발산 급수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 역사
3. 총합법의 종류
4. 총합법의 성질
5. 이론적 배경
- 5.1. 아벨형 정리와 타우버형 정리
- 5.2. 한-바나흐 정리 (Hahn-Banach theorem)
6. 응용
참조

1. 개요

발산 급수는 19세기 이전에 수학자들이 다루었으나 모순된 결과를 낳아 한동안 수학계에서 멀어졌다가, 1886년 앙리 푸앵카레의 연구와 함께 다시 등장했다. 발산 급수는 체사로 합, 아벨 합, 보렐 합 등 다양한 총합법을 통해 합을 정의하며, 정칙성, 선형성, 안정성과 같은 성질을 갖는 것이 바람직하다. 아벨 정리와 타우버 정리는 발산 급수의 수렴성을 분석하는 데 사용되며, 발산 급수의 합산은 외삽법, 수열 변환, 재규격화 기술 등과 관련이 있다.

더 읽어볼만한 페이지

급수 - 테일러 급수
테일러 급수는 매끄러운 함수를 무한 멱급수로 나타내는 방법으로, 함수의 미분 계수를 사용하여 함수를 근사하며, a=0일 때의 테일러 급수를 매클로린 급수라고 한다.
급수 - 멱급수
멱급수는 실수 또는 복소수 체에서 정의되며, 수렴 영역과 반지름을 가지며 미분, 적분, 사칙연산이 가능하고 해석 함수와 관련되어 상미분 방정식의 해를 구하는 데 활용된다.

발산 급수
정의
발산 급수	수렴하지 않는 무한 급수
개요
특징	일반적인 덧셈으로는 합을 구할 수 없음 특정한 방법(예: 체자ロ 합 또는 아벨 합)을 사용하여 유한한 값을 부여할 수 있음
발산 급수의 예시
1 + 1 + 1 + 1 + ⋯	ζ(0) = −1/2 ( 리만 제타 함수의 해석적 연속)
그란디 급수 (1 − 1 + 1 − 1 + ⋯)	1/2 (체자ロ 합 또는 아벨 합)
1 − 2 + 3 − 4 + ⋯	1/4 (체자ロ 합 또는 아벨 합)
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯	ζ(−1) = −1/12 ( 리만 제타 함수의 해석적 연속)
1 + 2 + 4 + 8 + ⋯	-1 (오일러 합)
조화 급수 (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯)	발산 (양의 무한대로 발산)
발산 급수와 관련된 개념
수렴 급수	수렴하는 무한 급수
체자ロ 합	발산 급수에 값을 할당하는 방법 중 하나
아벨 합	발산 급수에 값을 할당하는 또 다른 방법
정칙화	물리학에서 발산하는 적분이나 급수에 유한한 값을 할당하는 기술
주의 사항
계산의 위험성	발산 급수를 다룰 때는 주의해야 하며, 잘못된 계산으로 이어질 수 있음
다양한 합	발산 급수에 값을 할당하는 방법은 여러 가지가 있으며, 그 결과는 방법마다 다를 수 있음

2. 역사

19세기 이전에는 레온하르트 오일러를 비롯한 여러 수학자들이 발산 급수를 자주 사용했지만, 때때로 모순되는 결과들이 나타났다. 오귀스탱 루이 코시가 수렴 급수에 대한 엄밀한 정의를 내놓은 후, 발산 급수는 한동안 수학계에서 거의 다루어지지 않았다.

1886년, 앙리 푸앵카레가 점근 급수를 연구하면서 발산 급수가 다시 등장했다. 1890년에는 에르네스토 체사로가 일부 발산 급수에 대한 엄밀한 정의를 내릴 수 있음을 보이고 체사로 합을 정의했다. 그러나 체사로 합이 발산 급수의 합을 구하는 유일한 방법은 아니었으며, 이후 여러 수학자들이 다양한 총합법을 제시했지만, 이 방법들은 항상 일관된 결과를 보장하지는 않았다. 따라서 발산 급수의 합을 논할 때는 어떤 총합법을 사용하는지를 명시해야 한다.

3. 총합법의 종류

19세기 이전에는 레온하르트 오일러 등이 발산 급수를 널리 사용했지만, 종종 혼란스럽고 모순된 결과를 초래했다. 오일러는 발산 급수의 합이 무엇을 의미하는지 먼저 정의하지 않고, 모든 발산 급수가 자연적인 합을 가져야 한다는 생각을 가지고 있었다. 오귀스탱 루이 코시는 결국 (수렴하는) 급수의 합에 대한 엄밀한 정의를 내렸고, 이후 한동안 발산 급수는 수학에서 거의 제외되었다.^[1]

앙리 푸앵카레의 점근 급수에 대한 연구와 함께 1886년에 발산 급수가 다시 나타났다. 1890년, 에르네스토 체사레는 일부 발산 급수의 합에 대한 엄밀한 정의를 내릴 수 있다는 것을 깨닫고 체사로 합을 정의했다. 체사로의 핵심 기여는 이 방법의 발견이 아니라 발산 급수의 합에 대한 명시적인 정의를 내려야 한다는 그의 아이디어였다.^[1]

체사로의 논문 이후 몇 년 동안, 여러 다른 수학자들이 발산 급수의 합에 대한 다른 정의를 내렸지만, 이들은 항상 호환되지 않았다. 서로 다른 정의는 동일한 발산 급수의 합에 대해 서로 다른 답을 줄 수 있다. 따라서 발산 급수의 합에 대해 이야기할 때는 어떤 합산 방법을 사용하고 있는지 명시해야 한다.^[1]

총합법은 일반적으로 정칙성, 선형성, 안정성(이동성)의 세 가지 주요 속성을 갖는다.

'''정칙성''': 수렴하는 수열에 대해 그 극한값과 일치하는 값을 할당한다.
'''선형성''': 정의된 수열에 대해 선형 함수로 작용한다.
'''안정성'''(또는 ''이동성''): 수열의 첫 항을 제거하고 나머지 항에서 첫 항을 뺀 새로운 수열에 대해, 원래 수열의 합과 새로운 수열의 합 사이에 일정한 관계가 성립한다.

몇몇 중요한 총합법들은 안정성을 갖지 않는다.^[3]

두 개의 서로 다른 총합법 '''A'''와 '''B'''가 있을 때, 두 방법 모두가 값을 할당하는 모든 수열에 대해 같은 값을 할당하면 두 방법은 '''일관성'''이 있다고 한다. 두 방법이 일관성이 있고, 하나가 다른 것보다 더 많은 급수를 합산하면, 더 많은 급수를 합산하는 것이 더 강력하다.

정칙적이거나 선형적이지 않은 강력한 수치 합산 방법도 있다. 예를 들어 레빈형 수열 변환 및 파데 근사와 같은 비선형 수열 변환과 재규격화 기술을 기반으로 하는 섭동 급수의 차수에 의존하는 매핑 등이 있다.

발산 급수의 합산은 외삽법 및 숫자적 기술로서의 수열 변환과 관련이 있다. 이러한 기술의 예로는 파데 근사, 레빈형 수열 변환 및 양자 역학에서 고차 섭동 이론에 대한 재규격화 기술과 관련된 차수 의존 매핑이 있다.

몇 가지 잘 알려진 총합법은 다음과 같다.

체사로 합: 뇌를룬 평균의 일종으로, ''k''차 체사로 합은 ''C''_''k''로 표기한다.
아벨 총합: 멱급수를 이용하는 방법으로, 체사로 합보다 강력하다.
보렐 총합: 지수 함수를 이용한 적분을 통해 급수의 합을 구한다.
그 외에, 린델뢰프 합, 미타그-레플러 합, 라마누잔 합, 해석적 연속등 다양한 총합법이 존재한다.

3. 1. 체사로 총합 (Cesàro summation)

''p''_''n''이 ''p''₀부터 시작하는 양의 항의 수열이고, 다음을 만족한다고 가정한다.

:

\frac{p_n}{p_0+p_1 + \cdots + p_n} \rightarrow 0.

가중 평균을 구하기 위해 ''p''를 사용하여 수열 s를 변환하면 다음과 같이 정의된다.

:

t_m = \frac{p_m s_0 + p_{m-1}s_1 + \cdots + p_0 s_m}{p_0+p_1+\cdots+p_m}

''n''이 무한대로 갈 때 ''t_n''의 극한은 뇌를룬 평균 '''N'''_''p''(''s'')이라고 불리는 평균이 된다. 뇌를룬 평균은 정칙적이고, 선형적이며, 안정적이다. 또한, 임의의 두 뇌를룬 평균은 일치한다.

가장 중요한 뇌를룬 평균은 체사로 합이다. 여기서 수열 ''p^k''를 다음과 같이 정의한다.

:

p_n^k = {n+k-1 \choose k-1}

체사로 합 ''C''_''k''는 다음과 같이 정의된다.

:

C_k(s) = \mathbf{N}(p^k)(s)

''k'' ≥ 0인 경우 체사로 합은 뇌를룬 평균이므로 정규적이고, 선형적이며, 안정적이고, 일관적이다. ''C''₀는 일반적인 합이고, ''C''₁은 일반적인 체사로 합이다. ''h'' > ''k''인 경우 ''C''_''h''가 ''C''_''k''보다 강하다.

3. 2. 아벨 총합 (Abel summation)

Abel summation^영어인 아벨 총합은 멱급수를 이용해 급수의 합을 구하는 방법으로, 체사로 합보다 강력하다.

λ = {λ_''0'', λ_''1'', λ_''2'', ...} 가 λ ≥ 0 인 진정한 증가 수열로 무한대로 발산한다고 가정한다. 임의의 양의 실수 ''x'' 에 대해,

:

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \exp(-\lambda_n x)

가 수렴한다고 가정할 때, '''아벨 평균''' (Abelian mean) ''A''_λ 는

:

A_\lambda(s) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x)

로 정의된다. 이 종류의 급수는 일반화된 디리클레 급수로 알려져 있다. 또한, 물리학에 응용될 때는 로도 알려져 있다.^[1]

아벨 평균은 정칙, 선형 및 안정적이지만, λ 의 선택에 따라 반드시 일관성을 갖지는 않는다. 하지만, 어떤 특별한 경우에는 매우 중요한 총화법이다.^[2]

아벨의 정리에 의해 λ_''n'' = ''n''으로 놓으면, '''아벨 총합법'''을 얻을 수 있다. 여기서

:

f(x) := \sum_{n=0}^\infty a_n \exp(-nx) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n =: g(z)

(단, ''z'' = exp(−''x''))라고 놓으면, ''f''(''x'')의 ''x''를 양의 방향에서 0에 가깝게 한 극한은, 멱급수 ''g''(''z'')의 ''z''를 양의 실수를 거쳐 아래에서 1에 가깝게 한 극한과 일치하며, '''아벨 합''' ''A''(''s'')는

:

A(s) = \lim_{z \to 1^{-}} \sum_{n=0}^\infty a_n z^n

으로 정의된다.^[3] 아벨 총합법은 체사로 합과 모순되지 않고, 체사로 합보다 강하다는 중요한 특징이 있다. 즉, ''A''(''s'') = ''C''_''k''(''s'')가, 우변이 정의되는 한 반드시 성립한다. 따라서, 아벨 합은 정칙, 선형, 안정적이며 체사로 합과 일관성을 가진다.^[4]

3. 3. 보렐 총합 (Borel summation)

보렐 합은 지수 함수를 이용한 적분을 통해 급수의 합을 구하는 방법이다. Borel summation^영어은 ''J''(''x'') = ''e''^''x''인 경우에 해당하며, 이 경우 급수의 합은 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

\int_0^\infty e^{-t}\sum\frac{a_nt^n}{n!} \, dt.

이 적분이 존재하면, 이 값을 급수의 합으로 정의한다.

변수 ''α''에 의존하는 (B′, ''α'') 합은 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

\int_0^\infty e^{-t}\sum\frac{a_nt^{n\alpha}}{\Gamma(n\alpha+1)} \, dt

만약 이 적분이 존재하면, 이 값을 급수의 합으로 정의한다. 더 나아가, 적분 아래의 합을 작은 ''t''로부터의 해석적 연속으로 대체하는 일반화도 가능하다.^[1]

3. 4. 해석적 연속 (Analytic continuation)

함수의 해석적 연속을 통해 급수의 합을 구하는 방법들이 있다.

만약 Σ''a''_''n''''x''^''n''이 작은 복소수 ''x''에 대해 수렴하고, ''x'' = 0에서 점 ''x'' = 1까지의 어떤 경로를 따라 해석적으로 연장될 수 있다면, 급수의 합은 ''x'' = 1에서의 값으로 정의될 수 있다. 이 값은 경로의 선택에 따라 달라질 수 있다.

칼레(Callet)는

1 \leq m < n

이면

\frac{1-x^m}{1-x^n} = \frac{1 + x + \dots + x^{m-1}}{1 + x + \dots x^{n-1}} = 1 - x^m + x^n - x^{n+m} + x^{2n} - \dots

x=1

에서 평가하면,

1 - 1 + 1 - 1 + \dots = \frac{m}{n} .

을 얻는다는 해석적 연속을 이용해 발산 급수에 대해 다른 합을 가질 수 있다는 첫 번째 예시 중 하나를 제시했다.

하지만, 급수 내의 간격이 핵심인데, 예를 들어

m=1, n=3

의 경우, 실제로

1-1+0+1-1+0+1-1+\dots = \frac{1}{3}

이므로, 서로 다른 합은

0

의 서로 다른 배치에 해당한다.

해석적 연장의 또 다른 예시는 발산하는 교대 급수이다.

\sum_{k \ge 0} (-1)^{k+1}\frac{1}{2k-1}\binom{2k}{k}=1+2-2+4-10+28-84+264-858+2860-9724+\cdots

이 급수는

\Gamma

-함수와 포흐하머 기호의 곱의 합이다.

\Gamma

-함수의 배가 공식 일반화된 초기하 급수을 사용하면,

\ldots =\sum_{k \ge 0} (-4)^k\frac{(-1/2)_k}{k!}={}_1F_0(-1/2;;-4) = \sqrt{5}.

로 축약된다.

오일러 합은 본질적으로 해석적 연속의 명시적인 형태이다. 만약 멱급수가 작은 복소수 ''z''에 대해 수렴하고, -1/''q'' + 1에서 1까지의 지름을 가진 열린 원으로 해석적으로 연속될 수 있으며, 1에서 연속성을 가진다면, ''q''에서의 그 값은 급수 Σ''a''_''n''의 오일러 합 또는 (E,''q'') 합이라고 불린다. 오일러는 해석적 연속이 일반적으로 정의되기 전에 이를 사용했으며, 해석적 연속의 멱급수에 대한 명시적인 공식을 제공했다.

오일러 합 연산은 여러 번 반복될 수 있으며, 이는 본질적으로 멱급수의 해석적 연속을 점 ''z'' = 1로 취하는 것과 같다.

어떤 합산 방법은 다음과 같은 디리클레 급수의 해석적 연속 값으로 정의한다.

:

f(s) = \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s}+ \cdots

이 값이 존재하고 유일하다면, s = 0에서 그 값을 정의한다. 이 방법은 때때로 제타 함수 정규화와 혼동되기도 한다.

만약 s = 0이 고립 특이점이라면, 합은 로랑 급수 전개의 상수항으로 정의된다.

만약 다음과 같은 급수

:

f(s) = \frac{1}{a_1^s} + \frac{1}{a_2^s} + \frac{1}{a_3^s}+ \cdots

(''a''_''n''은 양수)가 큰 실수 ''s''에 대해 수렴하고, 실수선 상에서 ''s'' = −1까지 해석적으로 연장될 수 있다면, ''s'' = −1에서의 값은 급수 ''a''₁ + ''a''₂ + ...의 제타 정칙화된 합이라고 불린다. 제타 함수 정칙화는 비선형이다.

응용 분야에서, 숫자 ''a''_''i''는 때때로 콤팩트 레졸벤트를 갖는 자기 수반 연산자 ''A''의 고유값이며, 이때 ''f''(''s'')는 ''A''^−''s''의 대각합이다. 예를 들어, ''A''가 고유값 1, 2, 3, ...을 갖는다면, ''f''(''s'')는 리만 제타 함수, ''ζ''(''s'')이며, ''s'' = −1에서의 값은 -1/12로, 발산 급수 1 + 2 + 3 + 4 + ...에 값을 할당한다. 다른 ''s'' 값도 발산 합 ζ(0) = 1 + 1 + 1 + ... = -1/2, ζ(-2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0에 값을 할당하는 데 사용될 수 있으며, 일반적으로

:

\zeta(-s)=\sum_{n=1}^\infty n^s=1^s + 2^s + 3^s + \cdots = -\frac{B_{s+1}}{s+1}\, ,

여기서 ''B_k''는 베르누이 수이다.^[4]

아벨 평균에서 (첨자는 1부터 시작하는 것으로 하여) λ_''n'' = ''n'' ln(''n'')으로 두면,

:

f(x) = a_1 + a_2 2^{-2x} + a_3 3^{-3x} + \cdots

가 되어, '''린델뢰프 합''' Lindelöf sum^영어 ''L''(''s'')가 ''x''를 0에 접근시킬 때의 ''f''(''x'')의 극한으로 정해진다. 미타그-레플러 스타에서의 멱급수의 합이나, 기타 응용에서 멱급수에 적용할 때, 린델뢰프 합은 강력한 총화법이다.

''g''(''z'')가 0 주변의 어떤 원판에서 해석적이고, 따라서 수렴 반지름이 양수인 매클로린 급수 ''G''(''z'')를 가진다고 가정하면, ''L''(''G''(''z'')) = ''g''(''z'')가 미타그-레플러 스타에서 성립한다. 더 나아가 ''g''(''z'')에 대한 수렴은 스타의 콤팩트 부분 집합 위에서 균일하다.

4. 총합법의 성질

총합법은 발산 급수에 값을 부여하는 방법으로, 일반적인 합과는 다른 값을 부여할 수도 있다. 바람직한 총합법은 일반적으로 다음 세 가지 성질을 만족해야 한다.

'''정칙성''' (Regularity): 수렴 급수에 대해서는 일반적인 합과 같은 값을 부여해야 한다.
'''선형성''' (Linearity): 정의된 수열에 대해 선형 함수여야 한다.
'''안정성''' (Stability): 급수의 앞부분에 유한 개의 항을 추가하거나 제거해도 합이 변하지 않아야 한다.

하지만, 보렐 합산과 같이 안정성을 만족하지 않는 중요한 총합법도 존재한다.^[3] 안정성보다 약한 조건으로 유한 재색인 가능성이 있다.

두 총합법 '''A''', '''B'''가 있을 때, 두 방법 모두 값을 할당하는 모든 수열에 대해 같은 값을 부여하면 두 총합법은 '''일관성'''(Consistent)이 있다고 한다. 일관성이 있는 두 총합법 중 하나가 다른 것보다 더 많은 급수를 합산할 수 있다면, 더 많은 급수를 합산하는 방법이 더 '''강력하다'''고 말한다.

정칙성, 선형성, 안정성을 공리로 사용하면, 초등 대수 조작만으로 많은 발산 급수를 합산할 수 있다. 예를 들어, 공비가 1이 아닌 기하 급수의 합을 수렴 여부에 관계없이 다음과 같이 구할 수 있다.

:

\begin{align}G(r,c) & = \sum_{k=0}^\infty cr^k & & \\& = c + \sum_{k=0}^\infty cr^{k+1} & & \text{ (안정성) } \\& = c + r \sum_{k=0}^\infty cr^k & & \text{ (선형성) } \\& = c + r \, G(r,c), & & \text{ 그래서 } \\G(r,c) & = \frac{c}{1-r} ,\text{ 무한대가 아닌 한} & & \\\end{align}

뇌를룬 평균, 체사로 합, 아벨 합 등은 정칙성, 선형성, 안정성을 만족하는 총합법의 예시이다.

4. 1. 정칙성 (Regularity)

총화법은 수렴 급수에 대해서는 일반적인 합과 같은 값을 부여해야 한다. 즉, 부분합 수열 ''s''가 ''x''로 수렴할 때, 총화법 '''A'''는 '''A'''(''s'') = ''x''를 만족해야 한다. 이는 대응하는 급수-총화법 '''A'''^''Σ''에 대해서도 마찬가지로, '''A'''^''Σ''(''a'') = ''x'' 가 성립해야 한다.^[1]^[2]

4. 2. 선형성 (Linearity)

'''선형성'''(Linearity)은 합산 방법 '''A'''가 정의된 수열에 대해 선형 함수인 경우를 말한다. 즉, 수열 ''r'', ''s''와 실수 또는 복소수 스칼라 ''k''에 대해 다음이 성립한다.^[1]

:

\mathbf{A}(k r + s) = k \mathbf{A}(r) + \mathbf{A}(s)

급수 ''a''의 항

a_{n+1} = s_{n+1} - s_n

은 수열 ''s''에 대한 선형 함수이고 그 반대도 마찬가지이므로, 이는 '''A'''^''Σ''가 급수의 항에 대한 선형 함수인 것과 동일하다.

4. 3. 안정성 (Stability)

'''안정성'''(또는 ''이동성''이라고도 함)은 급수의 앞부분에 유한 개의 항을 추가하거나 제거해도 합이 변하지 않아야 함을 의미한다.^[1]^[2] 즉, ''s''가 ''s''₀부터 시작하는 수열이고, ''s''′가 첫 번째 값을 생략하고 나머지에서 빼서 얻은 수열( )인 경우, '''A'''(''s'')는 '''A'''(''s''′)가 정의될 때만 정의되며, 가 성립해야 한다. 이와 동등하게, 모든 ''n''에 대해 인 경우, 가 성립해야 한다.^[1]^[2]

이는 shift rule이 이 방법으로 합산 가능한 급수에 대해 유효해야 한다는 것을 의미한다.

하지만, 보렐 합산과 같은 일부 중요한 방법은 이 조건을 만족하지 않는다.^[3]

안정성보다 약한 조건으로 유한 재색인 가능성이 있다. 이는 급수 ''a''와 ''a''′가 전단사 함수를 통해 유한 개의 항을 제외하고 동일한 값을 가지는 경우, 두 급수의 합이 같아야 함을 의미한다. 안정성을 만족하는 모든 합산 방법은 유한 재색인 가능성을 만족하지만, 그 역은 성립하지 않는다.

5. 이론적 배경

이론적 배경에 대한 내용은 주어진 자료가 없어 작성할 수 없다. 하위 섹션의 내용 또한 직접적으로 포함할 수 없으므로, 이 섹션은 비워둔다.

5. 1. 아벨형 정리와 타우버형 정리

아벨의 정리가 원형적인 예시이므로 총화법 ''M''이 수렴 급수에 대해서는 통상의 합과 일치하는 것을 '''아벨형 정리'''라고 한다.^[1] 이와는 다르게, 알프레드 타우버가 증명한 전형적인 정리에서 따온 '''타우버형 정리'''는 ''M''이 급수 Σ를 총화하고, 또한 "어떤 특정 부가 조건을 만족한다"면, Σ는 원래 수렴 급수라는 것을 말한다.^[1] 만약 "어떠한 부가 조건도 부과하지 않는 형태로 타우버형 정리가 성립한다"면 ''M''은 수렴 급수만 총화할 수 있다는 의미가 된다.^[1]

5. 2. 한-바나흐 정리 (Hahn-Banach theorem)

한-바나흐 정리에 따르면, 부분합이 유계인 모든 수열을 합하는 합산 방법은 선형성을 가지며, 바나흐 극한으로 확장될 수 있다.^[1]^[2] 그러나 이 확장은 서로 모순될 수 있고, 선택 공리나 초른의 보조정리와 같이 구성적이지 않은 방법을 사용해야 하므로 실제로 유용하지 않다.^[3]

6. 응용

만약 다음과 같은 급수

: $f(s) = \frac{1}{a_1^s} + \frac{1}{a_2^s} + \frac{1}{a_3^s}+ \cdots$

(여기서 ''a''_''n''은 양수)가 큰 실수 ''s''에 대해 수렴하고, 실수선 상에서 ''s'' = −1까지 해석적으로 연장될 수 있다면, ''s'' = −1에서의 값은 급수 ''a''₁ + ''a''₂ + ...의 제타 정칙화된 합이라고 불린다. 제타 함수 정칙화는 비선형이다.

응용 분야에서, 숫자 ''a''_''i''는 때때로 콤팩트 레졸벤트를 갖는 자기 수반 연산자 ''A''의 고유값이며, 이때 ''f''(''s'')는 ''A''^−''s''의 대각합이다. 예를 들어, ''A''가 고유값 1, 2, 3, ...을 갖는다면, ''f''(''s'')는 리만 제타 함수, ''ζ''(''s'')이며, ''s'' = −1에서의 값은 -1/12로, 발산 급수 1 + 2 + 3 + 4 + ...에 값을 할당한다. 다른 ''s'' 값도 발산 합 1=''ζ''(0) = 1 + 1 + 1 + ... = -1/2, 1=''ζ''(−2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0에 값을 할당하는 데 사용될 수 있으며, 일반적으로

: $\zeta(-s)=\sum_{n=1}^\infty n^s=1^s + 2^s + 3^s + \cdots = -\frac{B_{s+1}}{s+1}\, ,$

여기서 ''B_k''는 베르누이 수이다.^[4]

참조

_[1] 웹사이트 Summation methods http://www.numerican[...]
_[2] 웹사이트 Translativity http://www.encyclope[...] Springer
_[3] 간행물 Borel summation of ''n''-multiple series, and entire functions associated with them
_[4] 웹사이트 The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation http://terrytao.word[...] 2010-04-10
_[5] 논문 Hyperreal Numbers for Infinite Divergent Series 2020-01

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com