분할 완전열

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 분할 보조정리 (Splitting Lemma)
3. 군의 범주에서의 분할 완전열
- 3.1. 비가환군의 경우
4. 분할 보조정리의 증명 (아벨 범주의 경우)
5. 다른 증명 방법
참조

1. 개요

분할 완전열은 핵과 여핵이 존재하는 범주에서 정의되는 짧은 완전열의 특수한 형태이다. 왼쪽 분할 완전열은 단사 사상이 분할될 때, 오른쪽 분할 완전열은 전사 사상이 분할될 때를 의미하며, 아벨 범주에서는 이 두 조건이 서로 동치이다. 분할 보조정리에 따르면 아벨 범주에서의 짧은 완전열은 왼쪽 분할, 오른쪽 분할, 그리고 대상의 직합 표현이 서로 동치이며, 이 조건을 만족하는 완전열을 분할 완전열이라고 한다. 군의 범주에서는 분할 보조정리가 완전히 성립하지 않아 왼쪽 분할과 오른쪽 분할의 동치 관계가 성립하지 않으며, 비가환군에서는 분할 완전열의 특성이 더욱 제한적으로 나타난다. 분할 보조정리는 다양한 방법으로 증명될 수 있으며, 가군, 함자, 그리고 추상적인 의미를 활용한 증명이 존재한다.

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분할 완전열
개요
분야	수학
하위 분야	호몰로지 대수학
증명 방법	범주론
명칭
한국어 명칭	분할 보조정리, 분할 완전열 보조정리
영어 명칭	splitting lemma
일본어 명칭	分裂補題 (분열보제)
서술
조건	가환환 위의 가군 범주에서
완전열	0 → A → B → C → 0
분할 조건 (1)	단사 사상 q : A → B에 대하여, 사상 t : B → A가 존재하여 tq = id를 만족
분할 조건 (2)	전사 사상 r : B → C에 대하여, 사상 u : C → B가 존재하여 ru = id를 만족
분할 조건 (3)	A ⊕ C ≅ B (A와 C의 二項の積이 B와 동형)
결과	위 세 조건은 동치이다. 즉, 완전열이 분할한다.

2. 정의

핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열을 생각해보자.

: $0\to X\xrightarrow aY\xrightarrow bZ\to0$

이 완전열에 대해,

만약 $a$ 가 분할 단사 사상이라면 (즉, $\tilde a\circ a=1_X$ 인 $\tilde a\colon Y\to X$ 가 존재한다면), 이 완전열은 '''왼쪽 분할 완전열'''(left-split exact sequence^영어)이라고 한다.
만약 $b$ 가 분할 전사 사상이라면 (즉, $b\circ\tilde b=1_Z$ 인 $\tilde b\colon Z\to Y$ 가 존재한다면), 이 완전열은 '''오른쪽 분할 완전열'''(right-split exact sequence^영어)이라고 한다.

2. 1. 분할 보조정리 (Splitting Lemma)

아벨 범주에서의 짧은 완전열

0\to X\to Y\to Z\to0

에 대하여 다음 명제들은 서로 동치이다.

$X\to Y\to Z$ 는 왼쪽 분할 완전열이다.
$X\to Y\to Z$ 는 오른쪽 분할 완전열이다.
$Y\cong X\oplus Z$ 이며, 이 경우 $\tilde a$ 와 $b$ 는 $X\oplus Z$ 에서 $X$ 또는 $Z$ 로 가는 사영 사상이다.

아벨 범주에서, 이 조건을 만족시키는 짧은 완전열을 '''분할 완전열'''이라고 한다. 즉, 분할 완전열에서는 다음과 같은 사상들이 존재한다.

:

0\to X{\xrightarrow a\atop\xleftarrow[\tilde a]{}}Y{\xrightarrow b\atop\xleftarrow[\tilde b]{}}Z\to0

3. 군의 범주에서의 분할 완전열

군의 범주 $\operatorname{Grp}$ 는 아벨 범주가 아니므로, 분할 보조정리가 일반적으로 성립하지 않는다. 군의 범주에서는 다음 두 명제가 서로 동치이다.

$X\to Y\to Z$ 는 왼쪽 분할 완전열이다.
$Y\cong X\times Z$ 이며, 이 경우 $\tilde a$ 와 $b$ 는 $X\times Z$ 에서 $X$ 또는 $Z$ 로 가는 사영 사상이다.

다음 두 명제도 서로 동치이다.

$X\to Y\to Z$ 는 오른쪽 분할 완전열이다.
$Y$ 는 반직접곱 $X\rtimes Z$ 와 동형이다. 이 경우 $\tilde b$ 는 포함 사상 $Z\hookrightarrow Y$ 이다.

왼쪽 분할 조건은 오른쪽 분할 조건을 함의하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

3. 1. 비가환군의 경우

군의 범주에서는 분할 보조정리가 완전히 성립하지 않는다. 오른쪽 분할 완전열이더라도 왼쪽 분할 완전열이 아닐 수 있으며, 직접곱으로 표현되지 않을 수 있다. 이는 오른쪽 분할의 이미지가 정규 부분군이 아닐 수 있기 때문이다.
반례:대칭군

S_3

는 가장 작은 비가환군이다. 여기서

A

를 교대군,

C=B/A\cong\{\pm 1\}

로 정의한다.

q

와

r

을 각각 포함 사상과 부호 사상으로 정의하면 다음과 같은 짧은 완전열이 성립한다.

:

0 \rightarrow A \stackrel{q}{\longrightarrow} B \stackrel{r}{\longrightarrow} C \rightarrow 0 \,

S_3

는 아벨 군이 아니므로 직합으로 표현될 수 없다. 하지만

u:C\rightarrow B

를 생성원을 임의의 2-사이클에 대응시키는 함수로 정의하면,

u

는 오른쪽 분할이 된다.

임의의 사상

t:B\rightarrow A

는 모든 2-사이클을 항등원에 대응시켜야 한다. 왜냐하면 이 사상은 군 준동형 사상이어야 하고, 2-사이클의 차수는 2인데, 이는

A

의 원소(항등원을 제외)의 차수인 3으로 나누어 떨어지지 않기 때문이다. (

A

는

S_3

의 교대 부분군이며, 차수가 3인 순환군이다.) 하지만 모든 순열은 2-사이클의 곱이므로,

t

는 자명한 사상이 되고, 따라서

tq:A\rightarrow A

는 항등 사상이 아닌 자명한 사상이 된다. 따라서 왼쪽 분할이 성립하지 않는다.

4. 분할 보조정리의 증명 (아벨 범주의 경우)

(3)에서 (1)과 (2)가 따르는 것을 보이기 위해, (3)을 가정하고 ''t''를 직합에서 ''A''로의 자연스러운 사영으로, ''u''를 ''C''에서 직합으로의 자연스러운 사영으로 취한다.

(1)이면 (3)을 보이기 위해, ''B''의 임의의 원소가 (ker ''t'' + im ''q'')에 속하고, im ''q''와 ker ''t''의 교집합은 0이라는 것을 이용하여 ''B''가 im ''q''와 ker ''t''의 직합임을 보인다. 완전성으로부터 ker ''r'' = im ''q''이고, ''r''은 전사이므로 ''r''(ker ''t'') = ''C''이다. 따라서 ''r'' : ker ''t'' → ''C''는 동형 사상이며 ker ''t''는 ''C''에 동형이다. im ''q''는 완전성에 의해 ''A''와 동형이므로, ''B''는 ''A''와 ''C''의 직합과 동형이다.

(2)이면 (3)을 보이기 위해, ''B''의 임의의 원소가 ker ''r'' + im ''u''에 속하며, ker ''r''과 im ''u''의 교집합은 0임을 이용한다. 완전성으로부터 im ''q'' = ker ''r''이고, ''q''는 단사이므로 im ''q''는 ''A''와 동형이며, ''A''는 ker ''r''과 동형이다. ''ru''는 전단사이므로, ''u''는 단사이며 im ''u''는 ''C''와 동형이다. 따라서 ''B''는 ''A''와 ''C''의 직합이다.

4. 1. 3. ⇒ 1. 과 3. ⇒ 2.

먼저, 3.이 1.과 2.를 모두 함축한다는 것을 보이기 위해, 3.을 가정하고, t^영어를 직접합에서 로의 자연스러운 사영으로, u^영어를 에서 직접합으로의 자연스러운 주입으로 취한다.

4. 2. 1. ⇒ 3.

left split^영어을 가정하고, 가 와 의 직합임을 보인다. 는 와 동형이고, 는 와 동형임을 보인다. 이를 통해 를 유도한다.

먼저, ''B''의 모든 원소가 에 속한다. 이는 모든 ''B''의 원소 ''b''에 대해 이기 때문이다. 여기서 는 의 원소이고, 는 다음으로 인해 의 원소이다.

:

다음으로, 와 의 교집합은 0이다. 왜냐하면 인 ''A''의 원소 ''a''가 존재하여 이면, 이므로 이기 때문이다.

따라서, ''B''는 와 의 직합이다. 즉, 모든 ''B''의 원소 ''b''는 ''A''의 원소 ''a''와 의 원소 ''k''로 유일하게 로 나타낼 수 있다.

완전성에 의해 이다. 부분열 에서 ''r''은 전사이다. 따라서 임의의 ''C''의 원소 ''c''에 대해 가 존재하여 이다. 즉, 임의의 ''C''의 원소 ''c''에 대해 의 원소 ''k''가 존재하여 이고, 이다.

만약 이면 는 에 속한다. 와 의 교집합은 0이므로, 이다. 따라서 제한 는 동형 사상이며, 는 ''C''와 동형이다.

마지막으로, 는 의 완전성에 의해 ''A''와 동형이다. 따라서 ''B''는 ''A''와 ''C''의 직합과 동형이다.

4. 3. 2. ⇒ 3.

의 모든 원소는 집합 에 속한다. 모든 가 에 속할 때, 인데, 이는 에 속하기 때문이다. 과 의 교집합은 인데, 만약 이고 이면 가 되기 때문이다.

정확성에 의해, 이고, 가 단사이므로, 는 와 동형이며, 따라서 는 과 동형이다. 가 전단사이므로, 는 단사이고, 따라서 는 와 동형이다. 그러므로 는 다시 와 의 직합이다.

5. 다른 증명 방법

분할 보조정리에 대한 다른 증명 방법은 다음과 같다.

'''사영 가군(module)을 사용한 증명'''

:* 가군 M이 사영적일 필요충분 조건은 모든 단사 가군 사상 f: A → B에 대해, f ∘ g = h가 되는 가군 사상 h: M → A가 존재하는 것이다.

:* 분할 보조정리는 0 → A → B → C → 0 형태의 짧은 완전열이 분할되기 위한 필요충분 조건은 B → C가 사영적인 C로부터의 사상이라는 것이다.

:* 증명: B → C가 사영적인 C로부터의 사상이라고 가정한다. 사상 s: C → B가 존재하여 q ∘ s = idC가 성립한다. 그러면 B ≅ A ⊕ C가 성립한다. 반대로, B ≅ A ⊕ C라고 가정한다. q: B → C는 q(a, c) = c로 정의된다. idC: C → C는 사영적이다. 따라서 B → C는 사영적인 C로부터의 사상이다.

'''함자(Functor)를 사용한 증명'''

:* 짧은 완전열 0 → A → B → C → 0이 분할되기 위한 필요충분 조건은 Hom(C, -)가 완전 함자(exact functor)라는 것이다.

:* 증명: Hom(C, -)가 완전 함자라고 가정한다. idC: C → C는 Hom(C, C)의 원소이다. Hom(B, C)에서 idC를 선택한다. 그러면 B → C는 분할 사상을 가지며, 따라서 짧은 완전열은 분할된다. 반대로, 짧은 완전열이 분할된다고 가정한다. 그러면 B ≅ A ⊕ C이다. Hom(C, -)는 완전 함자이다.

'''추상적인 의미를 이용한 증명'''

:* 분할 보조정리는 대상 C가 짧은 완전열의 대상과 사상으로 구성된 다이어그램에서 사영적일 필요충분 조건이라고 할 수 있다.

:* 증명: 사영적인 대상의 정의를 이용한다.

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