부피 탄성 계수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 압축률과의 관계
3. 열역학적 관계
4. 측정
- 4.1. 분말 회절
- 4.2. 유체 특성
5. 여러 물질의 부피 탄성 계수 값
- 5.1. 일반적인 재료
- 5.2. 기타 물질
6. 미시적 기원
- 6.1. 원자 간 포텐셜과 선형 탄성
참조

1. 개요

부피 탄성 계수는 물질의 압축에 대한 저항을 나타내는 열역학적 성질이다. 압력 변화에 따른 부피 변화의 비율로 정의되며, 등온 부피 탄성 계수와 단열 부피 탄성 계수로 구분된다. 이상 기체의 경우, 단열 부피 탄성 계수는 비열비와 압력의 곱으로, 등온 부피 탄성 계수는 압력과 같다. 부피 탄성 계수는 분말 회절을 통해 측정할 수 있으며, 다이아몬드, 강철, 물 등 다양한 물질에 대해 서로 다른 값을 가진다.

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부피 탄성 계수
개요
정의	물질의 부피 탄성에 대한 척도
기호	K (대문자 K)
SI 단위	파스칼 (Pa)
차원	L⁻¹MT⁻²
수식
정의식	K = -V (dP/dV)
설명	V: 초기 부피 dP: 압력의 무한소 변화 dV: 부피의 무한소 변화
근사식	K ≈ -V (ΔP/ΔV)
설명	ΔP: 압력 변화 ΔV: 부피 변화
다른 탄성 계수와의 관계	K = E / [3(1 - 2ν)]
설명	E: 영률 ν: 푸아송 비

2. 정의

부피 탄성 계수( $K$ )는 다음과 같이 정의된다.

: $K=-V\frac{\mathrm d P}{\mathrm d V}$

여기서 $P$ 는 압력, $V$ 는 부피, $dP/dV$ 는 압력을 부피로 미분한 것이다.

밀도( $\rho$ )를 이용해 다음과 같이 표현할 수도 있다.

: $K=\rho \frac{\mathrm d P}{\mathrm d \rho}$

부피 탄성 계수의 역수는 물질의 압축률을 나타낸다. 일반적으로 부피 탄성 계수는 온도가 일정할 때의 등온 부피 탄성 계수로 정의되지만, 엔트로피가 일정할 때의 단열 부피 탄성 계수로 정의될 수도 있다.

2. 1. 기본 정의

부피 탄성 계수(

K

)는 다음과 같이 정의된다.

:

K=-V\frac{\mathrm d P}{\mathrm d V}

여기서

P

는 압력,

V

는 부피,

dP/dV

는 압력을 부피로 미분한 것이다.

밀도(

\rho

)를 이용해 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

K=\rho \frac{\mathrm d P}{\mathrm d \rho}

부피 탄성 계수의 역수는 물질의 압축률을 나타낸다. 일반적으로 부피 탄성 계수는 온도가 일정할 때의 등온 부피 탄성 계수로 정의되지만, 엔트로피가 일정할 때의 단열 부피 탄성 계수로 정의될 수도 있다.

2. 2. 압축률과의 관계

3. 열역학적 관계

엄밀히 말하면, 부피 탄성 계수는 열역학적 양이며, 부피 탄성 계수를 지정하려면 압축 중 압력이 어떻게 변하는지 지정해야 한다. 즉, 온도가 일정할 때 (등온 $K_T$ ), 엔트로피가 일정할 때 (단열 $K_S$ ) 및 기타 변화가 가능하다. 이러한 구분은 특히 기체에 관련이 있다.

이상 기체의 경우, 단열 과정은 다음과 같다.

: $PV^\gamma=\text{상수} \Rightarrow P\propto \left(\frac{1}{V}\right)^\gamma\propto \rho ^\gamma,$

여기서 $\gamma$ 는 비열비이다. 따라서 단열 부피 탄성 계수 $K_S$ 는 다음과 같다.

: $K_S=\gamma P.$

마찬가지로, 이상 기체의 등온 과정은 다음과 같다.

: $PV=\text{상수} \Rightarrow P\propto \frac{1}{V} \propto \rho,$

따라서 등온 부피 탄성 계수 $K_T$ 는 다음과 같다.

: $K_T = P$ .

기체가 이상 기체가 아닐 때, 이 방정식은 부피 탄성 계수의 근사치만 제공한다. 유체에서 부피 탄성 계수 $K$ 와 밀도 $\rho$ 는 음속 $c$ (압력파)를 뉴턴-라플라스 공식에 따라 결정한다.

: $c=\sqrt{\frac{K}{\rho}}.$

고체에서 $K_S$ 와 $K_T$ 는 매우 유사한 값을 갖는다. 고체는 또한 횡파를 유지할 수 있다. 이러한 물질의 경우, 파동 속도를 결정하기 위해 전단 탄성 계수와 같은 추가적인 탄성 계수가 필요하다.

3. 1. 등온 부피 탄성 계수

엄밀히 말하면, 부피 탄성 계수는 열역학적 양이며, 부피 탄성 계수를 지정하려면 압축 중 압력이 어떻게 변하는지 지정해야 한다. 즉, 온도가 일정할 때(등온

K_T

), 엔트로피가 일정할 때(단열

K_S

) 및 기타 변화가 가능하다. 이러한 구분은 특히 기체에 관련이 있다.

이상 기체의 등온 과정은 다음과 같다.

:

PV=\text{상수} \Rightarrow P\propto \frac{1}{V} \propto \rho,

따라서 등온 부피 탄성 계수

K_T

는 다음과 같다.

:

K_T = P

.

기체가 이상 기체가 아닐 때, 이 방정식은 부피 탄성 계수의 근사치만 제공한다.

3. 2. 단열 부피 탄성 계수

엄밀히 말하면, 부피 탄성 계수는 열역학적 양이며, 부피 탄성 계수를 지정하려면 압축 중 압력이 어떻게 변하는지 지정해야 한다. 엔트로피가 일정한 상태(단열

K_S

)를 포함하여 다양한 변화가 가능하다. 이러한 구분은 특히 기체에 관련이 있다.

이상 기체의 경우, 단열 과정은 다음과 같다.

:

PV^\gamma=\text{상수} \Rightarrow P\propto \left(\frac{1}{V}\right)^\gamma\propto \rho ^\gamma,

여기서

\gamma

는 비열비이다. 따라서 단열 부피 탄성 계수

K_S

는 다음과 같다.

:

K_S=\gamma P.

기체가 이상 기체가 아닐 때, 이 방정식은 부피 탄성 계수의 근사치만 제공한다. 유체에서 부피 탄성 계수

K

와 밀도

\rho

는 음속

c

(압력파)를 뉴턴-라플라스 공식에 따라 결정한다.

:

c=\sqrt{\frac{K}{\rho}}.

고체에서

K_S

와 등온 부피 탄성 계수(

K_T

)는 매우 유사한 값을 갖는다. 고체는 또한 횡파를 유지할 수 있다. 이러한 물질의 경우, 파동 속도를 결정하기 위해 전단 탄성 계수와 같은 추가적인 탄성 계수가 필요하다.

3. 3. 기체와 고체의 경우

엄밀히 말하면, 부피 탄성 계수는 열역학적 양이며, 부피 탄성 계수를 지정하려면 압축 중 압력이 어떻게 변하는지 지정해야 한다. 즉, 온도가 일정할 때(등온

K_T

), 엔트로피가 일정할 때(단열

K_S

) 및 기타 변화가 가능하다. 이러한 구분은 특히 기체에 관련이 있다.

이상 기체의 경우, 단열 과정은 다음과 같다.

:

PV^\gamma=\text{상수} \Rightarrow P\propto \left(\frac{1}{V}\right)^\gamma\propto \rho ^\gamma,

여기서

\gamma

는 비열비이다. 따라서 단열 부피 탄성 계수

K_S

는 다음과 같다.

:

K_S=\gamma P.

마찬가지로, 이상 기체의 등온 과정은 다음과 같다.

:

PV=\text{상수} \Rightarrow P\propto \frac{1}{V} \propto \rho,

따라서 등온 부피 탄성 계수

K_T

는 다음과 같다.

:

K_T = P

.

기체가 이상 기체가 아닐 때, 이 방정식은 부피 탄성 계수의 근사치만 제공한다. 유체에서 부피 탄성 계수

K

와 밀도

\rho

는 음속

c

(압력파)를 뉴턴-라플라스 공식에 따라 결정한다.

:

c=\sqrt{\frac{K}{\rho}}.

고체에서

K_S

와

K_T

는 매우 유사한 값을 갖는다. 고체는 또한 횡파를 유지할 수 있다. 이러한 물질의 경우, 파동 속도를 결정하기 위해 전단 탄성 계수와 같은 추가적인 탄성 계수가 필요하다.

4. 측정

분말 회절을 사용하여 가압 하에서 부피 탄성 계수를 측정할 수 있다. 이는 유체의 압력 변화에 따른 부피 변화 능력을 나타내는 특성이다.

4. 1. 분말 회절

분말 회절을 사용하여 가압 하에서 부피 탄성 계수를 측정할 수 있다. 이는 유체의 압력 변화에 따른 부피 변화 능력을 나타내는 특성이다.

4. 2. 유체 특성

분말 회절을 사용하여 가압 하에서 부피 탄성 계수를 측정할 수 있다. 이는 유체의 압력 변화에 따른 부피 변화 능력을 나타내는 특성이다.

5. 여러 물질의 부피 탄성 계수 값

wikitext

흔한 재료의 대략적인 부피 탄성 계수(''K'')
재료	GPa 단위의 부피 탄성 계수	Mpsi 단위의 부피 탄성 계수
다이아몬드 (4K에서) ^[2]	443	64
알루미나 (γ 상)^[3]	162 ± 14	23.5
강철	160	23.2
석회암	65	9.4
화강암	50	7.3
유리 (아래 표의 다이어그램도 참조)	35 ~ 55	5.8
흑연 2H (단결정)^[4]	34	4.9
염화나트륨	24.42	3.542
셰일	10	1.5
백악	9	1.3
고무^[5]	1.5 ~ 2	0.22 ~ 0.29
사암	0.7	0.1

부피 탄성 계수가 35 GPa인 재료는 0.35 GPa의 외부 압력을 받으면 부피의 1%를 잃는다.

기타 물질의 대략적인 부피 탄성 계수(''K'')
β-질화 탄소	427±15 GPa^[7] (예상)
물	2.2 GPa (압력이 높을수록 값이 증가)
메탄올	823 MPa (20 °C 및 1기압에서)
고체 헬륨	50 MPa (대략적)
공기	142 kPa (단열 부피 탄성 계수 [또는 등엔트로피 부피 탄성 계수])
공기	101 kPa (등온 부피 탄성 계수)
우주 (시공간)	4.5×10³¹ Pa (일반적인 중력파 주파수 100Hz) ^[8]

5. 1. 일반적인 재료

다음은 흔한 재료의 대략적인 부피 탄성 계수(''K'')이다.

흔한 재료의 대략적인 부피 탄성 계수(''K'')
재료	GPa 단위의 부피 탄성 계수	Mpsi 단위의 부피 탄성 계수
다이아몬드 (4K에서) ^[2]	443	64
알루미나 (γ 상)^[3]	162 ± 14	23.5
강철	160	23.2
석회암	65	9.4
화강암	50	7.3
유리 (아래 표의 다이어그램도 참조)	35 ~ 55	5.8
흑연 2H (단결정)^[4]	34	4.9
염화나트륨	24.42	3.542
셰일	10	1.5
백악	9	1.3
고무^[5]	1.5 ~ 2	0.22 ~ 0.29
사암	0.7	0.1

부피 탄성 계수가 35 GPa인 재료는 0.35 GPa (~3500 bar)의 외부 압력을 받으면 부피의 1%를 잃는다.

기타 물질의 대략적인 부피 탄성 계수(''K'')
β-질화 탄소	427±15 GPa^[7] (예상)
물	2.2 GPa (0.32 Mpsi) (압력이 높을수록 값이 증가)
메탄올	823 MPa (20 °C 및 1기압에서)
고체 헬륨	50 MPa (대략적)
공기	142 kPa (단열 부피 탄성 계수 [또는 등엔트로피 부피 탄성 계수])
공기	101 kPa (등온 부피 탄성 계수)
우주 (시공간)	4.5×10³¹ Pa (일반적인 중력파 주파수 100Hz) ^[8]

5. 2. 기타 물질

다이아몬드의 부피 탄성 계수는 4K에서 443 GPa이다.^[2] 강철의 부피 탄성 계수는 160 GPa, 석회암은 65 GPa, 화강암은 50 GPa이다. 유리의 부피 탄성 계수는 35 ~ 55 GPa이다. 염화나트륨의 부피 탄성 계수는 24.42 GPa이다. 고무의 부피 탄성 계수는 1.5 ~ 2 GPa이다.

β-질화 탄소의 부피 탄성 계수는 427 ± 15 GPa로 예상된다.^[7] 물의 부피 탄성 계수는 2.2 GPa이며, 압력이 높을수록 값이 증가한다. 메탄올의 부피 탄성 계수는 20 °C 및 1기압에서 823 MPa이다. 고체 헬륨의 부피 탄성 계수는 대략 50 MPa이다. 공기의 단열(등엔트로피) 부피 탄성 계수는 142 kPa이고, 등온 부피 탄성 계수는 101 kPa이다. 우주(시공간)의 부피 탄성 계수는 일반적인 중력파 주파수 100Hz에서 4.5×10³¹ Pa이다.^[8]

6. 미시적 기원

6. 1. 원자 간 포텐셜과 선형 탄성

선형 탄성은 원자 간 상호 작용의 결과이며, 결정질 재료의 원자간 포텐셜에서 유도될 수 있다.^[9] 두 원자가 서로 접근하면서 포텐셜 에너지는 감소하다가, 매우 가까워지면 반발 상호 작용으로 인해 증가한다. 이러한 포텐셜은 최소 에너지 상태를 가지는 원자 간 거리(a₀)를 결정하며, 이 거리에서 총 힘은 0이 된다.^[9]

:

F=-{\partial U \over \partial r}=0

여기서 U는 원자간 포텐셜, r은 원자간 거리이다.

원자 간 거리가 a이고 평형 거리가 a₀인 1차원 배열 모델에서, 포텐셜 에너지-원자 간 거리 관계는 a₀에서 최소값을 갖는다. 이에 대한 테일러 확장은 다음과 같다.^[9]

:

u(a)=u(a_0)+ \left({\partial u \over \partial r} \right )_{r=a_0}(a-a_0)+{1 \over 2} \left ({\partial^2\over\partial r^2}u \right )_{r=a_0}(a-a_0)^2+O \left ((a-a_0)^3 \right )

평형 상태에서 첫 번째 도함수는 0이므로, 이차 항이 지배적이다. 변위가 작을 때 고차 항을 생략하면 다음과 같은 선형 탄성 관계식을 얻을 수 있다.^[9]

:

u(a)=u(a_0)+{1 \over 2} \left ({\partial^2\over\partial r^2}u \right )_{r=a_0}(a-a_0)^2

:

F(a)=-{\partial u \over \partial r}= \left ({\partial^2\over\partial r^2}u \right )_{r=a_0}(a-a_0)

훅 계수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[9]

:

K=a_0{dF \over dr}=a_0 \left ({\partial^2\over\partial r^2}u \right )_{r=a_0}

이는 원자당 부피(Ω)를 이용하여 3차원 케이스로 확장할 수 있다.^[9]

:

K=\Omega_0 \left ({\partial^2\over\partial \Omega^2}u \right )_{\Omega=\Omega_0}

참조

_[1] 웹사이트 Bulk Elastic Properties http://hyperphysics.[...] Georgia State University
_[2] 서적 Introduction to Solid State Physics 2005
_[3] 논문 Bulk Modulus and Young's Modulus of Nanocrystalline γ-Alumina https://ceramics.onl[...] 1994
_[4] 웹사이트 Graphite Properties Page by John A. Jaszczak https://pages.mtu.ed[...] 2021-07-16
_[5] 웹사이트 Silicone Rubber https://www.azom.com[...]
_[6] 웹사이트 Bulk modulus calculation of glasses http://www.glassprop[...]
_[7] 논문 Prediction of New Low Compressibility Solids 1989
_[8] 간행물 On the nature of space-time, cosmological inflation, and expansion of the universe 2018
_[9] 서적 Mechanical Behavior of Materials McGraw Hill Education (India) 2013

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