정규 분포

3. 정의

정규 분포는 확률 밀도 함수가 다음과 같은 형태(가우스 함수라고 불림)로 주어지는 확률 분포이다.^[84]

:$f(x)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\; \backslash sigma^2\}\}\; \backslash exp\; \backslash !\; \backslash left(\; -\backslash frac\{(x-\backslash mu)^2\}\{2\backslash sigma^2\}\; \backslash right)\; \backslash quad(x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\; )$

이 분포는 $N(\backslash mu,\backslash sigma^2)$로 표기한다.^[84] 여기서 N는 "정규 분포"를 나타내는 영어 "normal distribution"의 머리글자에서 따온 것이다.^[84]

확률 변수 $X$가 평균 $\backslash mu$와 표준 편차 $\backslash sigma$를 갖는 정규 분포를 따르면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$X\; \backslash sim\; \backslash mathcal\{N\}(\backslash mu,\backslash sigma^2).$$

평균이 $\backslash mu$, 분산이 $\backslash sigma^2$인 정규 분포는 지수족을 형성하며, 자연 매개변수는 $\backslash textstyle\backslash theta\_1=\backslash frac\{\backslash mu\}\{\backslash sigma^2\}$ 및 $\backslash textstyle\backslash theta\_2=\backslash frac\{-1\}\{2\backslash sigma^2\}$이고 자연 통계량은 ''x'' 및 ''x''²이다. 정규 분포에 대한 이중 기대 매개변수는 $\backslash eta\_1\; =\; \backslash mu$ 및 $\backslash eta\_2\; =\; \backslash mu^2\; +\; \backslash sigma^2$이다.

일부에서는 분포의 폭을 정의하는 매개변수로 표준 편차 $\backslash sigma$ 또는 분산 $\backslash sigma^2$ 대신 정밀도 $\backslash tau$를 사용할 것을 주장한다. 정밀도는 일반적으로 분산의 역수 $1/\backslash sigma^2$로 정의된다.^[10] 이 경우 분포에 대한 공식은 다음과 같다.

$$f(x)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\backslash tau\{2\backslash pi\}\}\; e^\{-\backslash tau(x-\backslash mu)^2/2\}.$$

또는 표준 편차의 역수 $\backslash tau\text{'}=1/\backslash sigma$를 "정밀도"로 정의할 수 있으며, 이 경우 정규 분포의 표현식은 다음과 같다.

$$f(x)\; =\; \backslash frac\{\backslash tau\text{'}\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\; e^\{-(\backslash tau\text{'})^2(x-\backslash mu)^2/2\}.$$

3. 1. 일반 정규 분포

3. 2. 표준 정규 분포

4. 성질

정규분포에서는 기댓값, 최빈값, 중앙값이 모두 $\backslash mu$로 같다. 정규분포의 기댓값은 특정 수식으로 계산할 수 있는데, 이 과정에서 첫 번째 적분은 홀함수의 적분으로 0이 되고, 두 번째 적분은 가우스 적분으로 적분값이 $\backslash sqrt\{\backslash pi\}$로 알려져 있어, 결국 기댓값은 $\backslash mu$가 된다.

정규분포는 절대근사하며, 평균과 표준편차가 주어졌을 때 엔트로피를 최대화하는 분포이다. 정규분포곡선은 좌우 대칭이며 하나의 꼭지를 가지고, 중앙값에 사례 수가 모여있고 양극단으로 갈수록 X축에 무한히 접근하지만 X축에 닿지는 않는다.^[91]

에서 k값에 따라 구해지는 $\backslash pm\; k\backslash sigma$값을 '''불확실성'''(uncertainty)이라고 한다. 예를 들어, $\backslash pm\; 1.960\backslash sigma$는 95% 불확실성을 의미한다. $\backslash pm\; 0.674\backslash sigma$는 50% 불확실성이며, '''확률오차'''(probable error)라고도 하는데, 이는 관측값이 전체 관측값의 50%에 있을 확률을 의미한다.^[92]

오차 함수 $\backslash operatorname\{erf\}(x)$는 평균 0, 분산 1/2의 정규 분포를 갖는 임의 변수가 $[-x,\; x]$ 범위에 속할 확률을 나타낸다. 이 적분은 초등 함수로 표현될 수 없으며, 특수 함수라고도 한다. 그러나 많은 수치 근사값이 알려져 있다. 두 함수는 서로 밀접하게 관련되어 있으며, 누적 분포 함수는 다음과 같이 표현된다.

$$F(x)\; =\; \backslash Phi\backslash left(\backslash frac\{x-\backslash mu\}\; \backslash sigma\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left[1\; +\; \backslash operatorname\{erf\}\backslash left(\backslash frac\{x-\backslash mu\}\{\backslash sigma\; \backslash sqrt\; 2\; \}\backslash right)\backslash right]\backslash ,.$$



표준 정규 누적 분포 함수의 여집합 $Q(x)\; =\; 1\; -\; \backslash Phi(x)$는 Q-함수라고 불리며^[11][12], 표준 정규 임의 변수 $X$의 값이 $x$를 초과할 확률 $P(X>x)$를 제공한다.^[13]

표준 정규 누적 분포 함수 $\backslash Phi$의 그래프는 점 (0,1/2)에 대해 2배의 회전 대칭을 가지며, 그 부정 적분은 특정 형태로 표현될 수 있다. 또한, 부분 적분법을 사용하여 급수로 전개될 수 있으며, 큰 ''x''에 대한 누적 분포 함수의 점근 전개 역시 부분 적분법을 사용하여 유도될 수 있다.^[14]

큰 $n$의 경우, $1\; -\; p\; \backslash approx\; \backslash frac\{e^\{-n^2/2\}\}\{n\backslash sqrt\{\backslash pi/2\}\}$ 근사식을 사용할 수 있다. 정규 분포는 처음 두 개(즉, 평균과 분산)를 제외한 큐뮬런트가 0인 유일한 분포이며, 주어진 평균과 분산에 대해 최대 엔트로피 확률 분포를 갖는 연속 분포이기도 하다.^[16][17] 정규 분포는 평균과 분산이 서로 독립적인 유일한 분포이다.^[18][19]

정규 분포는 타원 분포의 하위 클래스이며, 평균에 대해 대칭 분포이고, 전체 실수선에서 0이 아닌 값을 갖는다. 따라서 양수이거나 심하게 왜곡된 변수에는 적합한 모델이 아닐 수 있으며, 이러한 변수는 로그 정규 분포 또는 파레토 분포와 같은 다른 분포로 더 잘 설명될 수 있다.

정규 밀도의 값은 값 $x$가 평균에서 여러 표준 편차 이상 떨어져 있을 때 거의 0에 가깝다. 따라서 상당한 비율의 이상치가 예상될 경우 적절한 모델이 아닐 수 있으며, 이러한 경우 더 헤비 테일 분포를 가정하고 적절한 강건 통계적 추론 방법을 적용해야 한다.

가우스 분포는 안정 분포의 한 종류에 속하며, 독립 동일 분포의 합의 흡인자이다. 가우스를 제외한 모든 안정 분포는 헤비 테일과 무한 분산을 갖는다. 이는 안정적이고 확률 밀도 함수가 해석적으로 표현될 수 있는 몇 안 되는 분포 중 하나이며, 나머지 분포는 코시 분포와 레비 분포이다.

실수 확률 변수 $X$의 적률생성함수는 실수 매개변수 $t$의 함수로서 $e^\{tX\}$의 기댓값이다. 정규 분포의 경우, 적률생성함수는 존재하며 특정 형태로 주어진다. 누적률생성함수는 적률생성함수의 로그이며, 2차 다항식으로 처음 두 개의 누적률만 0이 아니며, 평균과 분산이다.

일부 저자는 특성함수를 사용하는 것을 선호한다. $\backslash sigma^2$이 0으로 접근하는 극한에서, 확률 밀도 $f(x)$는 특정 지점에서 0으로 접근하지만, 다른 지점에서는 한없이 커진다. 하지만 적분값은 1로 유지된다. 따라서, 정규 분포는 $\backslash sigma^2\; =\; 0$일 때 일반적인 함수로 정의될 수 없다. 하지만, 분산이 0인 정규 분포는 일반화 함수로 정의할 수 있으며, 특히 디랙 델타 함수를 평균만큼 평행이동한 것으로 정의할 수 있다. 이 경우 누적 분포 함수는 평균만큼 평행이동된 헤비사이드 계단 함수가 된다.

정규 분포의 추가적인 성질은 다음과 같다.

# 어떤 확률 변수의 특성 함수가 특정 형태를 띠면, '''마르친키에비츠 정리'''에 따르면 그 확률 변수는 정규 확률 변수이다.^[46]

# 결합 정규 분포이고 상관관계가 없는 경우 두 확률 변수는 독립이다.^{[31][32][증명}

# 두 정규 분포 간의 쿨백-라이블러 발산과 헬린저 거리는 특정 수식으로 주어진다.^[33]

# 정규 분포의 피셔 정보 행렬은 대각 행렬이며 특정 형태를 취한다.^[34]

# 정규 분포 평균의 켤레 사전 분포는 또 다른 정규 분포이다.^[34]

# 정규 분포군은 지수족을 형성하며, 자연 지수족을 형성한다.

# 정규 분포군은 상수 곡률을 갖는 통계적 다양체를 형성한다.^[35]

# 독립적인 확률 변수들의 최댓값은 특정 값 이하이다.^[36]

임의의 양의 정수에 대해, 평균과 분산을 갖는 모든 정규 분포는 독립적인 정규 확률 변수의 합의 분포이다. 이 성질을 무한 분할 가능성이라고 한다.^[44]

반대로, 독립적인 확률 변수의 합이 정규 분포를 갖는다면, 각 확률 변수 모두 정규 확률 변수여야 한다.^[45] 이 결과는 크라메르 분해 정리로 알려져 있다. 크라메르 정리는 독립적인 비-가우시안 변수의 선형 결합은 결코 정확히 정규 분포를 가질 수 없음을 의미한다.^[46]

카츠-번스타인 정리는 독립적인 두 확률 변수의 합과 차가 독립적이면, 두 확률 변수 모두 반드시 정규 분포를 가져야 한다고 명시한다.^[47][48]

더 일반적으로, 독립적인 확률 변수들의 두 선형 결합이 독립적이기 위한 조건이 특정 형태로 주어진다.^[47]

정규 분포는 재생성을 갖는다. 즉, 독립적인 정규 분포를 따르는 확률 변수들의 선형 결합 또한 정규 분포를 따른다.

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정규 분포에서 무작위 표본을 추출할 때, 평균에서 벗어나는 정도에 따라 표본이 포함될 확률이 결정된다.^[84] 정규 분포는 t-분포나 F-분포와 같은 여러 분포의 기본이 되며, 통계적 추론에서 다양하게 활용된다. 정규 분포를 따르는 확률 변수를 표준화하면 표준 정규 분포를 따르게 되며, 이를 통해 표준 정규 분포표를 이용하여 확률을 구할 수 있다. 불연속 값을 갖는 확률 변수에 대한 검정의 경우에도 정규 분포를 근사적으로 사용할 수 있다.

4. 1. 누적 분포 함수

• Zelen과 Severo (1964)는 절댓값 오차 를 사용하여 ''x'' > 0에 대한 Φ(''x'')의 근사(알고리즘 26.2.17)를 제공한다.

• Hart (1968)는 오차 함수(erfc)에 대한 (지수 유무에 관계없이) 유리 함수를 사용한 수십 가지 근사를 나열한다. 그의 알고리즘은 복잡성의 정도와 결과 정확도에 따라 다르며, 최대 절댓값 정확도는 24자리이다. West (2009)의 알고리즘은 Hart의 알고리즘 5666과 연분수를 결합하여 16자리 정확도를 갖는 빠른 계산 알고리즘을 제공한다.

• Cody (1969)는 Hart68 솔루션이 erf에 적합하지 않음을 상기시킨 후, 유리 체비쇼프 근사를 통해 최대 상대 오차 경계를 갖는 erf와 erfc 모두에 대한 솔루션을 제공한다.

• Marsaglia (2004)는 테일러 급수 전개

• GNU 과학 라이브러리는 Hart의 알고리즘과 체비쇼프 다항식을 사용하여 표준 정규 누적 분포 함수의 값을 계산한다.

• Dia (2023)은 $1-\backslash Phi$에 대한 다음과 같은 근사를 제안하며, 절댓값에서 최대 상대 오차가 $2^\{-53\}$ $$

4. 2. 분위수 함수

5. 관련 분포

• 이항 분포는 표본 크기가 크고 성공 확률이 0 또는 1에 너무 가깝지 않은 경우 근사적으로 정규 분포를 따른다.
• 푸아송 분포는 모수가 큰 경우 근사적으로 정규 분포를 따른다.^[37]
• 카이제곱 분포는 자유도가 큰 경우 근사적으로 정규 분포를 따른다.
• 스튜던트 t-분포는 자유도가 클 때 근사적으로 정규 분포를 따른다.

5. 1. 중심 극한 정리

• 이항 분포 $B(n,p)$는 $n$이 크고 $p$가 0 또는 1에 너무 가깝지 않은 경우 근사적으로 정규 분포를 가지며, 평균은 $np$, 분산은 $np(1-p)$이다.
• 모수 $\backslash lambda$의 푸아송 분포는 $\backslash lambda$가 큰 경우 평균 $\backslash lambda$와 분산 $\backslash lambda$를 갖는 근사적으로 정규 분포를 따른다.^[37]
• 카이제곱 분포 $\backslash chi^2(k)$는 $k$가 큰 경우 평균 $k$와 분산 $2k$를 갖는 근사적으로 정규 분포를 따른다.
• 스튜던트 t-분포 $t(\backslash nu)$는 $\backslash nu$가 클 때 평균 0과 분산 1을 갖는 근사적으로 정규 분포를 따른다.

5. 2. 정규 분포와 관련된 연산

• 임의의 실수 $a$와 $b$에 대해 $aX+b$ 또한 정규 분포를 따르며, 평균은 $a\backslash mu+b$이고 분산은 $a^2\backslash sigma^2$이다. 즉, 정규 분포군은 선형 변환에 대해 닫혀 있다.
• $X$의 지수는 로그 정규 분포를 따른다: $e^X\; \backslash sim\; \backslash ln(N(\backslash mu,\; \backslash sigma^2))$.
• $X$의 표준 시그모이드는 로짓 정규 분포를 따른다: $\backslash sigma(X)\; \backslash sim\; P(\; \backslash mathcal\{N\}(\backslash mu,\backslash ,\backslash sigma^2)\; )$.
• $X$의 절댓값은 접힌 정규 분포를 가진다. 만약 $\backslash mu\; =\; 0$이면, 이는 반 정규 분포라고 알려져 있다.
• 정규화된 잔차의 절댓값인 $|X\; -\; \backslash mu|\; /\; \backslash sigma$는 자유도 1인 카이 분포를 따른다: $|X\; -\; \backslash mu|\; /\; \backslash sigma\; \backslash sim\; \backslash chi\_1$.
• $X/\backslash sigma$의 제곱은 자유도 1인 비중심 카이제곱 분포를 따른다: $X^2\; /\; \backslash sigma^2\; \backslash sim\; \backslash chi\_1^2(\backslash mu^2\; /\; \backslash sigma^2)$. 만약 $\backslash mu\; =\; 0$이면, 이 분포는 간단히 카이제곱 분포라고 불린다.
• 정규 변수 $x$의 로그 우도는 단순히 해당 확률 밀도 함수의 로그이다: $$\backslash ln\; p(x)=\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\backslash frac\{x-\backslash mu\}\{\backslash sigma\}\; \backslash right)^2\; -\backslash ln\; \backslash left(\backslash sigma\; \backslash sqrt\{2\backslash pi\}\; \backslash right).$$ 이는 표준 정규 변수의 스케일 조정 및 이동된 제곱이므로, 스케일 조정 및 이동된 카이제곱 분포 변수로 분포된다.
• 구간 $[a,\; b]$로 제한된 변수 $X$의 분포는 절단 정규 분포라고 불린다.
• $(X\; -\; \backslash mu)^\{-2\}$는 위치 0과 척도 $\backslash sigma^\{-2\}$를 갖는 레비 분포를 가진다.
• 독립적인 정규 변량의 모든 선형 결합은 정규 변량이다.
• 만약 $X\_1,\; X\_2,\; \backslash ldots,\; X\_n$이 독립적인 표준 정규 확률 변수라면, 그 제곱의 합은 $n$ 자유도를 갖는 카이제곱 분포를 따른다: $$X\_1^2\; +\; \backslash cdots\; +\; X\_n^2\; \backslash sim\; \backslash chi\_n^2.$$
• 만약 $X\_1,\; X\_2,\; \backslash ldots,\; X\_n$이 평균 $\backslash mu$와 분산 $\backslash sigma^2$을 갖는 독립적인 정규 분포 확률 변수라면, 그들의 표본 평균은 표본 표준 편차와 독립적이며,^[41] 이는 바수 정리 또는 코크란 정리를 사용하여 증명할 수 있다.^[42] 이 두 양의 비율은 $n-1$ 자유도를 갖는 스튜던트 t-분포를 따를 것이다: $$t\; =\; \backslash frac\{\backslash overline\; X\; -\; \backslash mu\}\{S/\backslash sqrt\{n\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash frac\{1\}\{n\}(X\_1+\backslash cdots+X\_n)\; -\; \backslash mu\}\{\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{n(n-1)\}\backslash left[(X\_1-\backslash overline\; X)^2\; +\; \backslash cdots+(X\_n-\backslash overline\; X)^2\backslash right]\}\}\; \backslash sim\; t\_\{n-1\}.$$
• 만약 $X\_1,\; X\_2,\; \backslash ldots,\; X\_n$, $Y\_1,\; Y\_2,\; \backslash ldots,\; Y\_m$이 독립적인 표준 정규 확률 변수라면, 그들의 정규화된 제곱합의 비율은 F-분포를 따르며, 자유도는 $(n,\; m)$이다:^[43] $$F\; =\; \backslash frac\{\backslash left(X\_1^2+X\_2^2+\backslash cdots+X\_n^2\backslash right)/n\}\{\backslash left(Y\_1^2+Y\_2^2+\backslash cdots+Y\_m^2\backslash right)/m\}\; \backslash sim\; F\_\{n,m\}.$$
• 정규 벡터의 이차 형식, 즉 여러 개의 독립 또는 상관된 정규 변수의 이차 함수 $q\; =\; \backslash sum\; x\_i^2\; +\; \backslash sum\; x\_j\; +\; c$는 일반화된 카이제곱 분포 변수이다.

6. 통계적 추론

정규 분포는 t-분포나 F-분포와 같은 여러 분포의 기본이 될 뿐만 아니라, 실제 통계적 추론에서도 가설 검정, 구간 추정 등 다양한 상황에서 활용된다.

정규 분포 를 따르는 확률 변수 가 주어졌을 때, 로 표준화하면 확률 변수 는 표준 정규 분포를 따른다. 대학 수준의 통계학 입문 수업에서 반드시 수행하는 과정이며, 값을 구함으로써 '''표준 정규 분포표'''라고 불리는 변수에 대응하는 확률을 나타내는 일람표를 이용하여 컴퓨터 없이 정규 분포를 따르는 사건의 확률을 구할 수 있다.

불연속 값을 갖는 확률 변수에 대한 검정의 경우에도 연속 변수와 유사한 방식으로 정규 분포를 근사적으로 사용할 수 있다. 이는 표본의 크기 이 크고 데이터의 계급 폭이 좁을수록 근사의 정확도가 높아진다.

어떤 현상에 대해 법칙성을 찾거나 이론을 구축하려 할 때, 그 확률 분포가 아직 알려지지 않은 경우, 정규 분포라고 가정하여 추론하는 경우가 드물지 않지만, 잘못된 결론에 도달할 가능성이 있다. 표본 데이터가 정규 분포에 근사하는지 판단하기 위해서는 첨도와 왜도를 조사하거나, 히스토그램을 보거나, 정규 Q-Q 플롯을 확인하거나, 샤피로-윌크 검정이나 콜모고로프-스미르노프 검정(정규 분포)을 이용하는 방법 등이 일반적으로 사용된다.

정규 분포 에서 무작위 표본 를 추출할 때, 평균 에서 벗어나는 정도가 이하의 범위에 가 포함될 확률은 68.27%, 이하면 95.45%, 그리고 이면 99.73%가 된다.^[84]

6. 1. 모수 추정

6. 2. 가설 검정

• Q-Q 플롯(정규 확률도 또는 랭킷 플롯이라고도 함) — 데이터 집합에서 정렬된 값을 표준 정규 분포에서 해당 분위수의 예상 값에 대해 플롯한 것이다. 즉, 플롯 포인트 ''p_k''가 ''p_k'' = (''k'' − ''α'')/(''n'' + 1 − 2''α'')와 같고 ''α''가 0과 1 사이의 조정 상수인 (Φ⁻¹(''p_k''), ''x''_(''k'')) 형태의 점을 플롯한 것이다. 귀무 가설이 참이라면, 플롯된 점은 대략 직선 위에 놓여야 한다.
• P-P 플롯 – Q-Q 플롯과 유사하지만 훨씬 덜 자주 사용된다. 이 방법은 $\backslash textstyle\; z\_\{(k)\}\; =\; (x\_\{(k)\}-\backslash hat\backslash mu)/\backslash hat\backslash sigma$인 점 (Φ(''z''_(''k'')), ''p_k'')을 플롯하는 것으로 구성된다. 정규 분포 데이터를 위해 이 플롯은 (0, 0)과 (1, 1) 사이의 45° 선 위에 있어야 한다.

• 다고스티노 K-제곱 검정
• 자르크-베라 검정
• 샤피로-윌크 검정: Q-Q 플롯의 선이 ''σ''의 기울기를 갖는다는 사실에 기반한다. 이 검정은 해당 기울기의 최소 제곱 추정치를 표본 분산 값과 비교하고, 이 두 양이 유의하게 다르면 귀무 가설을 기각한다.

• 앤더슨-달링 검정
• 릴리에포스 검정 (콜모고로프-스미르노프 검정의 변형)

6. 3. 신뢰 구간

{\sqrt n}s,\,

\hat\mu + \frac

{\sqrt n}s \right]

$$\backslash sigma^2\; \backslash in$$

\left[ s^2 - \sqrt{2}\frac

{\sqrt{n}} s^2 ,\,

s^2 + \sqrt{2}\frac

{\sqrt{n}} s^2 \right]

근사 공식은 ''n''의 큰 값에 대해 유효해지며, 표준 정규 분위수 ''z''_''α''/2가 ''n''에 의존하지 않으므로 수동 계산에 더 편리하다. 특히, 가장 인기 있는 값 ''α'' = 5%는 ''z''_0.025 = 1.96을(를) 결과로 낸다.

점 추정은 하나의 값을 사용하여 모수를 추정하는 데 반해, 일정 구간을 설정하여 추정하는 것을 구간 추정이라고 한다.

예를 들어,

"2022년 6월 기시다 내각의 지지율은 59%이다^[87]"

라는 추정이 점 추정인 데 반해,

"2022년 1월부터 12월까지 지지율은 33%에서 59%이다^[85]"

라는 추정은 구간 추정으로 분류된다^[88]。

또한, 추정하는 구간을 신뢰구간이라고 부르며, 수준에 따라 "90% 신뢰구간", "95% 신뢰구간", "99% 신뢰구간" 등으로도 불린다^[89]。

7. 응용

정규 분포는 평균과 분산이 주어졌을 때 최대 엔트로피를 갖는 연속 분포이다.^[16][17] 평균과 분산이 유한할 때, 정규 분포는 독립적인 추출로부터 계산된 평균과 분산이 서로 독립적인 유일한 분포이다.^[18][19]

정규 분포는 타원 분포의 한 종류이며, 평균에 대해 대칭이고 실수 전체에서 0이 아닌 값을 갖는다. 따라서 사람의 체중이나 주식 가격처럼 양수이거나 심하게 왜곡된 변수에는 적합하지 않을 수 있다. 이러한 변수는 로그 정규 분포나 파레토 분포 등으로 더 잘 설명될 수 있다.

정규 밀도의 값은 평균에서 표준 편차의 3배 이상 떨어져 있을 때 거의 0에 가깝다. 따라서 이상치가 많을 경우 적절한 모델이 아닐 수 있으며, 이 경우 강건 통계적 추론 방법을 적용해야 한다.

가우스 분포는 안정 분포의 한 종류이며, 독립 동일 분포의 합의 흡인자이다. 가우스를 제외한 모든 안정 분포는 꼬리가 두껍고 분산이 무한하다. 정규 분포는 안정적이고 확률 밀도 함수가 해석적으로 표현될 수 있는 몇 안 되는 분포 중 하나이며, 나머지는 코시 분포와 레비 분포이다.

지정된 유한 평균 $\backslash mu$와 유한 분산 $\backslash sigma^2$를 갖는 실수 상의 모든 확률 분포 중에서, 정규 분포 $N(\backslash mu,\backslash sigma^2)$가 최대 엔트로피를 갖는다.^[27]

중심 극한 정리는 특정 조건 하에서 많은 확률 변수의 합이 근사적으로 정규 분포를 갖는다고 설명한다. 독립적이고 동일한 분포를 따르는 확률 변수들의 평균은 표본의 크기가 커짐에 따라 정규 분포에 가까워진다. 이 정리는 종속적이거나 동일하게 분포되지 않은 변수에도 확장될 수 있다.

실제에서 접하는 많은 검정 통계량, 점수, 추정량은 확률 변수의 합을 포함하며, 중심 극한 정리는 이러한 통계적 매개변수가 점근적으로 정규 분포를 가질 것임을 의미한다.

중심 극한 정리는 또한 특정 분포를 정규 분포로 근사할 수 있음을 의미한다. 예를 들면 다음과 같다.

• 이항 분포는 표본의 크기가 크고 성공 확률이 0이나 1에 너무 가깝지 않은 경우 근사적으로 정규 분포를 따른다.
• 푸아송 분포는 모수가 큰 경우 근사적으로 정규 분포를 따른다.^[37]
• 카이제곱 분포는 자유도가 큰 경우 근사적으로 정규 분포를 따른다.
• 스튜던트 t-분포는 자유도가 클 때 근사적으로 정규 분포를 따른다.

이러한 근사가 충분히 정확한지는 근사가 필요한 목적과 정규 분포로의 수렴 속도에 따라 달라진다. 일반적으로 이러한 근사는 분포의 꼬리 부분에서 덜 정확하다. 베리-에센 정리는 중심 극한 정리의 근사 오차에 대한 일반적인 상한을 제공하며, 에지워스 전개는 근사의 개선을 제공한다. 이 정리는 또한 많은 균일 잡음 소스의 합을 가우시안 잡음으로 모델링하는 것을 정당화하는 데 사용될 수 있다. AWGN을 참조.

실제 문제에서 정규 분포의 발생은 크게 네 가지 범주로 분류할 수 있다.

# 정확한 정규 분포;

# 중심 극한 정리에 의해 정당화되는 근사 정규 분포;

# 주어진 평균과 분산에 대해 최대 엔트로피를 갖는 분포인 정규 분포로 모델링된 분포.

# 체계적인 효과가 충분히 잘 모델링된 후 발견되는 정규 분포 (회귀 문제).

물리학의 특정 양들은 정규 분포를 따르는데, 이는 제임스 클러크 맥스웰에 의해 처음 증명되었다. 그러한 양들의 예시는 다음과 같다.

• 양자 조화 진동자의 바닥 상태의 확률 밀도 함수.
• 확산을 경험하는 입자의 위치.

''근사적으로'' 정규 분포는 중심 극한 정리에 의해 설명되는 많은 상황에서 발생한다. 결과가 ''가산적이고 독립적으로'' 작용하는 많은 작은 효과에 의해 생성될 때, 해당 분포는 정규 분포에 가까워진다.

• 계수 문제에서, 중심 극한 정리가 이산-연속 근사를 포함하고 무한 분할 가능 및 분해 가능 분포가 관련되는 경우:
• 이항 확률 변수, 이진 응답 변수와 관련됨;
• 푸아송 확률 변수, 희귀 사건과 관련됨;
• 열 복사는 매우 짧은 시간 척도에서는 보스-아인슈타인 통계 분포를 가지며, 중심 극한 정리로 인해 더 긴 시간 척도에서는 정규 분포를 갖는다.

경험적으로 정규분포 가정을 검증하는 통계적 방법은 정규성 검정 섹션을 참조.

• 생물학에서, 다양한 변수의 ''로그''는 로그 정규 분포를 가지는 경향이 있다.
• 생체 조직의 크기 측정 (길이, 높이, 피부 면적, 무게);^[53]
• 생물 표본의 ''불활성'' 부속물(털, 발톱, 손톱, 이빨)의 ''성장 방향''의 ''길이'';
• 성인 인간의 혈압과 같은 특정 생리학적 측정.
• 금융 분야, 특히 블랙-숄즈 모형에서, 환율, 물가 지수, 주식 시장 지수의 ''로그'' 변화는 정규 분포를 따른다고 가정한다. 브누아 망델브로와 같은 일부 수학자들은 레비 왜도 알파 안정 분포가 더 적절한 모델이라고 주장했다. 나심 니콜라스 탈레브는 금융 모형에서 정규 분포 가정을 비판했다.
• 물리 실험에서 측정 오차는 종종 정규 분포로 모델링된다. 정규 분포를 사용하는 것은 오차의 평균과 분산에 대한 지식만으로 가능한 가장 보수적인 예측을 생성한다는 의미이다.^[54]
• 표준화된 시험에서, 결과를 정규 분포를 갖도록 할 수 있다. 예를 들어, SAT의 전통적인 200–800점 범위는 평균 500, 표준 편차 100인 정규 분포를 기반으로 한다.

• 백분위수 순위(백분위수 또는 분위수), 정규 곡선 상당치, 스타나인, z-점수, T-점수를 포함하여 많은 점수가 정규 분포에서 파생된다. 또한 일부 행동 통계 절차에서는 점수가 정규 분포를 따른다고 가정한다. 예를 들어, t-검정과 ANOVA가 있다. 종형 곡선 채점은 점수의 정규 분포를 기반으로 상대적인 점수를 할당한다.
• 수문학에서, 장기간의 하천 유량 또는 강우량의 분포는 중심 극한 정리에 따라 실질적으로 정규 분포를 따른다고 생각되는 경우가 많다.^[55] 파란색 그림은 10월 강우량의 순위를 정규 분포에 맞추는 예시를 보여준다. 강우량 데이터는 누적 빈도 분석의 일부로 플로팅 위치로 표시된다.

존 이오아니디스는 연구 결과를 검증하는 기준으로 정규 분포 표준 편차를 사용하면 정규 분포를 따르지 않는 현상에 대한 반증 가능한 예측을 검증하지 못한다고 주장했다.^[56]

정규 분포가 통계학상 특별한 지위를 갖는 것은 '''중심 극한 정리'''가 존재하기 때문이다. 중심 극한 정리는 "독립 동일 분포를 따르는 확률 변수의 산술 평균의 확률 분포는, 표준 편차가 존재한다면, 분포의 모양에 관계없이, 표본의 크기가 한없이 커졌을 때 정규 분포에 수렴한다"라는 정리이다.^[84] 이 때문에 대표본의 "평균값"의 통계에는 정규 분포가 가정되는 경우가 매우 많다. 단, "확률 변수" 자체는 표본의 크기를 아무리 늘려도 원래의 분포를 따를 뿐, 정규 분포에 수렴하는 일은 없다.

자연계의 현상 중에는 정규 분포를 따르는 수량의 분포를 보이는 것이 있는 것으로 알려져 있다.^[86] 또한, 변수가 정규 분포를 따르지 않는 경우도 그 로그를 취하면 정규 분포를 따르는 경우가 있다. 그러나 그것이 반드시 다수파는 아니다. 19세기에는 "정규 분포 만능주의"와 같은 사고 방식이 통용되었지만, 20세기 이후 그러한 사고 방식에 수정이 가해졌다. 오늘날에는 사회 현상, 생물 집단의 현상 등등, 종류별로 말하면, 정규 분포를 따르는 것은 오히려 소수파인 것이 확인되고 있다.

예를 들어, 프랙탈한 성질을 갖는 것은 정규 분포보다 파레토 분포가 되는 경우가 많다. 인간은 자연계의 현상과는 달리 자신의 의지를 가지고 있기 때문에, 예를 들어, 아이의 성적 등은 결코 정규 분포가 되지 않는다.^[86]

8. 다변량 정규 분포

다변량 정규 분포는 ''k''차원 유클리드 공간에서 가우스 법칙을 설명한다. 벡터 ''X'' ∈ '''R'''^''k''는 구성 요소 Σ_''j''=1^''k''''a_jX_j''의 선형 결합이 (단변량) 정규 분포를 갖는 경우 다변량 정규 분포를 따른다. ''X''의 분산은 ''k×k'' 대칭 양의 정부호 행렬 ''V''이다. 다변량 정규 분포는 타원 분포의 특수한 경우이다. 따라서 ''k'' = 2인 경우의 등밀도 자리는 타원이고 임의의 ''k''의 경우 타원체이다.

다변량 통계에서 공분산을 포함한 다차원 정규 분포의 결합 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

:$f(x)=\backslash frac\{1\}\{(\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\; )^n\; \backslash sqrt\{\backslash vert\backslash mathit\{\backslash Sigma\}\backslash vert\}\}\; \backslash exp\; \backslash !\backslash left(\; -\backslash frac\{1\}\{2\}(x-\backslash mu)^\{\backslash mathrm\{T\}\}\backslash ,\; \backslash mathit\{\backslash Sigma\}^\{-1\}\; (x-\backslash mu\; )\backslash right)$

여기서 ''μ'' = (''μ''₁, ''μ''₂, …, ''μ''_n)이고, Σ = (''σ''_ij)는 분산-공분산 행렬이라고 불리는 양의 정부호 대칭 행렬이다. |Σ|는 Σ의 행렬식이다. ''A''[''x'']는 (대칭) 행렬 ''A''와 벡터 ''x''에 대해 이차 형식 ''x''^T''Ax''를 의미하며(지겔의 기호), (''x'' - ''μ'')^T''∑''^-1(''x'' - ''μ'') = ''∑''^-1[''x'' - ''μ'']로 쓸 수 있다.

이 ''n'' 차원 정규 분포는 ''N''_n(''μ'', ''∑'')로 나타낸다. 특히 1차원의 경우, 평균 (''μ'')와 분산-공분산 행렬 Σ = (''σ''²)는 모두 1차원의 평균과 분산을 의미하는 하나의 실수값이며, 기호 ''N''₁((''μ''), ''∑'') = ''N''₁((''μ''), (''σ''²))는 단순히 ''N''(''μ'', ''σ''²)로 쓰인다.

9. 왜곡 정규 분포

정규 분포의 확장으로는 다변량 정규 분포 외에, '''왜곡 정규 분포'''(Skew-Normal distribution)가 있다. 왜곡 정규 분포는 세 변수로 표현되며, 그 중 하나의 변수에 대해 α|알파^영어= 0일 때 정규 분포가 되므로, 분포를 평균과 분산의 두 변수로 표현하는 정규 분포의 확장이라고 할 수 있다. φ|파이^영어(x)를 표준 정규 분포의 확률 밀도 함수로 하면 다음과 같다.

:$\backslash phi(x)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\; e^\{-\backslash frac\{x^2\}\{2\}\}$

그 누적 확률 밀도 함수는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash Phi(x)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^x\; \backslash phi\; (t)\backslash ,\; dt\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left[\; 1+\backslash operatorname\{erf\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; \backslash right)\; \backslash right]$

여기서 "erf"는 오차 함수(시그모이드 함수)이다. 이때, 표준 정규 분포에 해당하는 왜곡 정규 분포 SN(0, 1, α)|SN(0, 1, 알파)^영어의 확률 밀도 함수는 다음과 같이 주어진다.

:$f(x)=2\backslash phi\; (x)\backslash Phi\; (\backslash alpha\; x)$

여기에 평균과 같은 것에 해당하는 변수와 분산과 같은 것에 해당하는 변수를 추가하기 위해 Z변환(표준화)의 역 y|y^영어 = ξ|ξ^영어 + ωx|ωx^영어를 실시한다. 그러면 왜곡 정규 분포는 일반적인 형태가 되며, 다음 관계가 성립한다.

:$Y\backslash sim\; \backslash operatorname\{SN\}\; (\backslash xi,\; \backslash omega^2,\; \backslash alpha\; )$

10. 표준 정규 분포표

표준 정규 분포에서 확률 $P(0\backslash leqq\; X\backslash leqq\; Z)$의 값을 정리한 표이다.

Z	0	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.0000	0.0040	0.0080	0.0120	0.0160	0.0199	0.0239	0.0279	0.0319	0.0359
0.1	0.0398	0.0438	0.0478	0.0517	0.0557	0.0596	0.0636	0.0675	0.0714	0.0753
0.2	0.0793	0.0832	0.0871	0.0910	0.0948	0.0987	0.1026	0.1064	0.1103	0.1141
0.3	0.1179	0.1217	0.1255	0.1293	0.1331	0.1368	0.1406	0.1443	0.1480	0.1517
0.4	0.1554	0.1591	0.1628	0.1664	0.1700	0.1736	0.1772	0.1808	0.1844	0.1879
0.5	0.1915	0.1950	0.1985	0.2019	0.2054	0.2088	0.2123	0.2157	0.2190	0.2224
0.6	0.2257	0.2291	0.2324	0.2357	0.2389	0.2422	0.2454	0.2486	0.2517	0.2549
0.7	0.2580	0.2611	0.2642	0.2673	0.2704	0.2734	0.2764	0.2794	0.2823	0.2852
0.8	0.2881	0.2910	0.2939	0.2967	0.2995	0.3023	0.3051	0.3078	0.3106	0.3133
0.9	0.3159	0.3186	0.3212	0.3238	0.3264	0.3289	0.3315	0.3340	0.3365	0.3389
1.0	0.3413	0.3438	0.3461	0.3485	0.3508	0.3531	0.3554	0.3577	0.3599	0.3621
1.1	0.3643	0.3665	0.3686	0.3708	0.3729	0.3749	0.3770	0.3790	0.3810	0.3830
1.2	0.3849	0.3869	0.3888	0.3907	0.3925	0.3944	0.3962	0.3980	0.3997	0.4015
1.3	0.4032	0.4049	0.4066	0.4082	0.4099	0.4115	0.4131	0.4147	0.4162	0.4177
1.4	0.4192	0.4207	0.4222	0.4236	0.4251	0.4265	0.4279	0.4292	0.4306	0.4319
1.5	0.4332	0.4345	0.4357	0.4370	0.4382	0.4394	0.4406	0.4418	0.4429	0.4441
1.6	0.4452	0.4463	0.4474	0.4484	0.4495	0.4505	0.4515	0.4525	0.4535	0.4545
1.7	0.4554	0.4564	0.4573	0.4582	0.4591	0.4599	0.4608	0.4616	0.4625	0.4633
1.8	0.4641	0.4649	0.4656	0.4664	0.4671	0.4678	0.4686	0.4693	0.4699	0.4706
1.9	0.4713	0.4719	0.4726	0.4732	0.4738	0.4744	0.4750	0.4756	0.4761	0.4767
2.0	0.4772	0.4778	0.4783	0.4788	0.4793	0.4798	0.4803	0.4808	0.4812	0.4817
2.1	0.4821	0.4826	0.4830	0.4834	0.4838	0.4842	0.4846	0.4850	0.4854	0.4857
2.2	0.4861	0.4864	0.4868	0.4871	0.4875	0.4878	0.4881	0.4884	0.4887	0.4890
2.3	0.4893	0.4896	0.4898	0.4901	0.4904	0.4906	0.4909	0.4911	0.4913	0.4916
2.4	0.4918	0.4920	0.4922	0.4925	0.4927	0.4929	0.4931	0.4932	0.4934	0.4936
2.5	0.4938	0.4940	0.4941	0.4943	0.4945	0.4946	0.4948	0.4949	0.4951	0.4952
2.6	0.4953	0.4955	0.4956	0.4957	0.4959	0.4960	0.4961	0.4962	0.4963	0.4964
2.7	0.4965	0.4966	0.4967	0.4968	0.4969	0.4970	0.4971	0.4972	0.4973	0.4974
2.8	0.4974	0.4975	0.4976	0.4977	0.4977	0.4978	0.4979	0.4979	0.4980	0.4981
2.9	0.4981	0.4982	0.4982	0.4983	0.4984	0.4984	0.4985	0.4985	0.4986	0.4986
3.0	0.4987	0.4987	0.4987	0.4988	0.4988	0.4989	0.4989	0.4989	0.4990	0.4990
3.1	0.4990	0.4991	0.4991	0.4991	0.4992	0.4992	0.4992	0.4992	0.4993	0.4993
3.2	0.4993	0.4993	0.4994	0.4994	0.4994	0.4994	0.4994	0.4995	0.4995	0.4995
3.3	0.4995	0.4995	0.4995	0.4996	0.4996	0.4996	0.4996	0.4996	0.4996	0.4997
3.4	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4998
3.5	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998
3.6	0.4998	0.4998	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999
3.7	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.49991	0.49992	0.49992	0.49992	0.49992	0.49992
3.8	0.49993	0.49993	0.49993	0.49994	0.49994	0.49994	0.49994	0.49995	0.49995	0.49995
3.9	0.49995	0.49995	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49997	0.49997
4.0	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997
4.1	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998
4.2	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999
4.3	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999
4.4	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999
4.5	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997
4.6	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998
4.7	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999
4.8	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999	0.49999
4.9	0.499995	0.499995	0.499995	0.499995	0.499995	0.499995	0.499995	0.499995	0.499995	0.499995
5.0	0.499997

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