불 논리

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1. 개요
2. 역사
3. 기본 연산
- 3.1. 확장 연산
4. 법칙
5. 표현
6. 응용
7. 한계와 극복
참조

1. 개요

불 논리는 19세기 조지 불에 의해 창시된 논리 체계로, 라이프니츠의 개념 대수를 기반으로 한다. 부울 대수는 논리곱, 논리합, 부정을 기본 연산으로 사용하며, 디지털 회로 설계, 데이터베이스 쿼리, 검색 엔진 등 다양한 분야에 응용된다. 부울 대수는 결합, 교환, 분배 법칙 등 여러 법칙을 만족하며, 벤 다이어그램과 논리 게이트를 통해 시각적으로 표현될 수 있다.

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불 논리

2. 역사

고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 개념 대수는 부울 대수의 전신이다. 라이프니츠는 주역과 관련된 이진법에서 영감을 받아 보편 기호법을 고안했고, 이는 개념 대수의 기초가 되었다.^[1] 라이프니츠의 개념 대수는 집합의 부울 대수와 연역적으로 동등하다.

부울 대수는 추상 대수학과 수리 논리학의 발전에 앞서 있지만, 두 분야의 기원과 관련이 있다고 여겨진다. 19세기 후반 제번스, 슈뢰더, 헌팅턴 등에 의해 부울 대수는 완성되어 현대적인 개념의 (추상적인) 수학적 구조에 도달했다. 1936년 M. H. 스톤은 모든 부울 대수는 동형인 집합체임을 증명하였다.

1930년대, 클로드 섀넌은 스위칭 회로를 연구하면서 부울 대수의 규칙을 이 환경에도 적용할 수 있음을 관찰했고, 논리 게이트의 관점에서 대수적 방법으로 회로를 분석하고 설계하는 방법으로 ''스위칭 대수''를 도입했다. 섀넌은 자신의 스위칭 대수를 ''2원 부울 대수''로 규정했다. 현대 회로 공학 환경에서는 "스위칭 대수"와 "부울 대수"는 종종 상호교환적으로 사용된다.

부울 함수의 효율적인 구현은 조합 논리 회로의 설계에서 기본적인 문제이다. 초대규모 집적 회로(VLSI) 회로를 위한 현대의 전자 설계 자동화 도구는 종종 논리 합성과 공식 검증을 위해 (축소된 순서화된) 이진 결정 다이어그램(BDD)으로 알려진 부울 함수의 효율적인 표현에 의존한다.

고전적인 명제 논리로 표현할 수 있는 논리 문장은 부울 대수에서 동등한 표현을 갖는다. 따라서 ''부울 논리''는 때때로 이러한 방식으로 수행되는 명제 논리를 나타내는 데 사용된다.

3. 기본 연산

불 논리는 논리곱(AND, ∧), 논리합(OR, ∨), 부정(NOT, ¬)의 세 가지 기본 연산을 사용한다. 불 대수에서 논리값 0과 1을 저장하는 변수를 '''부울 변수'''라고 하며, 이 변수는 참 또는 거짓 값을 저장하는 데 사용된다.^{^[2]}

논리 연산	연산자	표기법
논리곱	AND
논리합	OR
부정	NOT	¬x

진리표를 사용하여 연산의 결과를 나타낼 수 있다.^{^[3]}

$x$	$y$	$x \wedge y$	$x \vee y$
0	0	0	0
1	0	0	1
0	1	0	1
1	1	1	1

$x$	$\neg x$
0	1
1	0

A AND B(보라색 부분), A OR B(색이 붙어 있는 부분 전체), A XOR B(보라색 이외의 색이 붙어 있는 부분). 네모진 바깥쪽 선은 모집단(universe)

식에서 연산자는 우선 순위 규칙에 따라 적용된다. 괄호 안의 식이 우선 순위 규칙에 따라 먼저 계산된다.^{^[4]}

진리값 0과 1을 정수로 해석하면, 이러한 연산은 일반적인 산술 연산(여기서 ''x'' + ''y''는 덧셈을, ''xy''는 곱셈을 사용함) 또는 최소/최대 함수로 표현할 수 있다.

:

\begin{align}x \wedge y & = xy = \min(x,y)\\x \vee y & = x + y - xy = x + y(1 - x) = \max(x,y)\\\neg x & = 1 - x\end{align}

드 모르간의 법칙에 따라, 부정과 다른 두 연산 중 하나만 기본 연산으로 생각할 수 있다.^{^[5]}

:

\begin{align}x \wedge y & = \neg(\neg x \vee \neg y) \\x \vee y & = \neg(\neg x \wedge \neg y)\end{align}

3. 1. 확장 연산

기본 연산 외에도 배타적 논리합(XOR, ⊕), 조건적 함축(→), 동치(↔) 등 다양한 확장 연산이 존재한다.^[1]

'''조건적 함축'''(Material conditional): ''x'' → ''y'' 또는 C''xy''는 ''x''가 참이면 ''y''의 결과로 간주된다. ''x''가 거짓이면 ''x'' → ''y''는 참이다.^[1]
'''배타적 논리합'''(Exclusive OR, XOR): ''x'' ⊕ ''y'' 또는 J''xy''는 ''x''와 ''y''가 모두 참일 경우 거짓이다. mod 2에서의 덧셈(1 + 1 = 0)으로 정의할 수 있다.^[1]
'''논리적 동치'''(Logical equivalence): ''x'' ≡ ''y'' 또는 E''xy''는 ''x''와 ''y''가 같은 값을 가질 때만 참이다. 배타적 논리합의 여집합이며, ''x'' ≠ ''y''는 ''x''와 ''y''가 다를 때만 참이다. 동치의 mod 2 산술적 대응물은 ''x'' + ''y'' + 1이다.^[1]

2차 연산
$x$	$y$	$x \rightarrow y$	$x \oplus y$	$x \leftrightarrow y, x \equiv y$
0	0	1	0	1
1	0	0	1	0
0	1	1	1	0
1	1	1	0	1

확장 연산 수식
조건적 함축	$x \rightarrow y = \neg{x} \vee y$
배타적 논리합	$x \oplus y = \neg (x \leftrightarrow y) = (x \vee y) \wedge \neg (x \wedge y) = (x \vee y) \wedge (\neg x \vee \neg y) = (x \wedge \neg y) \vee (\neg x \wedge y)$
조건적 동치	$x \leftrightarrow y = (x \land y) \lor (\neg x \land \neg y) = (x \lor \neg y) \land (\neg x \lor y)$

4. 법칙

불 논리는 결합 법칙, 교환 법칙, 분배 법칙, 멱등 법칙, 흡수 법칙, 드 모르간의 법칙 등 다양한 법칙을 만족한다. 이러한 법칙들은 불 대수식을 간소화하고 최적화하는 데 활용된다.

법칙	연산	식
결합 법칙	∨ (논리합)	$x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z$
결합 법칙	∧ (논리곱)	$x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z$
교환 법칙	∨ (논리합)	$x \vee y = y \vee x$
교환 법칙	∧ (논리곱)	$x \wedge y = y \wedge x$
분배 법칙		$x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)$
분배 법칙		$x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$
항등원	∨ (논리합)	$x \vee 0 = x$
항등원	∧ (논리곱)	$x \wedge 1 = x$
영원소	∨ (논리합)	$x \vee 1 = 1$
영원소	∧ (논리곱)	$x \wedge 0 = 0$
멱등 법칙	∨ (논리합)	$x \vee x = x$
멱등 법칙	∧ (논리곱)	$x \wedge x = x$
흡수 법칙		$x \wedge (x \vee y) = x$
흡수 법칙		$x \vee (x \wedge y) = x$
여집합 법칙		$x \wedge \neg x = 0$
여집합 법칙		$x \vee \neg x = 1$
이중 부정 법칙		$\neg{(\neg{x})} = x$
드 모르간의 법칙		$\neg x \wedge \neg y = \neg{(x \vee y)}$
드 모르간의 법칙		$\neg x \vee \neg y = \neg{(x \wedge y)}$

위에 나열된 법칙들은 부울 대수를 정의하며, 이 법칙들을 통해 부울 대수의 모든 법칙을 논리적으로 도출할 수 있다.

5. 표현

벤 다이어그램은 음영 처리된 겹치는 영역을 사용하여 불 논리 연산을 나타낼 수 있다. 각 변수는 원형 영역으로 표현되며, 영역 안은 변수의 값이 1(참), 바깥은 0(거짓)을 의미한다. 음영은 각 영역 조합에 대한 연산의 값을 나타내며, 어두운 색은 1, 밝은 색은 0을 나타낸다(일부 저자는 반대 규칙을 사용).

위 그림의 세 벤 다이어그램은 각각 논리곱(∧), 논리합(∨), 보수(¬)를 나타낸다. 논리곱은 두 원의 안쪽 영역이 모두 음영 처리되어 두 변수가 모두 1일 때 결과가 1임을 보여준다. 논리합은 두 원 중 하나 이상에 속하는 영역이 음영 처리되어 두 변수 중 하나라도 1이면 결과가 1임을 나타낸다. 보수는 원 안쪽이 아닌 영역이 음영 처리되어 변수의 반대 값을 나타낸다.

벤 다이어그램은 불 논리의 법칙들을 시각화하는 데 유용하다. 예를 들어, 논리곱과 논리합의 교환 법칙은 다이어그램의 대칭성에서 확인할 수 있다. 멱등 법칙은 두 원을 겹쳐서 음영 처리된 영역이 전체 원이 되는 것을 통해 시각화할 수 있다. 흡수 법칙이나 드 모르간의 법칙 등도 벤 다이어그램을 통해 직관적으로 이해할 수 있다.

디지털 논리는 0과 1의 불 대수를 논리 게이트로 구성된 전자 회로에 적용한 것이다. 각 게이트는 불 논리 연산을 구현하며, 연산을 나타내는 도형으로 표현된다.

위 그림은 논리곱(AND 게이트), 논리합(OR 게이트), 보수(NOT 게이트, 인버터라고도 함)에 대한 게이트와 관련 도형을 나타낸다. 각 게이트의 왼쪽 선은 입력, 오른쪽 선은 출력을 나타낸다. 입력값은 전압으로 표현되는데, "능동-하이(active-high)" 논리에서는 0은 0V(접지), 1은 공급 전압에 가까운 전압으로 표현된다. 능동-로우(active-low)는 이와 반대이다.

인버터 게이트의 출력에 있는 작은 원은 입력의 보수를 취하는 것을 의미한다. 이중성 원리(드 모르간의 법칙)에 따라 AND 게이트의 모든 포트를 보완하면 OR 게이트로, OR 게이트의 모든 포트를 보완하면 AND 게이트로 변환된다.

6. 응용

불 논리는 디지털 회로 설계, 관계 데이터베이스의 쿼리, 검색 엔진 등 다양한 분야에 응용된다.

디지털 회로에서 0과 1은 비트의 서로 다른 두 상태를 나타내며, 주로 전압의 높낮이로 표현된다. AND, OR, NOT 게이트와 같은 기본적인 논리 회로뿐만 아니라 NAND 게이트, NOR 게이트, XOR 게이트 등을 조합하여 복잡한 회로를 구성할 수 있다.

관계 데이터베이스에서는 SQL 등의 언어를 사용하여 데이터를 검색하는데, 이러한 언어들은 불 논리를 포함한다. 예를 들어, SQL의 SELECT 문을 사용하여 특정 조건을 만족하는 데이터를 추출할 수 있다.^[1]

검색 엔진에서도 불 논리가 사용된다. 구글과 같은 검색 엔진에서는 논리곱(AND)을 위해 검색어 사이에 공백을 사용하고, 논리합(OR)을 위해 "OR" 키워드를 사용하며, 논리 부정(NOT)을 위해 마이너스 기호(-)를 사용한다.

6. 1. 디지털 회로 설계

불 논리는 디지털 회로의 동작을 표현하고 분석하는 데 사용된다. 0과 1은 디지털 회로에서 비트의 서로 다른 두 상태를 나타내며, 주로 전압의 높낮이로 표현된다. 회로는 변수를 포함한 식으로 나타낼 수 있으며, 입력과 출력이 정해지면 불 논리식으로 표현할 수 있다.

논리 게이트를 조합하여 복잡한 디지털 회로를 설계할 수 있다. AND, OR, NOT 게이트와 같은 기본적인 논리 회로뿐만 아니라, NAND 게이트, NOR 게이트, XOR 게이트 등도 조합하여 디지털 회로를 구성할 수 있다. 이러한 게이트들은 연산자의 우선 순위에 따라 직렬이나 병렬로 결합된다.

각 게이트의 왼쪽 선은 입력, 오른쪽 선은 출력을 나타낸다. 입력값은 전압으로 표현되는데, "능동-하이(active-high)" 논리에서는 0V 또는 접지에 가까운 전압이 0, 공급 전압에 가까운 전압이 1을 나타낸다. "능동-로우(active-low)" 논리는 이와 반대이다.

드 모르간의 법칙(이중성 원리)에 따르면, AND 게이트의 모든 입출력을 반전시키면 OR 게이트가 되며, 그 반대도 성립한다.

오늘날 대부분의 컴퓨터는 2값 불 논리를 사용하여 기능을 수행한다. 즉, 컴퓨터의 전기 회로는 2값 불 논리의 물리적 구현이다. 데이터 레지스터는 전압으로 작동하며, 0V는 불 논리 0, 기준 전압(예: +5V, +3.3V, +1.8V)은 불 논리 1을 나타낸다. 프로그래머는 기계어, 어셈블리어 등을 사용할 때 데이터 레지스터의 디지털 구조를 활용하며, 숫자 연산(덧셈, 뺄셈 등)과 논리 연산(논리곱, 논리합, 부정 등)을 모두 수행할 수 있다.

6. 2. 데이터베이스

관계 데이터베이스에서는 쿼리를 위해 SQL 등의 데이터베이스 고유 언어를 사용하지만, 이것들은 불 논리를 포함하고 있다. 표 안의 레코드(record)는 '집합' 안의 '원'에 가깝다. 예를 들어, SQL의 SELECT문은 데이터베이스 안의 표로부터 데이터를 다음과 같이 추출한다.^[1]

SELECT * FROM EMPLOYEES WHERE LAST_NAME = 'Smith' AND FIRST_NAME = 'John' ;
SELECT * FROM EMPLOYEES WHERE LAST_NAME = 'Smith' OR FIRST_NAME = 'John' ;
SELECT * FROM EMPLOYEES WHERE NOT LAST_NAME = 'Smith' ;

여러 불 연산이 있는 경우, 괄호를 사용해 연산의 순서를 제어한다.^[1]

SELECT * FROM EMPLOYEES WHERE (NOT LAST_NAME = 'Smith') AND (FIRST_NAME = 'John' OR FIRST_NAME = 'Mary') ;

필요에 따라 괄호를 얼마든지 중첩할 수 있다. 복수의 표를 불 연산으로 조합하는 것을 '''결합'''(관계 대수)이라고 한다.^[1]

6. 3. 검색 엔진

검색 엔진에서 검색어를 결합하고 검색 결과를 필터링하는 데 불 논리가 사용된다. 예를 들어 구글에서는 다음과 같은 불 논리 연산자를 지원한다.

겹따옴표: 공백으로 구분된 단어들을 단일 검색어로 결합한다.

:: "검색어 1" "검색어 2"

공백: 논리적 AND를 지정하며, 검색어를 결합하는 기본 연산자이다.

:: "검색어 1" "검색어 2"

OR 키워드: 논리적 OR에 사용된다.

:: "검색어 1" OR "검색어 2"

접두사 마이너스 기호 (-): 논리적 NOT에 사용된다.

:: "검색어 1" -"검색어 2"

7. 한계와 극복

불 논리는 참과 거짓, 두 가지 값만을 다루기 때문에, "어쩌면"이나 "주말에만"과 같이 현실 세계의 복잡하고 미묘한 정보를 표현하는 데 한계가 있다. 법정이나 수학의 정리처럼 단순한 예/아니오 답변이 필요한 경우에는 유용하지만, 일상 대화에서는 이러한 이분법적인 구분이 어려움을 야기할 수 있다.^[1]

이러한 한계를 극복하기 위해 다치 논리 체계가 연구되고 있다. 특히, 불 논리의 {0, 1} 값을 [0, 1] 구간으로 확장하여 0과 1 사이의 모든 값을 가질 수 있게 되었다. 이 경우, 부정(NOT)은 1 - ''x''로, 논리곱(AND)은 곱셈(''xy'')으로 대체되며, 논리합(OR)은 드 모르간의 법칙을 통해 정의된다. 이러한 값들은 진리의 "정도", 즉 명제가 참인 정도 또는 명제가 참일 확률로 해석된다. 이는 퍼지 논리와 확률 논리의 기반이 된다.^[1]

참조

_[1] 논문 The Yijing and Philosophy: From Leibniz to Derrida https://philpapers.o[...]
_[2] 웹사이트 Boolean Algebra - Expression, Rules, Theorems, and Examples https://www.geeksfor[...] 2021-09-24
_[3] 웹사이트 Boolean Logical Operations https://www.uobabylo[...]
_[4] 웹사이트 Boolean Algebra Operations https://bob.cs.sonom[...]
_[5] 웹사이트 Boolean Algebra https://www2.seas.gw[...]

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