부분공간 위상

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1. 개요

부분공간 위상은 주어진 위상 공간의 부분집합에 정의되는 위상으로, 원래 공간의 열린 집합과의 교집합을 통해 부분집합의 열린 집합을 정의한다. 이러한 위상을 갖는 부분집합을 부분공간이라고 하며, 부분공간 위상은 포함 사상이 연속이 되도록 하는 가장 거친 위상으로 정의될 수도 있다. 부분공간은 열린 부분 공간, 닫힌 부분 공간으로 분류되며, 부분공간 위상의 기저 또한 정의된다. 부분공간 위상은 실수선 상의 자연수 집합과 같은 이산 위상을 갖는 경우와 유리수 집합처럼 이산 위상이 아닌 경우를 포함하며, 닫힌 구간과 같은 다양한 예시를 가진다. 또한, 부분공간 위상은 연속 사상, 닫힌 집합, 열린 집합, 기저 등과 관련된 여러 가지 성질을 가지며, 위상적 성질의 유전에 있어서 유전적, 약유전적, 상속적 성질을 보인다.

2. 정의

위상 공간 $(X, \tau)$ 와 $X$ 의 부분 집합 $S$ 가 주어졌을 때, $S$ 에 대한 '''부분 공간 위상'''(또는 상대 위상)은 다음과 같이 정의된다.

: $\tau_S = \lbrace S \cap U \mid U \in \tau \rbrace.$

즉, $S$ 의 부분 집합이 부분 공간 위상에서 열린 집합이 되는 것은 오직 그리고 만약에만 그 집합이 $(X, \tau)$ 의 열린 집합과 교집합하여 얻어질 때이다. $S$ 가 부분 공간 위상을 가지면, 그 자체로 위상 공간이 되며, $(X, \tau)$ 의 '''부분 공간'''이라고 불린다. 달리 명시되지 않는 한, 위상 공간의 부분 집합은 일반적으로 부분 공간 위상을 갖는다고 가정한다.

다른 방법으로, $X$ 의 부분 집합 $S$ 에 대한 부분 공간 위상은 포함 사상

: $\iota: S \hookrightarrow X$

이 연속이 되도록 하는 가장 거친 위상으로 정의할 수도 있다.

더 일반적으로, $\iota$ 가 집합 $S$ 에서 위상 공간 $X$ 로의 단사 함수라고 가정하면, $S$ 에 대한 부분 공간 위상은 $\iota$ 를 연속이 되도록 하는 가장 거친 위상으로 정의된다. 이 위상에서 열린 집합은 정확히 $X$ 에서 열린 집합 $U$ 에 대해 $\iota^{-1}(U)$ 의 형태를 갖는 집합들이다. 이 때, $S$ 는 $X$ 에서의 그 이미지(역시 부분 공간 위상을 가짐)와 위상 동형이며, $\iota$ 는 위상 매장이라고 불린다.

부분 공간 $S$ 는 포함 사상 $\iota$ 가 열린 사상일 때, 즉 $S$ 의 열린 집합의 정방향 이미지가 $X$ 에서 열린 집합일 때, '''열린 부분 공간'''이라고 불린다. 마찬가지로 포함 사상 $\iota$ 가 닫힌 사상일 때 '''닫힌 부분 공간'''이라고 불린다.

2. 1. 부분공간 위상의 기저

:

B_Y = \{ b \cap Y | b \in B \}

는 부분공간 위상의 기저가 된다.

3. 예

실수 $\mathbb R$ 의 부분공간 ''S'' = [0,1)에서 [0, )는 ''S''에서는 열린 집합이지만 $\mathbb{R}$ 에서는 열린 집합이 아니다. 마찬가지로 [, 1)는 ''S''에서 닫힌 집합이지만 $\mathbb{R}$ 에서는 닫힌 집합이 아니다. ''S''는 ''S''에서 열린 집합이자 닫힌 집합이지만, 실수 전체에서는 열린 집합도 아니고 닫힌 집합도 아니다.

3. 1. 자연수 집합

실수

\mathbb R

의 부분공간으로서의 자연수 집합

\mathbb N

의 부분공간 위상은 이산 위상이다.

3. 2. 유리수 집합

실수 R^영어의 부분공간으로서의 유리수 집합 Q^영어의 부분공간 위상은 이산 위상이 아니다. 예를 들어, {0}은 Q^영어에서 열린 집합이 아닌데, R^영어의 열린 부분 집합 중 Q^영어와의 교집합이 ''오직'' 싱글톤 {0}이 되는 집합이 없기 때문이다. 0 이외에도 임의의 유리수 점 q를 잡아 아무리 작은 입실론 값을 잡아 열린 집합을 형성해도 유리수의 조밀성에 의해 {q}만 남게 만들 수가 없으므로 이산 위상이 아니다. 만약 ''a''와 ''b''가 유리수라면, 구간 (''a'', ''b'')와 [''a'', ''b'']는 각각 열린 집합과 닫힌 집합이지만, ''a''와 ''b''가 무리수라면, ''a'' < ''x'' < ''b''를 만족하는 모든 유리수 ''x''의 집합은 열린 집합이자 닫힌 집합이다.^[1]

3. 3. 폐구간

실수 R^영어의 부분공간으로서의 폐구간 [0,1]은 부분공간 위상에서 열린 집합이자 닫힌 집합이지만, 실수 전체에서는 닫힌 집합이다.^[1]

3. 4. 비연결공간

표준적 위상을 갖는 실수선

\mathbb R

의 부분공간으로서의

[0,1]\cup[2,3]

은 서로 만나지 않는 두 열린 집합의 합집합이므로 비연결공간이다.

4. 성질

''Y''₁, ''Y''₂가 각각 ''X''₁, ''X''₂의 부분집합이면 ''Y''₁ × ''Y''₂의 곱위상은 ''X''₁ × ''X''₂의 부분공간 위상과 같다.
거리 공간의 부분 집합에 거리를 제한하여 유도된 위상은 이 부분 집합에 대한 부분 공간 위상과 일치한다.^[1]

4. 1. 연속 사상

Y

를

X

의 부분 공간이라 하고,

i : Y \to X

를 포함 사상이라고 하자. 그러면 임의의 위상 공간

Z

에 대해 사상

f : Z\to Y

가 연속일 필요충분조건은 합성 사상

i\circ f

가 연속인 것이다.

이 성질은

Y

에 대한 부분 공간 위상을 정의하는 데 사용될 수 있다는 의미에서 특징적이다.

부분 공간 위상의 추가적인 성질은 다음과 같다. (

S

는

X

의 부분 공간)

$f:X\to Y$ 가 연속이면 $S$ 로의 제한도 연속이다.
$f:X\to Y$ 가 연속이면 $f:X\to f(X)$ 도 연속이다.
$S$ 에서의 닫힌 집합은 $S$ 와 $X$ 에서의 닫힌 집합의 교집합과 정확히 일치한다.
$A$ 가 $S$ 의 부분 공간이면, $A$ 는 동일한 위상을 갖는 $X$ 의 부분 공간이기도 하다. 다시 말해, $A$ 가 $S$ 로부터 상속받는 부분 공간 위상은 $X$ 로부터 상속받는 위상과 동일하다.
$S$ 가 $X$ 의 열린 부분 공간이라면 (즉, $S\in\tau$ ), $S$ 의 부분 집합이 $S$ 에서 열린 집합일 필요충분조건은 $X$ 에서 열린 집합인 것이다.
$S$ 가 $X$ 의 닫힌 부분 공간이라면 (즉, $X\setminus S\in\tau$ ), $S$ 의 부분 집합이 $S$ 에서 닫힌 집합일 필요충분조건은 $X$ 에서 닫힌 집합인 것이다.
$B$ 가 $X$ 의 기저라면, $B_S = \{U\cap S : U \in B\}$ 는 $S$ 의 기저이다.
거리 공간의 부분 집합에 대한 거리를 제한하여 유도된 위상은 이 부분 집합에 대한 부분 공간 위상과 일치한다.

4. 2. 닫힌 집합

S

가 위상 공간

X

의 닫힌 부분 공간일 때,

S

의 닫힌 집합은

X

의 닫힌 집합과

S

의 교집합으로 나타낼 수 있다.

S

의 부분 집합이

S

에서 닫힌 집합일 필요충분조건은

X

에서 닫힌 집합인 것이다.

4. 3. 부분 공간

Y^영어를 X^영어의 부분 공간이라 하고, 포함 사상 i : Y → X^영어가 있다고 하자. 임의의 위상 공간 Z^영어에 대해 사상 f : Z→ Y^영어가 연속일 필요충분조건은 합성 사상 i∘f^영어가 연속인 것이다.

이 성질은 Y^영어에 대한 부분 공간 위상을 정의하는 데 사용될 수 있다는 의미에서 특징적이다.

부분 공간 위상의 몇 가지 추가적인 성질은 다음과 같다. (S^영어는 X^영어의 부분 공간)

f:X→ Y^영어가 연속이면 S^영어로의 제한도 연속이다.
f:X→ Y^영어가 연속이면 f:X→ f(X)^영어도 연속이다.
S^영어에서의 닫힌 집합은 S^영어와 X^영어에서의 닫힌 집합의 교집합과 정확히 일치한다.
A^영어가 S^영어의 부분 공간이면, A^영어는 동일한 위상을 갖는 X^영어의 부분 공간이기도 하다. 즉, A^영어가 S^영어로부터 상속받는 부분 공간 위상은 X^영어로부터 상속받는 위상과 동일하다.
S^영어가 X^영어의 열린 부분 공간이라면 (S∈τ^영어), S^영어의 부분 집합이 S^영어에서 열린 집합일 필요충분조건은 X^영어에서 열린 집합인 것이다.
S^영어가 X^영어의 닫힌 부분 공간이라면 (X\S∈τ^영어), S^영어의 부분 집합이 S^영어에서 닫힌 집합일 필요충분조건은 X^영어에서 닫힌 집합인 것이다.
B^영어가 X^영어의 기저라면, B_S = {U∩S : U∈B^영어}는 S^영어의 기저이다.
거리 공간의 부분 집합에 대한 거리를 제한하여 유도된 위상은 이 부분 집합에 대한 부분 공간 위상과 일치한다.

4. 4. 열린/닫힌 부분 공간

''Y''가 ''X''에서 열린 집합이면 ''Y''에서 열린 집합은 ''X''에서도 열린 집합이다. ''S''가 ''X''의 열린 부분 공간이라면, ''S''의 부분 집합이 ''S''에서 열린 집합일 필요충분 조건은 ''X''에서 열린 집합인 것이다. ''S''가 ''X''의 닫힌 부분 공간이라면, ''S''의 부분 집합이 ''S''에서 닫힌 집합일 필요충분 조건은 ''X''에서 닫힌 집합인 것이다.

4. 5. 기저

전체 위상 공간 ''X''의 위상 ''T''에 대한 기저 ''B''가 주어지면 부분공간의 위상에 대한 기저도 자연스럽게 얻어진다. 부분공간 위상의 정의와 마찬가지로 아래의 모임

:B|비^영어 = { b ∩ Y | b ∈ B }

은 부분공간 위상의 기저가 된다.

만약 ''B''가 ''X''의 기저라면, ''B''_''S'' = {''U'' ∩ ''S'' : ''U'' ∈ ''B''}는 ''S''의 기저이다.

4. 6. 거리 공간

거리 공간의 부분 집합에 거리를 제한하여 유도된 위상은 이 부분 집합에 대한 부분 공간 위상과 일치한다.^[1]

5. 위상적 성질의 유전

어떤 위상적 성질을 갖는 위상 공간이 그 부분 공간도 그 성질을 갖는다면, 그 성질은 상속적(유전적)이라고 한다. 닫힌 부분 공간만 그 성질을 공유해야 한다면, 그 성질은 약상속적(약유전적)이라고 한다.

하우스도르프 공간, 전유계, 완전 불연결성, 제1 가산 공간 및 제2 가산 공간은 상속적이다. 정규 공간은 약상속적이다.

5. 1. 완비 거리 공간

완비 거리 공간의 모든 열린 부분 공간과 모든 닫힌 부분 공간은 완비 거리 공간이다.

위상 공간이 어떤 위상적 성질을 가질 때, 그 부분 공간도 그 성질을 갖는다면, 그 성질은 '''상속적'''이라고 한다. 닫힌 부분 공간만 그 성질을 공유해야 한다면, 그 성질은 '''약상속적'''이라고 한다.

5. 2. 베르 공간

베르 공간의 임의의 열린 부분 공간은 역시 베르 공간이다.^[1]

5. 3. 콤팩트 공간

콤팩트 공간의 닫힌 부분 공간은 역시 콤팩트이다.

5. 4. 하우스도르프 공간

하우스도르프 공간인 것은 유전적이다.^[1] 하우스도르프 공간의 부분공간은 하우스도르프 공간이다.

5. 5. 정규 공간

정규 공간은 약유전적이다.

5. 6. 전유계/완전 불연속/제1, 2 가산 공간

전유계와 완전 불연속은 상속적이며 유전적이다. 제1 가산 공간 및 제2 가산 공간 또한 상속적이고 유전적이다.

참조

_[1] 서적 Algebraic topology https://books.google[...] European Mathematical Society (EMS), Zürich
_[2] 서적 Mathematical Foundations of Image Processing and Analysis 2 Wiley 2014-06

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