멱급수

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1. 개요
2. 정의
3. 연산
4. 성질
5. 예시
6. 응용
7. 다변수 멱급수
8. 멱급수의 차수
참조

1. 개요

멱급수는 실수 또는 복소수 체에서 정의되는 급수의 한 종류로, 중심과 계수를 사용하여 표현되며, 특정 범위 내에서 수렴한다. 멱급수는 수렴 영역, 수렴 반지름 등의 개념을 가지며, 코시-아다마르 정리에 의해 수렴 반지름을 구할 수 있다. 멱급수는 미분, 적분, 사칙연산 등의 연산이 가능하며, 아벨 극한 정리를 만족한다. 멱급수는 해석 함수와 밀접한 관련이 있으며, 특이점을 가질 수 있다. 멱급수는 다항식, 등비급수, 지수 함수, 삼각 함수 등의 다양한 형태로 나타나며, 상미분 방정식의 해를 구하거나 형식적 멱급수 형태로 추상대수학 및 조합론에 응용된다. 또한 여러 변수를 갖는 다변수 멱급수로 확장될 수 있으며, 다변수 미적분학에서 활용된다. 멱급수의 차수는 0이 아닌 계수를 갖는 항의 가장 작은 거듭제곱으로 정의된다.

2. 정의

체 $\mathbb K$ 가 실수체 또는 복소수체일 때, 주어진 $x_0\in\mathbb K$ 에 대하여, '''중심 $x_0$ 의 멱급수'''는 다음과 같은 꼴의 급수로 정의된다.^[9]

: $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots$

여기서

: $a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K$

이다. 특히, 중심이 0인 멱급수

: $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$

는 자주 사용된다. 이 멱급수가 수렴하게 만드는 $x\in\mathbb K$ 의 집합

: $\left\{x\in\mathbb K\colon\exists\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\right\}$

을 이 멱급수의 '''수렴 영역'''이라고 한다.^[6] 실수 멱급수의 경우 '''수렴 구간'''이라고 하기도 하고, 복소수 멱급수의 경우 '''수렴 원판'''이라고 하기도 한다. 이 멱급수의 '''수렴 반지름'''은 다음과 같이 정의된다.

: $r=\sup\left\$

3. 연산

같은 중심 c를 가지는 두 멱급수:

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n

:

g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n

에서, 합과 차의 멱급수는 항별 덧셈과 뺄셈으로 구할 수 있다.

:

f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n

두 멱급수의 곱은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}f(x)g(x) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right) \\&= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j} \\&= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.\end{align}

이때, 수열

m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}

는 수열

a_n

과

b_n

의 코시곱이다.

멱급수는 수렴 영역의 내부에서 미분 가능하며, 각 항별로 미분 및 적분할 수 있다.

::

f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}

::

\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.

(여기서 k는 부정적분의 적분 상수이다)

이렇게 얻은 급수는 모두 원래 급수와 같은 수렴 반지름을 갖는다.

3. 1. 사칙연산

중심이 같은 두 멱급수

:

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n

:

\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n

의 수렴 반지름을 각각

0 라고 하자.

형식적 멱급수로서의 합, 차, 곱

:

\sum_{n=0}^\infty(a_n+b_n)(x-x_0)^n

:

\sum_{n=0}^\infty(a_n-b_n)(x-x_0)^n

:

\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^na_{n-k}b_k\right)(x-x_0)^n

의 수렴 반지름은 모두

\left[\min\{r,r'\},\infty\right]

에 속한다.^[7] 만약

r\ne r'

일 경우 합과 차의 수렴 반지름은 정확히

\min\{r,r'\}

이다.

두 멱급수의 합은 두 급수의 수렴반지름 중 더 작은 값 이상의 수렴반지름을 갖지만, 두 값보다 클 수도 있다.^[2] 예를 들어

a_n = (-1)^n

이고

b_n = (-1)^{n+1} \left(1 - \frac{1}{3^n}\right)

이면, 두 급수 모두 수렴반지름이 1과 같지만, 급수

\sum_{n=0}^\infty \left(a_n + b_n\right) x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n} x^n

의 수렴반지름은 3이다.

b_0\ne 0

일 경우, 형식적 멱급수로서의 몫

:

\sum_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n\qquad\left(c_0=\frac{a_0}{b_0},\;c_1=\frac{a_0-b_1c_0}{b_0},\;c_2=\frac{a_0-b_1c_1-b_2c_0}{b_0},\;\dots\right)

의 수렴 반지름은

:

[r'',\infty]

에 속한다. 여기서

:

r''=\inf\left(\{r,r'\}\cup\left\

3. 2. 합성

두 멱급수:

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad(x_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K)

:

\sum_{n=0}^\infty b_n(x-a_0)^n\qquad(b_0,b_1,b_2,\dots\in\mathbb K)

의 수렴 반지름이

0 라고 하자. 그렇다면, 형식적 멱급수로서의 합성

:

\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^\infty a_k\sum_{j_1,j_2,\dotsc,j_k\ge 1}^{j_1+j_2+\cdots+j_k=n}b_{j_1}b_{j_2}\cdots b_{j_k}\right)(x-x_0)^n

의 수렴 반지름은

:

[r'',\infty]

에 속한다. 여기서

:

r''=\sup\left\{0

이다. 또한 이는 자신의 수렴 영역에서 원래 두 멱급수의 합성으로 수렴한다.

3. 3. 미분

멱급수의 수렴 반지름이

0 이면, 형식적 멱급수로서의 도함수

:

\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}

의 수렴 반지름은

r

이다.^[9] 이는 수렴 영역의 내부

\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)

에서 원래 멱급수의 도함수로 수렴한다. 도함수 멱급수가 수렴 영역의 경계점

\xi\in\partial\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)

에서 수렴하면, 원래 멱급수 역시

\xi

에서 수렴한다. 그러나 이에 대한 역은 일반적으로 성립하지 않는다.^[8]

함수

f(x)

가 멱급수로 주어지면, 수렴 구간 내부에서 미분 가능하다. 미분과 적분은 모두 함수의 선형 변환이므로, 각 항을 따로따로 미분하고 적분할 수 있다.

\begin{align}f'(x) &= \sum_{n=1}^\infty a_n n (x - c)^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} (n + 1) (x - c)^n, \\\int f(x)\,dx &= \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n (x - c)^{n+1}}{n + 1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} (x - c)^n}{n} + k.\end{align}

이 두 급수는 원래 급수와 같은 수렴 반지름을 갖는다.

함수가 멱급수로 주어지면, 수렴 영역의 내부에서 미분 가능하다. 이는 매우 쉽게 미분 및 적분할 수 있는데, 각 항별로 처리하면 된다:

::

f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}

::

\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.

(여기서 k는 부정적분의 적분 상수를 나타낸다)

이와 같이 항별로 미분 또는 적분하여 얻은 급수는 모두 원래 급수와 같은 수렴 반지름을 갖는다.

3. 4. 적분

함수

f(x)

가 멱급수로 주어지면, 수렴 구간 내부에서 미분 가능하며, 각 항을 따로따로 적분할 수 있다.

::

\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.

(여기서

k

는 부정적분의 적분 상수이다)

이와 같이 항별로 적분하여 얻은 급수는 모두 원래 급수와 같은 수렴 반지름을 갖는다.

3. 5. 중심의 변경

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad(x_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K)

의 수렴 반지름이

0 라고 하자. 그렇다면, 임의의 수렴 영역 내부의 점 x_1\in\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r) 에 대하여, 중심 x_1 의 멱급수

:

\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=n}^\infty\binom kna_k(x_1-x_0)^{k-n}\right)(x-x_1)^n

의 수렴 반지름은

:

[r-|x_1-x_0|,r+|x_1-x_0|]

에 속하며, 새로운 멱급수는 원래 멱급수와 스스로의 수렴 영역의 교집합에서 원래 멱급수로 수렴한다.^[7]

4. 성질

멱급수는 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다.

수렴 반지름: 중심이

x_0

인 멱급수

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n

는 특정 수렴 반지름

r

을 가지며, 코시-아다마르 정리에 따라 이 값은

\frac 1r=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]

으로 주어진다.^[9]

아벨 극한 정리: 멱급수가 수렴하는 경계점 근방에서의 극한에 대한 정리로, 이에 따르면 멱급수는 수렴하는 경계점을 포함한 수렴 영역 전체에서 연속 함수이다.^[9]

해석 함수와의 관계: 멱급수는 수렴 영역 내부에서 해석 함수가 되며, 테일러 급수로 유일하게 표현된다.

특이점: 복소수 멱급수의 경우, 수렴 반지름 경계에서 해석적 연속이 불가능한 특이점이 존재한다.^[10]

4. 1. 수렴 반지름

중심이

x_0

인 멱급수

:

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\qquad(x_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb K)

의 수렴 반지름을

r

라고 할 때, 이 멱급수는 다음 성질을 갖는다.

열린 공

:

\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)=\{x\in\mathbb K\colon|x-x_0|

에서 절대 수렴하고 콤팩트 수렴한다.^[9]

: $\{x\in\mathbb K\colon|x-x_0|>r\}$

의 모든 점에서 발산한다.^[9]

$r=0$ 이면 수렴 영역은 $\{x_0\}$ 이다.
$r=\infty$ 이면 수렴 영역은 $\mathbb K$ 전체이다.
$0 일 때, 수렴 영역의 경계$

:

\partial\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)=\{x\in\mathbb K\colon|x-x_0|=r\}

의 점에서는 멱급수가 수렴할 수도, 발산할 수도 있다.

멱급수가 수렴 영역의 경계점 $\xi\in\partial\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)$ 에서 수렴하면, 멱급수는 선분

:

\{(1-t)x_0+t\xi\colon t\in[0,1]\}

에서 균등 수렴한다.

실수 멱급수는 전체 수렴 영역에서 콤팩트 수렴한다.

코시-아다마르 정리에 따르면, 수렴 반지름

r

는 다음과 같이 주어진다.^[9]

:

\frac 1r=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]

4. 2. 아벨 극한 정리

아벨 극한 정리에 따르면, 임의의

0 에 대하여,

:

\lim_{{x\to\xi}\atop{{|x-x_0| 4. 3. 해석 함수와의 관계 열린집합 의 모든 열린원판에서 중심이 열린원판의 중심인 수렴하는 멱급수로 전개되는 함수를 해석 함수 라고 한다. 특히, 모든 멱급수는 수렴 영역의 내부에서 해석 함수이다. 만약 \mathbb K=\mathbb C 일 경우, 해석 함수와 미분 가능 함수의 개념은 일치하며, 이를 다른 말로 정칙 함수 라고도 한다. 그러나 만약 \mathbb K=\mathbb R 일 경우, 모든 계의 도함수를 갖는 함수는 해석 함수보다 약한 개념이다.

연결 열린집합

D\subseteq\mathbb K

에 정의된 해석 함수

f\colon D\to\mathbb K

의 열린원판

\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r)\subseteq D

에서의 멱급수 전개는 테일러 급수

:

f(x)=\sum_{n=0}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\qquad(x\in\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r))

로 유일하다. 만약 이 테일러 급수의 실제 수렴 반지름

r'

이

:

\inf_{x\in\partial D}|x-x_0|

를 만족시키고,

D\cap\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r'')

이 연결 열린집합이 되는

:

\inf_{x\in\partial D}|x-x_0|

이 존재한다면,

f

는

x_0

에서의 멱급수 전개를 통해

D

를 포함하는 더 큰 연결 열린집합

D\cup\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r'')

위의 해석 함수로 확장될 수 있다. 즉,

D\cup\operatorname{ball}_{\mathbb K}(x_0,r'')

위에서

f

의 해석적 연속이 존재한다. 주어진 해석 함수가 주어진 더 큰 정의역 위에서 해석적 연속을 갖는다면 이는 유일하다. 그러나 만약

\mathbb K=\mathbb C

일 경우, 위와 같은 확장 과정을 어떤 닫힌 곡선을 따라 반복하면 일반적으로 다가 함수를 얻는다.

4. 4. 특이점

복소수 멱급수

:

\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n\qquad(z_0,a_0,a_1,a_2,\dots\in\mathbb C)

의 수렴 반지름이

0 이라고 하자. 그렇다면, 이 멱급수는 특이 경계점을 갖는다. 즉, \operatorname{ball}_{\mathbb C}(z_0,r)\cup\{\zeta\} 의 근방 위에서 이 멱급수의 해석적 연속이 존재하지 않는 \zeta\in\partial\operatorname{ball}_{\mathbb C}(z_0,r) 가 존재한다.

^[10]

5. 예시

임의의 다항식은 임의의 중심 주위의 멱급수로 표현될 수 있으며, 이때 다항식의 차수보다 높은 차수의 모든 항의 계수는 0이다.^[1] 예를 들어, 다항식 $f(x) = x^2 + 2x + 3$ 은 중심 $c = 0$ 주위의 멱급수로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots$

중심 $c = 1$ 주위에서는 다음과 같다.

$f(x) = 6 + 4(x - 1) + 1(x - 1)^2 + 0(x - 1)^3 + 0(x - 1)^4 + \cdots.$

멱급수는 "무한 차수의 다항식"과 같다고 볼 수 있지만, 멱급수는 엄밀한 의미에서 다항식은 아니다.

등비급수 공식

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,$

는 $|x| < 1$ 일 때 성립하며, 지수 함수 공식

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

및 모든 실수 ''x''에 대해 성립하는 사인 함수 공식

$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n + 1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots,$

과 함께 멱급수의 중요한 예시이다. 이러한 멱급수는 테일러 급수(좀 더 구체적으로는 매클로린 급수)의 예시이다.

6. 응용

멱급수는 상미분 방정식의 해를 구하는 데 사용될 수 있다. (프로베니우스 방법)

: $y''+p\left( x \right)y'+q\left( x \right)y=r\left( x \right)$

를 만족시키는 y를 거듭제곱 급수 형태로 가정하고 풀어낼 수 있다. 단, $p\left( x \right),q\left( x \right),r\left( x \right)$ 가 $x=x_{o}$ 에서 해석적(analytic)이어야 한다. 다변수 미적분학에서 멱급수는 다변수 함수의 테일러 급수를 정의하는 데 사용된다.

형식적 멱급수는 조합론에서 생성 함수를 다루는 데 사용된다.^[1] 추상대수학에서는 실수와 복소수의 체로 제한하지 않고, 수렴성에 대해 논할 필요 없이 멱급수의 본질을 포착하려고 시도한다. 이는 형식적 멱급수라는 개념으로 이어지는데, 대수적 조합론에서 매우 유용하다.^[1]

7. 다변수 멱급수

다변수 미적분학에서 멱급수는 다음과 같은 형태의 무한급수로 정의된다.^[4]

: $f(x_1, \dots, x_n) = \sum_{j_1, \dots, j_n = 0}^\infty a_{j_1, \dots, j_n} \prod_{k=1}^n (x_k - c_k)^{j_k},$

여기서 j|j^영어 = (''j''₁, …, ''j''_''n'')는 자연수 벡터이고, 계수 a|a^영어_{(''j''₁, …, ''j''_''n'')}는 일반적으로 실수 또는 복소수이며, 중심 c|c^영어 = (''c''₁, …, ''c''_''n'')와 인수 x|x^영어 = (''x''₁, …, ''x''_''n'')는 일반적으로 실수 또는 복소수 벡터이다. 기호 $\Pi$ 는 곱 기호로, 곱셈을 나타낸다. 다중 지표 표기법을 사용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.^[4]

: $f(x) = \sum_{\alpha \in \N^n} a_\alpha (x - c)^\alpha.$

여기서 $\N$ 은 자연수 집합이므로, $\N^n$ 은 자연수의 순서가 지정된 ''n''-튜플 집합이다.

이러한 급수에 대한 이론은 단변수 급수보다 더 복잡하며, 수렴 영역도 더 복잡하다. 예를 들어, 멱급수 $\sum_{n=0}^\infty x_1^n x_2^n$ 은 두 쌍곡선 사이의 집합 $\{ (x_1, x_2): |x_1 x_2| < 1\}$ 에서 절대 수렴한다. 이는 로그 볼록 집합의 예시인데, 점 $(\log |x_1|, \log |x_2|)$ 의 집합 (여기서 $(x_1, x_2)$ 는 위 영역에 있다)이 볼록 집합이라는 의미이다. 일반적으로, c=0일 때, 절대 수렴 영역의 내부는 항상 이러한 의미에서 로그 볼록 집합임을 보일 수 있다.^[4] 한편, 이 수렴 영역의 내부에서는 일반적인 멱급수와 마찬가지로 급수 기호 아래에서 미분과 적분을 할 수 있다.^[4]

8. 멱급수의 차수

다중 지수 α를 갖는 다변수 멱급수 ''f''(''x''₁, ''x''₂, …, ''x''_''n'')를 생각해 보자. 멱급수 ''f''의 차수는 ''a''_α ≠ 0이 존재하는 가장 작은 값 $r = |\alpha| = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n$ 로 정의되며, ''f'' ≡ 0이면 $\infty$ 이다. 특히, 단일 변수 ''x''에 대한 멱급수 ''f''(''x'')의 경우, ''f''의 차수는 0이 아닌 계수를 갖는 ''x''의 가장 작은 거듭제곱이다. 이 정의는 로랑 급수로 쉽게 확장된다.

참조

_[1] 서적 Polynomials, Power Series, and Calculus https://books.google[...] Van Nostrand
_[2] 서적 Advanced Engineering Mathematics
_[3] 논문 Sur une série potentielle qui, étant convergente en tout point de son cercle de convergence, représente sur ce cercle une fonction discontinue. (French) https://zbmath.org/?[...] Palermo Rend.
_[4] 논문 Convex functions
_[5] 서적 Polynomials, Power Series, and Calculus https://books.google[...] Van Nostrand
_[6] 서적 Theory and Application of Infinite Series Blackie & Son 1954
_[7] 서적 Complex Analysis Springer 1999
_[8] 서적 数学分析. 第二册北京大学出版社 2010-02
_[9] 서적 Complex Analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill 1979
_[10] 서적 Real and Complex Analysis http://www.mcgraw-hi[...] McGraw-Hill 2014-10-06

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