변형 (역학)

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1. 개요
2. 변형의 종류
- 2.1. 변형 체제 (Strain Regimes)
- 2.2. 변형 측정 (Strain Measures)
3. 변형 텐서 (Strain Tensor)
4. 메트릭 텐서 (Metric Tensor)
5. 적합 조건식 (Equation of Compatibility)
6. 지진과 변형
참조

1. 개요

변형은 역학에서 물체의 형태 변화를 의미하며, 변형의 크기에 따라 미소 변형, 유한 변형, 대변위/대회전 이론으로 구분된다. 변형은 수직 변형과 층밀림 변형으로 나뉘며, 각 이론에 따라 공학 변형률, 신장비, 로그 변형률 등 다양한 변형률을 사용한다. 변형 텐서는 변형을 나타내는 대칭 텐서이며, 수직 변형률과 전단 변형률 성분으로 표현된다. 변형률 성분 간의 관계를 나타내는 적합 조건식과 변위장 간의 관계를 통해 변형을 분석하며, 지진은 암반의 변형률 축적으로 인해 발생한다.

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변형 (역학)
일반 정보
응력-변형률 곡선
정의	물체가 외부 힘을 받아 변형된 정도
기호	ε (엡실론)
단위	무차원 (m/m 또는 %)
관련 항목	응력 탄성 계수 푸아송 비 후크의 법칙
종류
수직 변형률 (Normal Strain)	물체의 길이나 부피 변화를 나타내는 변형률
전단 변형률 (Shear Strain)	물체의 각도 변화를 나타내는 변형률
공칭 변형률 (Engineering Strain)	초기 길이에 대한 변형량의 비
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계산
수직 변형률 계산식	ε = (Lf - L0) / L0 (Lf: 최종 길이, L0: 초기 길이)
전단 변형률 계산식	γ = tan θ (θ: 전단 각도)
텐서 표현
변형률 텐서	물체의 변형 상태를 나타내는 2차 텐서
그린-라그랑주 변형률 텐서	유한 변형 이론에서 사용되는 변형률 텐서
응용
재료 역학	구조물의 안정성 분석 및 설계
고체 역학	고체 재료의 변형 거동 연구
지질학	암석의 변형 연구

2. 변형의 종류

변형은 크게 수직 변형과 층밀림 변형(전단 변형)으로 나눌 수 있다. 응력과 마찬가지로, 부재 축 방향을 따른 변형을 수직 변형률, 부재 축과 수직인 방향의 변형을 전단 변형률이라고 한다. 물체의 길이가 늘어나는 경우 수직 변형률은 인장 변형률, 줄어드는 경우 압축 변형률이라고 불린다.^[10] 변형률은 무차원 물리량이며, 변형의 정도를 나타낸다. 변형의 크기에 따라 변형 해석은 여러 이론으로 분류된다.

2. 1. 변형 체제 (Strain Regimes)

변형의 양, 즉 국부적인 변형에 따라 변형 해석은 세 가지 변형 이론으로 세분된다.

유한 변형 이론: '대변형 이론'이라고도 하며, 회전과 변형이 임의로 큰 변형을 다룬다. 이 경우 연속체의 변형 전과 변형 후의 형상이 상당히 다르며, 이 둘을 명확히 구분해야 한다. 이는 일반적으로 엘라스토머, 소성 변형 재료, 기타 유체 및 생물학적 연조직의 경우에 해당한다.^[10]
미소 변형 이론: '소변형 이론', '소변형 이론', '소변위 이론' 또는 '소변위-경사 이론'이라고도 하며, 변형과 회전이 모두 작다. 이 경우 물체의 변형 전과 변형 후의 형상을 동일하다고 가정할 수 있다. 미소 변형 이론은 탄성 거동을 보이는 재료, 예를 들어 기계 및 토목 공학 분야에서 사용되는 콘크리트와 강철과 같은 재료의 변형 분석에 사용된다.
'대변위' 또는 '대회전 이론': 작은 변형이지만 큰 회전과 변위를 가정한다.

각 이론에서 변형의 정의가 다르다. '''공학 변형률'''은 미소 변형의 경우에 사용되며, 기계 공학이나 구조 역학 등에서 이용되는 재료에 적용되는 가장 일반적인 정의이다. 한편, 엘라스토머나 폴리머 등, 공학 변형률이 1%를 넘는 큰 변형을 조건으로 하는 재료에서는, '''스트레치'''나 '''대수 변형률''', '''그린 변형률''', '''알만시 변형률'''과 같은, 보다 복잡한 변형률의 정의가 필요하다.^[10]

'''그린 변형률'''(그린-라그랑주 변형률): 기준 길이에 대한 변형의 정도를 나타낸다.
'''알만시 변형률'''(오일러-알만지 변형률): 변형 후의 길이에 대한 변형의 정도를 나타낸다.

2. 2. 변형 측정 (Strain Measures)

각 변형 이론에 따라 변형을 측정하는 방법이 다르다. Strain Measures^영어

각 이론에서 변형률은 다르게 정의된다. '''공학적 변형률'''은 매우 작은 변형을 받는 기계 및 구조 공학에 사용되는 재료에 적용되는 가장 일반적인 정의이다. 반면에, 엘라스토머 및 폴리머와 같이 대변형을 받는 일부 재료의 경우, 변형률의 공학적 정의는 적용할 수 없다. 예를 들어 일반적인 공학적 변형률이 1%보다 크다.^[4] 따라서 '''신장율''', '''로그 변형률''', '''그린 변형률''', '''알망시 변형률'''과 같은 더 복잡한 변형률 정의가 필요하다.

'''공학적 변형률'''(코시 변형률): 물체의 초기 상태에 대한 총 변형의 비율로 표현된다. 부재 축 방향 하중에 의한 공학적 수직 변형률 ''e''는 물체의 초기 상태에서의 길이 ''L''에 대한 길이 변화량으로 기술된다. 수직 변형률은 인장 하중의 경우 양수, 압축 하중의 경우 음수가 된다.

:::

\ e=\frac{\Delta L}{L}=\frac{\ell -L}{L}

::: 여기서

\ \ell

는 변형 후 물체의 길이이다.

'''스트레치'''(신장비): 특이 선 요소에서의 수직 변형률의 척도이며, 선 요소의 변형 후 길이 $\ \ell$ 과 변형 전 길이 *L*의 비로 정의된다.

:::

\ \lambda=\frac{\ell}{L}

::: 스트레치는 다음 식으로 공학적 변형률과 관련된다.

:::

\ e=\frac{\ell-L}{L}=\lambda-1

::: 스트레치 λ = 1일 때 수직 변형률 *e* = 0이 되어 변형이 일어나지 않는다.

::: 스트레치는 3~4의 스트레치를 주어도 항복하지 않는 엘라스토머와 같이 큰 변형을 나타내는 재료의 해석에 사용된다. 한편, 콘크리트나 강철 등은 낮은 스트레치에서 항복한다.

'''로그 변형률'''(자연 변형, 진 변형, 헨키 변형): 다음의 변형 증분을 생각한다.

:::

\ \delta \varepsilon=\frac{\delta \ell}{\ell}

::: 대수 변형은 이 변형 증분을 적분하여 얻어진다.

:::

\ \begin{align}\int\delta \varepsilon &=\int_{L}^{\ell}\frac{\delta \ell}{\ell}\\\varepsilon&=\ln\left(\frac{\ell}{L}\right)=\ln \lambda \\&=\ln(1+e) \\&=e-e^2/2+e^3/3- \cdots \\\end{align}

::: 여기서 ''e''는 공학 변형이다. 대수 변형은 변형 경로의 영향을 고려하여, 증분 변형의 연속으로 생긴 최종적인 변형을 나타낸다.

'''그린 변형률'''(그린-라그랑주 변형률): 기준 길이에 대한 변형의 정도를 나타낸다.

:::

\ \varepsilon_G=\frac{1}{2}\left(\frac{\ell^2-L^2}{L^2}\right)=\frac{1}{2}(\lambda^2-1)

'''알망지 변형률'''(오일러-알망지 변형률): 변형 후의 길이에 대한 변형의 정도를 나타낸다.

:::

\ \varepsilon_E=\frac{1}{2}\left(\frac{\ell^2-L^2}{\ell^2}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\lambda^2}\right)

3차원에서의 이러한 변형률의 정의는 변형 기울기를 참조한다.

3. 변형 텐서 (Strain Tensor)

(미소) '''변형 텐서'''(기호 $\boldsymbol\varepsilon$ )는 국제량계(ISQ), 보다 구체적으로 ISO 80000-4(역학)에서 "응력으로 인해 물질의 변형을 나타내는 텐서량. 변형 텐서는 대칭이며 세 개의 선형 변형률과 세 개의 전단 변형률(데카르트) 성분을 갖는다."로 정의된다.^[6]

ISO 80000-4는 '''선형 변형률'''을 "물체의 길이 변화와 원래 길이의 비"로, '''전단 변형률'''을 "층의 두 표면의 평행 변위와 층의 두께의 비"로 정의한다.^[6] 변형률은 ''법선'' 또는 ''전단''으로 분류된다. ''법선 변형률''은 요소의 면에 수직이며, ''전단 변형률''은 면에 평행하다. 이는 법선 응력 및 전단 응력의 정의와 일치한다.

변형 텐서는 다음과 같이 법선 및 전단 성분으로 표현될 수 있다.

$\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \begin{bmatrix}\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\\varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\\varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\varepsilon_{xx} & \tfrac 1 2\gamma_{xy} & \tfrac12\gamma_{xz} \\\tfrac 1 2\gamma_{yx} & \varepsilon_{yy} & \tfrac 1 2\gamma_{yz} \\\tfrac12\gamma_{zx} & \tfrac 1 2 \gamma_{zy} & \varepsilon_{zz} \\\end{bmatrix}$

변형률은 응력과 마찬가지로 수직 성분과 전단 성분으로 나눌 수 있다. 물체의 축 방향을 따른 변형은 '''수직 변형률''', 축과 수직인 방향의 변형은 '''전단 변형률'''이다. 수직 변형률은 물체의 길이가 늘어나면 인장 변형률, 줄어들면 압축 변형률이라고 한다.

3. 1. 기하학적 설정 (Geometric Setting)

치수

dx \times dy

를 갖는 2차원, 미소, 직사각형 재료 요소를 고려해 보자. 변형 후에는 마름모 형태가 된다. 변형은 변위장

\mathbf{u}

로 설명된다. 인접 그림의 기하학으로부터 다음을 얻는다.^[1]

:

\mathrm{length}(AB) = dx

:

\begin{align}\mathrm{length}(ab) &= \sqrt{\left(dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx \right)^2 + \left( \frac{\partial u_y}{\partial x}dx \right)^2} \\&= \sqrt{dx^2\left(1+\frac{\partial u_x}{\partial x} \right)^2 + dx^2\left( \frac{\partial u_y}{\partial x} \right)^2} \\&= dx~\sqrt{\left(1+\frac{\partial u_x}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial u_y}{\partial x} \right)^2}\end{align}

매우 작은 변위 기울기에 대해

u_y

와

u_x

의 도함수의 제곱은 무시할 수 있으며 다음을 얻는다.^[1]

:

\mathrm{length}(ab) \approx dx \left(1+\frac{\partial u_x}{\partial x}\right) = dx + \frac{\partial u_x}{\partial x} dx

후크의 법칙을 따르는 등방성 재료는 수직 응력에 의해 수직 변형률이 발생한다.^[2]

면적이

dx \times dy

인 2차원 미소 직사각형 재료 요소를 고려한다. 이는 변형 후에 마름모꼴이 된다. 그림에서,^[2]

:

\mathrm{length}(AB) = dx, \,

:

\begin{align}\mathrm{length}(ab) &= \sqrt{\left(dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx \right)^2 + \left( \frac{\partial u_y}{\partial x}dx \right)^2} \\&= dx~\sqrt{1+2\frac{\partial u_x}{\partial x}+\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}\right)^2} \\\end{align}\,\!

변위 기울기가 미소함을 가정하면, 도함수의 제곱 항은 무시할 수 있다.^[2]

:

\mathrm{length}(ab)\approx dx +\frac{\partial u_x}{\partial x}dx

직사각형 요소의 x축 방향 수직 변형률은 다음 식으로 정의된다.^[2]

:

\varepsilon_x = \frac{\text{extension}}{\text{original length}} = \frac{\mathrm{length}(ab)-\mathrm{length}(AB)}{\mathrm{length}(AB)}= \frac{\partial u_x}{\partial x}

마찬가지로, y축 방향, z축 방향의 수직 변형률은 다음과 같다.^[2]

:

\varepsilon_y = \frac{\partial u_y}{\partial y}  , \quad  \varepsilon_z = \frac{\partial u_z}{\partial z}\,\!

전단 변형률은

\overline {AC}\,\!

와

\overline {AB}\,\!

사이의 각도 변화이다.^[2]

그림에서 다음 식을 얻는다.^[2]

:

\gamma_{xy}= \alpha + \beta\,\!

:

\begin{align}\tan \alpha & =\frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x}dx}{dx+\tfrac{\partial u_x}{\partial x}dx}=\frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x}}{1+\tfrac{\partial u_x}{\partial x}} \\\tan \beta & =\frac{\tfrac{\partial u_x}{\partial y}dy}{dy+\tfrac{\partial u_y}{\partial y}dy}=\frac{\tfrac{\partial u_x}{\partial y}}{1+\tfrac{\partial u_y}{\partial y}}\end{align}

변위 기울기가 작다고 가정하면 다음과 같다.^[2]

:

\cfrac{\partial u_x}{\partial x} \ll 1 ~;~~ \cfrac{\partial u_y}{\partial y} \ll 1

또한 회전도 작다고 하면,

\alpha

와

\beta

가 1보다 매우 작으므로,^[2]

\tan \alpha \approx \alpha,~\tan \beta \approx \beta\,\!

가 된다.

:

\alpha \approx \cfrac{\partial u_y}{\partial x} ~;~~ \beta \approx \cfrac{\partial u_x}{\partial y}

:

\gamma_{xy}= \alpha + \beta = \frac{\partial u_y}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial y}\,\!

x

,

y

,

u_x

,

u_y

를 교환하면

\gamma_{xy} = \gamma_{yx}

가 표시된다. 마찬가지로 yz 평면, zx 평면에 대해 다음 식을 얻는다.^[2]

:

\gamma_{yz}=\gamma_{zy} = \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y}, \quad\gamma_{zx}=\gamma_{xz}= \frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z}\,\!

미소 변형률 텐서의 전단 변형률 성분은 다음과 같이 기술할 수 있다.^[2]

:

\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \left[\begin{matrix}\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\\varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\\varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\varepsilon_{xx} & \gamma_{xy}/2 & \gamma_{xz}/2 \\\gamma_{yx}/2 & \varepsilon_{yy} & \gamma_{yz}/2 \\\gamma_{zx}/2 & \gamma_{zy}/2 & \varepsilon_{zz} \\\end{matrix}\right]\,\!

3. 2. 수직 변형 (Normal Strain)

공학적 변형률은 코시 변형률이라고도 하며, 힘이 가해지는 재료 몸체의 초기 치수에 대한 전체 변형의 비율로 표현된다. 재료 선요소 또는 축 방향으로 하중이 가해지는 섬유의 경우, 그 신장은 '공학적 수직 변형률' 또는 '공학적 인장 변형률'을 발생시키는데, 이는 선요소 또는 섬유의 원래 길이 단위당 '상대 신장' 또는 길이 변화와 같다(미터/미터).^[10] 수직 변형률은 재료 섬유가 늘어날 경우 양수이고 압축될 경우 음수이다. 따라서, 다음이 성립한다.

:

e=\frac{\Delta L}{L} = \frac{l -L}{L}

여기서 는 '공학적 수직 변형률'이고, 은 섬유의 원래 길이, 은 섬유의 최종 길이이다.

훅의 법칙을 따르는 등방성 재료의 경우, 수직 응력은 수직 변형률을 유발한다. 수직 변형률은 '팽창'을 생성한다.

물체의 일반적인 변형은, 변형 후의 물질점의 위치 '''x'''가 기준 위치 '''X'''의 함수로 '''x''' = '''F''' ('''X''')로 나타낸다. 이러한 변형에 대해, 예를 들어 변형률은 다음과 같이 정의된다.

:

\boldsymbol{\varepsilon} \doteq \cfrac{\partial}{\partial\boldsymbol{X}}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{X}\right)= \cfrac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial\boldsymbol{X}} - \boldsymbol{1}

따라서 변형률은 무차원 물리량이다. 변형률은 변형이 어느 정도 주어졌는지를 나타낸다.

변형률은 응력과 마찬가지로, 수직 성분과 전단 성분으로 분해할 수 있다. 물체에서, 부재 축 방향을 따른 변형을 나타내는 것이 '수직 변형률'이다.

물체의 길이가 증가하는 경우, 수직 변형률은 인장 변형률이라고 불리며, 반대로 감소하는 경우, 압축 변형률이라고 불린다.

후크의 법칙을 따르는 등방성 재료는 수직 응력에 의해 수직 변형률이 발생한다.

면적이 ''dx'' × ''dy''인 2차원 미소 직사각형 재료 요소를 고려한다. 이는 변형 후에 마름모꼴이 된다. 그림에서,

:

\mathrm{length}(AB) = dx, \,

:

\begin{align}\mathrm{length}(ab) &= \sqrt{\left(dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx \right)^2 + \left( \frac{\partial u_y}{\partial x}dx \right)^2} \\&= dx~\sqrt{1+2\frac{\partial u_x}{\partial x}+\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}\right)^2} \\\end{align}\,\!

변위 기울기가 미소함을 가정하면, 도함수의 제곱 항은 무시할 수 있다.

:

\mathrm{length}(ab)\approx dx +\frac{\partial u_x}{\partial x}dx

직사각형 요소의 x축 방향 수직 변형률은 다음 식으로 정의된다.

:

\varepsilon_x = \frac{\text{extension}}{\text{original length}} = \frac{\mathrm{length}(ab)-\mathrm{length}(AB)}{\mathrm{length}(AB)}= \frac{\partial u_x}{\partial x}

마찬가지로, y축 방향, z축 방향의 수직 변형률은 다음과 같다.

:

\varepsilon_y = \frac{\partial u_y}{\partial y}  , \quad  \varepsilon_z = \frac{\partial u_z}{\partial z}\,\!

3. 3. 층밀림 변형 (Shear Strain)

공학적 층밀림 변형(전단 변형)^[1]은 선분

\overline{AC}

와

\overline{AB}

사이의 각도 변화로 정의된다. 층밀림 변형은 물체의 축과 수직인 방향의 변형을 나타낸다.

:

\gamma_{xy} = \alpha + \beta

물체의 기하학으로부터, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

\begin{align}\tan \alpha & = \frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x} dx}{dx + \tfrac{\partial u_x}{\partial x}dx} = \frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x}}{1 + \tfrac{\partial u_x}{\partial x}} \\\tan \beta & = \frac{\tfrac{\partial u_x}{\partial y}dy}{dy+\tfrac{\partial u_y}{\partial y}dy}=\frac{\tfrac{\partial u_x}{\partial y}}{1+\tfrac{\partial u_y}{\partial y}}\end{align}

작은 변위 기울기를 가정하면, 다음과 같은 식을 얻는다.

:

\frac{\partial u_x}{\partial x} \ll 1 ~;~~ \frac{\partial u_y}{\partial y} \ll 1

작은 회전, 즉

\alpha

와

\beta

가 ≪ 1 인 경우,

\tan \alpha \approx \alpha

,

\tan \beta \approx \beta

가 된다. 따라서,

:

\alpha \approx \frac{\partial u_y}{\partial x} ~;~~ \beta \approx \frac{\partial u_x}{\partial y}

그러므로

:

\gamma_{xy} = \alpha + \beta = \frac{\partial u_y}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial y}

x

와

y

및

u_x

와

u_y

를 교환하면,

\gamma_{xy} = \gamma_{yx}

가 된다.

비슷하게,

yz

- 와

xz

-평면에 대해서는, 다음과 같은 식을 얻는다.

:

\gamma_{yz} = \gamma_{zy} = \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y} \quad , \qquad \gamma_{zx} = \gamma_{xz} = \frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z}

3. 4. 부피 변형 (Volume Strain)

체적 변형률은 무한소 변형률 이론의 일부이다.

4. 메트릭 텐서 (Metric Tensor)

변형장은 매개변수화된 곡선이 해당 지점을 통과하는 속도를 나타내는 접선 벡터의 길이 변화에 의해 모든 지점에서 정의된다.^[1] 프레셰, 폰 노이만, 요르단에 의한 기본적인 기하학적 결과는 접선 벡터의 길이가 노름의 공리를 충족하고 평행사변형 법칙을 따른다면, 벡터의 길이는 메트릭 텐서라고 불리는 양의 정부호 쌍선형 사상과 편광 공식에 의해 연관된 이차 형식의 값의 제곱근이라고 말한다.^[1]

5. 적합 조건식 (Equation of Compatibility)

변형률 텐서는 2차 대칭 텐서이므로 자유도가 6이지만, 원래 변수인 변위의 자유도는 3이므로 변형률 성분 간에는 어떤 관계가 존재한다. 이 관계식을 '''적합 조건식'''(equation of compatibility|이퀘이션 오브 컴패티빌리티^영어)이라고 한다.^[11]

또는 요약하면 다음과 같이 표기된다.

: $\epsilon_{ij,kl}+\epsilon_{kl,ij}-\epsilon_{jk,li}-\epsilon_{li,jk}=0 \quad(i,j,k,l=1,2,3)$

변형률이 적합 조건식을 만족하고, 변위장 '''''u''''' 가 변위 규정 경계 ∂''R_u'' 에서의 경계 조건

: $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}^a,\quad \text{at}\; \partial R_u$

을 만족할 때, 그 변위장 '''''u''''' 를 '''운동학적으로 허용 가능한 장'''이라고 한다.^[12]

6. 지진과 변형

지하 암반의 일부에서도 판 운동의 영향으로 응력이 발생하며, 이로 인해 변형률이 축적되어 암반의 내력 한계에 도달하면 지진이 발생한다.

참조

_[1] 서적 Plasticity Theory http://www.ce.berkel[...] Dover Publications 2010-03-31
_[2] 서적 Basic Engineering Plasticity: An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications https://books.google[...] Butterworth-Heinemann 2017-12-22
_[3] 문서 Earth Encyclopædia Britannica 2009
_[4] 서적 Basic Engineering Plasticity: An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications https://books.google[...] Butterworth-Heinemann 2017-12-22
_[5] 간행물 Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen 1928
_[6] 웹사이트 ISO 80000-4:2019 https://www.iso.org/[...] 2013-08-20
_[7] 서적 現代材料力学朝倉書店
_[8] 서적 Plasticity Theory (Revised Edition) http://www.ce.berkel[...] Dover Publications
_[9] 서적 Basic Engineering Plasticity - An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications https://books.google[...] Butterworth-Heinemann
_[10] 서적 Basic Engineering Plasticity - An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications https://books.google[...] Butterworth-Heinemann
_[11] 서적 基礎弾性力学日新出版
_[12] 서적 塑性の物理森北出版
_[13] 웹사이트 한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.k[...]
_[14] 웹사이트 대한화학회 화학술어집 https://new.kcsnet.o[...]
_[15] 웹사이트 한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.k[...]

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