켤레 전치

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1. 개요
2. 정의
3. 만들어지게 된 동기
4. 성질
5. 예
6. 관련 개념
7. 일반화
참조

1. 개요

켤레 전치는 복소수 행렬 A에 대한 연산으로, A의 전치 행렬의 각 성분에 켤레 복소수를 취한 행렬 A^*를 의미한다. 켤레 전치는 복소수 내적 공간 사이의 선형 변환 T에 대해서도 정의되며, $\langle Tv,w\rangle=\langle v,T^*w\rangle$ 를 만족하는 선형 변환 T^*를 가리킨다. 켤레 전치는 에르미트 켤레, 수반 행렬, 전치 켤레 등 다양한 이름으로 불리며, $\mathbf{A}^*$ , $\mathbf{A}^\mathrm{H}$ , $\mathbf{A}^\dagger$ 등으로 표기된다. 켤레 전치는 덧셈, 스칼라 곱, 곱셈, 거듭제곱에 대해 특정 성질을 만족하며, 에르미트 행렬, 반에르미트 행렬, 유니터리 행렬, 정규 행렬 등의 정의에 활용된다. 실수 행렬의 경우 켤레 전치는 전치 행렬과 동일하며, 켤레 전치의 개념은 힐베르트 공간의 수반 연산자, 복소 선형 사상의 켤레 전치 사상으로 일반화된다.

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켤레 전치
일반 정보
켤레 전치의 예시
유형	행렬 연산
표기법	A* A^H A^†
로마자 표기	Gyeolle Jeonchi
정의
정의	어떤 복소수 행렬 A의 켤레 전치는 A의 전치 행렬을 구한 다음 각 성분을 켤레 복소수로 바꾼 것이다.
수식	(A^*)_ij = (A_ji)^-
설명	A^*는 A의 켤레 전치 (A_ji)는 A의 (j,i)번째 성분 (A_ji)^-는 (A_ji)의 켤레 복소수
관련 개념
관련 개념	수반 행렬 (Adjugate matrix) 에르미트 행렬 (Hermitian matrix) 전치 행렬 (Transpose matrix) 역행렬 (Inverse matrix)

2. 정의

복소수 $m\times n$ 행렬 $A$ 의 '''켤레 전치'''는 다음과 같은 $n\times m$ 행렬 $A^*$ 이다.

: $A^*=\overline{A^\operatorname T}=\overline A^\operatorname T$

즉, 각 위치의 성분은 다음과 같다.

: $A^*_{ij}=\overline{A_{ji}}$

보다 일반적으로, 복소수 내적 공간 $V,W$ 사이의 선형 변환 $T\colon V\to W$ 의 '''켤레 전치 선형 변환'''(adjoint linear transformation^영어)은 다음 조건을 만족시키는 선형 변환 $T^*\colon W\to V$ 이다. (이는 많아야 하나 존재하며, 유한 차원 내적 공간의 경우 항상 존재한다.)

임의의 $v\in V$ 및 $w\in W$ 에 대하여, $\langle Tv,w\rangle=\langle v,T^*w\rangle$

m \times n

행렬

\mathbf{A}

의 켤레 전치는 다음과 같이 공식적으로 정의된다.

:

\left(\mathbf{A}^\mathrm{H}\right)_{ij} = \overline{\mathbf{A}_{ji}}

여기서 아래 첨자

ij

는

(i,j)

번째 항목을 나타내며,

1 \le i \le n

및

1 \le j \le m

이고, 윗줄은 스칼라 복소 켤레를 나타낸다.

이 정의는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

\mathbf{A}^\mathrm{H} = \left(\overline{\mathbf{A}}\right)^\operatorname{T} = \overline{\mathbf{A}^\operatorname{T}}

여기서

\mathbf{A}^\operatorname{T}

는 전치를 나타내고

\overline{\mathbf{A}}

는 복소 켤레 항목을 가진 행렬을 나타낸다.

행렬의 켤레 전치의 다른 이름은 '''에르미트 켤레''', '''수반 행렬''' 또는 '''전치 켤레'''이다. 행렬

\mathbf{A}

의 켤레 전치는 다음 기호 중 하나로 표시할 수 있다.

$\mathbf{A}^*$ , 선형대수학에서 널리 사용된다.
$\mathbf{A}^\mathrm{H}$ , 선형 대수학에서 널리 사용된다.
$\mathbf{A}^\dagger$ (때로는 ''A 대거''로 발음됨), 양자역학에서 널리 사용된다.
$\mathbf{A}^+$ , 무어-펜로즈 유사역행렬에 더 일반적으로 사용된다.

일부 맥락에서

\mathbf{A}^*

는 전치 없이 복소 켤레 항목만 있는 행렬을 나타낸다.

수식으로 표현하면 행렬

A = (a_{ij})

에 대해 그 수반은 다음과 같이 주어진다.

:

A^* = (\overline{a}_{ji})

여기서

a_{ij}

는

A

의

(i, j)

-성분이며,

1 \le i \le n

및

1 \le j \le m

이다. 또한 위첨자 막대는 스칼라에 대한 켤레 복소수이다. 또는 이것을

:

A^* = \overline{A}{}^{\top} = (\overline{A})^{\top} = \overline{A^{\top}}

로 쓸 수도 있다. 단,

A^{\top}

는

A

의 전치를,

\overline{A}

는

A

의 각 성분의 켤레 복소수를 취한 것(켤레 복소수 행렬)을 의미한다. 여기서,

\overline{A}^{\top}

는 다소 애매한 표현이지만, 전치를 취한 후 켤레 복소수를 취하는 것('''전치 켤레''')과, 켤레 복소수를 취한 후 전치를 취하는 것('''켤레 전치''')은, 연산으로는 다르지만 결과적으로 같은 것이므로, 혼란의 원인이 되지는 않는다. 또한

A^{\top}

대신

^{t}A

로 쓰는 경우도 있다.

그 외에도

A

의 수반을 나타내는 기호로

$A^{*}$ , $A^{\mathrm{H}}$ : 선형대수학에서 널리 사용된다.
$A^{\dagger}$ : 양자역학에서 자주 사용한다. 대거를 사용하므로 '''대거 행렬''' (''be-daggered matrix'')이라고 하거나, 대거를 붙인다고 한다.
$A^{+}$ 를 사용하는 경우도 있지만, 무어-펜로즈 유사역행렬을 나타내는 경우가 더 일반적이다.

문헌에 따라서는, 단순히 성분의 켤레 복소수를 취하는 연산을

A^{*}

로 나타내는 경우도 있으며, 그 경우, 수반은 별도로 전치를 취하는 형태, 즉

A^{*\top}

,

A^{\top *}

,

^{t}A^{*}

등으로 나타낸다.

수반 행렬의 동기는 복소수가 행렬 합과 행렬 곱 규칙에 따라

2\times 2

실행렬로 효과적으로 표현될 수 있다는 점에 주목함으로써 이루어진다.

:

a + ib \equiv \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}

이는 즉, 각 "복소"수 ''z''는 가우스 평면

\mathbb{C}

(을 "실" 벡터 공간

\mathbb{R}^2

로 본 것)에서 ''z''를 곱함으로써 생기는

\mathbb{C}

상의 "실" 일차 변환으로서의 "실"

2\times 2

행렬로 표현된다는 것이다.

따라서, 복소수를 성분으로 하는

m\times n

행렬은 실수를 성분으로 하는

2m\times 2n

행렬로 나타낼 수 있다. 이때 켤레 전치는 이 형태로 쓴 실행렬에 대해 단순히 전치를 취하는 것 (을 원래의

m\times n

행렬로 되돌아가서 보는 것)에 의해 매우 자연스럽게 생긴다.

3. 만들어지게 된 동기

복소수를 2×2 실행렬로 표현하면 행렬의 덧셈과 곱셈이 복소수 연산과 같은 결과를 나타낸다는 점에서 켤레 전치의 개념이 나타났다.

: $a + ib \equiv \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}.$

: $\left( a + ib \right) \pm \left( c + id \right) \equiv \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \pm c & - \left( b \pm d \right) \\ b \pm d & a \pm c \end{pmatrix} \equiv \left( \left( a \pm c \right) + i \left( b \pm d \right) \right).$

: $\left( a + ib \right) \left( c + id \right) \equiv \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac - bd & - \left( ad + cb \right) \\ ad + cb & ac - bd \end{pmatrix} \equiv \left( \left( ac - bd \right) + i \left( ad + cb \right) \right).$

이는 아르강 도표에서의 선형 변환을 나타내는 2×2 실행렬로 복소수 ''z''를 표현할 수 있음을 의미한다.

''m''×''n'' 복소수 행렬은 이와 같은 방식으로 2''m''×2''n'' 실행렬로 표현될 수 있다. 켤레 전치는 이 실행렬을 전치하여 ''n''×''m'' 복소행렬로 표현하는 과정에서 자연스럽게 등장했다.

4. 성질

켤레 전치는 2차 반쌍선형 반대 동형이며, 다음과 같은 항등식이 성립한다.^[1]

성질
두 행렬 A와 B의 차원이 같을 경우 (A + B)^H = A^H + B^H가 성립한다.
임의의 복소수 z와 m × n 행렬 A에 대해 ()^H = z\|z^영어A^H가 성립한다.
임의의 m × n 행렬 A와 임의의 n × p 행렬 B에 대해 (AB)^H = B^H A^H가 성립한다. (곱셈의 순서가 바뀐다는 것에 유의)
임의의 m × n 행렬 A에 대해 (A^H)^H = A가 성립한다. (에르미트 전치는 involutio 이다.)
A가 정사각 행렬일 경우, det(A^H) = det(A)\|det(A)^영어가 성립한다. (det(A)는 A의 행렬식이다.)
A가 정사각 행렬일 경우, tr(A^H) = tr(A)\|tr(A)^영어가 성립한다. (tr(A)는 A의 대각합이다.)
A가 가역적인 필요충분조건은 A^H가 가역적이라는 것이며, 이 경우 (A^H)^-1 = (A^-1)^H가 성립한다.
A^H의 고유값은 A의 고유값의 켤레 복소수이다.
임의의 m × n 행렬 A와 x ∈ Cⁿ 의 임의의 벡터, 그리고 y ∈ C^m 의 임의의 벡터에 대해 $\left\langle \mathbf{A} x,y \right\rangle_m = \left\langle x, \mathbf{A}^\mathrm{H} y\right\rangle_n$ 가 성립한다. ( $\langle\cdot,\cdot\rangle_m$ 는 C^m에 대한 표준 복소 내적이며, $\langle\cdot,\cdot\rangle_n$ 도 마찬가지이다.)

5. 예

만약

: $A=\begin{pmatrix}1&-2-i\\1+i&i\end{pmatrix}$

이라면,

: $A^*=\begin{pmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\end{pmatrix}$

이다.

다음 행렬 $\mathbf{A}$ 의 켤레 전치를 계산하는 과정을 살펴보자.

: $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2 - i & 5 \\ 1 + i & i & 4-2i \end{bmatrix}$

먼저 행렬을 전치하면 다음과 같다.

: $\mathbf{A}^\operatorname{T} = \begin{bmatrix} 1 & 1 + i \\ -2 - i & i \\ 5 & 4-2i\end{bmatrix}$

그런 다음 행렬의 모든 성분을 켤레 복소수로 변환하면 다음과 같다.

: $\mathbf{A}^\mathrm{H} = \begin{bmatrix} 1 & 1 - i \\ -2 + i & -i \\ 5 & 4+2i\end{bmatrix}$

6. 관련 개념

켤레 전치를 이용하여 정의되는 복소수 행렬의 종류는 다음과 같다.^[1]

에르미트 행렬: 켤레 전치가 자기 자신과 같은 행렬이다. 즉, $A = A^*$ 이다. 에르미트 행렬은 양자역학에서 관측 가능한 물리량을 나타내는 연산자로 사용된다.^[1]
반에르미트 행렬: 켤레 전치가 자기 자신의 반수와 같은 행렬이다. 즉, $A = -A^*$ 이다.^[1]
유니터리 행렬: 켤레 전치가 역행렬과 같은 행렬이다. 즉, $A^* = A^{-1}$ 이다. 유니터리 행렬은 양자 상태의 시간 변화를 나타내는 연산자로 사용된다.^[1]
정규 행렬: $AA^* = A^*A$ 를 만족하는 행렬이다.^[1]

7. 일반화

힐베르트 공간 간의 수반 연산자는 정규 직교 기저에 대한 행렬의 켤레 전치를 일반화한 개념으로 볼 수 있다.^[1] 복소 벡터 공간 사이의 선형 사상에 대해서도 복소 켤레 선형 사상과 전치 선형 사상을 정의하여 켤레 전치 선형 사상을 정의할 수 있다.^[1] 이는 $W$ 의 켤레 쌍대를 $V$ 의 켤레 쌍대로 사상한다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 Conjugate Transpose https://mathworld.wo[...] 2020-09-08
_[2] 서적 An Introduction to the Theory of Canonical Matrices 1932
_[3] 서적 Applied Linear Algebra and Differential Equations https://math.librete[...] LibreTexts 2022-02-04

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