삼각형함수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 일반적인 형태
3. 스케일링
4. 푸리에 변환
참조

1. 개요

삼각형 함수는 개별식 함수를 사용하여 정의되며, 선형 B-스플라인으로 표현할 수 있는 함수이다. 가장 일반적인 형태는 구간별 함수로 나타낼 수 있으며, 두 개의 동일한 단위 구형 함수의 합성곱으로 정의할 수도 있다. 삼각형 함수의 폭은 스케일링 변환을 통해 조절 가능하며, 푸리에 변환은 정규화된 싱크 함수의 제곱으로 표현된다.

2. 정의

삼각형 함수는 일반적으로 개별식 함수를 사용하여 정의된다.

가장 일반적인 정의는 개별식 함수를 이용하거나, 구형 함수와 절댓값 함수를 이용해 표현할 수 있다. 또한, 두 개의 동일한 단위 구형 함수의 합성곱으로 정의할 수도 있다.

일부 저자는 삼각 함수의 밑변을 너비 2 대신 너비 1로 정의하기도 한다.

가장 일반적인 형태의 삼각 함수는 모든 B-스플라인을 선형으로 나타낼 수 있다.

:

\Lambda(x) = \operatorname{tri}_j(x),

여기서

x_{j-1} = -1

,

x_j = 0

, 그리고

x_{j+1} = 1

이다.

선형 B-스플라인은 연속적인 구간 선형 함수

f(x)

와 동일하며, 이 일반적인 삼각 함수는

f(x)

를 다음과 같이 공식적으로 정의하는 데 유용하다.

:

f(x) = \sum_j y_j \cdot \operatorname{tri}_j(x),

여기서 모든 정수

j

에 대해

x_j < x_{j+1}

이다.

구간 선형 함수는 순서쌍

(x_j, y_j)

로 표현되는 모든 점을 통과한다. 즉,

:

f(x_j) = y_j

.

2. 1. 기본 정의

삼각형 함수(tri(x) 또는 Λ(x))의 가장 일반적인 정의는 다음과 같다.^[2]

:

\begin{align}\operatorname{tri}(x) = \Lambda(x) \ &\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \max(1 - |x|, 0) \\&= \begin{cases}1 - |x| \qquad & |x| < 1 \\0       \qquad & \mathrm{otherwise} \\\end{cases}\end{align}

이는 조각 함수(piecewise function)로 표현하면 다음과 같다.

:

\begin{align}\operatorname{tri}(x) = \Lambda(x) \ &\overset{\underset{\text{def}}{}}{=} \ \max\big(1 - |x|, 0\big) \\&= \begin{cases}1 - |x|, & |x| < 1; \\0        & \text{그 외}. \\\end{cases}\end{align}

삼각형 함수는 구형 함수(rect(x))와 절댓값 함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

\operatorname{tri}(x) = \operatorname{rect}(x/2) \big(1 - |x|\big).

또한, 삼각형 함수는 두 개의 동일한 단위 구형 함수의 합성곱으로 정의할 수 있다.^[1]

:

\begin{align}\operatorname{tri}(x) &= \operatorname{rect}(x) * \operatorname{rect}(x) \\&= \int_{-\infty}^\infty \operatorname{rect}(x - \tau) \cdot \operatorname{rect}(\tau) \,d\tau. \\\end{align}

2. 2. 일반적인 형태

가장 일반적인 형태의 삼각형 함수는 선형 B-스플라인으로 표현할 수 있다.^[2]

:

\operatorname{tri}_j(x) = \begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_j-x_{j-1}) & x_{j-1} \le x < x_j \\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_j) & x_j \le x < x_{j+1} \\0 & \mathrm{otherwise}\end{cases}

일부 저자는 삼각형 함수의 밑변을 너비 2 대신 너비 1로 정의하기도 한다.^[1]

3. 스케일링

삼각 함수는 모든 매개변수 $a \ne 0$ 에 대해 다음과 같이 스케일링 변환을 통해 함수의 폭을 조절할 수 있다.

: $\operatorname{tri}\left(\tfrac{t}{a}\right) = \int_{-\infty}^\infty \tfrac{1}$

\operatorname{rect}\left(\tfrac{\tau}{a}\right) \cdot \operatorname{rect}\left(\tfrac{t-\tau}{a}\right) \,d\tau = \begin{cases} 1 - |t/a|, & |t| < |a|; \\ 0 & \text{그 외}. \end{cases}

4. 푸리에 변환

삼각형 함수의 푸리에 변환은 푸리에 변환의 합성곱 성질과 구형파 함수의 푸리에 변환을 사용하여 쉽게 결정할 수 있다.

: $\begin{align}\mathcal{F}\{\operatorname{tri}(t)\} &= \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\}\\ &= \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}\cdot \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}\\ &= \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}^2\\ &= \mathrm{sinc}^2(f),\end{align}$

여기서 $\operatorname{sinc}(x) = \sin(\pi x) / (\pi x)$ 는 정규화된 싱크 함수이다.

참조

_[1] 서적 INF-MAT5340 Lecture Notes http://www.uio.no/st[...]
_[2] 서적 INF-MAT5340 Lecture Notes http://www.uio.no/st[...]

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