선대칭
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1. 개요
선대칭은 도형의 한 성질로, 대응변의 길이와 대응각의 크기가 같고, 대응점을 이은 선분이 대칭축에 의해 이등분되며 대칭축과 수직으로 만나는 도형을 의미한다. 2차원 도형의 선대칭은 반사 대칭과 같으며, 대칭축을 경계로 접었을 때 두 부분이 겹쳐진다. 대칭축은 겹쳐지는 두 점을 연결한 선분의 수직 이등분선이며, 여러 개 존재할 수 있다. 3차원 도형의 선대칭은 2회 대칭과 같고, n차원(n ≧ 4) 도형의 선대칭은 대칭축에 직교하는 각 n - 1차원 공간 내에서, 대칭축과의 교점을 중심으로 한 점대칭이 성립하는 것이다. 선대칭 도형의 예시로는 원, 정다각형, 이등변삼각형, 구 등이 있다.
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| 선대칭 | |
|---|---|
| 대칭 | |
| 정의 | 어떤 도형을 특정 축을 중심으로 대칭 이동했을 때, 원래 도형과 완전히 겹쳐지는 경우, 이 도형은 선대칭 도형이라고 함. |
| 설명 | 선대칭은 한 도형이 특정 선을 기준으로 접었을 때 정확히 일치하는 경우를 의미함. 이 선을 대칭축이라고 함. |
| 특징 | 선대칭 도형은 대칭축을 중심으로 대응점들 사이의 거리가 같고, 대칭축은 대응점들을 연결하는 선분을 수직이등분함. |
| 용어 | |
| 영어 | Axial symmetry |
| 일본어 | 線対称 (센타이쇼-) |
| 한국어 | 선대칭 |
| 로마자 표기 | Seondae칭 |
2. 성질
- 선대칭도형에서 대응변의 길이와 대응각의 크기는 각각 같다.
- 선대칭도형에서 대응점을 이은 선분은 대칭축에 의하여 이등분되고 대칭축과 수직으로 만난다.
3. 각 차원의 선대칭
선대칭은 고차원에서 나타나는 일반적인 성질이지만, 2차원에서는 특유의 성질을 가진다.
3. 1. 2차원
2차원 도형의 선대칭은 반사 대칭(reflection symmetry)과 같다. reflection symmetry를 선대칭으로 번역하는 경우도 많다. 이때 3차원 도형의 reflection symmetry는 면대칭으로 번역한다.대칭축을 경계로 도형을 두 부분으로 나누어 한쪽을 접으면 다른 쪽에 겹쳐진다. 대칭축은 접었을 때 서로 겹쳐지는 두 점을 연결한 선분의 수직 이등분선이다. 대칭축은 여러 개 존재할 수도 있다.
대칭축을 경계로 2개로 분할된 도형은 서로 합동이다. 서로 다른 모든 대칭축은 한 점에서 만나며, 그 교점은 도형의 무게중심이다. 일반적으로 대칭축을 짝수 개 또는 무수히 갖는 도형은 점대칭이기도 하며, 그 도형을 무게중심을 중심으로 180° 회전시키면 원래 도형과 완전히 겹쳐진다. 한편, 대칭축을 홀수 개 갖는 도형은 점대칭이 아니다.
함수 ''y'' = ''f''(''x'')의 그래프가 ''y'' 축을 대칭축으로 하는 선대칭인 것과, ''f''(''x'')가 우함수인 것은 동치이다.
3. 2. 3차원
3차원 도형의 선대칭은 2회 대칭과 같다.[1]또한 2차원 도형의 선대칭도 해당 도형을 3차원 도형으로 간주했을 때 2회 대칭이다.[1]
3. 3. 4차원 이상
n차원(n ≧ 4) 도형이 선대칭이라는 것은, 대칭축에 직교하는 각 n-1차원 공간 내에서, 대칭축과의 교점을 중심으로 한 점대칭이 성립하는 것이다.2차원·3차원 도형의 점대칭도 이 정의의 특수한 예이다.
4. 선대칭 도형의 예
도형에 따라 대칭축의 개수와 통과하는 점이 다르다.
4. 1. 2차원
- 원: 무한하며, 중심을 기준으로 선대칭이다.
- 정다각형: ''n''개의 선대칭을 가진다. 정홀수각형은 각 꼭짓점과 무게중심을 기준으로, 정짝수각형은 각 꼭짓점, 변심과 무게중심을 기준으로 선대칭이다.
- 이등변삼각형: 1개의 선대칭을 가지며, 꼭지각의 꼭짓점과 밑변의 중점을 기준으로 한다.
- 직사각형: 2개의 선대칭을 가지며, 대변의 각 중점을 기준으로 한다.
- 마름모: 2개의 선대칭을 가지며, 대각의 각 꼭짓점을 기준으로 한다.
- 연꼴: 1개의 선대칭을 가지며, 서로 각의 크기가 다른 대각의 각 꼭짓점을 기준으로 한다.
- 등변사다리꼴: 1개의 선대칭을 가지며, 평행한 두 변의 각 중점을 기준으로 한다.
- 부채꼴: 1개의 선대칭을 가지며, 중심각이 있는 점과 호의 중점을 기준으로 한다.
- 타원: 2개의 선대칭을 가지며, 중심과 초점, 또는 두 초점으로부터 같은 거리에 있는 서로 다른 두 점을 기준으로 한다.
4. 2. 3차원
3차원에서의 선대칭은 다음과 같다.| 도형 | 대칭면의 수 | 대칭면 |
|---|---|---|
| 구 | 무한 | 중심 |
| 정사면체 | 3개 | 중심과 각 변의 중심 |
| 정육면체 | 9개 | 중심과 각 변의 중심, 면의 중심 |
| 정팔면체 | 9개 | 중심과 각 꼭짓점, 변의 중심 |
| 정십이면체 | 15개 | 중심과 각 변의 중심 |
| 정이십면체 | 15개 | 중심과 각 변의 중심 |
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