슈바르츠실트 해 유도

3. 계량의 대각화

계량의 대각화는 첫 번째 단순화 단계이다. 좌표 변환 $(r,\; \backslash theta,\; \backslash phi,\; t)\; \backslash rightarrow\; (r,\; \backslash theta,\; \backslash phi,\; -t)$에서 모든 계량 성분은 동일하게 유지되어야 한다. 계량 성분 $g\_\{\backslash mu\; 4\}$ ($\backslash mu\; \backslash ne\; 4$)는 이 변환에서

:$g\_\{\backslash mu\; 4\}\text{'}=\backslash frac\{\backslash partial\; x^\{\backslash alpha\}\}\{\backslash partial\; x^\{\text{'}\backslash mu\}\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; x^\{\backslash beta\}\}\{\backslash partial\; x^\{\text{'}4\}\}\; g\_\{\backslash alpha\; \backslash beta\}=\; -g\_\{\backslash mu\; 4\}$ ($\backslash mu\; \backslash ne\; 4$)

와 같이 변한다. 하지만, $g\text{'}\_\{\backslash mu\; 4\}=\; g\_\{\backslash mu\; 4\}$이 성립한다. (계량 성분은 동일하게 유지된다.) 이는

:$g\_\{\backslash mu\; 4\}=\backslash ,\; 0$ ( $\backslash mu\; \backslash ne\; 4$ )

을 의미한다. 마찬가지로 두 좌표 변환 $(r,\; \backslash theta,\; \backslash phi,\; t)\; \backslash rightarrow\; (r,\; \backslash theta,\; -\backslash phi,\; t)$과 $(r,\; \backslash theta,\; \backslash phi,\; t)\; \backslash rightarrow\; (r,\; -\backslash theta,\; \backslash phi,\; t)$로 부터.

: $g\_\{\backslash mu\; 3\}=\backslash ,\; 0$ ( $\backslash mu\; \backslash ne\; 3$ )

: $g\_\{\backslash mu\; 2\}=\backslash ,\; 0$ ( $\backslash mu\; \backslash ne\; 2$ )

를 얻는다. 이 모든 것을 합치면 다음이 성립한다:

: $g\_\{\backslash mu\; \backslash nu\; \}=\backslash ,\; 0$ ( $\backslash mu\; \backslash ne\; \backslash nu$ ).

따라서, 계량은 다음과 같은 형식이어야 한다:

: $ds^2=\backslash ,\; g\_\{11\}\backslash ,d\; r^2\; +\; g\_\{22\}\; \backslash ,d\; \backslash theta\; ^2\; +\; g\_\{33\}\; \backslash ,d\; \backslash phi\; ^2\; +\; g\_\{44\}\; \backslash ,dt\; ^2$

여기서 4개 계량 성분은 정적이라는 가정에 의해 시각 좌표 $t$와 독립적이다.

4. 성분 단순화

$t$, $\backslash theta$, $\backslash phi$를 각각 상수로 두었을 때 (즉, 각 방사형 선에서) 이에 해당하는 각 초곡면에서, 구형 대칭 가정 때문에 $g\_\{11\}$는 $r$에 대해서만 변한다. 따라서 $g\_\{11\}$는 일변수 함수이다.

:$g\_\{11\}=A\backslash left(r\backslash right)$

$g\_\{44\}$에 대해서도 비슷한 방법으로

:$g\_\{44\}=B\backslash left(r\backslash right)$

를 얻는다. $t$가 상수인 초곡면과 $r$이 상수인 초곡면에서, 계량은 2차원 구의 계량이어야 한다.

: $dl^2=r\_\{0\}^2\; (d\; \backslash theta^2\; +\; \backslash sin^2\; \backslash theta\backslash ,\; d\; \backslash phi^2)$

이러한 초곡면(반지름 $r\_\{0\}$) 중 하나를 선택한다. 예를 들어, 이 초곡면으로 제한된 계량 성분(우리는 $\backslash tilde\{g\}\_\{22\}$ 그리고 $\backslash tilde\{g\}\_\{33\}$ )는 다음을 통한 회전에서 변경되지 않아야 한다. $\backslash theta$ 그리고 $\backslash phi$ (다시, 구형 대칭에 의해). 이 초곡면에서 계량의 형식을 비교하면 다음이 제공된다.

: $\backslash tilde\{g\}\_\{22\}\backslash left(d\; \backslash theta^2\; +\; \backslash frac\{\backslash tilde\{g\}\_\{33\}\}\{\backslash tilde\{g\}\_\{22\}\}\; \backslash ,d\; \backslash phi^2\; \backslash right)\; =\; r\_\{0\}^2\; (d\; \backslash theta^2\; +\; \backslash sin^2\; \backslash theta\; \backslash ,d\; \backslash phi^2)$

즉시 다음 결과를 얻는다:

: $\backslash tilde\{g\}\_\{22\}=r\_\{0\}^2$ 그리고 $\backslash tilde\{g\}\_\{33\}=r\_\{0\}^2\; \backslash sin\; ^2\; \backslash theta$.

그러나 이것은 각 초곡면을 유지하는 데 필요하다. 그 후,

: $g\_\{22\}=\backslash ,\; r^2$ 그리고 $g\_\{33\}=\backslash ,\; r^2\; \backslash sin^2\; \backslash theta$.

$g\_\{22\}$와 $g\_\{33\}$가 평탄한 시공간에서와 같아야함을 직관적으로 볼 수 있는 대안적인 길은, 탄성 물질을 구형 대칭으로 급격하게 늘리거나 압축해도 두 점 사이의 각도 거리가 변경되지 않는다는 점에 주목하는 것이다.

따라서 계량은 다음 형식으로 놓을 수 있다.

: $ds^2=A\backslash left(r\backslash right)dr^2+r^2\backslash ,d\; \backslash theta^2+r^2\; \backslash sin^2\; \backslash theta\; \backslash ,d\; \backslash phi^2\; +\; B\backslash left(r\backslash right)\; dt^2$

여기서 $A$, $B$는 $r$을 변수로 하는 아직 정의되지 않은 함수이다. 만약 $A$ 또는 $B$가 어떤 점에서 0이면, 계량은 해당 점에서 특이점을 갖는다.

5. 크리스토펠 기호 계산

위의 계량을 사용하여 첨자가 $(1,2,3,4)=(r,\backslash theta,\backslash phi,t)$와 같은 크리스토펠 기호를 찾는다. $\text{'}$표시는 함수의 전체 도함수를 나타낸다.

:$\backslash Gamma^1\_\{ik\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$

A'/\left( 2A \right) & 0 & 0 & 0\\

0 & -r/A & 0 & 0\\

0 & 0 & -r \sin^2 \theta /A & 0\\

0 & 0 & 0 & -B'/\left( 2A \right) \end{bmatrix}

:$\backslash Gamma^2\_\{ik\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$

0 & 1/r & 0 & 0\\

1/r & 0 & 0 & 0\\

0 & 0 & -\sin\theta\cos\theta & 0\\

0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

:$\backslash Gamma^3\_\{ik\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$

0 & 0 & 1/r & 0\\

0 & 0 & \cot\theta & 0\\

1/r & \cot\theta & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

:$\backslash Gamma^4\_\{ik\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$

0 & 0 & 0 & B'/\left( 2B \right)\\

0 & 0 & 0 & 0\\

0 & 0 & 0 & 0 \\

B'/\left( 2B \right) & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

6. 장 방정식을 사용하여 A(r)와 B(r) 찾기

$A(r)$와 $B(r)$을 결정하기 위해 진공 장 방정식 $R\_\{\backslash alpha\backslash beta\}=\backslash ,\; 0$이 사용된다. 따라서,

:$\{\backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash beta\backslash alpha,\backslash rho\}\}\; -\; \backslash Gamma^\backslash rho\_\{\backslash rho\backslash alpha,\backslash beta\}$

+ \Gamma^\rho_{\rho\lambda} \Gamma^\lambda_{\beta\alpha}

• \Gamma^\rho_{\beta\lambda}\Gamma^\lambda_{\rho\alpha}=0\

7. 약한 장 근사법을 사용하여 K와 S 찾기

8. 슈바르츠실트 반지름 및 특이점

9. 등방 좌표계에서의 표현

슈바르츠실트 해 계량의 원래 공식은 빛의 속도가 방사형과 가로 방향에서 동일하지 않은 이방성 좌표를 사용한다. 아서 스탠리 에딩턴은 등방성 좌표에서 다른 형식을 제공했다.^[5] 등방성 구형 좌표의 경우 $r\_1$, $\backslash theta$, $\backslash phi$에서, 좌표 $\backslash theta$ 그리고 $\backslash phi$는 변경되지 않고 ($r\; \backslash geq\; \backslash frac\{2\; Gm\}\{c^2\}$인 경우)^[6] 다음이 성립한다.

:$r\; =\; r\_1\; \backslash left(1+\backslash frac\{Gm\}\{2c^2\; r\_1\}\backslash right)^\{2\}$, $dr\; =\; dr\_1\; \backslash left(1-\backslash frac\{(Gm)^2\}\{4c^4\; r\_1^2\}\backslash right)$, 그리고

::$\backslash left(1-\backslash frac\{2Gm\}\{c^2\; r\}\backslash right)\; =\; \backslash left(1-\backslash frac\{Gm\}\{2c^2\; r\_1\}\backslash right)^\{2\}/\backslash left(1+\backslash frac\{Gm\}\{2c^2\; r\_1\}\backslash right)^\{2\}$

등방 직사각형 좌표 $x$, $y$, $z$의 경우,

:$x\; =\; r\_1\backslash ,\; \backslash sin(\backslash theta)\backslash ,\; \backslash cos(\backslash phi)\; \backslash quad,$ $y\; =\; r\_1\backslash ,\; \backslash sin(\backslash theta)\backslash ,\; \backslash sin(\backslash phi)\; \backslash quad,$ $z\; =\; r\_1\backslash ,\; \backslash cos(\backslash theta)$

계량은 등방 직사각형 좌표에서 다음과 같이 표현된다.

:$ds^2=\; \backslash left(1+\backslash frac\{Gm\}\{2c^2\; r\_1\}\backslash right)^\{4\}(dx^2+dy^2+dz^2)\; -c^2\; dt^2\; \backslash left(1-\backslash frac\{Gm\}\{2c^2\; r\_1\}\backslash right)^\{2\}/\backslash left(1+\backslash frac\{Gm\}\{2c^2\; r\_1\}\backslash right)^\{2\}$

아서 에딩턴이 등방 좌표에서 대체 형태를 제시했다는 내용이 다시 한번 반복된다.^[2] 등방 구면 좌표 $r\_1$, $\backslash theta$, $\backslash phi$의 경우, 좌표 $\backslash theta$와 $\backslash phi$는 변경되지 않으며 ($r\; \backslash geq\; \backslash frac\{2\; Gm\}\{c^2\}$일 경우)^[3] 위와 동일한 관계식이 성립한다.

10. 버코프의 정리

슈바르츠실트 계량을 유도할 때 계량이 진공, 구형 대칭 및 정적이라고 가정했다. 비르코프 정리는 중력장 방정식 구형 대칭 진공 해가 정상이라고 명시하므로 정적 가정은 필요하지 않다. 따라서 슈바르츠실트 해는 다음과 같다. 버코프의 정리는 구형 대칭을 유지하는 맥동 별이 별 외부 영역은 정적 상태로 유지되기 때문에 중력파를 생성하지 않는다는 결과를 가져온다.

11. 슈바르츠실트 해의 응용

11. 1. 한국 천문학 연구에의 기여

참조

_[1] 웹사이트 Reflections on Relativity http://www.mathpages[...]
_[2] 서적 Mathematical Theory of Relativity https://books.google[...] Cambridge UP 1922
_[3] 논문 Isotropic coordinates and Schwarzschild metric
_[4] 웹인용 Reflections on Relativity http://www.mathpages[...]
_[5] 서적 Mathematical Theory of Relativity https://books.google[...] Cambridge UP 1922
_[6] 간행물 Isotropic coordinates and Schwarzschild metric https://archive.org/[...]