법다발

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1. 개요
2. 정의
3. 안정 법다발 (Stable normal bundle)
4. 접다발과의 관계
- 4.1. 그로텐디크 군 (Grothendieck group)에서의 표현
- 4.2. 특성류 (Characteristic class) 계산
5. 심플렉틱 다양체의 경우
- 5.1. 다르부 정리 (Darboux theorem)와의 관련성
참조

1. 개요

법다발은 리만 다양체의 법선 공간들의 합집합으로 정의되며, 다양체의 매장이 주어졌을 때 접다발과 밀접한 관련을 갖는 벡터 다발이다. 법다발은 주변 공간의 접다발을 부분 공간으로 제한한 몫 다발로 볼 수 있으며, 여법선 다발, 안정 법다발 등 다양한 형태로 정의된다. 법다발은 K-이론에서 접다발의 쌍대 역할을 하며, 특성류 계산과 유클리드 공간에서의 다양체 매립 가능성 연구에 활용된다. 심플렉틱 다양체에서도 유사한 개념으로 정의되며, 다르부 정리를 통해 국소적으로 결정될 수 있다.

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법다발

2. 정의

다양체의 매장 $\iota\colon\Sigma\hookrightarrow M$ 이 주어졌을 때, '''법다발'''은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족시키는 $\Sigma$ 위의 벡터다발이다.

: $0\to T\Sigma\xrightarrow{\iota^*}TM|_{i(N)}\to N_{M/\Sigma}\to0$

좀 더 추상적으로, 임의의 사상 $i: N \to M$ (예: 임베딩)이 주어지면, $N$ 의 각 점에서 $M$ 의 접선 공간을 $N$ 의 접선 공간으로 나눈 몫 공간을 취함으로써 $M$ 에서 $N$ 의 법선 다발을 정의할 수 있다.

형식적으로, $M$ 에서 $N$ 에 대한 '''법선 다발'''은 $M$ 의 접선 다발의 몫 다발이며 다음과 같은 짧은 완전열의 벡터 다발을 갖는다.

: $0 \to \mathrm{T}N \to \mathrm{T}M\vert_{i(N)} \to \mathrm{T}_{M/N} := \mathrm{T}M\vert_{i(N)} / \mathrm{T}N \to 0$

여기서 $\mathrm{T}M\vert_{i(N)}$ 는 $M$ 의 접선 다발을 $N$ 으로 제한한 것이다(정확히는, 사상 $i$ 를 통해 $M$ 의 접선 다발을 $N$ 의 벡터 다발로 당긴 $i^*\mathrm{T}M$ ).

2. 1. 리만 다양체의 경우

리만 다양체

(M,g)

의 리만 부분다양체

S \subset M

가 주어졌을 때, 점

p \in S

에서의 벡터

n \in \mathrm{T}_p M

이 모든

v\in \mathrm{T}_p S

에 대해

g(n,v)=0

을 만족하면

n

을

S

에 대한 ''법선''이라고 정의한다. (즉,

n

은

\mathrm{T}_p S

에 직교한다.) 이러한 모든

n

의 집합

\mathrm{N}_p S

는

p

에서

S

에 대한 ''법선 공간''이라고 불린다.^[1]

다양체의 접다발의 전체 공간이 다양체의 모든 접공간으로부터 구성되는 것처럼,

S

에 대한 '''법다발'''

\mathrm{N} S

의 전체 공간은 다음과 같이 정의된다.

:

\mathrm{N}S := \coprod_{p \in S} \mathrm{N}_p S

.

'''여법선 다발'''은 법선 다발의 쌍대 다발로 정의된다. 이는 코탄젠트 다발의 부분 다발로 자연스럽게 실현될 수 있다.

2. 2. 일반적인 정의

더 추상적으로, 법다발은 주변 공간의 접다발을 부분 공간의 접다발로 나눈 몫 공간으로 정의된다.^[2]

2. 3. 여법선 다발 (Conormal bundle)

여법선 다발(Conormal bundle)은 법다발의 쌍대 다발이며, 부분다양체에서 0이 되는 주변 다양체의 여접벡터(cotangent vector)들로 구성된다.

만약

Y\subseteq X

가 매끄러운 다양체

X

의 매끄러운 부분다양체라면,

Y

가

x_{k+1}=\dots=x_n=0

으로 국소적으로 정의되도록

p\in Y

주변의 국소 좌표

(x_1,\dots,x_n)

을 선택할 수 있다. 그러면 이 좌표 선택에 따라 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

\begin{align}\mathrm{T}_pX&=\mathbb{R}\Big\lbrace\frac{\partial}{\partial x_1}\Big|_p,\dots, \frac{\partial}{\partial x_k}\Big|_p, \dots, \frac{\partial}{\partial x_n}\Big|_p\Big\rbrace\\\mathrm{T}_pY&=\mathbb{R}\Big\lbrace\frac{\partial}{\partial x_1}\Big|_p,\dots, \frac{\partial}{\partial x_k}\Big|_p\Big\rbrace\\{\mathrm{T}_{X/Y}}_p&=\mathbb{R}\Big\lbrace\frac{\partial}{\partial x_{k+1}}\Big|_p,\dots, \frac{\partial}{\partial x_n}\Big|_p\Big\rbrace\\\end{align}

그리고 아이디얼 층은 국소적으로

x_{k+1},\dots,x_n

에 의해 생성된다. 따라서 다음과 같은 비퇴화 쌍(non-degenerate pairing)을 정의할 수 있다.

:

(I_Y/I_Y^{\ 2})_p\times {\mathrm{T}_{X/Y}}_p\longrightarrow \mathbb{R}

이는 층의 동형사상

\mathrm{T}_{X/Y}\simeq(I_Y/I_Y^{\ 2})^\vee

을 유도한다.

이 사실을 다시 표현하기 위해 '''여법선 완전열'''을 통해 '''여법선 다발'''

\mathrm{T}^*_{X/Y}

을 정의할 수 있다.

:

0\to \mathrm{T}^*_{X/Y}\rightarrowtail \Omega^1_X|_Y\twoheadrightarrow \Omega^1_Y\to 0

그러면

\mathrm{T}^*_{X/Y}\simeq (I_Y/I_Y^{\ 2})

이다. 즉, 여법선 다발의 단면은

\mathrm{T}Y

에서 사라지는

X

에 대한 여절벡터(코탄젠트 벡터)이다.

Y=\lbrace p\rbrace

가 점일 때, 아이디얼 층은

p

에서 사라지는 매끄러운 싹의 층이고, 동형사상은

X

의 매끄러운 함수 싹에 관한 접공간의 정의로 축소된다.

:

\mathrm{T}^*_{X/\lbrace p\rbrace}\simeq (\mathrm{T}_pX)^\vee\simeq\frac{\mathfrak{m}_p}{\mathfrak{m}_p^{\ 2}}

3. 안정 법다발 (Stable normal bundle)

추상 다양체는 표준 접다발을 가지지만, 법다발은 가지지 않는다. 법다발은 다른 다양체에 다양체를 매장(또는 침투)해야만 얻을 수 있다.

하지만 모든 다양체는 휘트니 매장 정리에 따라 $\mathbf{R}^{N}$ 에 매장될 수 있으므로, 이러한 매장을 통해 법다발을 갖는다.

일반적으로 매장을 자연스럽게 선택할 수는 없지만, 주어진 다양체 $X$ 에 대해 충분히 큰 $N$ 에 대한 $\mathbf{R}^N$ 의 임의의 두 매장은 정규 호모토피가 가능하므로 동일한 법다발을 유도한다. 결과적으로 얻어지는 법다발의 클래스(정수 ${N}$ 이 달라질 수 있으므로 특정 다발이 아닌 다발의 클래스이다)를 안정 법다발이라고 한다.

4. 접다발과의 관계

K-이론에서 법다발은 접다발의 쌍대이다.

4. 1. 그로텐디크 군 (Grothendieck group)에서의 표현

K-이론에서 법다발은 접다발의 쌍대이다. 그로텐디크 군에서 법다발과 접다발의 합은 주변 공간의 접다발과 같다.^[1]

:

[\mathrm{T}N] + [\mathrm{T}_{M/N}] = [\mathrm{T}M]

어떤 다양체가

\mathbf{R}^N

에 침입(immersion)되어 있다면, 주변 공간(

\mathbf{R}^N

)의 접다발은 자명(trivial)하다. 왜냐하면

\mathbf{R}^N

는 수축 가능(contractible)하므로 평행화 가능하기 때문이다. 따라서, 다음이 성립한다.

:

[\mathrm{T}N] + [\mathrm{T}_{M/N}] = 0

결과적으로 다음이 된다.

:

[\mathrm{T}_{M/N}] = -[\mathrm{T}N]

^[1]

이는 특성류를 계산하는 데 유용하며, 유클리드 공간에서 다양체의 침입 가능성과 매립 가능성에 대한 하한을 증명할 수 있게 해준다.^[1]

4. 2. 특성류 (Characteristic class) 계산

법다발은 특성류 계산에 유용하며, 유클리드 공간에서 다양체의 매장 및 침수 가능성에 대한 하한을 증명하는 데 사용될 수 있다.^[1]

5. 심플렉틱 다양체의 경우

심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ 에 다양체 $X$ 가 임베딩되어 있고, 심플렉틱 형식의 당겨오기(pullback)가 $X$ 에서 상수 랭크를 가진다고 가정할 때, $X$ 위의 벡터 다발인 심플렉틱 노멀 다발을 정의할 수 있다. 이때 그 올(fiber)은 다음과 같다.

: $(\mathrm{T}_{i(x)}X)^\omega/(\mathrm{T}_{i(x)}X\cap (\mathrm{T}_{i(x)}X)^\omega), \quad x\in X,$

여기서 $i:X\rightarrow M$ 는 임베딩을, $(\mathrm{T}X)^\omega$ 는 $\mathrm{T}M$ 에서 $\mathrm{T}X$ 의 심플렉틱 직교를 나타낸다. 상수 랭크 조건은 이러한 노멀 공간들이 다발을 형성하게 하며, 모든 올은 심플렉틱 벡터 공간의 구조를 상속받는다.^[3]

5. 1. 다르부 정리 (Darboux theorem)와의 관련성

다르부 정리에 따르면, 상수 랭크 임베딩은

i^*(\mathrm{T}M)

에 의해 국소적으로 결정된다. 심플렉틱 벡터 다발의 동형사상

:

i^*(\mathrm{T}M)\cong \mathrm{T}X/\nu \oplus (\mathrm{T}X)^\omega/\nu \oplus(\nu\oplus \nu^*)

(여기서

\nu=\mathrm{T}X\cap (\mathrm{T}X)^\omega

이고

\nu^*

는

\omega

아래의 쌍대 공간이다)

는 심플렉틱 노멀 다발이 이미 상수 랭크 임베딩을 국소적으로 결정함을 의미한다.^[3] 이러한 특징은 리만의 경우와 유사하다.

참조

_[1] 서적 Riemannian Manifolds, An Introduction to Curvature Springer-Verlag New York 1997
_[2] 서적 Algebraic Topology EMS Textbooks in Mathematics 2010
_[3] 서적 Foundations of Mechanics Benjamin-Cummings, London 1978

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