반소 아이디얼

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 소근기
- 2.2. 반소 아이디얼 (근기 아이디얼)
3. 성질
4. 예
5. 응용
6. 역사
참조

1. 개요

반소 아이디얼은 환의 아이디얼의 일종으로, 자신의 근기와 일치하는 아이디얼을 의미한다. 가환환 R의 아이디얼 I의 근기는 I를 포함하는 모든 소 아이디얼의 교집합이며, I의 원소의 모든 근을 취함으로써 얻어진다. 반소 아이디얼은 여러 조건과 동치이며, 힐베르트 영점 정리 등 가환대수학에서 중요한 역할을 한다.

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반소 아이디얼

2. 정의

가환환 $R$ 의 아이디얼 $I$ 의 '''근기'''는 $\operatorname{rad}(I)$ 또는 $\sqrt{I}$ 로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

: $\sqrt{I} = \left\{r\in R \mid r^n\in I\ \hbox{for some}\ n \in \Z^{+}\!\right\}$

( $I \subseteq \sqrt{I}$ 이다.)

직관적으로, $\sqrt{I}$ 는 $R$ (환) 내에서 $I$ 의 원소의 모든 근을 취함으로써 얻어진다. 이는 몫환 $R/I$ 의 영멱 원소 (즉, 닐래디칼)의 아이디얼에 대한 역상과 같다 (자연 사상 $\pi\colon R\to R/I$ 를 통해).^[9]

만약 $I$ 의 근기가 유한 생성된다면, $\sqrt{I}$ 의 어떤 거듭제곱은 $I$ 에 포함된다.^[10] 특히, $I$ 와 $J$ 가 뇌터 환의 아이디얼이라면, $I$ 와 $J$ 가 같은 근기를 갖는 것은 $I$ 가 $J$ 의 어떤 거듭제곱을 포함하고 $J$ 가 $I$ 의 어떤 거듭제곱을 포함하는 것과 동치이다.

아이디얼 $I$ 가 자신의 근기와 일치하면, $I$ 를 '근기 아이디얼' 또는 '반소 아이디얼'이라고 한다.

2. 1. 소근기

환

R

의 양쪽 아이디얼

\mathfrak{a} \subseteq R

의 '''소근기'''(素根基, prime radical^영어) 또는 '''근기'''(根基, radical^영어)

\sqrt{\mathfrak{a}}

는

\mathfrak{a}

를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합이다.^[15] 즉, 다음과 같다.

:

\sqrt{\mathfrak a}=\bigcap\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon\mathfrak a\subseteq\mathfrak p\}\subseteq\{r\in R\colon\exists n\in\mathbb Z^+\colon r^n\in\mathfrak a\}

여기서

\operatorname{Spec}R

는

R

의 소 아이디얼들의 집합이다. 양쪽 아이디얼의 소근기는 항상 반소 아이디얼이며,

\mathfrak{a}

를 포함하는 최소의 반소 아이디얼이다.

가환환의 경우, 다음 집합들은 모두 일치한다.

$\sqrt{\mathfrak{a}}$
$\{r\in R \mid \exists n\in\mathbb Z^+\colon r^n\in\mathfrak a\}$ . 즉, 충분히 거듭제곱하면 $\mathfrak{a}$ 의 원소가 되는 원소들의 집합이다.
$R/\mathfrak{a}$ 의 멱영원들의 집합 $N$ 에 대하여, $\{r\in R\colon [r]\in N\}$ . 즉, 몫환에서 멱영원이 되는 원소들의 집합이다.

가환환의 아이디얼의 소근기는 자리스키 위상의 폐포 연산자와 같다.

가환환

R

의 아이디얼

I

의 근기는

\operatorname{rad}(I)

또는

\sqrt{I}

로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

:

\sqrt{I} = \left\{r\in R \mid r^n\in I\ \hbox{for some}\ n \in \Z^{+}\!\right\},

(

I \subseteq \sqrt{I}

이다.)

직관적으로,

\sqrt{I}

는

R

(환) 내에서

I

의 원소의 모든 근을 취하여 얻어진다. 이는 몫환

R/I

의 영멱 원소 (즉, 닐래디칼)의 아이디얼에 대한 역상과 같다 (자연 사상

\pi\colon R\to R/I

를 통해).

만약

I

의 근기가 유한 생성된다면,

\sqrt{I}

의 어떤 거듭제곱은

I

에 포함된다. 특히,

I

와

J

가 뇌터 환의 아이디얼이라면,

I

와

J

가 같은 근기를 갖는 것은

I

가

J

의 어떤 거듭제곱을 포함하고

J

가

I

의 어떤 거듭제곱을 포함하는 것과 동치이다.

아이디얼

I

가 자신의 근기와 일치하면,

I

를 '근기 아이디얼' 또는 '반소 아이디얼'이라고 한다.

2. 2. 반소 아이디얼 (근기 아이디얼)

환

R

속의 양쪽 아이디얼

\mathfrak a\subseteq R

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 양쪽 아이디얼을 '''반소 아이디얼'''(semiprime ideal^영어) 또는 '''근기 아이디얼'''(radical ideal^영어)이라고 한다.

임의의 양쪽 아이디얼 $\mathfrak b\subseteq R$ 에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 $n$ 에 대하여 $\mathfrak b^n\subseteq\mathfrak a$ 라면, $\mathfrak b\subseteq\mathfrak a$ 이다.^[15]
임의의 왼쪽 아이디얼 $B\subseteq R$ 에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 $n$ 에 대하여 $B^n\subseteq\mathfrak a$ 라면, $\mathfrak b\subseteq\mathfrak a$ 이다.^[15]
임의의 오른쪽 아이디얼 $B\subseteq R$ 에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 $n$ 에 대하여 $B^n\subseteq\mathfrak a$ 라면, $\mathfrak b\subseteq\mathfrak a$ 이다.^[15]
임의의 $r\in R$ 에 대하여, 만약 $rRr\subseteq\mathfrak a$ 라면 $r\in\mathfrak a$ 이다.^[15]
$R\setminus\mathfrak a$ 는 n-계를 이룬다.
$\mathfrak a=\bigcap\mathcal P$ 인, 소 아이디얼들의 집합 $\mathcal P\subseteq\operatorname{Spec}R$ 이 존재한다.^[15]
스스로의 소근기와 같다. 즉, $\mathfrak a=\sqrt{\mathfrak a}$ 이다.^[15]

여기서

\operatorname{Spec}R

는

R

의 소 아이디얼들의 집합이며, '''n-계'''(n-system^영어)란 다음 조건을 만족시키는 부분 집합

S\subseteq R

이다.

:

\forall s\in S\exists r\in R\colon srs\in S

가환환

R

의 아이디얼

\mathfrak a

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

반소 아이디얼이다.
임의의 $r\in R$ 및 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, 만약 $r^n\in\mathfrak a$ 라면 $r\in\mathfrak a$ 이다.
임의의 $r\in R\setminus\mathfrak a$ 에 대하여, $\{r,r^2,r^3,\dots\}\subseteq R\setminus\mathfrak a$ 이다.

가환환

R

의 아이디얼

I

의 '''근기'''는

\operatorname{rad}(I)

또는

\sqrt{I}

로 표기하며 다음과 같이 정의된다.

:

\sqrt{I} = \left\{r\in R \mid r^n\in I\ \hbox{for some}\ n \in \Z^{+}\!\right\},

(참고로

I \subseteq \sqrt{I}

이다.)

직관적으로,

\sqrt{I}

는

R

환 내에서

I

의 원소의 모든 근을 취함으로써 얻어진다. 같은말로,

\sqrt{I}

는 몫환

R/I

의 영인자로 이루어진 아이디얼(멱영 아이디얼)의

R/I

에서의 역상이다 (

\pi\colon R\to R/I

를 통해).^[9]

만약

I

의 근기가 유한 생성된다면,

\sqrt{I}

의 어떤 거듭제곱은

I

에 포함된다.^[10] 특히,

I

와

J

가 뇌터 환의 아이디얼이라면,

I

와

J

가 같은 근기를 갖는다는 것과,

I

가

J

의 어떤 거듭제곱을 포함하고

J

가

I

의 어떤 거듭제곱을 포함한다는 것은 동치이다.

3. 성질

$\sqrt{\sqrt{I}} = \sqrt{I}$ 가 항상 성립한다. 즉, 근기 연산은 멱등성을 가진다. 또한 $\sqrt{I}$ 는 $I$ 를 포함하는 가장 작은 근기 아이디얼이다.
$\sqrt{I}$ 는 $I$ 를 포함하는 $R$ 의 모든 소 아이디얼들의 교집합이며, 다음과 같이 표현된다.^[14]

:

\sqrt{I}=\bigcap_{\stackrel{\mathfrak{p}\text{ prime}}{R\supset\mathfrak{p}\supseteq I}}\mathfrak{p}

:따라서 소 아이디얼의 근기는 그 자신과 같다.

:이 명제는

I

의 근기가

I

를 포함하는 모든 소 아이디얼 중 최소 소 아이디얼들의 교집합과 같다는 것으로 강화될 수 있다.

닐근(멱영근기)은 $R$ 의 모든 소 아이디얼의 교집합과 같다.^[3]

:

\sqrt{0} = \mathfrak{N}_R = \bigcap_{\mathfrak{p}\subsetneq R\text{ prime}}\mathfrak{p}

환 $R$ 의 아이디얼 $I$ 가 근기 아이디얼일 필요충분조건은 몫환 $R/I$ 가 기약환인 것이다.
동차 아이디얼의 근기는 동차 아이디얼이다.
아이디얼 교집합의 근기는 그 근기들의 교집합과 같다.

:

\sqrt{I \cap J} = \sqrt{I} \cap \sqrt{J}

일차 아이디얼의 근기는 소 아이디얼이다. 만약 아이디얼 $I$ 의 근기가 극대 아이디얼이면, $I$ 는 일차 아이디얼이다.^[6]
$I$ 가 아이디얼이면, $\sqrt{I^n} = \sqrt{I}$ 이다. 소 아이디얼은 근기 아이디얼이므로, 모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해 $\sqrt{\mathfrak{p}^n} = \mathfrak{p}$ 이다.
$I,J$ 를 환 $R$ 의 아이디얼이라고 할 때, 만약 $\sqrt{I}, \sqrt{J}$ 가 코맥시멀이면, $I, J$ 는 코맥시멀이다.^[7]
$M$ 을 노에터 환 $R$ 위의 유한 생성 모듈이라고 하면,^[8]

:

\sqrt{\operatorname{ann}_R(M)} = \bigcap_{\mathfrak{p} \,\in\, \operatorname{supp}M} \mathfrak{p} = \bigcap_{\mathfrak{p} \,\in\, \operatorname{ass}M} \mathfrak{p}

:여기서

\operatorname{supp}M

는

M

의 지지이고,

\operatorname{ass}M

는

M

의 연관 소 아이디얼들의 집합이다.

4. 예

정수환 '''Z'''에서의 아이디얼의 근기에 대한 예시는 다음과 같다.

아이디얼	근기	설명
4Z	2Z	짝수
5Z	5Z
12Z	6Z
		r은 m의 모든 소인수의 곱 (정수의 근기 참조)

다항식환 $\Complex[x,y]$ 에서 아이디얼 $I = \left(y^4\right)$ 의 근기는 $\sqrt{I}=(y)$ 이다. 이는 $\sqrt{I}$ 가 몫 링 $R = \Complex[x,y]/\!\left(y^4\right)$ 의 닐래디컬 $\sqrt{0}$ 과 같고, 닐래디컬은 몫 링의 모든 소 아이디얼의 교집합이기 때문이다.

4. 1. 정수환

정수환 '''Z'''에서, 아이디얼

(n)

이 반소 아이디얼이 될 필요충분조건은 ''n''이 제곱 인수가 없는 정수이거나 0인 것이다.

정수환 '''Z'''에서 아이디얼

\mathbb{Z}/m

의 소근기는 다음과 같이 계산된다.

:

\sqrt{\mathbb Z/m}=\mathbb Z/\left(\prod_{p\mid m}p\right)

여기서

\prod_{p\mid m}p

는 ''m''의 모든 소인수들의 곱을 의미한다. 예를 들어

\sqrt{\mathbb Z/12}=\mathbb Z/6

이다.

좀 더 일반적으로, ''m'''''Z'''의 근기는 ''r'''''Z'''인데, 여기서 ''r''은 ''m''의 모든 서로 다른 소인수의 곱으로, ''m''의 가장 큰 제곱 없는 인수이다.

예시는 다음과 같다.

4의 정수 배수에 대한 아이디얼 4'''Z'''의 근은 2'''Z'''이다.
5'''Z'''의 근은 5'''Z'''이다.
12'''Z'''의 근은 6'''Z'''이다.

4. 2. 다항식환

대수적으로 닫힌 체

K

위의 다항식환

K[x]

은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 다음과 같은 다항식을 생각하자.

:

\prod_{i=1}^k(x-a_i)^{n_i}\in K[x]\qquad(i\ne j\implies a_i\ne a_j)

이 다항식으로 생성되는 주 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

:

\sqrt{\left(\prod_{i=1}^k(x-a_i)^{n_i}\right)}=\prod_{i=1}^k(x-a_i)

4. 3. 데데킨트 정역

데데킨트 정역

R

에서, 영 아이디얼이나

R

가 아닌 아이디얼은 소 아이디얼로 유일하게 인수 분해되며, 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.

:

\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p^{n(\mathfrak p)}

이 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.

:

\sqrt{\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p^{n(\mathfrak p)}}=\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p

5. 응용

급진(근기)을 연구하는 주요 동기는 가환환론의 힐베르트 영점 정리이다. 이 정리는 대수적 닫힌 체 ''k'' 위의 다항식 환 $k[x_1, x_2, \ldots, x_n]$ 의 임의의 아이디얼 ''J''에 대해 다음이 성립한다는 것이다.

: $\operatorname{I}(\operatorname{V}(J)) = \sqrt{J}$

여기서

: $\operatorname{V}(J) = \left\{x \in k^n \mid f(x)=0 \mbox{ for all } f \in J\right\}$

이고,

: $\operatorname{I}(V) = \{f \in k[x_1, x_2,\ldots x_n] \mid f(x)=0 \mbox{ for all } x \in V \}$

이다.

기하학적으로, 이는 만약 대수적 다양체 $V$ 가 다항식 방정식 $f_1=0,\ldots,f_r=0$ 에 의해 정의된다면, $V$ 에서 소멸하는 유일한 다른 다항식은 아이디얼 $(f_1,\ldots,f_r)$ 의 근기 안에 있는 것들이라는 의미이다.

다른 표현으로, 합성 $\operatorname{I}(\operatorname{V}(-))=\sqrt{-}$ 는 환의 아이디얼 집합에 대한 폐포 연산자이다.

6. 역사

반소 아이디얼(Halbprimideal|할프프림이데알^de) 개념은 가환환의 경우 볼프강 크룰이 도입하였고,^[16] 일반적인 환의 경우 나가타 마사요시가 도입하였다.^[17]

참조

_[1] 문서
_[2] 서적 1994
_[3] 문서
_[4] 서적 Algebra: Chapter 0 https://bookstore.am[...] AMS
_[5] 문서
_[6] 서적 1994
_[7] 문서
_[8] 서적 2002
_[9] 문서
_[10] 서적 1969
_[11] 서적 1969
_[12] 문서
_[13] 서적 2002
_[14] 문서
_[15] 서적 A first course in noncommutative rings Springer 2001
_[16] 저널 Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingung http://resolver.sub.[...] 1929
_[17] 저널 On the theory of radicals in a ring 1951-12

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