슈뢰딩거 방정식

3. 라그랑지언과 이차 양자화

파동 함수 $\backslash psi(x)$에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음 라그랑지언으로부터 유도할 수 있다.

:$\backslash mathcal\; L=\backslash psi^*\backslash left(i\backslash hbar\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; t\}-\backslash hat\; H\backslash right)\backslash psi$

예를 들어, 퍼텐셜 $V(\backslash mathbf\; x,t)$ 속에 있는, 질량이 $m$인 비상대론적 입자의 경우 슈뢰딩거 라그랑지언은 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\; L=\backslash psi^*\backslash left(i\backslash hbar\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; t\}+\backslash frac1\{2m\}\backslash nabla^2-V\backslash right)\backslash psi$

\sim\psi^*i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi-\frac1{2m}(\boldsymbol{\nabla}\psi)^2

• V|\psi|^2

4. 역사

1905년, 알베르트 아인슈타인은 광전 효과를 설명하기 위해 광자의 에너지 E와 진동수 ν 및 플랑크 상수 h 사이의 관계를 E = hν 로 나타내었다. 1924년 루이 드 브로이는 광자뿐만 아니라 모든 입자가 대응되는 파동함수 $\backslash psi\backslash ;$를 가진다는 드 브로이 가설을 발표하고, 파동의 파장 λ와 입자의 운동량 p에 대해 p = h / λ 의 관계식을 제안했으며, 이 관계식이 특수 상대성 이론 및 아인슈타인이 제안한 식과 일관됨을 보였다. 즉, E = hν는 광자뿐만 아니라 모든 입자에 대해 성립한다는 것이다.^[72]

위 식들을 각진동수 $\backslash omega\; =\; 2\backslash pi\; \backslash nu\backslash ;$와 파수 $k\; =\; 2\backslash pi\; /\; \backslash lambda\backslash ;$ 및 $\backslash hbar\; =\; h\; /\; 2\; \backslash pi\backslash ;$를 이용해 표현하면, E = ħω 및 '''p'''와 '''k'''를 벡터로 표현하면 '''p''' = ħ'''k''' 가 된다.

에르빈 슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상인자로 나타내었다.

:$\backslash psi(\backslash mathbf\{x\},t)\; =\; Ae^\{i(\backslash mathbf\{k\}\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}-\; \backslash omega\; t)\}$

그리고 그는

:$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash psi\; =\; -i\backslash omega\; \backslash psi$

이므로

:$E\; \backslash psi\; =\; \backslash hbar\; \backslash omega\; \backslash psi\; =\; i\backslash hbar\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash psi$

이며, 마찬가지로

:$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}\; \backslash psi\; =\; i\; k\_x\; \backslash psi$

이므로

:$p\_x\; \backslash psi\; =\; \backslash hbar\; k\_x\; \backslash psi\; =\; -i\backslash hbar\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}\; \backslash psi$

이고, 따라서

:$p\_x^2\; \backslash psi\; =\; -\backslash hbar^2\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\; \backslash psi$

및 각 방향의 부분들을 더하면

:$p^2\; \backslash psi\; =\; (p\_x^2\; +\; p\_y^2\; +\; p\_z^2)\; \backslash psi\; =\; -\backslash hbar^2\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; y^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; z^2\}\backslash right)\; \backslash psi\; =\; -\backslash hbar^2\backslash nabla^2\; \backslash psi$

이 성립함을 알았다.

5. 관련 방정식

파동 함수 $\backslash psi(x)$에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.^[72]

:$i\backslash hbar\backslash frac\{\backslash partial\{\}|\backslash psi\backslash rangle\}\{\backslash partial\{\}t\}=\backslash hat\{H\}|\backslash psi\backslash rangle$

해밀토니언 연산자 $\backslash hat\{H\}$는 고전적 해밀토니언에 해당하는 연산자로, 후자를 양자화하여 얻는다. $|\backslash psi\backslash rangle$는 폴 디랙의 브라-켓 표기를 사용해 나타낸, 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간의 상태 벡터이다. 이를 파동 함수 $\backslash psi$로 나타낼 수 있다.

상대론적 효과를 고려하면, 슈뢰딩거 방정식은 스핀에 따라 클라인 고든 방정식이나 디랙 방정식 따위로 일반화된다. 이들은 비상대론적인 극한에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다.

응집물질물리학에서 보스-아인슈타인 응축을 나타내기 위해 사용하는 그로스-피타옙스키 방정식은 슈뢰딩거 방정식에 사승 상호작용을 추가한 것이다.

슈뢰딩거 그림에서 양자계의 상태 벡터 및 파동 함수의 시간적 변화는 '''시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식'''에 의해 기술된다.^[65]

:$i\backslash hbar\backslash frac\{d\}\{dt\}\; |\; \backslash psi(t)\; \backslash rangle\; =\; \backslash hat\{H\}\; |\; \backslash psi(t)\backslash rangle\backslash ,.$

여기서 $i$는 허수 단위, $\backslash frac\{d\}\{dt\}$는 시간에 관한 미분, $\backslash hbar$는 디랙 상수이다.^[66] $\backslash hat\{H\}$는 계 전체의 역학적 에너지를 나타내는 연산자로, '''해밀토니안'''이다.^[67]

해밀토니안을 자기수반이 아닌 일반적인 선형 연산자 $\backslash hat\{L\}$로 대체한 방정식도 슈뢰딩거 방정식이라고 불린다.

:$i\backslash hbar\backslash frac\{d\}\{dt\}\; |\; \backslash psi(t)\; \backslash rangle\; =\; \backslash hat\{L\}\; |\; \backslash psi(t)\backslash rangle$

슈뢰딩거 방정식은 비상대론적인 방정식이며, 상대론적 영역에 대해 그대로 적용할 수 없다. 하지만, 디랙 방정식을 변형함으로써 상대론적인 해밀토니안을 얻을 수 있으며, 형식적으로 슈뢰딩거 방정식과 유사한 형태로 나타낼 수 있다.

6. 성질

슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 중요한 성질을 가진다.

• 선형성: 슈뢰딩거 방정식은 선형 미분 방정식이다. 자세한 내용은 하위 섹션 "선형성"을 참조.
• 유니터리성: 슈뢰딩거 방정식의 해는 시간에 따라 변해도 확률의 총합이 보존되는 유니터리성을 가진다. 자세한 내용은 하위 섹션 "유니터리성"을 참조.
• 기저 변환: 슈뢰딩거 방정식은 임의의 기저를 통해 표현될 수 있다. 자세한 내용은 하위 섹션 "기저 변환"을 참조.
• 확률 보존: 슈뢰딩거 방정식은 확률 밀도의 흐름을 나타내는 확률 전류를 정의할 수 있으며, 국소적 확률 보존 법칙을 만족한다.^[2] 자세한 내용은 하위 섹션 "확률 흐름"을 참조.
• 시간 의존성: 해밀토니안이 시간에 명시적으로 의존하지 않는 경우, 변수분리법을 사용하여 슈뢰딩거 방정식을 풀 수 있다. 자세한 내용은 하위 섹션 "변수 분리"를 참조.
• 에너지 양자화: 슈뢰딩거 방정식은 특정 물리량(예: 에너지, 각운동량)이 불연속적인 값(양자화)만 가질 수 있음을 예측한다. 예를 들어, 원자 내부 전자의 에너지 준위는 불연속적이며, 이는 원자 분광 분석을 통해 확인된다. 하지만 모든 물리량이 양자화되는 것은 아니며, 위치, 운동량, 시간, 에너지 등은 연속적인 값을 가질 수 있다.
• 불확정성 원리: 고전역학에서는 입자가 항상 정해진 위치와 운동량을 가지며, 이 값들은 뉴턴 역학 등에 따라 결정론적으로 변한다. 그러나 양자역학에서는 입자가 정해진 물리량을 갖지 않고, 관측할 때마다 확률 분포에 따라 무작위로 측정 결과가 결정된다. 불확정성 원리는 위치와 운동량을 동시에 정확하게 알 수 없다는 것을 보여주는 대표적인 예시이다. 슈뢰딩거 방정식은 파동 함수의 결정론적인 시간적 발전을 설명하지만, 파동 함수를 정확히 알더라도 특정 관측의 결과를 정확히 예측할 수는 없다.
• 일반적인 형태:

6. 1. 선형성

6. 2. 유니터리성

6. 3. 기저 변환

6. 4. 확률 흐름

6. 5. 변수 분리

7. 예시

7. 1. 상자 속 입자

7. 2. 조화 진동자

• \frac{m\omega x^2}{2 \hbar}} \ \mathcal{H}_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right),

7. 3. 수소 원자

• $a\_0\; =\; \backslash frac\{4\; \backslash pi\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash hbar^2\}\{m\_q\; q^2\}$는 보어 반지름이고,
• $L\_\{n-\backslash ell-1\}^\{2\backslash ell+1\}(\backslash cdots)$는 차수 $n\; -\; \backslash ell\; -\; 1$의 일반화된 라게르 다항식이고,
• $n,\; \backslash ell,\; m$은 각각 주, 방위, 자기 양자수이며, $n\; =\; 1,\; 2,\; 3,\; \backslash dots,$ $\backslash ell\; =\; 0,\; 1,\; 2,\; \backslash dots,\; n\; -\; 1,$ $m\; =\; -\backslash ell,\; \backslash dots,\; \backslash ell.$의 값을 갖는다.

8. 근사 해법

일반적으로 물리적으로 흥미로운 상황에 대해서는 슈뢰딩거 방정식을 정확하게 풀 수 없다. 따라서 변분법과 WKB 근사와 같은 기법을 사용하여 근사해를 얻는다. 또한, 정확하게 풀 수 있는 문제에 대한 작은 수정으로 문제를 다루는 방법, 즉 섭동 이론을 사용하는 것도 일반적이다.

일반적인 방법은 다음과 같다.

특수한 경우의 방법은 다음과 같다.

• List of quantum-mechanical systems with analytical solutions
• 하트리-포크 방정식과 포스트-하트리-포크 방법

9. 준고전적 극한

고전역학과 양자역학을 비교하는 간단한 방법은 기대값 위치와 기대값 운동량의 시간 변화를 살펴봄으로써 고전역학에서 일반적인 위치와 운동량의 시간 변화와 비교하는 것이다.^[49] 양자 기대값은 에렌페스트 정리를 만족한다. 퍼텐셜 $V$에서 움직이는 1차원 양자 입자의 경우, 에렌페스트 정리는 다음과 같다.

:$m\backslash frac\{d\}\{dt\}\backslash langle\; x\backslash rangle\; =\; \backslash langle\; p\backslash rangle;\backslash quad\; \backslash frac\{d\}\{dt\}\backslash langle\; p\backslash rangle\; =\; -\backslash left\backslash langle\; V\text{'}(X)\backslash right\backslash rangle.$

첫 번째 방정식은 고전적인 움직임과 일치하지만, 두 번째는 그렇지 않다. 만약 쌍 $(\backslash langle\; X\backslash rangle,\; \backslash langle\; P\backslash rangle)$가 뉴턴의 제2법칙을 만족하려면, 두 번째 방정식의 우변은 $-V\text{'}\backslash left(\backslash left\backslash langle\; X\backslash right\backslash rangle\backslash right)$여야 하는데, 이는 일반적으로 $-\backslash left\backslash langle\; V\text{'}(X)\backslash right\backslash rangle$와 다르다. 그러나 양자 조화 진동자의 경우, $V\text{'}$는 선형이므로 이러한 구분이 사라진다. 이 특별한 경우에는 기대값 위치와 기대값 운동량이 고전 궤적을 정확하게 따른다.

일반적인 시스템의 경우, 파동 함수가 어떤 점 $x\_0$ 주변에 매우 집중되어 있다면, $V\text{'}\backslash left(\backslash left\backslash langle\; X\backslash right\backslash rangle\backslash right)$와 $\backslash left\backslash langle\; V\text{'}(X)\backslash right\backslash rangle$는 거의 같아진다. 둘 다 $V\text{'}(x\_0)$와 거의 같기 때문이다. 이 경우, 기대값 위치와 기대값 운동량은 파동 함수가 위치에서 매우 국한된 상태로 유지되는 한, 고전 궤적에 매우 가깝게 유지된다.

일반적인 형태의 슈뢰딩거 방정식

:$i\backslash hbar\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash Psi\backslash left(\backslash mathbf\{r\},t\backslash right)\; =\; \backslash hat\{H\}\; \backslash Psi\backslash left(\backslash mathbf\{r\},t\backslash right)$

은 해밀턴-야코비 방정식

:$-\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; S(q\_i,t)\; =\; H\backslash left(q\_i,\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; q\_i\},t\; \backslash right)$

과 밀접한 관련이 있다. 여기서 $S$는 고전적인 작용이고 $H$는 해밀토니안 함수(연산자가 아님)이다.^[49] 여기서 $i\; =\; 1,\; 2,\; 3$에 대한 일반화 좌표 $q\_i$(해밀턴-야코비 방정식에서 사용됨)는 데카르트 좌표계의 위치로 $\backslash mathbf\{r\}\; =\; (q\_1,\; q\_2,\; q\_3)\; =\; (x,\; y,\; z)$로 설정할 수 있다.

:$\backslash Psi\; =\; \backslash sqrt\{\backslash rho(\backslash mathbf\{r\},t)\}\; e^\{iS(\backslash mathbf\{r\},t)/\backslash hbar\}$

를 대입하고, 여기서 $\backslash rho$는 확률 밀도이며, 슈뢰딩거 방정식에 대입한 다음 결과 방정식에서 $\backslash hbar\; \backslash to\; 0$의 극한을 취하면 해밀턴-야코비 방정식이 나온다.

슈뢰딩거는 위치가 r 근처이고 파수 벡터가 k 근처인 파동 패킷을 나타내는 해는, k(따라서 속도)의 퍼짐이 r의 퍼짐을 현저히 증가시키지 않을 정도로 충분히 짧은 시간 내에, 고전역학에서 결정되는 궤적을 그린다고 주장했다.

주어진 k의 퍼짐에 대해, 속도의 퍼짐은 플랑크 상수에 비례하기 때문에, 플랑크 상수를 0으로 근사할 때, 고전역학의 방정식은 양자역학에서 유도된다고 말해진다. 그 극한이 어떻게 취해지는지, 그리고 어떤 상황에서인지에 대한 세심한 주의가 필요하다.

단파장 극한은 플랑크 상수를 0으로 근사하는 것과 동일하다. 왜냐하면 이것은 파동 패킷의 국소화를 극한까지 강화하여 입자를 특정 위치에 국소화시키기 때문이다(위 그림 참조). 하이젠베르크의 불확정성 원리를 위치와 운동량에 적용하면, 위치의 불확정성과 운동량의 불확정성의 곱은 ħ → 0에 따라 0이 된다.

:$\backslash sigma(x)\; \backslash sigma(p\_x)\; \backslash geqslant\; \backslash frac\{\backslash hbar\}\{2\}\; \backslash quad\; \backslash rightarrow\; \backslash quad\; \backslash sigma(x)\; \backslash sigma(p\_x)\; \backslash geqslant\; 0\; \backslash ,\backslash !$

여기서 σ는 측정량의 표준편차이며, 위치 x와 운동량 px(y와 z에 대해서도 마찬가지)가 이 극한에서만 임의의 정밀도로 알려질 수 있음을 시사한다.

슈뢰딩거 방정식과 해밀턴-야코비 방정식의 관계는 다음과 같다.

• 입자의 운동(슈뢰딩거 방정식의 (단파장) 파동 패킷 해로 설명됨)은 운동의 해밀턴-야코비 방정식으로 설명된다.
• 슈뢰딩거 방정식은 파동 함수를 포함하므로, 그 파동 패킷 해는 (양자) 입자의 위치가 파면에 애매하게 퍼져 있음을 나타낸다. 반대로, 해밀턴-야코비 방정식은 정확한 위치와 운동량을 가진 (고전적인) 입자에 적용되며, 대신 모든 시간에 위치와 운동량(궤적)이 결정론적이고 동시에 알 수 있다.

10. 밀도 행렬

파동 함수는 양자 시스템과 그 거동을 설명하는 유일한 방법은 아니다. 시스템의 준비가 불완전하게 알려져 있거나 조사 중인 시스템이 더 큰 전체의 일부인 경우 밀도 행렬을 대신 사용할 수 있다.^[49] 밀도 행렬은 양의 준정부호 연산자이며 그 트레이스는 1과 같다. ("밀도 연산자"라는 용어도 특히 기저가 되는 힐베르트 공간이 무한 차원일 때 사용된다.) 모든 밀도 행렬의 집합은 볼록하며, 극점은 힐베르트 공간의 벡터에 투영되는 연산자이다. 이들은 파동 함수의 밀도 행렬 표현이며, 디랙 표기법에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\backslash hat\{\backslash rho\}\; =\; |\backslash Psi\backslash rangle\backslash langle\; \backslash Psi|.$$

파동 함수에 대한 슈뢰딩거 방정식과 유사한 밀도 행렬의 방정식은 다음과 같다.^[25][26]

$$i\; \backslash hbar\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash hat\{\backslash rho\}\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; [\backslash hat\{H\},\; \backslash hat\{\backslash rho\}],$$

여기서 대괄호는 교환자를 나타낸다. 이 방정식은 폰 노이만 방정식, 리우빌-폰 노이만 방정식 또는 밀도 행렬에 대한 슈뢰딩거 방정식으로도 알려져 있다.^[49] 해밀토니안이 시간에 무관하다면 이 방정식은 쉽게 풀려 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$\backslash hat\{\backslash rho\}(t)\; =\; e^\{-i\; \backslash hat\{H\}\; t/\backslash hbar\}\; \backslash hat\{\backslash rho\}(0)\; e^\{i\; \backslash hat\{H\}\; t/\backslash hbar\}.$$

일반적으로 유니터리 연산자 $\backslash hat\{U\}(t)$가 특정 시간 간격 동안 파동 함수의 진화를 설명한다면, 같은 간격 동안 밀도 행렬의 시간 진화는 다음과 같이 주어진다.

$$\backslash hat\{\backslash rho\}(t)\; =\; \backslash hat\{U\}(t)\; \backslash hat\{\backslash rho\}(0)\; \backslash hat\{U\}(t)^\backslash dagger.$$

밀도 행렬의 유니터리 진화는 그 폰 노이만 엔트로피를 보존한다.^[49]

11. 상대론적 양자역학과 양자장론

알베르트 아인슈타인이 광전 효과를 설명하기 위해 광자의 에너지와 진동수 및 플랑크 상수 사이의 관계를 제시하고, 루이 드 브로이는 모든 입자가 파동함수를 가진다는 드 브로이 가설을 발표하면서, 에르빈 슈뢰딩거는 이 개념들을 바탕으로 1925년 슈뢰딩거 방정식을 발표하였다.^[72] 슈뢰딩거 방정식은 비상대론적이므로 특수상대론과는 맞지 않아, 이를 일반화하여 스핀에 따라 클라인 고든 방정식이나 디랙 방정식 등을 얻을 수 있으며, 이들은 비상대론적인 극한에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다.

슈뢰딩거 방정식은 응집물질물리학에서 보스-아인슈타인 응축을 나타내기 위해 비선형 항을 추가하여 사용될 수 있다. 예를 들어 그로스-피타옙스키 방정식은 슈뢰딩거 방정식에 사승 상호작용을 추가한 형태이다.

슈뢰딩거 방정식의 형태는 물리적 상황에 따라 다르며, 가장 일반적인 형태는 시간에 따라 변화하는 시스템을 설명하는 시간에 따른 슈뢰딩거 방정식이다.^[11]

상대성이론과 양자역학을 결합하기 위해 비상대론적 에너지 방정식 대신 상대론적 에너지-운동량 관계식을 사용하여 파동 방정식을 구성한다. 클라인-고르돈 방정식과 디랙 방정식이 그 예시이다. 클라인-고르돈 방정식은 질량을 가진 스핀이 없는 입자에 적용되며, 디랙 방정식은 스핀- 입자에 대해 참이며, 해는 스피너장이다.

일반적으로 일반 슈뢰딩거 방정식에 대입할 해밀토니안은 위치 및 운동량 연산자뿐만 아니라 스핀 행렬의 함수이기도 하다. 또한, 상대론적 파동 방정식의 해는 복소수 값 스피너장이다.

초기 형태의 디랙 방정식은 단일 양자 입자에 대한 방정식이며, 이는 입자 수가 고정되지 않은 상대론적 양자역학에서는 제한적이다. 양자장론(QFT)에서는 포크 공간을 도입하여 이 문제를 해결한다.^[32] 그러나 슈뢰딩거 방정식은 특정 시간 축을 선택하기 때문에 이론의 로렌츠 불변성이 명확하지 않아, 다른 방식으로 공식화되기도 한다.^[33] 뉴턴의 운동 방정식과 마찬가지로, 슈뢰딩거 방정식에서 시간을 다루는 방식은 상대론적 기술로 만들기에는 부적절하다.

12. 해석

막스 플랑크(Max Planck)의 빛의 양자화(참조: 흑체 복사) 이후, 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein)은 플랑크의 양자를 광자, 즉 빛의 입자로 해석하고, 광자의 에너지는 그 진동수에 비례한다는 것을 제안했는데, 이는 파동-입자 이중성의 초기 신호 중 하나였다. 에너지와 운동량은 특수 상대성 이론에서 진동수와 파수와 같은 방식으로 관련되어 있으므로, 광자의 운동량 $p$은 그 파장 $\backslash lambda$에 반비례하거나, 파수 $k$에 비례한다는 결론이 나왔다.^[34]

:$p\; =\; \backslash frac\{h\}\{\backslash lambda\}\; =\; \backslash hbar\; k,$

:여기서 $h$는 플랑크 상수이고 $\backslash hbar\; =\; \{h\}/\{2\backslash pi\}$는 환산 플랑크 상수이다.

루이 드 브로이(Louis de Broglie)는 이것이 전자와 같이 질량을 가진 입자를 포함한 모든 입자에 대해 참이라고 가정했다. 그는 물질파가 그 입자와 함께 전파된다고 가정하여 전자가 정상파를 형성한다는 것을 보였다. 즉, 원자핵 주위의 전자의 회전 진동수는 특정한 이산적인 값만 허용된다는 것이다.^[34] 이러한 양자화된 궤도는 이산적인 에너지 준위에 해당하며, 드 브로이는 보어 모델의 에너지 준위 공식을 재현했다. 보어 모델은 다음과 같은 각운동량 $L$의 양자화 가정에 기반을 두었다.^[34]

:$L\; =\; n\; \backslash frac\{h\}\{2\backslash pi\}\; =\; n\backslash hbar.$

드 브로이에 따르면, 전자는 파동으로 설명되며, 전자 궤도의 둘레에는 정수 배의 파장이 들어맞아야 한다.^[34]

:$n\; \backslash lambda\; =\; 2\; \backslash pi\; r.$

이 접근 방식은 기본적으로 반지름 $r$의 원형 궤도를 따라 일차원적으로 전자파를 제한했다.^[34]

1921년, 드 브로이 이전에 시카고 대학교의 아서 C. 룬(Arthur C. Lunn)은 상대론적 에너지-운동량 4-벡터의 완성을 기반으로 하는 동일한 주장을 사용하여 현재 드 브로이 관계식이라고 하는 것을 유도했다.^[35][36] 드 브로이와 달리, 룬은 현재 슈뢰딩거 방정식으로 알려진 미분 방정식을 공식화하고 수소 원자에 대한 에너지 고유값을 계산했다. 카멘(Kamen)에 따르면, 이 논문은 ''Physical Review''에 게재되지 않았다.^[37]

드 브로이의 아이디어를 바탕으로 물리학자 피터 데바이(Peter Debye)는 입자가 파동처럼 행동한다면 어떤 종류의 파동 방정식을 만족해야 한다는 즉흥적인 논평을 했다. 데바이의 발언에 영감을 받아 슈뢰딩거는 전자에 대한 적절한 3차원 파동 방정식을 찾기로 결정했다. 그는 윌리엄 로완 해밀턴(William Rowan Hamilton)의 역학과 광학의 유추에 따라, 광학의 파장이 0에 가까워질수록 역학계와 유사해진다는 관찰에 착안했다. 즉, 광선의 궤적은 페르마의 원리를 따르는 선명한 궤적으로 변하고, 이는 최소 작용의 원리의 유추이다.^[38]

그가 찾은 방정식은^[39]

:$i\backslash hbar\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\; \backslash nabla^2\; \backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; +\; V(\backslash mathbf\{r\})\backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},\; t).$

그 당시 아놀드 조머펠트(Arnold Sommerfeld)는 보어 모델을 수정하여 상대론적 보정을 추가했다.^[40][41] 슈뢰딩거는 상대론적 에너지-운동량 관계를 사용하여 현재 클라인-고르돈 방정식으로 알려진 것을 쿨롱 포텐셜(단위: 자연 단위)에서 구했다.

:$\backslash left(E\; +\; \backslash frac\{e^2\}\{r\}\backslash right)^2\; \backslash psi(x)\; =\; -\; \backslash nabla^2\; \backslash psi(x)\; +\; m^2\; \backslash psi(x).$

그는 이 상대론적 방정식의 정상파를 찾았지만, 상대론적 보정은 조머펠트의 공식과 일치하지 않았다. 실망한 그는 계산을 중단하고 1925년 12월 산장에서 정부인과 은둔했다.^[42]

산장에서 슈뢰딩거는 이전의 비상대론적 계산이 출판할 만큼 새로운 것이라고 판단하고, 상대론적 보정 문제는 미래에 남겨두기로 결정했다. 수소에 대한 미분 방정식을 푸는 데 어려움이 있었지만(그는 수학자 친구 헤르만 바일(Hermann Weyl)의 도움을 요청했다^[43]), 슈뢰딩거는 1926년에 발표한 논문에서 그의 비상대론적 파동 방정식이 수소의 올바른 스펙트럼 에너지를 생성한다는 것을 보였다.^[43][44] 슈뢰딩거는 수소 원자의 전자를 프로톤에 의해 생성된 퍼텐셜 우물 $V$에서 움직이는 파동 $\backslash Psi(\backslash mathbf\{x\},\; t)$으로 취급하여 수소 스펙트럼 계열을 계산했다. 이 계산은 보어 모델의 에너지 준위를 정확하게 재현했다.

슈뢰딩거 방정식은 $\backslash Psi$의 거동을 자세히 설명하지만, 그 ''본질''에 대해서는 아무것도 말하지 않는다. 슈뢰딩거는 $\backslash Psi\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Psi^*\}\{\backslash partial\; t\}$의 실수 부분을 전하 밀도로 해석하려고 시도했고, 그 다음 논문에서 $\backslash Psi$의 절댓값 제곱이 전하 밀도라고 수정했다. 그러나 이러한 접근 방식은 성공적이지 못했다. 1926년, 이 논문이 발표된 지 불과 며칠 후, 막스 보른(Max Born)은 $\backslash Psi$를 확률 진폭으로 해석하는 데 성공했는데, 이는 절댓값 제곱이 확률 밀도와 같다.^[45] 나중에 슈뢰딩거 자신은 이 해석을 다음과 같이 설명했다.^[48]

슈뢰딩거 방정식은 어떤 계의 파동 함수와 그것이 시간에 따라 어떻게 동적으로 변하는지를 계산하는 방법을 제공한다. 그러나 슈뢰딩거 방정식은 파동 함수가 정확히 무엇인지에 대해 직접적으로 말해주지는 않는다. 슈뢰딩거 방정식의 의미와 그 안의 수학적 개체가 물리적 현실과 어떻게 관련되는지는 채택하는 양자역학의 해석에 달려 있다.

코펜하겐 해석으로 종종 묶이는 견해에서, 계의 파동 함수는 그 계에 대한 통계적 정보의 집합이다. 슈뢰딩거 방정식은 어떤 시간의 계에 대한 정보를 다른 시간의 정보와 관련짓는다. 슈뢰딩거 방정식으로 표현되는 시간 진화 과정은 연속적이고 결정론적이지만, 한 순간의 파동 함수를 알면 원칙적으로 모든 미래 시간에 대한 파동 함수를 계산할 수 있지만, 파동 함수는 측정 중에 불연속적이고 확률적으로 변할 수도 있다. 이러한 사고방식에 따르면, 파동 함수는 새로운 정보가 이용 가능해짐에 따라 변한다. 측정 후 파동 함수는 일반적으로 측정 전에는 알 수 없지만, 서로 다른 가능성에 대한 확률은 보른 규칙을 사용하여 계산할 수 있다.^[49][50] 관계적 양자역학과 QBism과 같은 다른, 더 최근의 양자역학 해석도 슈뢰딩거 방정식에 이러한 종류의 지위를 부여한다.^[53][54]

슈뢰딩거 자신은 1952년에 슈뢰딩거 방정식에 따라 진화하는 중첩의 서로 다른 항들은 "대안이 아니라 모두 실제로 동시에 일어난다"고 제안했다. 이것은 에버렛의 다세계 해석의 초기 버전으로 해석되어 왔다.^[55][56] 1956년에 독립적으로 공식화된 이 해석은 양자 이론에 의해 기술된 모든 가능성이 대부분 독립적인 평행 우주로 구성된 다중 우주에서 동시에 발생한다고 주장한다.^[58] 이 해석은 파동 함수 붕괴의 공리를 제거하고 슈뢰딩거 방정식에 따른 연속적인 진화만 남기므로, 측정된 계와 측정 장치, 그리고 관찰자를 포함한 모든 가능한 상태가 실제 물리적 양자 중첩으로 존재한다. 다중 우주는 결정론적이지만, 우리는 다중 우주 전체를 관찰하는 것이 아니라 한 번에 하나의 평행 우주만 관찰하기 때문에 비결정론적 행동을 확률에 따라 인지한다. 이것이 어떻게 작동하는지에 대한 것은 많은 논쟁의 대상이었다. 어떤 세계에서는 확실히 발생하는 결과에 왜 확률을 할당해야 하며, 왜 확률은 보른 규칙에 따라 주어져야 하는가?^[59] 다세계 틀에서 이러한 질문에 답하는 몇 가지 방법이 제안되었지만, 그것들이 성공적인지 여부에 대한 합의는 없다.^[60][61][62]

보미안 역학은 "양자 퍼텐셜"로 인한 힘을 추가하는 대가로 양자역학을 결정론적으로 만들기 위해 재구성한다. 이것은 각 물리적 계에 파동 함수뿐만 아니라 비국소적 안내 방정식에 따라 결정론적으로 진화하는 실제 위치도 부여한다. 물리적 계의 진화는 항상 슈뢰딩거 방정식과 안내 방정식에 의해 주어진다.^[63]

파동 함수에 물리적 의미가 부여되려면, 파동 함수의 공간 부분이 2차 적분 가능해야 한다.

:

적분 가능성 조건은 파동 함수에 적절한 경계 조건을 부과함으로써 만족된다. 일반적으로 파동 함수의 규격화 조건

:$\backslash |\; \backslash psi(x,t)\; \backslash |^2\; =\; \backslash int\; \backslash psi^*(x,t)\backslash psi(x,t)\backslash ,\; dx\; =\; 1$

을 만족하는 것이 비물리적인 해가 아닌 해로 채택된다.

잘 알려져 있듯이, 파동 함수의 규격화 조건은 닫힌 양자계에서의 전역적인 확률 보존 법칙으로 해석된다. 확률 해석에 기반한 일반적인 양자론에서는 시간이 진행되어도 확률이 보존되어야 한다. 즉, 어떤 경우에도 모든 사건의 확률의 합계는 100% (= 1)이 되어야 한다. 이 사실과 보른의 규칙에 의한 확률의 구하는 방법(상태 벡터와 그 쌍대 벡터의 곱으로부터 구해짐)으로부터, 상태 벡터의 시간 진행은 유니터리 변환이어야 함을 알 수 있다. 슈뢰딩거 방정식을 풀면 "상태 벡터의 시간 진행은 유니터리 변환이다"라는 것이 유도된다. 따라서 양자계의 시간 진행에 대한 기본적인 요구( 원리)는 슈뢰딩거 그림으로 기술하는 경우, 이 슈뢰딩거 방정식을 채택하여 출발하는 경우가 많다. 하지만 다른 "시간 진행 연산자가 만족해야 하는 조건"을 기본적인 요구로 하여 출발하는 경우도 있다.

슈뢰딩거 방정식과 그 해는 물리학의 획기적인 발전을 가져왔다. 슈뢰딩거 방정식의 해는 당시에는 예상할 수 없었던 결론을 이끌어냈다.

슈뢰딩거 방정식은 물리량이 양자화된다(불연속적인 값만 나타난다)는 것을 예측한다. 예를 들어 에너지의 양자화가 있으며, 원자 내부의 전자 에너지는 항상 불연속적이다. 이것을 나타내는 것이 에너지 준위이며, 이는 원자 분광 분석으로 확인된다. 다른 예로 각운동량의 양자화가 있다. 이것은 초기의 보어의 원자 모형에서는 가정이었지만, 슈뢰딩거 방정식으로부터 도출되는 것이다.

하지만 모든 측정값이 양자화되는 것은 아니며, 예를 들어 위치나 운동량, 시간이나 에너지는 연속적인 범위의 값을 취할 수 있다.

고전역학에서는 입자가 항상 정해진 위치와 운동량의 조합을 갖는다. 이러한 값들은 뉴턴 역학과 일반 상대론에 따라 결정론적으로 변화한다. 그러나 양자역학에서는 입자가 정해진 물리량을 갖지 않고, 관측할 때마다 어떤 확률 분포에 따라 무작위로 측정 결과가 결정된다. 슈뢰딩거 방정식은 그 확률 분포를 예측하지만, 본질적으로 개별 관측의 정확한 결과를 예측할 수 없다. 불확정성 원리는 양자역학이 본래 갖는 불확실성의 유명한 예이다. 그것은 더 정확하게 입자의 위치를 확인하면 운동량이 애매해지고, 그 반대도 마찬가지임을 주장하고 있다. 슈뢰딩거 방정식은 입자의 파동 함수의 결정론적인 시간적 발전을 설명한다. 그러나 파동 함수를 정확히 알더라도, 그 파동 함수에 대해 수행되는 구체적인 관측의 결과를 결정할 수는 없다.

고전 물리학에서는 공을 천천히 산꼭대기로 굴리면 결국 공은 멈춰서 다시 굴러 내려온다. 이는 공이 산꼭대기에 도달하여 반대편으로 가는 데 필요한 에너지를 가지고 있지 않기 때문이다. 그러나 슈뢰딩거 방정식은 공이 산꼭대기에 도달할 만큼 충분한 에너지를 가지고 있지 않더라도 산 반대편에 도달할 작은 가능성이 존재한다고 예측한다. 이것이 터널 효과라고 불린다. 이는 불확정성 원리와 관련이 있다. 공이 산 이쪽에 있는 것처럼 보이더라도 그 위치는 불확실하며 반대편에서 확인될 가능성이 있다.

13. 분류

슈뢰딩거 방정식은 그 형태에 따라 여러 종류로 분류된다.

하나의 분류는 시간 의존성으로, 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식과 시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식이 있다. '''시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식'''(Time-dependent Schrödinger equation; TDSE)은 파동 함수의 시간적 변화를 기술하는 방정식이며, 파동 함수의 변화 방식은 파동 함수에 작용하는 해밀토니안에 의해 결정된다. 해석역학에서 해밀토니안은 계의 에너지에 대응하는 함수였지만, 양자역학에서는 에너지 고유 상태를 결정하는 작용소이다.^[64]

'''시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식'''(Time-independent Schrödinger equation; TISE)은 해밀토니안의 고유값 방정식이다. 시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식은 계의 에너지가 일정하게 유지되는 닫힌 계에 대한 파동 함수를 결정한다.

슈뢰딩거 방정식의 또 다른 분류로는 방정식의 선형성이 있다. 일반적으로 선형인 슈뢰딩거 방정식은 단순히 슈뢰딩거 방정식이라고 불린다. 선형인 슈뢰딩거 방정식은 동차 방정식이기 때문에, 방정식의 해가 되는 파동 함수의 선형 결합도 또한 방정식의 해가 된다.

'''비선형 슈뢰딩거 방정식'''(non-linear Schrödinger equation; NLS)은 일반적인 슈뢰딩거 방정식에서 해밀토니안에 해당하는 부분이 파동 함수 자체에 의존하는 형태의 방정식이다. 슈뢰딩거 방정식에 비선형성이 나타나는 것은 예를 들어, 여러 입자가 상호 작용하는 계에 대해, 상호 작용 포텐셜을 평균장 근사함으로써 단일 입자에 대한 포텐셜로 대체하는 것에 의한 것이다. 상호 작용 포텐셜이 구해야 할 파동 함수 자체에 의존하는 단일체 포텐셜이 되는 경우, 방정식은 비선형이 된다(자세한 내용은 예를 들어 하트리-포크 방정식, 그로스-피타예프스키 방정식 등을 참조). 본 항에서는 주로 선형인 슈뢰딩거 방정식에 대해 설명한다.

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