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상수층

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1. 개요

상수층은 위상 공간 X와 집합 S에 대해 정의되는 층의 일종으로, 상수 준층의 층화이다. 상수 준층은 X의 모든 대상 U를 S로 대응시키고, X의 모든 사상을 S의 항등 함수로 대응시키는 함자이다. 국소 상수층은 덮개 개념이 존재하는 위상 공간 X 위의 층으로, X의 모든 대상 U에 대해 U의 덮개에 대한 각 제한이 상수층인 경우를 말한다. 상수층은 연속 함수, 줄기, 층 공간, 역상 층 등과 관련되며, 자연수 대상이나 아벨 군의 층 등과 같은 예시를 통해 이해할 수 있다.

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상수층

2. 정의

위치 또는 위상 공간에서 상수 준층(constant presheaf)과 상수층(constant sheaf) 그리고 국소 상수층(locally constant sheaf)을 정의할 수 있다.

2. 1. 상수 준층

위치 X집합 S에 대하여, S값을 갖는 '''상수 준층'''(constant presheaf영어)은 다음과 같은 함자 X^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}이다.

  • X의 모든 대상 US로 대응된다.
  • X의 모든 사상은 S항등 함수 \operatorname{id}_S로 대응된다.


위치 X집합 S에 대하여, S값을 갖는 '''상수층'''은 상수 준층의 층화이다.[1]

2. 2. 상수층

위치 ''X'' 및 집합 ''S''에 대하여, ''S'' 값을 갖는 '''상수층'''(constant sheaf) \(\underline S\)는 상수 준층(constant presheaf)의 층화이다.

위상 공간에서 \(\underline S\)는 (''S''에 이산 위상을 주었을 때) 연속 함수 ''X''→''S''들의 층이다. 이 경우, \(\underline S\)의 모든 점에서의 줄기는 ''S''이다.

''X''를 위상 공간, ''A''를 집합이라고 하자. 열린 집합 ''U'' 위의 상수층 \(\underline{A}\)의 단면은 ''U''→''A''인 연속 함수로 해석될 수 있으며, 여기서 ''A''는 이산 위상을 갖는다. 만약 ''U''가 연결 공간이라면, 이러한 국소 상수 함수는 상수 함수이다. 만약 \(f:X\to\{\text{pt}\}\)가 1점 공간으로의 유일한 사상이고 ''A''가 \(\{\text{pt}\}\) 위의 층으로 간주된다면, 역상 층 \(f^{-1}A\)는 ''X'' 위의 상수층 \(\underline{A}\)이다. \(\underline{A}\)의 층 공간은 사영 사상 ''A'' (여기서 \(X\times A\to X\)는 이산 위상을 갖는다)이다.

2. 3. 국소 상수층

위치 X 위의 \mathcal F에 대하여, 만약 X의 모든 대상 U\in\operatorname{Ob}(X)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 U덮개 \{U_i\}_{i\in I}가 존재한다면, \mathcal F를 '''국소 상수층'''(locally constant sheaf영어)이라고 한다.

  • 모든 i\in I에 대하여, \mathcal F|_{U_i}상수층이다. 즉, \mathcal F|_{U_i}=\underline{S_i}집합 S_i가 존재한다.[1]

3. 성질

X위상 공간일 경우, 상수층 \underline SS에 이산 위상을 주었을 때 연속 함수 X\to S들의 층이다. 이 경우, \underline S의 모든 점에서의 줄기S이다.

3. 1. 줄기(Stalk)

만약 X위상 공간일 경우, \underline S는 (S에 이산 위상을 주었을 때) 연속 함수 X\to S들의 층이다. 이 경우, \underline S의 모든 점에서의 줄기S이다.

3. 2. 층 공간(Étale space)

층 공간(層空間, Étale space영어)은 사영 사상 X \times A \to X이다. (여기서 A는 이산 위상을 갖는다.)[1]

3. 3. 역상 층(Inverse image sheaf)

X를 위상 공간, A를 집합이라고 하자. 열린 집합 U 위의 상수층 \underline{A}의 단면은 U\to A인 연속 함수로 해석될 수 있으며, 여기서 A는 이산 위상을 갖는다. 만약 U연결 공간이라면, 이러한 국소 상수 함수는 상수 함수이다. 만약 f:X\to\{\text{pt}\}가 1점 공간으로의 유일한 사상이고 A\{\text{pt}\} 위의 층으로 간주된다면, 역상 층 f^{-1}AX 위의 상수층 \underline{A}이다. \underline{A}의 층 공간은 사영 사상 A (여기서 X\times A\to X는 이산 위상을 갖는다)이다.

4. 예시

그로텐디크 토포스나 가군층, 아벨 군과 같은 추상적인 수학 개념보다는 구체적인 예를 통해 상수층의 개념을 설명하는 것이 일반적이다.

두 점 이산 위상 공간


두 점 이산 공간에서의 상수 준층


분리된 준층


두 점 위상 공간에서의 상수층


이산 위상을 가진 두 점 pq로 구성된 위상 공간 X를 생각해보자. X는 네 개의 열린 집합(\varnothing, \{p\}, \{q\}, \{p,q\})을 갖는다. 상수층은 다음과 같은 단계를 거쳐 만들어진다.

1. 상수 준층(Constant Presheaf): 모든 열린 집합에 같은 집합(예: 정수 집합 \mathbb{Z})을 대응시키고, 포함 관계에 따른 제한 사상은 항등 사상으로 정의한다. 이 준층은 붙임 공리는 만족하지만 국소 항등 공리는 만족하지 않아 층이 아니다.

2. 분리된 준층(Separated Presheaf): 국소 항등 공리를 만족하도록 수정한다. 공집합에는 한원소 집합을, 나머지 열린 집합에는 같은 집합을 대응시킨다. 제한 사상은 작은 집합이 공집합이면 한원소 집합으로의 사상, 그렇지 않으면 항등 사상이다. 이 준층은 국소 항등 공리는 만족하지만 붙임 공리는 만족하지 않는다.

3. 상수층(Constant Sheaf): 붙임 공리도 만족하도록, 두 점 집합 \{p, q\}에는 두 값의 곱집합(예: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z})을 대응시킨다. 제한 사상은 각 점으로의 자연스러운 사상이다.

4. 1. 자연수 대상

그로텐디크 토포스 \operatorname{Sh}(X)에서 자연수 대상은 자연수의 집합 \mathbb{N}의 값을 갖는 상수층 \underline{\mathbb{N}}이다.

4. 2. 아벨 군의 층

그로텐디크 토포스 \operatorname{Sh}(X)에서, 상수층 \underline{\mathbb Z}에 대한 가군층아벨 군의 층과 같다.[1]

4. 3. 두 점 이산 공간에서의 상수층



X를 이산 위상을 가진 두 점 pq로 구성된 위상 공간이라고 하자. X는 네 개의 열린 집합 \varnothing, \{p\}, \{q\}, \{p,q\}를 가진다.

X에 대한 준층(presheaf)은 X의 네 개의 열린 집합 각각에 대해 집합을 선택하고, 각 포함 관계에 대해 제한 사상(U\subset U에 대한 항등 사상 포함)을 선택한다. 값 \textbf{Z}를 갖는 '''상수 준층'''(constant presheaf) F는 네 개의 집합 모두 정수인 \textbf{Z}이고 모든 제한 사상이 항등 사상인 준층이다. F는 붙임 공리(gluing axiom)는 만족하지만, 공집합에 대한 국소 항등 공리(local identity axiom)는 만족하지 않으므로 층(sheaf)은 아니다.

국소 항등 공리를 만족하는 준층 G를 만들기 위해, G(\varnothing)=0(한 개의 원소 집합)으로 하고, 모든 비어 있지 않은 집합에 대해 G에 값 \textbf{Z}를 부여한다. 열린 집합의 각 포함 관계에 대해, 작은 집합이 비어 있으면 0으로의 고유한 사상을, 그렇지 않으면 항등 사상을 제한으로 둔다. 그러면 G는 분리된 준층(separated presheaf)이 되지만, F와는 달리 붙임 공리는 만족하지 않는다.

붙임 공리를 만족하도록 H(\{p,q\}) = \mathrm{Fun}(\{p,q\},\mathbf{Z})\cong \Z\times\Z 로, 즉 \{p,q\}에 대한 \mathbf Z 값 함수로 정의한다. 그리고 H의 제한 사상을 함수의 \{p\}\{q\}로의 자연스러운 제한으로 정의하며, 0 사상은 \varnothing 으로 제한한다. 그러면 HX에 대한 값 \textbf{Z}를 갖는 '''상수층'''(constant sheaf)이 된다.


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