베이즈 추정량

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1. 개요
2. 베이즈 추정량의 정의 및 기본 원리
3. 일반화된 베이즈 추정량
- 3.1. 위치 모수 추정의 예시
4. 경험적 베이즈 추정량
- 4.1. 모수적 경험적 베이즈 추정의 예시
5. 베이즈 추정량의 성질
- 5.1. 허용성 (Admissibility)
- 5.2. 점근적 효율성 (Asymptotic Efficiency)
  - 5.2.1. 이항 분포에서 'p' 추정 예시
6. 베이즈 추정량의 실제 적용 사례
- 6.1. 인터넷 영화 데이터베이스 (IMDb) 영화 순위
참조

1. 개요

베이즈 추정량은 사전 분포와 손실 함수를 사용하여 모수를 추정하는 통계적 방법이다. 모르는 모수 θ가 사전 분포 π를 따른다고 가정하고, 측정값 x를 기반으로 한 추정량 $\widehat{\theta}$ 와 손실 함수 L( $\theta$ , $\widehat{\theta}$ )를 정의한다. 베이즈 위험을 최소화하는 추정량을 베이즈 추정량이라고 하며, 최소 평균 제곱 오차(MMSE) 추정량이 대표적이다. 켤레 사전 분포를 사용하면 사후 분포를 쉽게 계산할 수 있으며, 경험적 베이즈 추정량은 관찰된 데이터로부터 사전 분포를 추정하여 베이즈 추정량을 구한다. 베이즈 추정량은 허용성, 점근적 효율성 등의 성질을 가지며, IMDb 영화 평점 계산 등 다양한 분야에 활용된다.

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베이즈 추정량

2. 베이즈 추정량의 정의 및 기본 원리

알 수 없는 모수 $\theta$ 에 대한 추정량 $\widehat{\theta}$ 는 사전 분포 $\pi$ 와 손실 함수 $L(\theta,\widehat{\theta})$ 를 기반으로 정의된다. 손실 함수는 예를 들어 제곱 오차와 같은 것을 사용할 수 있다.^[1]

$\widehat{\theta}$ 의 베이즈 위험은 $E_\pi(L(\theta, \widehat{\theta}))$ 로 정의되는데, 이는 $\theta$ 의 확률 분포에 대한 기대 손실이다. 베이즈 추정량은 이 베이즈 위험을 최소화하는 추정량이다. 다시 말해, 각 측정값 $x$ 에 대해 사후 기대 손실 $E(L(\theta,\widehat{\theta}) | x)$ 을 최소화하는 추정량이 베이즈 추정량이다.^[1]

부적절 사전 분포인 경우, 각 $x$ 에 대해 사후 기대 손실을 최소화하는 추정량은 일반화된 베이즈 추정량이라고 한다.^[2]

2. 1. 최소 평균 제곱 오차 (MMSE) 추정

베이즈 추정에 사용되는 가장 일반적인 위험 함수는 평균 제곱 오차(MSE)이며, "제곱 오차 위험"이라고도 한다. MSE는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathrm{MSE} = E\left[ (\widehat{\theta}(x) - \theta)^2 \right],

여기서 기대값은

\theta

와

x

의 결합 분포에 대해 계산된다.

MSE를 위험으로 사용할 때, 미지의 모수에 대한 베이즈 추정량은 단순히 사후 확률 분포의 평균이다.^[3]

:

\widehat{\theta}(x) = E[\theta |x]=\int \theta\, p(\theta |x)\,d\theta.

이는 ''최소 평균 제곱 오차''(MMSE) 추정량으로 알려져 있다.

2. 2. 켤레 사전 분포와 베이즈 추정량

켤레 사전분포는 사후 분포가 사전 분포와 같은 분포군에 속하도록 하는 사전 분포를 의미하며, 베이즈 추정량 계산을 단순화하는 데 유용하다.^[1] 이는 베이즈 추정량뿐만 아니라 그 통계적 특성(분산, 신뢰 구간 등)을 모두 사후 분포에서 도출할 수 있기 때문이다.^[1]

켤레 사전분포는 현재 측정값의 사후 분포를 다음 측정값의 사전 분포로 사용하는 순차적 추정에 특히 유용하다.^[1] 순차적 추정에서는 켤레 사전분포를 사용하지 않으면, 사후 분포가 각 추가 측정과 함께 복잡해져 베이즈 추정량을 수치적 방법을 사용하지 않고는 계산하기 어렵다.^[1]

2. 2. 1. 켤레 사전 분포의 예시

$x|\theta$ 가 정규 분포 $x|\theta \sim N(\theta,\sigma^2)$ 이고, 사전 분포가 정규 분포 $\theta \sim N(\mu,\tau^2)$ 이면, 사후 분포도 정규 분포이고 MSE 하에서 베이즈 추정량은 다음과 같이 주어진다.

:

\widehat{\theta}(x)=\frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}+\tau^{2}}\mu+\frac{\tau^{2}}{\sigma^{2}+\tau^{2}}x.

$x_1, ..., x_n$ 이 iid 포아송 분포 $x_i|\theta \sim P(\theta)$ 이고, 사전 분포가 감마 분포 $\theta \sim G(a,b)$ 이면, 사후 분포도 감마 분포이고 MSE 하에서 베이즈 추정량은 다음과 같이 주어진다.

:

\widehat{\theta}(X)=\frac{n\overline{X}+a}{n+b}.

$x_1, ..., x_n$ 이 iid 균등 분포 $x_i|\theta \sim U(0,\theta)$ 이고, 사전 분포가 파레토 분포 $\theta \sim Pa(\theta_0,a)$ 이면, 사후 분포도 파레토 분포이고 MSE 하에서 베이즈 추정량은 다음과 같이 주어진다.

:

\widehat{\theta}(X)=\frac{(a+n)\max{(\theta_0,x_1,...,x_n)}}{a+n-1}.

2. 3. 대안적 위험 함수

평균 제곱 오차(MSE) 외에도 다양한 위험 함수들이 베이즈 추정에 사용될 수 있다. 사후 분포 함수를

F

로 표기할 때, 다음은 몇 가지 예시이다.

사후 중앙값을 베이즈 추정량으로 산출하는 "선형" 손실 함수 ( $a>0$ ):

:

L(\theta,\widehat{\theta}) = a|\theta-\widehat{\theta}|

:

F(\widehat{\theta }(x)|X) = \tfrac{1}{2}.

과대 추정 또는 과소 추정에 서로 다른 가중치 $a,b>0$ 를 할당하는 "선형" 손실 함수. 이는 사후 분포에서 분위수를 산출하며, 이전 손실 함수의 일반화이다.

:

L(\theta,\widehat{\theta}) = \begin{cases}a|\theta-\widehat{\theta}|, & \mbox{for }\theta-\widehat{\theta} \ge 0 \\b|\theta-\widehat{\theta}|, & \mbox{for }\theta-\widehat{\theta} < 0\end{cases}

:

F(\widehat{\theta }(x)|X) = \frac{a}{a+b}.

사후 최빈값 또는 사후 분포의 곡률과 속성에 따라 사후 최빈값에 가까운 점을 산출하는 손실 함수. 모드를 근사값으로 사용하기 위해 작은 $K>0$ 값을 권장한다 ( $L>0$ ).

:

L(\theta,\widehat{\theta}) = \begin{cases}0, & \mbox{for }|\theta-\widehat{\theta}| < K \\L, & \mbox{for }|\theta-\widehat{\theta}| \ge K.\end{cases}

평균 제곱 오차가 가장 널리 사용되지만, 강건 통계학 등에서는 다른 손실 함수도 사용된다.

3. 일반화된 베이즈 추정량

사전 분포가 부적절 사전 분포인 경우, 베이즈 위험은 정의되지 않는다. 사전 분포가 확률 분포가 아니므로 이에 대한 기댓값을 취할 수 없기 때문이다.^[2] 따라서 베이즈 위험을 최소화하는 베이즈 추정량에 대해 이야기하는 것은 의미가 없다. 그럼에도 불구하고, 많은 경우 사후 분포를 정의할 수 있다.^[2]

: $p(\theta|x) = \frac{p(x|\theta) p(\theta)}{\int p(x|\theta) p(\theta) d\theta}.$

이는 베이즈 정리를 적용한 것이 아니라 정의이다. 베이즈 정리는 모든 분포가 적절한 경우에만 적용될 수 있기 때문이다. 그러나 결과적으로 "사후 분포"가 유효한 확률 분포가 되는 것은 드문 일이 아니다. 이 경우, 사후 기대 손실

: $\int{L(\theta,a)p(\theta|x)d\theta}$

는 일반적으로 잘 정의되고 유한하다. 적절한 사전 분포의 경우, 베이즈 추정량은 사후 기대 손실을 최소화한다. 사전 분포가 부적절한 경우, 사후 기대 손실을 최소화하는 추정량을 '''일반화된 베이즈 추정량'''이라고 한다.^[2]

3. 1. 위치 모수 추정의 예시

손실 함수가

L(a-\theta)

형태인 위치 모수 추정 문제를 고려해 보자. 여기서

\theta

는 위치 모수를 나타내며, 확률 밀도 함수는

p(x|\theta) = f(x-\theta)

형태로 주어진다.

다른 정보가 없는 경우, 부적절한 사전 확률

p(\theta)=1

을 사용하는 것이 일반적이다. 이에 따라 사후 확률은 다음과 같이 계산된다.

:

p(\theta|x) = \frac{p(x|\theta) p(\theta)}{p(x)} = \frac{f(x-\theta)}{p(x)}

사후 기대 손실은 다음과 같다.

:

E[L(a-\theta)|x] = \int{L(a-\theta) p(\theta|x) d\theta} = \frac{1}{p(x)} \int L(a-\theta) f(x-\theta) d\theta.

일반화된 베이즈 추정량은 주어진

x

에 대해 이 식을 최소화하는 값

a(x)

이다. 이는 다음 식을 최소화하는 것과 같다.

:

\int L(a-\theta) f(x-\theta) d\theta

(1)

이 경우 일반화된 베이즈 추정량은 어떤 상수

a_0

에 대해

x+a_0

형태를 가진다. 이를 보이기 위해

x=0

일 때 (1)을 최소화하는 값을

a_0

라고 하자. 그러면 다른 값

x_1

이 주어졌을 때, 다음을 최소화해야 한다.

:

\int L(a-\theta) f(x_1-\theta) d\theta = \int L(a-x_1-\theta') f(-\theta') d\theta'.

(2)

이는

a

가

a-x_1

으로 대체되었다는 점을 제외하면 (1)과 동일하다. 따라서 최소화하는 식은

a-x_1 = a_0

으로 주어지며, 최적의 추정량은 다음과 같은 형태가 된다.

:

a(x) = a_0 + x.\,\!

4. 경험적 베이즈 추정량

경험적 베이즈 방법을 통해 파생된 베이즈 추정량은 '''경험적 베이즈 추정량'''이라고 불린다. 경험적 베이즈 방법은 관련 매개변수 관찰에서 얻은 보조 경험적 데이터를 사용하여 베이즈 추정량을 개발하는 방법이다. 이는 추정된 매개변수가 공통 사전 분포에서 얻어졌다는 가정하에 수행된다. 예를 들어, 서로 다른 매개변수의 독립적인 관찰이 수행되는 경우, 다른 관찰의 데이터를 사용하여 특정 매개변수의 추정 성능을 향상시킬 수 있다.^[4]

경험적 베이즈 추정에는 모수적 접근 방식과 비모수적 접근 방식이 모두 존재한다.^[4]

4. 1. 모수적 경험적 베이즈 추정의 예시

조건부 분포

f(x_i|\theta_i)

를 갖는 과거 관측값

x_1,\ldots,x_n

이 주어졌을 때,

x_{n+1}

에 기반하여

\theta_{n+1}

을 추정하는 간단한 예시이다.

\theta_i

들이 알려지지 않은 매개변수에 의존하는 공통 사전 분포

\pi

를 갖는다고 가정한다. 예를 들어,

\pi

가 알려지지 않은 평균

\mu_\pi\,\!

과 분산

\sigma_\pi\,\!

을 갖는 정규 분포라고 가정한다. 과거 관측값을 사용하여

\pi

의 평균과 분산을 구하는 방법은 다음과 같다.

먼저, 최대 우도 추정 방법을 사용하여

x_1, \ldots, x_n

의 주변 분포의 평균

\mu_m\,\!

과 분산

\sigma_m\,\!

을 추정한다.

:

\widehat{\mu}_m=\frac{1}{n}\sum{x_i},

:

\widehat{\sigma}_m^{2}=\frac{1}{n}\sum{(x_i-\widehat{\mu}_m)^{2}}.

다음으로, 전체 기대값의 법칙을 사용하여

\mu_m

을 계산하고, 전체 분산의 법칙을 사용하여

\sigma_m^{2}

을 계산한다.

:

\mu_m=E_\pi[\mu_f(\theta)] \,\!,

:

\sigma_m^{2}=E_\pi[\sigma_f^{2}(\theta)]+E_\pi[(\mu_f(\theta)-\mu_m)^{2}],

여기서

\mu_f(\theta)

와

\sigma_f(\theta)

는 조건부 분포

f(x_i|\theta_i)

의 모멘트이며, 이는 알려져 있다고 가정한다.

만약

\mu_f(\theta) = \theta

이고

\sigma_f^{2}(\theta) = K

라고 가정하면, 다음을 얻는다.

:

\mu_\pi=\mu_m \,\!,

:

\sigma_\pi^{2}=\sigma_m^{2}-\sigma_f^{2}=\sigma_m^{2}-K .

마지막으로, 사전 분포의 추정된 모멘트를 얻는다.

:

\widehat{\mu}_\pi=\widehat{\mu}_m,

:

\widehat{\sigma}_\pi^{2}=\widehat{\sigma}_m^{2}-K.

예를 들어,

x_i|\theta_i \sim N(\theta_i,1)

이고 정규 사전 분포를 가정하면(이 경우 켤레 사전 확률분포이다),

\theta_{n+1}\sim N(\widehat{\mu}_\pi,\widehat{\sigma}_\pi^{2})

임을 알 수 있으며, 이를 통해

x_{n+1}

에 기반한

\theta_{n+1}

의 베이즈 추정량을 계산할 수 있다.

5. 베이즈 추정량의 성질

베이즈 추정량은 추정량의 유용성과 신뢰성을 평가하는 데 중요한 기준이 되는 몇 가지 성질을 갖는다. 주요 성질로는 허용성(Admissibility)과 점근적 효율성(Asymptotic Efficiency)이 있다. 허용성은 베이즈 규칙이 유일하거나 특정 조건을 만족할 때 보장되며, 점근적 효율성은 표본 크기가 커질수록 베이즈 추정량이 최대 우도 추정량(MLE)에 근접하는 성질을 의미한다.

5. 1. 허용성 (Admissibility)

허용 결정 규칙

유한 베이즈 위험을 갖는 베이즈 규칙은 일반적으로 허용 가능하다.^[5] 다음은 허용성 정리의 몇 가지 구체적인 예시이다.

베이즈 규칙이 유일하면 허용 가능하다.^[5] 예를 들어, 위에 언급했듯이, 평균 제곱 오차(MSE) 하에서 베이즈 규칙은 유일하므로 허용 가능하다.
θ가 이산 집합에 속하면 모든 베이즈 규칙은 허용 가능하다.
θ가 연속(비이산) 집합에 속하고, 모든 δ에 대해 위험 함수 R(θ,δ)가 θ에서 연속이면 모든 베이즈 규칙은 허용 가능하다.

반대로, 일반화된 베이즈 규칙은 부적절한 사전 확률의 경우 종종 정의되지 않은 베이즈 위험을 갖는다. 이러한 규칙은 종종 허용 불가능하며, 허용성을 확인하는 것은 어려울 수 있다. 예를 들어, 가우스 표본을 기반으로 한 위치 매개변수 θ의 일반화된 베이즈 추정량(위의 "일반화된 베이즈 추정량" 섹션에 설명됨)은

p>2

에 대해 허용 불가능하다. 이것은 스타인의 현상으로 알려져 있다.

5. 2. 점근적 효율성 (Asymptotic Efficiency)

θ를 알려지지 않은 확률 변수,

x_1,x_2,\ldots

를 밀도

f(x_i|\theta)

를 갖는 독립적이고 동일한 분포(i.i.d.) 표본이라고 가정한다.

\delta_n = \delta_n(x_1,\ldots,x_n)

을 증가하는 수의 측정값을 기반으로 한 θ의 베이즈 추정량 수열이라고 할 때, 이 수열의 점근적 성능, 즉 큰 ''n''에 대한

\delta_n

의 성능을 분석한다.

일반적으로 θ를 실제 값이

\theta_0

인 결정론적 매개변수로 간주한다. 특정 조건 하에서,^[6] 큰 표본(큰 ''n'' 값)에서 θ의 사후 밀도는 거의 정규 분포를 따른다. 즉, 큰 ''n''에서 사전 확률이 사후 확률에 미치는 영향은 무시할 수 있다. δ가 MSE 위험 하의 베이즈 추정량이라면, 점근적 불편성을 가지며 분포 수렴하여 정규 분포로 수렴한다.

:

\sqrt{n}(\delta_n - \theta_0) \to N\left(0 , \frac{1}{I(\theta_0)}\right),

여기서 ''I''(θ₀)는 θ₀의 피셔 정보량이다. MSE 하의 베이즈 추정량 δ_''n''은 점근적으로 효율적이다.

최대 우도 추정량(MLE)도 점근적으로 정규 분포를 따르고 효율적인 추정량이다. 최대 우도 추정량과 베이즈 추정량 사이의 관계는 다음의 간단한 예시를 통해 알 수 있다.

5. 2. 1. 이항 분포에서 'p' 추정 예시

θ가 켤레 사전 분포, 즉 베타 분포 B(''a'',''b'')에 따라 분포한다고 가정하면, 사후 분포는 B(a+x, b+n-x)로 알려져 있다. 따라서 MSE 하의 베이즈 추정량은 다음과 같다.

:

\delta_n(x)=E[\theta|x]=\frac{a+x}{a+b+n}.

이 경우 MLE는 x/n이므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\delta_n(x)=\frac{a+b}{a+b+n}E[\theta]+\frac{n}{a+b+n}\delta_{MLE}.

위 식은 ''n'' → ∞일 때 (주어진 문제에서) 베이즈 추정량이 MLE에 가까워짐을 의미한다.

반면, ''n''이 작을 때는 사전 정보가 여전히 의사 결정 문제와 관련되어 추정에 영향을 미친다. 사전 정보의 상대적 가중치를 파악하기 위해 ''a''=''b''라고 가정하면, 각 측정은 1비트의 새로운 정보를 제공한다. 위의 공식은 사전 정보가 새로운 정보 ''a''+''b'' 비트와 동일한 가중치를 갖는다는 것을 보여준다.

응용 프로그램에서 사전 분포의 세부 사항에 대해 거의 알지 못하는 경우가 많다. 특히, 사전 분포가 정확히 B(''a'',''b'')와 일치한다고 가정할 이유가 없다. 이러한 경우, 이 계산의 한 가지 가능한 해석은 "평균값 0.5와 표준 편차 ''d''를 갖는 병리학적이지 않은 사전 분포가 있으며, 이는 새로운 정보의 1/(4''d''²)-1 비트와 동일한 사전 정보 가중치를 제공한다"는 것이다.

6. 베이즈 추정량의 실제 적용 사례

인터넷 영화 데이터베이스(IMDb)는 영화 평점을 계산하고 비교하기 위해 "진정한 베이즈 추정량"이라고 주장하는 공식을 사용한다.^[7] 이 공식은 과거 Top 250 영화의 가중 평균 점수를 계산하는 데 사용되었으나, 현재는 변경되었다.

과거에 사용되었던 베이즈 공식은 다음과 같다.

: $W = {Rv + Cm\over v+m}\$

각 변수의 의미는 다음과 같다.

''W'': 가중 평점
''R'': 영화의 평균 평점 (1에서 10 사이의 숫자)
''v'': 영화에 대한 투표/평점 수
''m'': 사전 추정량에 부여된 가중치 (IMDb가 평균 평점이 통계적 유효성에 접근한다고 간주한 투표 수)
''C'': 전체 영화의 평균 평점 (현재 7.0)

''W''는 ''(v, m)''를 가중치 벡터로 하는 ''R''과 ''C''의 가중 산술 평균이다. 평점 수가 ''m''을 초과하면 가중 베이즈 평점(''W'')은 순수한 평균(''R'')에 접근한다. 반면 ''v''가 0에 가까울수록 ''W''는 ''C''에 가까워진다. 즉, 평점/투표 수가 적을수록 가중 평점은 전체 영화의 평균에 가까워지고, 평점/투표 수가 많을수록 평균 평점에 가까워진다.

IMDb는 이러한 접근 방식을 통해 소수의 열광적인 팬들에 의해 10점 만점을 받은 영화가, 50만 개 이상의 평점에서 평균 9.2점을 받은 《대부》보다 높게 순위가 매겨지는 불합리한 상황을 방지한다.

6. 1. 인터넷 영화 데이터베이스 (IMDb) 영화 순위

인터넷 영화 데이터베이스(IMDb)는 사용자들이 매긴 영화 평점을 바탕으로 순위를 계산하는데, 특히 '최고 평점 250개 영화' 목록에는 "진정한 베이즈 추정량"이라고 불리는 공식을 사용한다.^[7] 이 공식은 다음과 같다.

:

W = {Rv + Cm\over v+m}\

각 변수의 의미는 다음과 같다.

변수	의미
$W\$	가중 평점
$R\$	영화의 평균 평점 (1점부터 10점까지)
$v\$	영화에 대한 평점/투표 수
$m\$	사전 추정량에 부여되는 가중치 (IMDb에서는 평균 평점이 통계적으로 유의미하다고 판단되는 투표 수)
$C\$	전체 영화의 평균 평점 (현재 7.0)

''W''는 ''(v, m)''을 가중치 벡터로 하는 ''R''과 ''C''의 가중 산술 평균이다. 평점 수(''v'')가 ''m''을 넘어서면, 영화의 평균 평점(''R'')에 대한 신뢰도가 전체 영화의 평균 평점(''C'')에 대한 신뢰도보다 높아지고, 가중 베이즈 평점(''W'')은 점차 평균 평점(''R'')에 가까워진다. 반대로 ''v''가 0에 가까워질수록 ''W''는 ''C''에 가까워진다. 즉, 평점/투표 수가 적을수록 가중 평점은 전체 영화의 평균에 가까워지고, 평점/투표 수가 많을수록 평균 평점에 가까워지는 방식이다.

IMDb는 이러한 접근 방식을 통해 소수의 열광적인 팬들에 의해 10점 만점을 받은 영화가, 예를 들어 50만 개 이상의 평점에서 평균 9.2점을 받은 《대부》보다 높게 순위가 매겨지는 불합리한 상황을 방지한다.

참조

_[1] 서적 Lehmann and Casella, Theorem 4.1.1
_[2] 서적 Lehmann and Casella, Definition 4.2.9
_[3] 서적 Probability Theory: The Logic of Science Cambridge Univ. Press 2007
_[4] 서적 Berger (1980), section 4.5.
_[5] 서적 Lehmann and Casella (1998), Theorem 5.2.4.
_[6] 서적 Lehmann and Casella (1998), section 6.8
_[7] 웹사이트 IMDb Top 250 https://www.imdb.com[...]

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