방위 양자수

3. 성질

궤도 각운동량은 위치, 운동량 연산자와 특정한 교환 관계를 만족하며, 구면 좌표계에서 유용한 표현을 갖는다.

3. 1. 교환 관계

3. 2. 구면 좌표계 표현

$(\backslash hat\{L\}\_x,\backslash hat\{L\}\_y,\backslash hat\{L\}\_z)$

=\left(

i\hbar

\left(

\sin\varphi{\partial \over \partial \theta}

+ \cot \theta \cos \varphi {\partial \over \partial \varphi},

\right),

i\hbar

\left(

• \cos \varphi {\partial \over \partial \theta}

+\cot\theta\sin\varphi

{\partial \over \partial \varphi}

\right),

• i\hbar{\partial \over \partial \varphi}

\right)

$L\_r\; =0$

$L\_\backslash theta\; =\; i\backslash hbar\backslash frac\{1\}\{\backslash sin\backslash theta\}$

\frac{\partial}{\partial\phi}

$L\_\backslash phi\; =\; -i\backslash hbar\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\backslash theta\}$

4. 궤도 각운동량의 제곱

궤도 각운동량의 제곱 연산자는 각 성분과 교환 가능하다.^[1] 또한 라플라시안의 구면 좌표계 표현과 관련이 있다.

4. 1. 정의

4. 2. 교환 관계

4. 3. 라플라시안과의 관계

5. 회전 대칭성과의 관계

궤도 각운동량 연산자는 파동 함수의 회전과 관련이 있으며, 이는 회전 대칭성에서 유도되는 교환 관계를 통해 설명할 수 있다.

3차원 공간에서 회전 행렬의 집합은 $\backslash mathrm\{SO\}(3)$로 정의되며, 파동 함수 전체 공간 $L^2(\backslash mathbf\{R\}^3)$ 위에 유니터리 연산자를 정의하여 파동 함수의 회전을 나타낼 수 있다.^[1][2]

단위 벡터 '''n'''=(x,y,z)에 대해, $\backslash hat\{L\}\_\{\backslash boldsymbol\{n\}\}(\backslash psi)$는 '''n'''을 축으로 하는 회전에서의 궤도 각운동량 연산자를 나타내며, 이는 z축 주위의 궤도각운동량 $\backslash hat\{L\}\_z$와 구면좌표계를 통해 표현될 수 있다.

궤도 각운동량은 다음과 같은 교환 관계를 만족한다.

:$[\backslash hat\{L\}\_i,\; \backslash hat\{x\}\_j]\; =i\backslash hbar\backslash varepsilon\_\{ijk\}\backslash ,\; \backslash hat\{x\}\_k$

:$[\backslash hat\{L\}\_i,\; \backslash hat\{p\}\_j]\; =i\backslash hbar\backslash varepsilon\_\{ijk\}\backslash ,\; \backslash hat\{p\}\_k$

:$[\backslash hat\{L\}\_i,\; \backslash hat\{L\}\_j]\; =i\backslash hbar\backslash varepsilon\_\{ijk\}\backslash ,\; \backslash hat\{L\}\_k$

여기서 $\backslash varepsilon\_\{ijk\}$는 레비-치비타 기호이며, 특히 마지막 궤도 각운동량끼리의 교환 관계는 '''각운동량 대수'''라고 불린다.

$R\_\{\backslash boldsymbol\{n\}\}(s)$의 미분을 계산하면 다음과 같다.

:$\backslash left.\{\backslash operatorname\{d\}\; R(s)\backslash over\; \backslash operatorname\{d\}\; s\}\; \backslash right|\_\{s=0\}$

=

\begin{pmatrix}

0 &-z &y\\

z& 0 &-x\\

• y&x&0

5. 1. 파동 함수의 회전

$\backslash mathrm\{SO\}(3)=\backslash \{R~:~$3차원 실수 계수 행렬로, $\{\}^tRR=I,~\backslash det\; R\; >\; 0\backslash \}$

$\backslash lambda(R)\; ~:~\; L^2(\backslash mathbf\{R\}^3)\backslash to\; L^2(\backslash mathbf\{R\}^3),~~$$\backslash phi(\backslash boldsymbol\{x\})\; \backslash mapsto\; \backslash phi(R^\{-1\}\backslash boldsymbol\{x\})$

5. 2. 궤도 각운동량 연산자와의 관계

5. 3. 회전 대칭성에서 유도되는 교환 관계

• y&x&0

6. 구면 조화 함수

궤도 각운동량 연산자의 고유 함수는 구면조화함수로 기술된다. 구면조화함수는 수학과 물리학에서 정의가 다르므로, 여기서는 양쪽 정의를 소개하고 그 관계를 설명한다. 더 자세한 내용은 구면조화함수 문서를 참고하면 된다.

6. 1. 정의

:$$

Y_{\ell,m}(\theta, \phi)

= (-1)^{(m+|m|)/2}

\sqrt{ \frac{2\ell+1}{4\pi} \frac{(\ell-|m|)!}{(\ell+|m|)!} \,}

P_\ell^

(\cos\theta) \, e^{im\phi}



여기서 $m$은 정수이고, $\backslash ell$은 $\backslash ell\backslash ge\; |m|$를 만족한다. $P\_\backslash ell\{\}^m\; (t)$는 르장드르의 연관 다항식이다.

6. 2. 성질

구면 조화 함수는 다음 성질을 만족한다.^[1]

:$\backslash langle\; Y\_\backslash ell\{\}^m\; |\; Y\_j\{\}^s\; \backslash rangle\_\{S^\{n-1\}\}\; =$

\begin{cases}

1 & \text{if } \ell=j, m=s\\

0 & \text{otherwise}

\end{cases}

즉, 구면 조화 함수는 정규 직교성을 만족한다.^[1]

또한, 제곱적분가능함수 f에 대해, 를 만족하는 적분가능 함수의 집합 $\backslash \{\backslash chi\_\{\backslash ell,m\}(r)\backslash \}$ 에서

: $f(r,\backslash theta,\backslash varphi)$

=

\sum_{m=0}^\infty

\sum_{\ell=-m}^m

\chi_{\ell,m}(r)Y_{\ell,m}(\theta,\phi)



이 되는 것이 유일하게 존재한다. 즉, 제곱 적분 가능 함수를 구면 조화 함수로 전개할 수 있다.^[1]

7. 궤도 각운동량의 고유 함수와 양자수

궤도 각운동량의 제곱과 z 성분의 고유 함수는 구면 조화 함수이다.^[15] 회전하는 입자의 에너지는 고전적으로 각운동량 L로 표현할 수 있다. 슈뢰딩거 방정식을 통해 에너지 식을 풀면, 에너지가 양자화되어 각운동량 또한 양자화됨을 알 수 있다.

:$L=\backslash hbar\backslash sqrt\{l(l+1)\}\; (l=0,1,2,3...)$

이 식은 보어가 각운동량($L\; =\; \{nh\backslash over\; 2\backslash pi\}$)을 양자화하여 궤도의 양자화를 설명하고, 수소 원자 모형을 제시한 가설을 슈뢰딩거가 증명하는 데 사용되었다. 슈뢰딩거는 파동방정식을 통해 각운동량을 구하여 보어의 가설이 옳았음을 증명하였다.

:$L\; =\; \backslash hbar\backslash sqrt\{l(l+1)\}$

조머펠트는 1915년에 원자 스펙트럼의 에너지 구조를 설명하는 과정에서 "방위 양자수"라는 용어를 도입했다.^[1] 이후, 궤도 각운동량의 양자화에서 이 수가 비롯된다는 것이 밝혀졌다.

전자의 각운동량 L은 다음 방정식에 의해 양자수 *ℓ* 과 관련된다.

:$$\backslash mathbf\{L\}^2\backslash Psi\; =\; \backslash hbar^2\; \backslash ell(\backslash ell\; +\; 1)\; \backslash Psi,$$

여기서 ħ는 환산 플랑크 상수, L은 궤도 각운동량 연산자, $\backslash Psi$는 전자의 파동 함수이다. 양자수 ℓ은 항상 음이 아닌 정수이다. 원자 궤도 함수는 고유한 모양을 가지며, s, p, d, f 등의 문자는 (분광법에서 유래) 원자 궤도 함수의 모양을 나타낸다.

방위 양자수에 대한 양자 부껍질

방위 양자수 (ℓ)	역사적 문자	역사적 명칭[5]	최대 전자 수	모양
0	s	sharp	2	구형 (-- 참조)
1	p	principal	6	세 개의 아령 모양 극성 정렬 궤도 함수
2	d	diffuse	10	아령 모양 아홉 개와 도넛 하나, 또는 "고유 모양 #1" (-- 참조)
3	f	fundamental	14	"고유 모양 #2" (-- 참조)
4	g		18
5	h		22
6	i		26
g 부껍질 다음의 문자는 알파벳 순서로 따른다.

7. 1. 고유 함수

슈뢰딩거 방정식을 풀어 파동 함수를 얻을 때, 이 방정식은 세 가지 양자수(n, ℓ, m_ℓ)와 관련된 세 방정식으로 분해된다. 이 세 방정식은 서로 연관되어 있으며, 방위 양자수는 파동 방정식의 극좌표 부분을 풀 때 나타난다. 이는 구면 좌표계에서 가장 잘 표현되는 구면 대칭성을 가진 모델에 적합하다.

전자의 각운동량 L은 다음 방정식에 의해 양자수 ℓ과 관련된다.

:$\backslash mathbf\{L\}^2\backslash Psi\; =\; \backslash hbar^2\; \backslash ell(\backslash ell\; +\; 1)\; \backslash Psi,$

여기서 ℏ는 환산 플랑크 상수, L은 궤도 각운동량 연산자, Ψ는 전자의 파동 함수이다. 양자수 ℓ은 항상 음이 아닌 정수(0, 1, 2, 3, ...)이다.

원자 궤도 함수는 고유한 모양을 가지며, 문자 s, p, d, f 등은 (분광법에서 유래) 원자 궤도 함수의 모양을 나타낸다. 이러한 궤도 함수의 파동 함수는 구면 조화 함수의 형태를 취하며, 르장드르 다항식으로 설명된다. 서로 다른 (정수) ℓ 값과 관련된 여러 궤도 함수를 때때로 '''부껍질'''이라고 부르며, 소문자 라틴 문자로 표기한다.

궤도 각운동량 연산자의 고유 함수는 구면조화함수로 기술할 수 있다.

수학에서 구면 조화 함수 p는 $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{L\}^2\}$의 고유함수이다.

:$\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{L\}^2\}p(\backslash boldsymbol\{x\})=\backslash hbar^2\backslash ell(\backslash ell+1)p(\backslash boldsymbol\{x\})$

여기서 $\backslash ell$은 구면 조화 함수 p의 차수이다. $\backslash chi(|\backslash boldsymbol\{x\}|)$를 임의의 제곱적분 가능한 방향 함수라고 하면, 위 식으로부터

:$\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{L\}^2\}\backslash chi(|\backslash boldsymbol\{x\}|)p(\backslash boldsymbol\{x\})=\backslash hbar^2\backslash ell(\backslash ell+1)\backslash chi(|\backslash boldsymbol\{x\}|)p(\backslash boldsymbol\{x\})$

이므로, $\backslash chi(|\backslash boldsymbol\{x\}|)p(\backslash boldsymbol\{x\})$도 $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{L\}^2\}$의 고유함수이다.

$\backslash hat\{L\}\_z$를 물리학에서의 구면조화함수 $Y\_\{\backslash ell\; m\}(\backslash theta,\backslash phi)$에 작용시키면

:$\backslash hat\{L\}\_z\; Y\_\{\backslash ell\; m\}(\backslash theta,\; \backslash phi)$

=m\hbar Y_{\ell m}(\theta, \phi)

이 된다.

• $Y\_\{\backslash ell\; m\}(\backslash theta,\backslash phi)$는 $S^2$ 위의 면적 요소 $\backslash sin\; \backslash theta\; d\backslash theta\; d\backslash phi$에 대해 정규화되어 있다.
• $Y\_\{\backslash ell\; m\}(\backslash theta,\backslash phi)$는 서로 직교한다.
• $\backslash hat\{L\_z\}$ 와 $\backslash hat\{L\}^2$의 임의의 제곱적분가능 함수는 구면조화함수를 이용하여 고유값 전개가 가능하다.

7. 2. 양자수

회전하는 입자의 에너지는 고전적으로 각운동량 L을 이용하여 표현되며, 슈뢰딩거 방정식을 통해 푼 에너지 식과 비교하면 에너지가 양자화되어 있기 때문에 각운동량 또한 양자화된다는 것을 알 수 있다.^[15]

:$L=\backslash hbar\backslash sqrt\{l(l+1)\}\; (l=0,1,2,3...)$

위 식은 슈뢰딩거가 플랑크 상수를 도입하여 각운동량($L\; =\; \{nh\backslash over\; 2\backslash pi\}$)을 양자화한 보어의 가설을 증명하는데 사용되었다. 보어는 자신의 가설을 통해 궤도의 양자화를 설명하였고, 이를 통해 보어의 수소 원자 모형이 탄생하였다. 이후 슈뢰딩거가 파동방정식을 통해 각운동량을 구하여, 아래와 같은 식을 유도하였다.^[15]

:$L\; =\; \backslash hbar\backslash sqrt\{l(l+1)\}$

이는 주양자수 $n$ 대신 $\backslash sqrt\{l(l+1)\}$을 사용하여 양자화를 의미한 것으로 보어의 가설이 옳았다는 것을 의미한다. 슈뢰딩거의 각운동량을 통해 주양자수에 따른 각운동량을 계산할 수 있다.^[15]

주양자수에 따른 각운동량

방위 양자수 ($l$)	오비탈	각운동량 ($L$)
0	s 오비탈	0
1	p 오비탈	$\{h\backslash sqrt\{2\}\backslash over\; 2\backslash pi\}$
2	d 오비탈	$\{h\backslash sqrt\{6\}\backslash over\; 2\backslash pi\}$

이는 $l$이 증가하면 각운동량이 증가함을 의미한다.^[15]

"방위 양자수"라는 용어는 조머펠트가 1915년에 원자 스펙트럼의 에너지 구조를 설명하는 과정에서 도입했다.^[1] 나중에 원자의 양자 모델이 개발되면서 이 수()가 궤도 각운동량의 양자화에서 비롯된다는 것이 밝혀졌다. 일부 교과서^[2]와 ISO 표준 80000-10:2019^[3]에서는 을 '''궤도 각운동량 양자수'''라고 부른다.

외부 자기장 내 원자의 에너지 준위는 값에 따라 달라지므로 자기 양자수라고도 한다.^[4]

소문자 는 단일 입자의 궤도 각운동량을 나타내는 데 사용된다. 다수의 입자로 이루어진 계의 경우에는 대문자 를 사용한다.^[3]

고립된 원자의 전자 에너지 상태와 관련된 네 가지 양자수—n, ℓ, m_ℓ, m_s—가 있다. 이 네 가지 수는 원자 내의 단일 전자의 고유하고 완전한 양자 상태를 나타내며, 전자의 파동 함수 또는 궤도 함수를 구성한다.

슈뢰딩거 방정식은 처음 세 가지 양자수로 이어지는 세 가지 방정식으로 분해된다. 즉, 세 가지 방정식은 상호 연관되어 있다. '방위 양자수'는 파동 방정식의 극좌표 부분을 풀 때 나타나는데, 일반적으로 구면 대칭성을 가진 모델에 가장 적합한 구면 좌표계에 의존한다.

전자의 각운동량 은 다음 방정식에 의해 양자수 와 관련된다.

:$$\backslash mathbf\{L\}^2\backslash Psi\; =\; \backslash hbar^2\; \backslash ell(\backslash ell\; +\; 1)\; \backslash Psi,$$

여기서 는 환산 플랑크 상수이고, 은 궤도 '각운동량 연산자'이며, $\backslash Psi$는 전자의 파동 함수이다. 양자수 는 항상 음이 아닌 정수이다.

원자 궤도 함수는 독특한 모양을 가지고 있으며, 문자 '''s''', '''p''', '''d''', '''f''' 등은 (분광법에서 유래한 관례를 사용하여) 원자 궤도 함수의 모양을 나타낸다. 이러한 궤도 함수의 파동 함수는 구면 조화 함수의 형태를 취하므로 르장드르 다항식으로 설명된다. 서로 다른 (정수) ''ℓ'' 값과 관련된 여러 궤도 함수를 때때로 '''부껍질'''이라고 부르는데, 역사적인 이유로 소문자 라틴 문자로 표기한다.

방위 양자수에 대한 양자 부껍질

방위 양자 수 (ℓ)	역사적 문자	역사적 명칭[5]	최대 전자 수	모양
0	s	sharp	2	구형 (-- 참조).
1	p	principal	6	세 개의 아령 모양의 극성 정렬 궤도 함수.
2	d	diffuse	10	아령 모양 아홉 개와 도넛 하나, 또는 "고유 모양 #1" (-- 참조).
3	f	fundamental	14	"고유 모양 #2" (-- 참조).
4	g	style="text-align: left;"|	18
5	h	style="text-align: center;"|	22
6	i	style="text-align: center;"|	26
g 부껍질 다음의 문자는 알파벳 순서로 따른다.

각각의 다른 각운동량 상태는 2(2''ℓ'' + 1)개의 전자를 가질 수 있다. 세 번째 양자수 ''m''_ℓ가 정수 단위로 −''ℓ''에서 ''ℓ''까지 실행되므로 2''ℓ'' + 1개의 가능한 상태가 있다. 각각의 구별되는 ''n'', ''ℓ'', ''m''_ℓ 궤도는 반대 스핀을 가진 두 개의 전자(양자수 ''m''_s = ±로 주어짐)에 의해 점유될 수 있으며, 전체적으로 2(2''ℓ'' + 1)개의 전자를 제공한다.

각운동량 양자수 ''ℓ''과 해당 구면 조화 함수는 핵을 통과하는 평면 노드의 수를 결정한다. 평면 노드는 전자기파에서 크레스트와 트로프 사이의 중간점으로, 크기가 0이다. s 궤도 함수에서는 핵을 통과하는 노드가 없으므로 해당 방위 양자수 ''ℓ''의 값은 0이다. '''p''' 궤도 함수에서는 하나의 노드가 핵을 통과하므로 ''ℓ''의 값은 1이다. $L$의 값은 $\backslash sqrt\{2\}\backslash hbar$이다.

''n''의 값에 따라 각운동량 양자수 ''ℓ''와 다음과 같은 계열이 존재한다.

궤도 각운동량 연산자의 고유 함수는 구면 조화 함수로 기술할 수 있다.

$\backslash ell$을 '''궤도각운동량 양자수'''(방위 양자수), 을 '''궤도자기 양자수'''라고 한다.

:$\backslash ell=0,1,2,\backslash ldots$

:$m=0,\backslash pm\; 1,\backslash pm\; 2,\backslash ldots,\; \backslash pm\; \backslash ell$

8. 사다리 연산자

사다리 연산자는 궤도 자기 양자수를 변화시키는 연산자이다.

8. 1. 정의

8. 2. 성질

9. 원자 궤도 함수와의 관계

슈뢰딩거 방정식을 풀 때 나타나는 세 가지 방정식 중 하나는 방위 양자수와 관련되며, 이는 전자의 각운동량과 관계가 있다. 전자의 각운동량 L은 다음 방정식으로 양자수 ''ℓ''과 관련된다.

:$\backslash mathbf\{L\}^2\backslash Psi\; =\; \backslash hbar^2\; \backslash ell(\backslash ell\; +\; 1)\; \backslash Psi,$

여기서 $\backslash hbar$는 환산 플랑크 상수이며, ''ℓ''은 음이 아닌 정수(0, 1, 2, 3, ...)이다.

원자 궤도 함수는 ''ℓ'' 값에 따라 고유한 모양을 가지며, 분광법에서 유래한 '''s''', '''p''', '''d''', '''f''' 등의 문자로 표시된다. 각 궤도는 2(2''ℓ'' + 1)개의 전자를 가질 수 있다. 주양자수 ''n'' 값에 따라 ''ℓ''의 가능한 값은 0에서 ''n'' - 1까지이다.

수소 원자와 같은 단순한 일전자 모델에서는 에너지 준위가 주양자수(''n'')에만 의존한다. 그러나 복잡한 원자에서는 ''n'' > 1에 대해 에너지 준위가 분리되어, 더 높은 ''ℓ'' 값을 갖는 상태가 더 낮은 ''ℓ'' 값을 갖는 상태보다 위에 놓인다. 이러한 에너지 준위 분리는 주기율표의 블록 구조를 형성한다.

각운동량 양자수 ''ℓ''과 해당 구면 조화 함수는 핵을 통과하는 평면 노드의 수를 결정한다. s 궤도에서는 노드가 없고, '''p''' 궤도에서는 하나의 노드가 핵을 통과한다.

''n'' 값에 따른 각운동량 양자수 ''ℓ''와 관련된 계열은 다음과 같다.

• ''n'' = 1, ''L'' = 0, 라이먼 계열 (자외선)
• ''n'' = 2, ''L'' = $\backslash sqrt\{2\}\backslash hbar$, 발머 계열 (가시광선)
• ''n'' = 3, ''L'' = $\backslash sqrt\{6\}\backslash hbar$, 리츠-파셴 계열 (근적외선)
• ''n'' = 4, ''L'' = $2\backslash sqrt\{3\}\backslash hbar$, 브라켓 계열 (단파장 적외선)
• ''n'' = 5, ''L'' = $2\backslash sqrt\{5\}\backslash hbar$, 푼트 계열 (중파장 적외선)

9. 1. 원자 궤도 함수

각 각운동량 상태는 2(2''ℓ'' + 1)개의 전자를 가질 수 있다. 세 번째 양자수 m_ℓ은 −''ℓ''에서 ''ℓ''까지 정수 단위로 변하며 2''ℓ'' + 1개의 가능한 상태를 나타낸다. 각 n, ℓ, m_ℓ 궤도는 반대 스핀(m_s = ±1/2)을 가진 두 개의 전자를 가질 수 있어, 총 2(2''ℓ'' + 1)개의 전자를 수용한다.

주양자수 ''n''의 값에 따라 ''ℓ''의 가능한 값은 0에서 n-1까지이다. 예를 들어, n=1 껍질은 s 부껍질만 가지며 2개의 전자만 가질 수 있고, n=2 껍질은 '''s''' 및 '''p''' 부껍질을 가지며 총 8개의 전자를 가질 수 있다.

단순 일전자 모델에서는 에너지 준위가 주양자수에만 의존한다. 그러나 복잡한 원자에서는 n>1에 대해 에너지 준위가 분리되어, 더 높은 ''ℓ'' 상태가 더 낮은 ''ℓ'' 상태 위에 놓인다. 이러한 에너지 준위 분리 효과는 주기율표의 블록 구조를 형성한다. 현재까지 알려진 어떤 원자도 바닥 상태에서 ''ℓ''이 3('''f''')보다 높은 전자를 가지고 있지 않다.

핵을 통과하는 평면 노드의 수는 각운동량 양자수 ''ℓ''과 관련된다. s 궤도 함수는 핵을 통과하는 노드가 없어 ''ℓ'' 값이 0이다. '''p''' 궤도 함수는 하나의 노드가 핵을 통과하므로 ''ℓ'' 값은 1이며, L의 값은 $\backslash sqrt\{2\}\backslash hbar$이다.

''n'' 값에 따른 각운동량 양자수 ''ℓ''와 관련된 계열은 다음과 같다.

9. 2. 부껍질

각각의 다른 각운동량 상태는 2(2''ℓ'' + 1)개의 전자를 가질 수 있다. 세 번째 양자수 ''m''_ℓ(이는 대략적으로 z축에 대한 각운동량 벡터의 양자화된 투영으로 생각할 수 있다)가 정수 단위로 −''ℓ''에서 ''ℓ''까지 실행되므로 2''ℓ'' + 1개의 가능한 상태가 있다. 각각의 구별되는 ''n'', ''ℓ'', ''m''_ℓ 궤도는 반대 스핀을 가진 두 개의 전자(양자수 ''m''_s = ±1/2로 주어짐)에 의해 점유될 수 있다.

주양자수 ''n''의 주어진 값에 대해, ''ℓ''의 가능한 값은 0에서 ''n'' - 1까지이다. 예를 들어 껍질 (''n'' = 1)은 s 부껍질만 가지며 2개의 전자만 가질 수 있고, 껍질 (''n'' = 2)은 '''s''' 및 '''p''' 부껍질을 가지며 전체적으로 8개의 전자를 가질 수 있으며, 껍질 (''n'' = 3)은 '''s''', '''p''', '''d''' 부껍질을 가지며 최대 18개의 전자를 가질 수 있다.

단순한 일전자 모델은 주양자수에만 의존하는 에너지 준위를 생성한다. 더 복잡한 원자에서 이러한 에너지 준위는 ''n'' > 1에 대해 분리되어 더 높은 ''ℓ''의 상태를 더 낮은 ''ℓ''의 상태 위에 놓는다. 예를 들어, 2p의 에너지는 2s보다 높고, 3d는 3p보다 높으며, 3p는 3s보다 높다. 이러한 효과는 결국 주기율표의 블록 구조를 형성한다. 알려진 어떤 원자도 바닥 상태에서 ''ℓ''이 3('''f''')보다 높은 전자를 가지고 있지 않다.

9. 3. 에너지 준위

• n = 1, L = 0, 라이먼 계열 (자외선)
• n = 2, L = √2ħ, 발머 계열 (가시광선)
• n = 3, L = √6ħ, 리츠-파셴 계열 (근적외선)
• n = 4, L = 2√3ħ, 브라켓 계열 (단파장 적외선)
• n = 5, L = 2√5ħ, 푼트 계열 (중파장 적외선)

10. 총 각운동량

전자는 궤도 각운동량과 스핀 각운동량을 가지며, 이 둘을 합하여 총 각운동량 '''J'''로 나타낸다. 총 각운동량은 다음과 같이 정의된다.

$\backslash mathbf\{J\}\; =\; \backslash mathbf\{L\}\; +\; \backslash mathbf\{S\}$

두 개의 양자화된 각운동량 $\backslash boldsymbol\{\backslash ell\}\_1$과 $\backslash boldsymbol\{\backslash ell\}\_2$가 주어졌을 때, 이들의 합으로 나타나는 양자화된 총 각운동량 $\backslash mathbf\{j\}$의 크기에 해당하는 양자수 $j$는 $|\backslash ell\_1\; -\; \backslash ell\_2|$부터 $\backslash ell\_1\; +\; \backslash ell\_2$까지 정수 단위로 변한다. 여기서 $\backslash ell\_1$과 $\backslash ell\_2$는 각각의 각운동량 크기에 대응하는 양자수이다.

분류:양자역학

10. 1. 스핀-궤도 상호작용

11. 응용

궤도 각운동량 양자수는 X선 광전자 분광법^[6] 및 전자 에너지 손실 분광법^[7]과 같은 분광법에서 관찰되는 특징을 설명하는 데 사용되는 특정 구면조화함수에 해당한다.

11. 1. 분광학

11. 2. 밀도 범함수 이론

11. 3. 광 다중 통신 (궤도 각운동량 다중 통신)

12. 역사

"방위 양자수"라는 용어는 아놀드 조머펠트가 1915년에 원자 스펙트럼의 에너지 구조를 임시적으로 설명하는 과정에서 도입했다.^[1] 나중에 원자의 양자 모델이 개발되면서 이 수(ℓ^영어)가 궤도 각운동량의 양자화에서 비롯된다는 것이 밝혀졌다.

방위 양자수는 보어 원자 모형에서 이어져 왔으며, 아르놀트 조머펠트에 의해 제안되었다.^[11] 보어 모형은 원자의 분광 분석과 러더퍼드 원자 모형을 결합하여 유도되었다. 가장 낮은 양자 준위는 각운동량이 0인 것으로 밝혀졌다. 각운동량이 0인 궤도는 1차원에서 진동하는 전하로 간주되어 "진자" 궤도로 설명되었지만, 자연에서는 발견되지 않았다.^[12] 3차원에서는 궤도가 핵을 통과하는 마디점 없이 구형이 되는데, 이는 (가장 낮은 에너지 상태에서) 큰 원을 그리며 진동하는 줄넘기와 유사하다.

참조

_[1] 서적 A history of the theories of aether and electricity Dover 1989
_[2] 서적 Quantum mechanics McGraw-Hill 1949
_[3] 웹사이트 ISO Online Browsing Platform https://www.iso.org/[...] 2024-02-20
_[4] 서적 Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei, and particles Wiley 2009
_[5] 서적 A history of the theories of aether & electricity Dover Publications 1989
_[6] 서적 Photoelectron Spectroscopy http://link.springer[...] Springer Berlin Heidelberg 2003
_[7] 서적 Electron Energy-Loss Spectroscopy in the Electron Microscope https://link.springe[...] Springer US 2011
_[8] 학술지 Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects https://link.aps.org[...] 1965
_[9] 간행물 Molecular integrals Over Gaussian Basis Functions https://linkinghub.e[...] Elsevier 2024-02-20
_[10] 서적 Bonding and structure of molecules and solids Clarendon Press 1996
_[11] 서적 Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles John Wiley & Sons Inc 1974
_[12] 학술지 Note on "pendulum" orbits in atomic models 1927
_[13] 문서 수학적 내용
_[14] 웹인용 보관된 사본 http://chemwiki.ucda[...] 2014-03-25
_[15] 서적 물리화학