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벡터화

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목차

1. 개요

벡터화는 행렬을 열 벡터로 변환하는 연산이다. 크로네커 곱, 아다마르 곱, 내적과의 호환성을 가지며, 행렬 곱셈을 선형 변환으로 표현하는 데 사용된다. 반벡터화는 대칭 행렬의 하삼각 부분만 벡터화하여 중복 정보를 줄이는 방법이다. MATLAB, GNU Octave, 줄리아, 파이썬 NumPy, R 등 다양한 프로그래밍 언어에서 벡터화를 위한 함수나 메서드를 제공한다. 벡터화는 행렬 미적분학, 무작위 벡터 및 행렬의 적률 계산, 머신 러닝 등 다양한 분야에 응용된다.

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벡터화

2. 크로네커 곱과의 호환성

벡터화는 크로네커 곱과 함께 사용하여 행렬 곱셈을 행렬에 대한 선형 변환으로 표현한다. 예를 들어, \operatorname{ad}_A(X) = AX-XA (딸림 준동형, 복소수 항목을 갖는 리 대수 gl(''n'', '''C''')})이면, \operatorname{vec}(\operatorname{ad}_A(X)) = (I_n\otimes A - A^\mathrm{T} \otimes I_n ) \text{vec}(X)이며, 여기서 I_n는 ''n''×''n'' 단위 행렬이다.[1]

2. 1. 주요 공식

다음은 크로네커 곱과 벡터화 연산 사이의 관계를 나타내는 주요 공식이다.

:\mbox{vec}(ABC) = (C^T \otimes A)\mbox{vec}(B)

:\mbox{vec}(ABC) = (I_n \otimes AB)\mbox{vec}(C) = (C^T B^T \otimes I_k)\mbox{vec}(A)

:\mbox{vec}(AB) = (I_m \otimes A)\mbox{vec}(B) = (B^T \otimes I_k)\mbox{vec}(A)

3. 아다마르 곱과의 호환성

벡터화는 대수적 준동형 사상으로, ''n'' × ''n'' 행렬의 공간에서 아다마르 곱(성분별 곱)을 사용하여 '''C'''''n''2로 매핑하며, 여기서 아다마르 곱이 사용된다.

:\operatorname{vec}(''A'' \circ ''B'') = \operatorname{vec}(''A'') \circ \operatorname{vec}(''B'').

4. 내적과의 호환성

벡터화는 프로베니우스 내적(또는 힐베르트-슈미트 내적)과 다음과 같은 관계를 갖는다.[1]

: tr(''A''* ''B'') = vec(''A'')* vec(''B'')

여기서 위 첨수 †는 켤레 전치를 나타낸다.[1]

5. 선형 합으로서의 벡터화

행렬 벡터화 연산은 선형 합으로 표현될 수 있다. ''m'' × ''n''영어 행렬 '''X'''를 벡터화하는 과정에서, '''X'''에 '''e'''''i''를 곱하면 ''i''번째 열을 추출하고, '''B'''''i''를 곱하면 최종 벡터에서 원하는 위치에 배치할 수 있다.[1]

5. 1. 선형 합 표현

'''X'''를 행렬이라고 하고, '''e'''''i''를 ''n'' 차원 공간에 대한 ''i''번째 표준 기저 벡터라고 하자. 즉, \mathbf{e}_i=\left[0,\dots,0,1,0,\dots,0\right]^\mathrm{T}이다. '''B'''''i''를 다음과 같이 정의된 블록 행렬이라고 하자.



\mathbf{B}_i = \begin{bmatrix}

\mathbf{0} \\

\vdots \\

\mathbf{0} \\

\mathbf{I}_m \\

\mathbf{0} \\

\vdots \\

\mathbf{0}

\end{bmatrix}

= \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{I}_m



'''B'''''i''는 크기의 ''n''개 블록 행렬로 구성되며, 열 단위로 쌓여 있으며, 이 행렬들은 ''i''번째 행렬을 제외하고 모두 0으로 구성되어 있으며, ''i''번째 행렬은 단위 행렬 '''I'''''m''이다.

그러면 '''X'''의 벡터화된 버전은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\operatorname{vec}(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n \mathbf{B}_i \mathbf{X} \mathbf{e}_i

'''X'''에 '''e'''''i''를 곱하면 ''i''번째 열이 추출되고, '''B'''''i''를 곱하면 최종 벡터에서 원하는 위치에 배치된다.

또는, 선형 합은 크로네커 곱을 사용하여 표현할 수 있다.

\operatorname{vec}(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{X} \mathbf{e}_i

6. 반벡터화

대칭 행렬의 경우, 벡터화보다 반벡터화가 더 유용할 때가 있다. 반벡터화는 행렬의 하삼각 부분만을 사용하여 벡터를 생성하므로, 중복되는 정보를 줄일 수 있다.

6. 1. 정의

대칭 행렬 ''A''의 경우, 벡터 vec(''A'')는 행렬이 대칭성과 하삼각 부분, 즉 주대각선을 포함하여 개의 항목에 의해 완전히 결정되므로 엄격히 필요한 것보다 더 많은 정보를 포함한다. 이러한 행렬의 경우, 때때로 '''반-벡터화'''가 벡터화보다 더 유용하다. 대칭 행렬 ''A''의 반-벡터화 vech(''A'')는 ''A''의 하삼각 부분만 벡터화하여 얻은 열 벡터이다.

\operatorname{vech}(A) = [A_{1,1}, \ldots, A_{n,1}, A_{2,2}, \ldots, A_{n,2}, \ldots, A_{n-1,n-1}, A_{n,n-1}, A_{n,n}]^\mathrm{T}.

예를 들어, 2×2 행렬 A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & d \end{bmatrix}의 경우, 반-벡터화는 \operatorname{vech}(A) = \begin{bmatrix} a \\ b \\ d \end{bmatrix}이다.

행렬의 반-벡터화를 벡터화로, 또는 그 반대로 변환하는 고유한 행렬이 존재하며, 각각 중복 행렬과 제거 행렬이라고 한다.

7. 프로그래밍 언어에서의 벡터화

행렬을 구현하는 프로그래밍 언어는 벡터화를 위한 쉬운 수단을 제공한다.

7. 1. 주요 언어별 지원

MATLAB/GNU Octave에서 행렬 `A`는 `A(:)`로 벡터화할 수 있다. GNU Octave는 `vec(A)`와 `vech(A)`를 사용하여 전체 벡터화 및 반(半) 벡터화를 허용한다. 줄리아에도 `vec(A)` 함수가 있다.[1]

파이썬 NumPy 배열은 `flatten` 메서드를 구현하고,[1] R에서는 `c()` 또는 `as.vector()` 함수를 통해 원하는 효과를 얻을 수 있다. R에서 'ks' 패키지의 `vec()` 함수는 벡터화를 허용하고, 'ks' 및 'sn' 패키지 모두에 구현된 `vech()` 함수는 반(半) 벡터화를 허용한다.[3][4][5]

8. 응용

벡터화는 행렬 미적분학과 무작위 벡터 및 행렬의 적률, 점근선, 자코비 행렬 및 헤세 행렬을 설정하는 데 사용된다.[6] 또한 지역 민감도 및 통계적 진단에도 사용된다.[7]

참조

[1] 문서 The identity for row-major vectorization is \operatorname{vec}(ABC) = (A \otimes C^\mathrm{T})\operatorname{vec}(B).
[2] 논문 Typing Linear Algebra: A Biproduct-oriented Approach
[3] 웹사이트 ks: Kernel Smoothing https://cran.r-proje[...] 2018
[4] 웹사이트 The R package 'sn': The Skew-Normal and Related Distributions such as the Skew-t https://cran.r-proje[...] 2017
[5] 서적 Hands-on Matrix Algebra Using R: Active and Motivated Learning with Applications World Scientific
[6] 서적 Matrix differential calculus with applications in statistics and econometrics John Wiley
[7] 논문 Matrix differential calculus with applications in the multivariate linear model and its diagnostics 2022-03


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