분 지수 감소법''이 있다. 또는 불일치하는 초기 조건을 가진 고차수 DAE의 직접적인 해법도 가능하다. 이 해법은 ''유한 요소에 대한 직교 콜로케이션'' 또는 ''직접 전사''를 통해 미분 요소를 대수식으로 변환하는 것을 포함한다. 이를 통해 임의의 지수를 가진 DAE를 다음과 같은 열린 방정식 형태로 재배열하지 않고 풀 수 있다.

::

\begin{align}0&=f\left(\frac{dx}{dt},x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{align}

모델이 대수 방정식 형태로 변환되면 대규모 비선형 프로그래밍 해법으로 풀 수 있다( APMonitor 참조).

4. 3. 다른 접근 방식

미분대수방정식(DAE)을 푸는 데 있어 두 가지 주요 문제는 ''지수 감소''와 ''일관된 초기 조건''이다. 대부분의 수치적 해법은 다음과 같은 형태의 상미분 방정식과 대수 방정식을 필요로 한다.

::

\begin{align}\frac{dx}{dt}&=f\left(x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{align}

임의의 DAE 시스템을 순수한 ODE 해법으로 풀기 위해 ODE로 변환하는 것은 쉽지 않은 작업이다. 사용될 수 있는 기술에는 ''판텔리데스 알고리즘''과 ''더미 미분 지수 감소법''이 있다. 또는 불일치하는 초기 조건을 가진 고차수 DAE의 직접적인 해법도 가능하다. 이 해법은 미분 요소를 대수식으로 변환하는 것을 포함한다. 이를 통해 임의의 지수를 가진 DAE를 다음과 같은 열린 방정식 형태로 재배열하지 않고 풀 수 있다.

::

\begin{align}0&=f\left(\frac{dx}{dt},x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{align}

모델이 대수 방정식 형태로 변환되면 대규모 비선형 프로그래밍 해법으로 풀 수 있다( APMonitor 참조).

5. DAE의 구조적 분석

$\Sigma$ 방법을 사용하여 미분대수방정식(DAE)을 분석한다. DAE에 대한 시그니처 행렬 $\Sigma=(\sigma_{i,j})$ 을 구성하는데, 여기서 각 행은 각 방정식 $f_i$ 에 해당하고, 각 열은 각 변수 $x_j$ 에 해당한다. 위치 $(i,j)$ 의 항목은 $\sigma_{i,j}$ 인데, 이는 $x_j$ 가 $f_i$ 에 나타나는 최고 차수의 미분을 나타내거나, $x_j$ 가 $f_i$ 에 나타나지 않으면 $-\infty$ 를 나타낸다.

위의 진자 DAE에 대해 변수는 $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(x,y,u,v,\lambda)$ 이다. 해당 시그니처 행렬은 다음과 같다.

: $\Sigma =\begin{bmatrix}1 & - & 0^\bullet & - & - \\$

& 1^\bullet & - & 0 & - \\

0 & - & 1 & - & 0^\bullet \\

& 0 & - & 1^\bullet & 0 \\

0^\bullet & 0 & - & - & -\end{bmatrix}

5. 1. 시그니처 행렬

\Sigma

방법을 사용하여 미분대수방정식(DAE)을 분석한다. DAE에 대한 시그니처 행렬

\Sigma=(\sigma_{i,j})

을 구성하는데, 여기서 각 행은 각 방정식

f_i

에 해당하고, 각 열은 각 변수

x_j

에 해당한다. 위치

(i,j)

의 항목은

\sigma_{i,j}

인데, 이는

x_j

가

f_i

에 나타나는 최고 차수의 미분을 나타내거나,

x_j

가

f_i

에 나타나지 않으면

-\infty

를 나타낸다.

위의 진자 DAE에 대해 변수는

(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(x,y,u,v,\lambda)

이다. 해당 시그니처 행렬은 다음과 같다.

:

\Sigma =\begin{bmatrix}1 & - & 0^\bullet & - & - \\

& 1^\bullet & - & 0 & - \\

0 & - & 1 & - & 0^\bullet \\

& 0 & - & 1^\bullet & 0 \\

0^\bullet & 0 & - & - & -\end{bmatrix}

6. DAE의 다루기 쉬움 (Tractability)

미분대수방정식(DAE)의 수치적 해법의 난이도를 나타내는 척도로 여러 지수들이 사용된다.^[10]^[11] 예를 들어 미분 지수, 교란 지수, 다루기 쉬움 지수, 기하 지수, 크로네커 지수 등이 있다.^[10]^[11]

7. 응용 분야

참조

_[1] 서적 Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations SIAM
_[2] 서적 Surveys in Differential-Algebraic Equations II Springer
_[3] 서적 System Design Automation: Fundamentals, Principles, Methods, Examples https://archive.org/[...] Springer Science & Business Media
_[4] 서적 Numerical Solution of Initial-value Problems in Differential-algebraic Equations SIAM
_[5] 서적 Numerical Methods in Electromagnetics https://research.tue[...]
_[6] 서적 Ascher and Petzold
_[7] 서적 Surveys in Differential-Algebraic Equations I Springer Science & Business Media
_[8] 서적 Advances in Design and Specification Languages for Embedded Systems
_[9] 서적 Computer Algebra in Scientific Computing
_[10] 서적 Differential-algebraic Systems: Analytical Aspects and Circuit Applications https://archive.org/[...] World Scientific
_[11] 간행물 Index characterization of differential-algebraic equations in hybrid analysis for circuit simulation http://www.ise.chuo-[...] 2008

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