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순압

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목차

1. 개요

순압은 보존력 하에서 압축성 유체가 정지 상태를 유지하기 위한 필요 조건이다. 유체에 작용하는 외력과 압력 경도가 평형을 이루는 경우(정수압 평형)를 고려하여, 밀도와 압력의 등치면 일치를 통해 순압성을 유도할 수 있다. 순압성이 성립하면 밀도는 압력의 함수가 되며, 이를 통해 비점성 순압 유체에서 베르누이 정리와 켈빈의 와동 정리가 성립한다.

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순압

2. 정수압 평형과 순압

보존력 하에서 압축성 유체가 정지 상태가 되기 위해서는 순압성이 필요 조건이다.

유체에 작용하는 외력과 압력 경도가 평형을 이루는 경우(정수압 평형)를 생각하면, 힘의 평형 방정식은 다음과 같다.

:-{1\over\rho}\nabla p + \boldsymbol{f} = 0

: (''p'' : 압력, ''ρ'' : 밀도, '''f''' : 단위 질량당 외력)

여기서, 중력이나 원심력과 같이 외력이 보존력인 경우를 생각한다(보존력의 포텐셜을 Ω로 한다).

:-{1\over\rho}\nabla p - \nabla \Omega = 0

양변의 회전을 취하면 \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Omega=0 이므로,

:\begin{align}

0

= \nabla\times\left(-{1\over\rho}\nabla p\right)

= {1\over\rho^2}\left(\nabla \rho \times \nabla p\right)\\

\therefore \nabla \rho \parallel \nabla p

\end{align}

가 된다. 기울기 ∇''f''는 ''f''의 등치면에 수직이므로, ∇''ρ''와 ∇''p''의 평행성은 ''ρ''와 ''p''의 등치면의 일치, 즉 순압성을 의미한다.

순압성이 성립한다면 밀도가 압력의 함수(''ρ''=''ρ''(''p''))가 되므로, 단위 질량당 압력 경도가 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:-{1\over\rho}\nabla p =-\nabla \int {\mathrm{d} p\over\rho}

이 성질에 의해, 비점성 순압 유체에서는 베르누이 정리나 켈빈의 와동 정리가 성립한다.

2. 1. 정수압 평형

유체에 작용하는 외력과 압력 경도가 평형을 이루는 경우를 정수압 평형이라고 한다. 힘의 평형 방정식은 다음과 같다.

:-{1\over\rho}\nabla p + \boldsymbol{f} = 0

: (''p'' : 압력, ''ρ'' : 밀도, '''''f''''' : 단위 질량당 외력)

여기서, 중력이나 원심력과 같이 외력이 보존력인 경우를 생각한다(보존력의 포텐셜을 Ω로 한다).

:-{1\over\rho}\nabla p - \nabla \Omega = 0

양변의 회전을 취하면 \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Omega=0 이므로, 다음과 같다.

:\begin{align}

0

= \nabla\times\left(-{1\over\rho}\nabla p\right)

= {1\over\rho^2}\left(\nabla \rho \times \nabla p\right)\\

\therefore \nabla \rho \parallel \nabla p

\end{align}

기울기 ∇''f''는 ''f''의 등치면에 수직이므로, ∇''ρ''와 ∇''p''의 평행성은 ''ρ''와 ''p''의 등치면의 일치, 즉 순압성을 의미한다.

2. 2. 순압성 조건 유도

보존력 하에서 압축성 유체가 정지 상태가 되기 위해서는 순압성이 필요 조건이다.

유체에 작용하는 외력과 압력 경도가 평형을 이루는 경우(정수압 평형)를 생각하면, 힘의 평형 방정식은 다음과 같다.

:-{1\over\rho}\nabla p + \boldsymbol{f} = 0

: (''p'' : 압력, ''ρ'' : 밀도, '''f''' : 단위 질량당 외력)

여기서, 중력이나 원심력과 같이 외력이 보존력인 경우를 생각한다(보존력의 포텐셜을 Ω로 한다).

:-{1\over\rho}\nabla p - \nabla \Omega = 0

양변의 회전을 취하면 \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Omega=0 이므로,

:\begin{align}

0

= \nabla\times\left(-{1\over\rho}\nabla p\right)

= {1\over\rho^2}\left(\nabla \rho \times \nabla p\right)\\

\therefore \nabla \rho \parallel \nabla p

\end{align}

가 된다. 기울기 ∇''f''는 ''f''의 등치면에 수직이므로, ∇''ρ''와 ∇''p''의 평행성은 ''ρ''와 ''p''의 등치면의 일치, 즉 순압성을 의미한다.

순압성이 성립한다면 밀도가 압력의 함수(''ρ''=''ρ''(''p''))가 되므로, 단위 질량당 압력 경도가 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:-{1\over\rho}\nabla p =-\nabla \int {\mathrm{d} p\over\rho}

이 성질에 의해, 비점성 순압 유체에서는 베르누이 정리나 켈빈의 와동 정리가 성립한다.

2. 3. 순압성 유체의 특징

보존력 하에서 압축성 유체가 정지 상태가 되기 위해서는 순압성이 필요 조건이다.

유체에 작용하는 외력과 압력 경도가 평형을 이루는 경우(정수압 평형) 힘의 평형 방정식은 다음과 같다.

  • 1/''ρ''∇''p'' + '''f''' = 0

(''p'' : 압력, ''ρ'' : 밀도, '''f''' : 단위 질량당 외력)

중력이나 원심력과 같이 외력이 보존력인 경우를 생각하면(보존력의 포텐셜을 Ω로 한다), 다음과 같다.

  • 1/''ρ''∇''p'' - ∇Ω = 0


양변의 회전을 취하면 rotgradΩ=0 이므로, 다음과 같다.

0 = ∇×(-1/''ρ''∇''p'') = 1/''ρ''2(∇''ρ'' × ∇''p'')

∴ ∇''ρ'' || ∇''p''

기울기 ∇''f''는 ''f''의 등치면에 수직이므로, ∇''ρ''와 ∇''p''의 평행성은 ''ρ''와 ''p''의 등치면이 일치함을 의미하며, 이는 순압성을 의미한다.

순압성이 성립하면 밀도가 압력의 함수(''ρ''=''ρ''(''p''))가 되므로, 단위 질량당 압력 경도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  • 1/''ρ''∇''p''=-∇∫d''p''/''ρ''


이러한 성질을 이용하여 비점성 순압 유체에서 베르누이 정리와 켈빈의 와동 정리가 성립한다.

3. 추가 설명 (선택 사항)

3. 1. 베르누이 정리

3. 2. 켈빈의 와동 정리

참조

[1] 서적 Mechanics of Fluids https://books.google[...] McGraw-Hill 2012-11-08
[2] 서적 Mechanics of Fluids https://books.google[...] McGraw-Hill 2012-11-08


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