곱위상

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 역사
6. 선택 공리와의 관계
참조

1. 개요

곱위상은 위상 공간들의 곱집합에 부여되는 위상으로, 여러 종류가 존재한다. 곱위상(티호노프 위상)은 사영 함수를 연속 함수로 만드는 가장 거친 위상이며, 상자 위상은 모든 열린집합들의 곱집합을 기저로 갖는 더 섬세한 위상이다. 균등 위상은 거리 공간의 곱집합 위에 정의된 균등 거리 함수를 통해 유도되며, 콤팩트 생성 곱위상은 콤팩트 생성 공간 범주에서 곱을 정의한다. 곱위상은 콤팩트, 연결, 하우스도르프 등의 성질을 보존하며, 티호노프 정리는 콤팩트 공간들의 곱이 콤팩트 공간임을 보여준다. 상자 위상은 티체에 의해, 곱위상은 티호노프에 의해, 콤팩트 생성 곱은 스패니어에 의해 도입되었다. 선택 공리는 곱 공간의 연구와 관련이 있으며, 티호노프 정리는 선택 공리와 동치이다.

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곱위상
서론
분야	위상수학
정의
유형	위상 공간의 곱에 정의되는 자연스러운 위상
다른 이름	티호노프 곱
성질
콤팩트 공간	콤팩트 공간들의 곱공간은 콤팩트 공간이다. (티호노프 정리)
분리공리	각 곱공간이 하우스도르프 공간이면, 곱공간은 하우스도르프 공간이다. 각 곱공간이 정칙 공간이면, 곱공간은 정칙 공간이다. 각 곱공간이 완전 정칙 공간이면, 곱공간은 완전 정칙 공간이다.
참고
관련 항목	위상 공간 범주론 올뭉치
같이 보기	상자 위상

2. 정의

위상 공간들의 집합

: $\{X_i\}_{i\in I}$

이 주어졌을 때, 곱집합 $\prod_{i\in I}X_i$ 위에 다음과 같은 위상들을 부여할 수 있다.

'''곱위상''': 위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$ 에서의 범주론적 곱이다.
'''상자 위상''': 곱위상보다 더 섬세한 위상이다. $I$ 가 유한 집합이라면 곱위상과 일치한다.
'''균등 위상''': $X_i$ 에 거리 함수가 주어졌을 때 정의할 수 있다.
$\operatorname{Top}$ 의 충만한 부분 범주에서의 범주론적 곱: 곱위상보다 더 섬세하며, $I$ 가 유한 집합일 경우에도 곱위상과 다를 수 있다.

일반적으로

I

는 비어 있지 않은 지표 집합이고, 모든

i \in I

에 대해

X_i

는 위상 공간이라고 하자.

X_i

의 데카르트 곱은 다음과 같다.

X := \prod_{i \in I} X_i

모든

i \in I

에 대해,

i

번째 표준 사영은 다음과 같다.

\begin{align}p_i :\ \prod_{j \in I} X_j &\to     X_i, \\[3mu](x_j)_{j \in I}     &\mapsto x_i. \\\end{align}

\prod_{i \in I} X_i

에 대한 곱위상은 모든 사영

p_i : \prod X_{\bull} \to X_i

가 연속 함수가 되도록 하는 가장 거친 위상 (즉, 가장 적은 열린집합을 가진 위상)으로 정의된다. 곱위상이 주어진 데카르트 곱

X

를 '''곱공간'''이라고 한다.

곱위상에서의 열린 집합은 각

U_i

가

X_i

에서 열려 있고,

U_i \neq X_i

인

i

가 유한 개인 형태의 집합

\prod_{i \in I} U_i

의 임의의 합집합 (유한 또는 무한)이다. 유한 곱의 경우, 각

X_i

에서 하나의 기저 원소 간의 모든 데카르트 곱의 집합은

\prod_{i\in I} X_i

의 곱위상에 대한 기저가 된다.

곱위상은

p_i^{-1}\left(U_i\right)

형태의 집합에 의해 생성되는 위상이며,

i \in I

이고

U_i

는

X_i

의 열린 부분 집합이다.

X

의 부분 집합은

p_i^{-1}\left(U_i\right)

형태의 유한 개수 집합의 교집합의 합집합일 경우에만 열린다.

p_i^{-1}\left(U_i\right)

는 열린 원기둥이라고 하며, 이들의 교집합은 원기둥 집합이다.

곱위상은

\prod_{i \in I} X_i

에서 수열 (또는 그물)이 수렴할 필요충분조건이 모든

X_i

공간으로의 사영이 수렴하는 것이기 때문에 점별 수렴 위상이라고도 불린다.

2. 1. 곱위상 (티호노프 위상)

위상 공간들의 집합

:

\{X_i\}_{i\in I}

가 주어졌을 때, 곱집합

\prod_{i\in I}X_i

위에 정의할 수 있는 위상 중 하나이다. 곱위상은 사영 함수

:

\operatorname{proj}_i\colon\prod_{i\in I}X_i\to X_i

를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 즉, 이 함수들을 연속 함수로 만드는 가장 적은 수의 열린집합을 가진 위상이다.

곱위상의 기저는 다음과 같다.

:

\mathcal B=\left\{\prod_{i\in I}U_i\colon U_i\in\mathcal T(X_i),\;\aleph_0>|\{i\in I\colon U_i\ne X_i\}|\right\}

여기서

\mathcal T(X_i)

는

X_i

의 열린집합들의 집합이다. 다시 말해,

\mathcal B

의 원소는 각

X_i

의 열린집합들의 곱집합 가운데, 오직 유한 개만이

X_i

전체와 다른 것이다.

곱위상은

p_i^{-1}\left(U_i\right)

형태의 집합에 의해 생성되는 위상으로도 정의된다. 여기서

i \in I

이고

U_i

는

X_i

의 열린 부분 집합이다. 즉, 다음 집합은

X

에 대한 부분기저를 형성한다.

\left\{p_i^{-1}\left(U_i\right) \mathbin{\big\vert} i \in I \text{ and } U_i \subseteq X_i \text{ is open in } X_i\right\}

X

의 부분 집합은

p_i^{-1}\left(U_i\right)

형태의 유한 개수 집합의 교집합의 합집합일 경우에만 열린 집합이 된다.

p_i^{-1}\left(U_i\right)

는 열린 원기둥이라고도 불리며, 이들의 교집합은 원기둥 집합이라고 한다.

곱위상은 점별 수렴 위상이라고도 불리는데, 그 이유는

\prod_{i \in I} X_i

에서 수열 (또는 그물)이 수렴할 필요충분조건이 모든

X_i

공간으로의 사영이 수렴하는 것이기 때문이다.

2. 2. 상자 위상

상자 위상은 곱위상보다 더 섬세한 위상이다. 유한 곱의 경우 곱위상과 일치한다. 모든 열린집합들의 곱집합을 기저로 갖는다.^[3]

2. 3. 균등 위상

거리 공간들의 집합

\{(X_i,d_i)\}_{i\in I}

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합

\textstyle\prod_iX_i

위에 다음과 같이 '''균등 거리 함수'''(uniform metric^영어)

d_{\text{unif}}

를 줄 수 있다.

:

d_{\text{unif}}(x,y)=\min\{1,\sup_{i\in I}d_i(x,y)\}

그렇다면

(\textstyle\prod_iX_i,d_{\text{unif}})

는 거리 공간을 이루며, 이에 의하여 유도되는 위상을 '''균등 위상'''(uniform topology^영어)이라고 한다.

균등 위상은 일반적으로 곱위상보다 더 섬세하다.^[3]

2. 4. 콤팩트 생성 곱위상

콤팩트 생성 공간의 범주

\operatorname{CGTop}

은 모든 위상 공간의 범주와 달리 데카르트 닫힌 범주를 이루어, 대수적 위상수학을 간편하게 전개할 수 있다. 이는

\operatorname{Top}

의 쌍대 반사 부분 범주를 이루며, 그 쌍대 반사 함자를 '''콤팩트 생성화'''

k\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{CGTop}

라고 한다. 이 함자는 유한 극한도 보존하지 않으며, 특히 콤팩트 생성 곱위상

k(X\times Y)

는 일반적으로 곱위상

X\times Y

보다 더 섬세하다.

대수적 위상수학에서는 곱위상

X\times Y

보다 콤팩트 생성 곱공간

k(X\times Y)

이 더 많이 쓰인다. 예를 들어, CW 복합체의 곱은

\operatorname{Top}

곱공간이 아니라 콤팩트 생성 곱공간이다.

3. 성질

위상 공간의 곱공간은 여러 위상 공간들의 성질을 이어받거나 변형된 형태로 나타낸다.

가산 무한 기수 $\aleph_0$ 대신 임의의 무한 기수 $\kappa$ 를 사용하여 위상의 기저를 정의할 수 있다.

: $\mathcal B_\kappa=\left\{\prod_{i\in I}U_i\colon U_i\in\mathcal T(X_i),\;\kappa>|\{i\in I\colon U_i\ne X_i\}|\right\}$

( $X_i$ 들이 비이산 공간이 아닐 때) 각 무한 기수 $\kappa\le|I|$ 에 대하여 이는 서로 다른 위상을 정의한다. 이 기수가 충분히 크면 ( $\kappa>|I|$ 이면), 추가 조건은 자명해진다.

: $\mathcal B_\kappa=\mathcal B_{\text{box}}=\left\{\prod_{i\in I}U_i\colon U_i\in\mathcal T(X_i)\right\} \qquad(\kappa>|I|)$

이 기저로 생성되는 위상을 '''상자 위상'''(box topology^영어)이라고 한다.^[3]

따라서, ( $X_i$ 들이 모두 비이산 공간이 아닐 때) 각 무한 기수 $\aleph_0\le\kappa\le|I|^{+}$ 에 대하여, $\kappa$ 가 클 수록 더 섬세한 위상을 얻는다.

: $\mathcal B=\mathcal B_{\aleph_0}\subsetneq\mathcal B_{\aleph_1}\subsetneq\cdots\subsetneq\mathcal B_$

\subsetneq\mathcal B_{|I|^{+}}=\mathcal B_{\text{box}}

상자 위상을 포함한

\mathcal B_\kappa

-위상은

I

가 유한 집합이면 곱위상과 일치한다.

곱 공간

X

는 정규 사영과 함께 다음의 보편 성질로 특징지을 수 있다.

Y

가 위상 공간이고, 모든

i \in I

에 대해

f_i : Y \to X_i

가 연속 사상이면, 정확히 하나의 연속 사상

f : Y \to X

가 존재하여, 각

i \in I

에 대해 다음의 다이어그램이 가환한다.

이는 곱 공간이 위상 공간 범주에서 곱임을 보여준다. 위의 보편 성질로부터, 사상

f : Y \to X

가 연속일 필요충분 조건은 모든

i \in I

에 대해

f_i = p_i \circ f

가 연속인 것이다.

정규 사영

p_i : X \to X_i

는 연속일 뿐만 아니라 열린 사상이다. 그러나 일반적으로 닫힌 사상은 아니다.

만약

z = \left(z_i\right)_{i \in I} \in X

가 고정되어 있다면, 집합

\left\{ x = \left(x_i\right)_{i \in I} \in X \mathbin{\big\vert} x_i = z_i \text{ 모든 } i \text{에 대해, 유한 개를 제외하고는 } \right\}

는 곱 공간

X

의 조밀 부분 집합이다.

3. 1. 곱위상의 성질

곱위상은 다음과 같은 성질을 가진다.

성질	곱위상
콤팩트 공간	예 (티호노프 정리)
연결 공간	예
경로 연결 공간	예
콜모고로프 공간	예
T1 공간	예
하우스도르프 공간	예
정칙 공간	예
완비 정칙 공간	예
정규 공간	아니오 (반례: 조르겐프라이 직선의 제곱)

일반적으로, 분해 가능 제1 가산 공간의 가산 개 곱공간은 분해 가능 제1 가산 공간이다.

하우스도르프 공간들의 임의의 곱은 다시 하우스도르프 공간이다.

티호노프 정리는 선택 공리와 동치이며, 콤팩트 공간들의 임의의 곱은 콤팩트 공간이라고 말한다. 티호노프 정리의 특수한 경우로, 초여과기 보조정리만 필요로 하고 (선택 공리의 모든 강점을 필요로 하지 않음) 하우스도르프 공간들의 임의의 곱은 콤팩트 공간이라고 말한다.

'''분리'''

T₀ 공간들의 곱은 T₀이다.
T₁ 공간들의 곱은 T₁이다.
하우스도르프 공간들의 곱은 하우스도르프이다.
정규 공간들의 곱은 정규 공간이다.
티호노프 공간들의 곱은 티호노프 공간이다.
정규 공간들의 곱은 정규 공간이 아닐 수 있다.

'''콤팩트성'''

콤팩트 공간들의 곱은 콤팩트하다(티호노프 정리).
국소 콤팩트 공간들의 곱은 국소 콤팩트 공간이 아닐 수 있다. 하지만, 유한 개를 제외한 모든 공간이 콤팩트인 국소 콤팩트 공간들의 임의의 곱은 국소 콤팩트 공간이다(이 조건은 충분하며 필요하다).

'''연결성'''

연결 (각각 경로 연결) 공간들의 곱은 연결 (각각 경로 연결)이다.
유전적으로 분리된 공간들의 곱은 유전적으로 분리된다.

'''거리 공간'''

거리화 가능 공간들의 가산 곱은 거리화 가능 공간이다.

3. 2. 상자 위상의 성질

곱위상과 상자 위상은 다음과 같은 성질들에 대하여 닫혀 있다. (즉, 콤팩트 공간들의 집합의 곱공간은 콤팩트 공간이지만, 콤팩트 공간의 집합들의 상자 곱공간은 콤팩트 공간이 아닐 수 있다.)

성질	곱위상	상자 위상
콤팩트 공간	예 (티호노프 정리)	아니오 (반례: $\mathbb R^{\aleph_0}$ )^[5]
연결 공간	예	아니오 (반례: $\mathbb R^{\aleph_0}$ )^[5]
경로 연결 공간	예	아니오 (반례: $\mathbb R^{\aleph_0}$ )^[5]
콜모고로프 공간	예	예 (콜모고로프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
T1 공간	예	예 (T1 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
하우스도르프 공간	예	예^[4] (하우스도르프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
정칙 공간	예	예^[4]
완비 정칙 공간	예	예^[4]
정규 공간	아니오 (반례: 조르겐프라이 직선의 제곱)	아니오 (반례: 조르겐프라이 직선의 제곱)
이산 공간	아니오	예
비이산 공간	예	예

일반적으로, 분해 가능 제1 가산 공간의 가산 개 곱공간은 분해 가능 제1 가산 공간이다. 그러나 이는 상자 위상에 대하여는 성립하지 않는다.

가산 무한 개의 실수선 $\mathbb R$ 들의 곱집합 $\mathbb R^{\aleph_0}$ 에 상자 위상을 부여하면, 이 위상 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.^[5]

콤팩트 공간이 아니다.
연결 공간이 아니다.
제1 가산 공간이 아니다.
분해 가능 공간이 아니다.
완비 정칙 공간이다.
만약 연속체 가설이 참이라면 파라콤팩트 공간이다.

3. 3. 기타 성질

곱공간에서의 수열(또는 넷)이 수렴할 필요충분조건은 모든 좌표 공간으로의 사영이 수렴하는 것이다. 명시적으로, 수열

s_{\bull} = \left(s_n\right)_{n=1}^{\infty}

(또는 넷

s_{\bull} = \left(s_a\right)_{a \in A}

)이 주어진 점

x \in \prod_{i \in I} X_i

로 수렴할 필요충분조건은 모든 지표

i \in I

에 대해

p_i\left(s_{\bull}\right) \to p_i(x)

(

X_i

에서)이며, 여기서

p_i\left(s_{\bull}\right) := p_i \circ s_{\bull}

은

\left(p_i\left(s_n\right)\right)_{n=1}^{\infty}

(또는

\left(p_i\left(s_a\right)\right)_{a \in A}

)을 나타낸다.^[4] 특히, 모든

i

에 대해

X_i = \R

이면, 데카르트 곱은

I

상의 모든 실수 값을 갖는 함수의 공간

\prod_{i \in I} \R = \R^I

이며, 곱위상에서의 수렴은 함수의 점별 수렴과 같다.

곱공간

X

에서 임의의 부분 집합들의 곱

\prod_{i \in I} S_i

의 폐포는 각 집합의 폐포들의 곱과 같다.

{\operatorname{Cl}_X}\Bigl(\prod_{i \in I} S_i\Bigr) = \prod_{i \in I} \bigl({\operatorname{Cl}_{X_i}} S_i\bigr).

곱공간으로의 사상이 연속일 필요충분조건은 각 좌표 공간으로의 사영과의 합성이 연속인 것이다. 즉, 사상

f : Y \to X

가 연속일 필요충분조건은 모든

i \in I

에 대해

f_i = p_i \circ f

가 연속인 것이다.

곱공간에서 각 좌표 공간으로의 사영

p_i : X \to X_i

은 열린 사상이다. 그러나 닫힌 사상은 아니다.

4. 예시

$\aleph_0$ (가산 무한 기수) 대신 임의의 무한 기수 $\kappa$ 를 사용하여 위상의 기저를 정의할 수 있다. ( $X_i$ 들이 비이산 공간이 아니라면) 각 무한 기수 $\kappa\le|I|$ 에 대하여, 이는 서로 다른 위상을 정의한다. 이 기수가 충분히 클 때 (즉, $\kappa>|I|$ 일 때), 추가 조건은 자명해진다. 이 기저로 생성되는 위상을 '''상자 위상'''(box topology^영어)이라고 한다.^[3]

따라서, ( $X_i$ 들이 모두 비이산 공간이 아니라면) 각 무한 기수 $\aleph_0\le\kappa\le|I|^{+}$ 에 대하여, $\kappa$ 가 클 수록 더 섬세한 위상들을 얻는다. 상자 위상을 포함한 $\mathcal B_\kappa$ -위상은 만약 $I$ 가 유한 집합이라면 곱위상과 일치한다.

곱위상과 상자 위상은 다음과 같은 성질들에 대하여 닫혀 있다.

성질	곱위상	상자 위상
콤팩트 공간	예 (티호노프 정리)	아니오 (반례: $\mathbb R^{\aleph_0}$ )
연결 공간	예	아니오 (반례: $\mathbb R^{\aleph_0}$ )
경로 연결 공간	예	아니오 (반례: $\mathbb R^{\aleph_0}$ )
콜모고로프 공간	예	예 (콜모고로프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
T1 공간	예	예 (T1 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
하우스도르프 공간	예	예^[4] (하우스도르프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
정칙 공간	예	예^[4]
완비 정칙 공간	예	예^[4]
정규 공간	아니오 (반례: 조르겐프라이 직선의 제곱)	아니오 (반례: 조르겐프라이 직선의 제곱)
이산 공간	아니오	예
비이산 공간	예	예

일반적으로, 분해 가능 제1 가산 공간의 가산 개 곱공간은 분해 가능 제1 가산 공간이다. 그러나 이는 상자 위상에 대하여 성립하지 않는다.

가산 무한 개의 실수선 $\mathbb R$ 들의 곱집합 $\mathbb R^{\aleph_0}$ 에서 상자 위상을 부여하면,^[5] 이 위상 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

콤팩트 공간이 아니다.
연결 공간이 아니다.
제1 가산 공간이 아니다.
분해 가능 공간이 아니다.
이는 완비 정칙 공간이다.
만약 연속체 가설이 참이라면 파라콤팩트 공간이다.

만약 실수선

\R

에 표준 위상을 부여하면,

n

개의

\R

의 복사본의 곱에 대한 곱 위상은

\R^n

에 대한 일반적인 유클리드 위상과 같다. (

n

이 유한하므로, 이는

\R^n

에 대한 상자 위상과도 같다.)

칸토어 집합은 가산개의 이산 공간

\{ 0, 1 \}

의 곱과 무리수의 공간은 가산개의 자연수의 곱과 위상 동형이며, 여기서 각 복사본은 이산 위상을 갖는다.

5. 역사

하인리히 프란츠 프리드리히 티체(1880~1964)는 1923년에 상자 위상을 도입하였다.^[6]^[8] 안드레이 티호노프는 1930년에 곱위상을 도입하였다.^[7]^[8] 에드윈 헨리 스패니어는 1959년에 "약한 위상"(weak topology|위크 토폴로지^영어)이라는 이름으로 콤팩트 생성 곱을 도입하였다.^[9]

5. 1. 상자 위상

상자 위상은 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(Heinrich Franz Friedrich Tietze, 1880~1964)가 1923년에 도입하였다.^[6]^[8]

5. 2. 곱위상

안드레이 티호노프가 1930년에 도입하였다.^[7]^[8]

'''곱위상'''(-位相, product topology^영어) 또는 '''티호노프 위상'''(Тихонов位相, Tychonoff topology^영어)은 사영 함수

:

\operatorname{proj}_i\colon\prod_{i\in I}X_i\to X_i

의 집합에 대한 시작 위상이다. 즉, 이 함수들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다.

곱위상의 한 기저는 다음과 같다.

:

\mathcal B=\left\{\prod_{i\in I}U_i\colon U_i\in\mathcal T(X_i),\;\aleph_0>|\{i\in I\colon U_i\ne X_i\}|\right\}

여기서

\mathcal T(X_i)

는

X_i

의 열린집합들의 집합이다. 즉,

\mathcal B

의 원소는 각

X_i

의 열린집합들의 곱집합 가운데, 오직 유한 개만이

X_i

전체와 다른 것이다.

I

는 비어 있지 않은 지표 집합이고, 모든 지표

i \in I

에 대해

X_i

는 위상 공간이라고 하자. 집합

X_i

의 데카르트 곱을 다음과 같이 나타낸다.

X := \prod X_{\bull} := \prod_{i \in I} X_i

그리고 모든 지표

i \in I

에 대해,

i

번째 표준 사영을 다음과 같이 나타낸다.

\begin{align}p_i :\ \prod_{j \in I} X_j &\to     X_i, \\[3mu](x_j)_{j \in I}     &\mapsto x_i. \\\end{align}

\prod_{i \in I} X_i

에 대한 곱위상은 모든 사영

p_i : \prod X_{\bull} \to X_i

가 연속이 되도록 하는 가장 거친 위상 (즉, 가장 적은 열린 집합을 가진 위상)으로 정의된다. 곱위상이 주어진 데카르트 곱

X := \prod_{i \in I} X_i

를 곱공간이라고 한다.

곱위상에서의 열린 집합은 각

U_i

가

X_i

에서 열려 있고,

U_i \neq X_i

인

i

가 유한 개인 형태의 집합

\prod_{i \in I} U_i

의 임의의 합집합 (유한 또는 무한)이다. 특히, 유한 곱 (특히, 두 위상 공간의 곱)의 경우, 각

X_i

에서 하나의 기저 원소 간의 모든 데카르트 곱의 집합은

\prod_{i\in I} X_i

의 곱위상에 대한 기저를 제공한다. 즉, 유한 곱의 경우,

U_i

가

X_i

의 (선택된) 기저의 원소인 모든

\prod_{i \in I} U_i

의 집합은

\prod_{i \in I} X_i

의 곱위상에 대한 기저이다.

\prod_{i \in I} X_i

에 대한 곱위상은

p_i^{-1}\left(U_i\right)

형태의 집합에 의해 생성되는 위상이며, 여기서

i \in I

이고

U_i

는

X_i

의 열린 부분 집합이다. 즉, 다음 집합

\left\{p_i^{-1}\left(U_i\right) \mathbin{\big\vert} i \in I \text{ and } U_i \subseteq X_i \text{ is open in } X_i\right\}

은

X

에 대한 부분기저를 형성한다.

X

의 부분 집합은 (가능성이 있는 무한)

p_i^{-1}\left(U_i\right)

형태의 유한 개수 집합의 교집합의 합집합일 경우에만 열린다.

p_i^{-1}\left(U_i\right)

는 때때로 열린 원기둥이라고 하며, 이들의 교집합은 원기둥 집합이다.

곱위상은 또한

\prod_{i \in I} X_i

에서 수열 (또는 일반적으로 그물)이 수렴할 필요충분조건이 모든

X_i

공간으로의 사영이 수렴하는 것이기 때문에 점별 수렴 위상이라고도 불린다. 명시적으로, 수열

s_{\bull} = \left(s_n\right)_{n=1}^{\infty}

(또는 그물

s_{\bull} = \left(s_a\right)_{a \in A}

)이 주어진 점

x \in \prod_{i \in I} X_i

로 수렴할 필요충분조건은 모든 지표

i \in I

에 대해

p_i\left(s_{\bull}\right) \to p_i(x)

in

X_i

이며, 여기서

p_i\left(s_{\bull}\right) := p_i \circ s_{\bull}

은

\left(p_i\left(s_n\right)\right)_{n=1}^{\infty}

(또는

\left(p_i\left(s_a\right)\right)_{a \in A}

)을 나타낸다. 특히, 모든

i

에 대해

X_i = \R

이 사용되면, 데카르트 곱은

I

상의 모든 실수 값을 갖는 함수의 공간

\prod_{i \in I} \R = \R^I

이며, 곱위상에서의 수렴은 함수의 점별 수렴과 동일하다.

5. 3. 콤팩트 생성 곱

콤팩트 생성 곱은 에드윈 헨리 스패니어(en)가 1959년에 "약한 위상"(weak topology|위크 토폴로지^영어)이라는 이름으로 도입하였다.^[9] 스패니어는

\langle X\times Y\rangle

라는 기호를 사용하였다.

6. 선택 공리와의 관계

선택 공리는 공집합이 아닌 집합들의 모음의 데카르트 곱이 공집합이 아니라는 명제와 동치이다.^[1] 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하면 곱의 대표자를 찾을 수 있고, 반대로 곱의 대표자는 각 구성 요소에서 정확히 하나의 원소를 포함하는 집합이 된다.

콤팩트 공간에 관한 티호노프 정리는 선택 공리와 동치이며,^[2] 곱 위상을 구성하는 것이 유용한 위상으로 여겨지는 이유를 보여준다. 일반적인 경우의 티호노프 정리는 선택 공리와 동치이다.

참조

_[1] 서적 Foundations of General Topology Academic Press
_[2] 서적 Topology https://archive.org/[...] Dover
_[3] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall
_[4] 서적 Handbook of set-theoretic topology https://archive.org/[...] North-Holland 1984
_[5] 서적 Counterexamples in topology Springer 1978
_[6] 서적 Über Analysis situs http://name.umdl.umi[...] Im verlag des Mathematischen Seminars der Hamburgischen Universität 1923
_[7] 논문 Über die topologische Erweiterung von Räumen http://resolver.sub.[...] 1930
_[8] 서적 General Topology https://archive.org/[...] Addison-Wesley 1970
_[9] 논문 Infinite symmetric products, function spaces, and duality 1959-01

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