점근적 평탄 다양체

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 예시
- 3.1. 슈바르츠실트 계량
- 3.2. 커 계량
4. 비판 및 논쟁
5. 응용
참조

1. 개요

점근적 평탄 다양체는 리만 다양체 또는 로렌츠 다양체의 일종으로, 무한대로 갈수록 평탄한 공간에 가까워지는 특징을 가진다. 이는 일반 상대성 이론의 해를 연구하는 데 중요한 조건으로, 경계 조건 설정, 물리량 정의, 새로운 개념 도입, 블랙홀 및 중력파 연구 등 다양한 분야에 응용된다. 점근적 평탄성은 콤팩트한 근원으로부터의 방사를 연구하기 위해 1960년대에 도입되었으며, 좌표 의존적 및 좌표 독립적 정의가 존재한다.

더 읽어볼만한 페이지

로런츠 다양체 - 중력 특이점
중력 특이점은 일반 상대성이론에서 시공간이 정의되지 않고 물리량이 무한대로 발산하는 지점으로, 다양한 형태로 나타나며 이론에 따라 존재가 부정되거나 사건 지평선 뒤에 숨겨져 있다고 여겨지기도 하고 블랙홀의 엔트로피와 관련된 호킹 복사 이론과도 관련된다.
로런츠 다양체 - 펜로즈 그림
펜로즈 그림은 로저 펜로즈가 도입한 시공간 도표로, 점근적으로 평탄한 시공간을 표현하기 위해 거리를 축소하는 방식을 사용하여 시공간의 인과 구조를 유계 영역으로 표현하고 블랙홀과 같은 복잡한 시공간을 묘사하는 데 활용된다.
리만 기하학 - 등각 사상
등각 사상은 각도를 보존하는 사상으로, 2차원에서는 도함수가 0이 아닌 정칙 함수인 복소 함수가 해당되며, 3차원 이상에서는 상사 변환, 등거리 변환, 특수 등각 변환 등으로 분류되어 지도 제작, 항공우주 공학 등 다양한 분야에 응용된다.
리만 기하학 - 편평도
편평도는 아직 내용이 없어 정의를 내릴 수 없는 위키백과 페이지이다.
일반 상대성이론 - 양자 중력
양자 중력은 양자역학과 일반 상대성이론을 통합하여 중력이 강한 극한 조건에서 발생하는 이론적 모순을 해결하려는 시도로, 재규격화 불능성과 시공간 배경 의존성 차이 등의 난제 해결을 위해 끈 이론, 루프 양자 중력 등 다양한 접근 방식이 연구되고 있으며, 우주 마이크로파 배경 데이터 등을 이용한 실험적 검증이 시도되고 있다.
일반 상대성이론 - 중력 특이점
중력 특이점은 일반 상대성이론에서 시공간이 정의되지 않고 물리량이 무한대로 발산하는 지점으로, 다양한 형태로 나타나며 이론에 따라 존재가 부정되거나 사건 지평선 뒤에 숨겨져 있다고 여겨지기도 하고 블랙홀의 엔트로피와 관련된 호킹 복사 이론과도 관련된다.

점근적 평탄 다양체
개요
유형	로렌츠 다양체
특징	곡률이 먼 거리에서 사라짐

2. 정의

점근적 평탄 다양체는 리만 다양체 또는 로런츠 다양체의 특수한 경우로, 좌표 의존적 정의와 좌표 독립적 정의 두 가지 방식으로 정의될 수 있다.

점근적 평탄 조건은 수학 및 다른 물리 이론에서 어떤 물리적 장이나 수학적 함수가 적절한 의미에서 ''점근적으로 소멸''된다고 말할 때 사용되는 조건과 유사하다.

일반 상대성 이론에서 점근적으로 평탄한 진공 해는 고립된 질량 물체의 외부 중력장을 모델링한다. 따라서 이러한 시공간은 고립계로 간주될 수 있다. 즉, ''외부의 영향을 무시할 수 있는'' 시스템이다. 물리학자들은 별의 점근적 평탄 모델을 구성할 때, 단일 별 외에는 아무것도 없는 우주를 상상하기보다는 다른 물체의 존재로 인한 중력 효과를 무시할 수 있는 외부 영역과 함께 별의 내부를 모델링하는 데 관심을 갖는다. 천체 간의 일반적인 거리가 각 물체의 지름보다 훨씬 더 큰 경향이 있으므로, 이러한 이상화는 해의 구성 및 분석을 단순화하는 데 도움이 된다.

2. 1. 리만 다양체의 경우

n

차원 리만 다양체

(M,g)

와 양의 실수

\alpha\in\mathbb R^+

가 주어졌다고 하자.

M

의 '''점근적 평탄 끝'''(asymptotically flat end^영어)

(\Sigma,\iota_\Sigma)

는 다음과 같다.

$M$ 의 $n$ 차원 부분 다양체 $\Sigma\subseteq M$
미분 동형 사상 $\iota_\Sigma\colon\{x\in\mathbb R^n\colon \|x\|>1\}\to\Sigma$

이때, 다음 조건을 만족시켜야 한다.

:

\frac{\partial^l}{\partial x^{i_1}\partial x^{i_2}\cdots\partial x^{i_l}}\left(\iota_\Sigma^*g\left(\frac\partial{\partial x_i},\frac\partial{\partial x_j}\right)-\delta_{ij}\right)\in O(r^{-\alpha-l})\qquad\forall l\in\{0,1,2\},\;\forall i_1,i_2,\dots,i_l,i,j\in\{1,\dots,n\}

여기서

:

r=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x^i)^2}

이다. 위 조건을 지표 표기법으로 쓰면 다음과 같다.

:

\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_l}(g_{ij}-\delta_{ij})\in O(r^{-\alpha-l})\qquad\forall l\in\{0,1,2\},\;\forall i_1,i_2,\dots,i_l,i,j\in\{1,\dots,n\}

n

차원 리만 다양체

(M,g)

와 유한 개의 점근적 평탄 끝

(\iota_1,\Sigma_a)_{a=1,\dots,m}

이 주어졌고,

:

M\setminus(\Sigma_1\cup\Sigma_2\cup\cdots\Sigma_m)

이 콤팩트 공간이라면,

M

을 '''점근적 평탄 다양체'''(asymptotically flat manifold^영어)라고 한다. 이 경우,

m

의 최솟값을

M

의 '''끝의 수'''(number of ends^영어)라고 한다.

2. 2. 로런츠 다양체의 경우

n+1

로런츠 다양체

(\mathcal M,g)

와 양의 실수

\alpha\in\mathbb R^+

가 주어졌을 때,

\mathcal M

의 '''점근적 평탄 끝'''(asymptotically flat end^영어)

(\Sigma,\iota_\Sigma)

는 다음과 같은 데이터로 정의된다.^[5]

$\mathcal M$ 의 $n$ 차원 공간형 부분 다양체 $\Sigma\subseteq M$ (즉, $g\restriction\Sigma$ 는 리만 계량을 이룬다)
미분 동형 사상 $\iota_\Sigma\colon\{x\in\mathbb R^n\colon \|x\|>1\}\to\Sigma$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

:

\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_l}(g_{ij}-\delta_{ij})\in O(r^{-\alpha-l})\qquad\forall l\in\{0,1,2\},\;\forall i_1,i_2,\dots,i_l,i,j\in\{1,\dots,n\}

:

\partial_{i_1}\cdots\partial_{i_l}(\operatorname{II}_{ij}-\delta_{ij})\in O(r^{-\alpha-l})\qquad\forall l\in\{0,1,2\},\;\forall i_1,i_2,\dots,i_l,i,j\in\{1,\dots,n\}

여기서

:

r=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x^i)^2}

이며,

\operatorname{II}_{ij}

는

\Sigma

의 제2 기본 형식이다. (

\mathrm T^*\Sigma\otimes\mathrm T^*\Sigma\otimes\mathrm N_{\mathcal M/\Sigma}

의 단면이며, 법다발

\mathrm N_{\mathcal M/\Sigma}

은

\mathcal M

의 로런츠 계량

g

로 인해 표준적으로 단위 벡터 단면을 잡을 수 있다.)

진공 아인슈타인 방정식의 해의 경우,

n\ge3

이라면 항상

\alpha=n-2

로 잡을 수 있다.^[5]

2. 3. 좌표 의존적 정의

역사적으로 초기에 사용된 정의 방식으로, 좌표계를 이용하여 무한히 먼 곳에서의 계량 텐서의 점근적 형태를 규정한다.

가장 간단하고 역사적으로 최초의 점근적 평탄 시공간을 정의하는 방법은 좌표 t,x,y,z^영어를 사용하여 원점에서 멀리 떨어진 곳에서 민코프스키 시공간의 데카르트 좌표와 매우 유사하게 동작하는 좌표계를 가정하는 것이다. 이는 다음과 같은 의미를 갖는다. 계량 텐서를 (물리적으로 관찰할 수 없는) 민코프스키 배경과 섭동 텐서의 합으로 나타내고,

g_{ab} = \eta_{ab} + h_{ab}

으로 표현하며,

r^2=x^2+y^2+z^2

로 설정한다. 그러면 다음 조건들을 요구한다.

$\lim_{r \rightarrow \infty} h_{ab} = O(1/r)$
$\lim_{r \rightarrow \infty} h_{ab,p} = O(1/r^2)$
$\lim_{r \rightarrow \infty} h_{ab,pq} = O(1/r^3)$

섭동의 편미분이 매우 빠르게 감소하도록 요구하는 한 가지 이유는, 이러한 조건들이 ''중력장 에너지 밀도''(이 다소 모호한 개념이 중력의 계량 이론에서 의미가 있는 한)가

O(1/r^4)

처럼 감소한다는 것을 의미하기 때문이며, 이는 물리적으로 타당하다. (고전 전자기학에서 점전하의 전자기장의 에너지는

O(1/r^4)

처럼 감소한다.)

2. 4. 좌표 독립적 정의

로저 펜로즈 등은 등각 콤팩트화 개념을 이용하여 좌표계에 의존하지 않고 점근적 평탄성을 정의하는 현대적인 방식을 도입하였다.^[4] 1963년, 로저 펜로즈는 대수 기하학에서 등각 콤팩트화라고 불리는 중요한 개념을 도입했고, 1972년 로버트 게로치는 이를 사용하여 점근적 평탄성에 대한 좌표 불변의 정의를 공식화하였다.^[4] 이 새로운 접근 방식에서는 모든 것이 제대로 설정되면 점근적 평탄성을 확인하기 위해 궤적에서 함수를 평가하기만 하면 된다.^[4]

3. 예시

콤팩트 리만 다양체는 자명하게 0개의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다. 유클리드 공간은 자명하게 하나의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다.

원점을 제외한 유클리드 공간 $\mathbb R^n\setminus\{0\}$ 위에 다음과 같은 리만 계량을 부여한다.

: $\mathrm ds^2=r^{-2}\,\mathrm dr^2+(\ln(r+1/r))^2\,\mathrm d\Omega^2$

좌표 변환

: $r=\exp t$

를 적용하면 이는

: $\mathrm ds^2=\mathrm dt^2+(\ln(2\cosh(t))^2\,\mathrm d\Omega^2$

가 되므로, $t\to\pm\infty$ 에서

: $\mathrm ds^2\approx\mathrm dt^2+|t|^2\,\mathrm d\Omega^2$

이다. 따라서, 이는 두 개의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다.

고립된 물체를 모델로 하는 시공간만이 점근적 평탄하다. FRW 모형과 같이 잘 알려진 다른 많은 정확한 해는 그렇지 않다. 슈바르츠실트 계량의 또 다른 일반화인 토브-NUT 공간은 점근적 평탄하지 않다. 더 간단한 일반화인 드 시터-슈바르츠실트 계량 해는 드 시터 우주에 잠긴 구면 대칭 질량 물체를 모델로 하며, 점근적 평탄하지 않은 "점근적 단순" 시공간의 예이다.

반면에, 바일 계량 및 회전 일반화, 에른스트 진공 (모든 정적 축대칭 및 점근적 평탄 진공 해의 집합)과 같이 점근적 평탄한 중요한 해 집합이 있다. 이 집합은 훨씬 단순화된 편미분 방정식 집합의 해 공간으로 주어지며, 해당 계량 텐서는 명시적인 다중극 전개를 사용하여 작성할 수 있다.

3. 1. 슈바르츠실트 계량

4차원 이상의 시공간에서, 슈바르츠실트 계량은 (질량 중심 틀에서

t=0

조각을 생각한다면) 점근적 평탄 다양체를 이룬다. 일반 상대성 이론에서 점근적으로 평탄한 진공 해는 고립된 유한 질량 물체의 외부 중력장을 모델링하는 데 사용되며, "외부의 영향을 무시할 수 있는 계"라고 생각할 수 있다.^[1] 슈바르츠실트 진공은 점근적으로 평탄한 시공간의 단순한 예이다.^[2]

3. 2. 커 계량

커 해는 점근적 평탄성을 만족한다. 이는 회전하는 블랙홀을 나타내며, 블랙홀 주변의 복잡한 시공간 구조를 이해하는 데 기여한다.

4. 비판 및 논쟁

점근적 평탄성이라는 개념은 이론물리학, 특히 일반 상대성 이론에서 중요한 역할을 하지만, 몇 가지 비판과 논쟁도 존재한다.^[1]

점근적 평탄성 조건은 수학 및 다른 물리 이론에서 사용되는 조건과 유사하며, 물리적인 장이나 수학적인 함수가 "점근적으로 0이 된다"는 것을 의미한다.^[1]

일반 상대성 이론에서 점근적으로 평탄한 진공 해는 고립된 유한 질량 물체의 외부 중력장을 모델링하는 데 사용된다.^[1] 이러한 시공간은 고립계로 간주될 수 있는데, 이는 외부의 영향을 무시할 수 있는 계를 의미한다.^[1] 물리학자들은 점근적으로 평탄한 별을 모델링할 때, 다른 물체에 의한 중력의 영향을 무시할 수 있는 별의 내부 및 외부 모델링에 관심을 가지며, 이는 천체 사이의 거리가 일반적으로 각 천체의 지름에 비해 매우 크기 때문에 가능하다.^[1]

4. 1. 회전하는 천체 모델링의 어려움

정적인 별은 완전 유체 모델을 별의 내부에 적용하고, 표면에서 점근적으로 평탄한 진공 외부 해(슈바르츠실트 해)와 연결하여 비교적 쉽게 모델링할 수 있다.^[1] 하지만, 완전 유체 내부 해와 점근적으로 평탄한 외부 진공 해를 연결하여 회전하는 별을 모델링하는 것은 수학적으로 매우 어렵다.^[1] 이는 일반 상대성 이론에서 점근적 평탄성 개념에 대한 중요한 문제점으로 지적된다.^[1]

회전하는 천체의 경우, 현재까지 알려진 엄밀 해는 극소수에 불과하다.^[1] 특히, 회전하는 별을 모델링하기 위해 커 외부 진공 해와 연결할 수 있는 완전 유체 내부 해는 아직 알려지지 않았다.^[1] 이는 슈바르츠실트 진공 해에 연결할 수 있는 유체 내부 해가 충분히 알려진 것과 대조적이다.^[1]

페트로프 분류에서 '''D'''로 분류되는 커 진공 해에 연결되는 내부 해는 역시 '''D'''여야 한다.^[1] 페트로프 분류에서 D로 분류되고, 진공 외부 해와 연결이 가능한 유한한 표면을 가진 완전 유체 해로는 Wahlquist fluid|왈퀴스트 유체^영어가 알려져 있다.^[1] 그러나, 왈퀴스트 유체는 ''어떤'' 점근적으로 평탄한 진공 해와도 연결할 수 없다.^[1]

4. 2. 이상화의 적용 문제

점근적 평탄성은 중력 물리학에서 이론 및 기술적 측면에서 비판을 받는다.

일반 상대성 이론과 뉴턴 중력 이론에서 점근적 평탄성은 매우 유용한 이상화이다. 그러나 더 복잡한 중력 이론으로 발전하면서, 이전 이론보다 이상화 적용이 더 어려워질 수 있다. 더 정확한 이론은 더 정확한 경계 조건을 필요로 하므로, 단순한 이론에서 사용되던 이상화를 복잡한 이론에 적용하기 어려워지기 때문이다. 심지어 일부 이상화는 후속 이론에서 허용되지 않을 수 있다.

예를 들어, 고립된 점 입자 개념을 허용하지 않는 더 복잡한 이론이 제안되기도 한다. 슈바르츠실트 진공 해의 존재에도 불구하고, 일반 상대성 이론 자체가 점 입자를 허용하지 않는다고 주장하는 사람도 있다.

일반 상대론적으로 고립된 "회전하는" 물체를 모델화하는 엄밀 해는 현재 극소수만 알려져 있다. 노이게바우어-마이넬-다스트와 그 변종들이 알려져 있지만, 커 외부 진공 해와 연결 가능한 완전 유체 내부 해는 알려져 있지 않다. 이는 슈바르츠실트 진공 해에 연결 가능한 유체 내부 해가 충분히 존재하는 것과 대조적이다.

Petrov classification^영어에서 '''D'''로 분류되는 커 진공 해에 연결되는 내부 해는 역시 '''D'''여야 한다. Wahlquist fluid^영어가 알려져 있지만, ''어떤'' 점근적으로 평탄한 진공 해와도 연결할 수 없다. 일부 물리학자는 일반 상대성 이론이 점근적으로 평탄한 해를 충분히 허용하지 않는다고 주장하지만, 이는 마흐의 원리를 부정하는 것을 의미할 수 있다.

이 문제에 대한 주류 물리학자들의 견해는 다음과 같다.

알버트 아인슈타인과 존 휠러 등 많은 연구자들이 마흐의 원리를 사용했지만, 그 현황은 운동량 보존과 같이 널리 받아들여지는 원리와 달리 매우 모호하다.
일반 상대성 이론은 현실적인 천문학적 상황을 모델화할 수 있을 만큼 다양한 해와 더불어, 비현실적인 해까지 허용한다.

4. 3. 마흐의 원리와의 관계

일반 상대성 이론에서 점근적으로 평탄한 해가 충분히 일반적이지 않다는 이유로 이 이론을 받아들일 수 없다는 주장이 제기되기도 한다. 이는 마흐의 원리를 일부 부정하는 것을 의미할 수 있다. 그러나 알버트 아인슈타인과 존 휠러를 비롯한 많은 연구자들이 마흐의 원리를 사용했음에도 불구하고, 이 원리의 현재 상태는 운동량 보존과 같이 널리 받아들여지는 원리와는 달리 매우 모호하다.^[1]

5. 응용

점근적 평탄성은 일반 상대성 이론의 여러 분야에서 중요한 기술적 조건으로 사용된다.

일반 상대성 이론에서 점근적으로 평탄한 진공 해는 고립된 질량 물체의 외부 중력장을 모델링하므로, 이러한 시공간은 고립계로 간주될 수 있다. 즉, '외부의 영향은 무시할 수 있는' 시스템이다. 물리학자들은 별의 점근적 평탄 모델을 구성할 때 단일 별 외에는 아무것도 없는 우주를 상상하는 경우는 드물다. 오히려 다른 물체의 존재로 인한 중력 효과를 무시할 수 있는 외부 영역과 함께 별의 내부를 모델링하는 데 관심이 있다. 천체 간의 일반적인 거리가 각 물체의 지름보다 훨씬 더 큰 경향이 있으므로, 이러한 이상화를 통해 해의 구성 및 분석을 크게 단순화할 수 있다.

점근적 평탄성 조건은 수학 및 다른 물리 이론의 유사한 조건과 유사하며, 어떤 물리적 장 또는 수학적 함수가 적절한 의미에서 ''점근적으로 소멸''된다고 말한다.

5. 1. 경계 조건 설정

일반 상대성 이론 및 관련 물리 이론에서 물리 현상의 모델은 일반적으로 적절한 미분 방정식 시스템의 해로 나타나며, 점근적 평탄성을 가정하면 경계 조건을 제공하여 경계값 문제 설정 및 해결에 도움을 준다.^[3]

5. 2. 물리량 정의

일반 상대성 이론과 같은 계량 중력 이론에서는 질량이나 각운동량과 같은 중요한 물리적 개념에 대한 일반적인 정의를 제공하는 것이 일반적으로 불가능하다. 그러나 점근적 평탄성을 가정하면 점근적 평탄 해에 대해 의미가 있는 편리한 정의를 사용할 수 있다.

5. 3. 새로운 개념 도입

점근적 평탄성은 일반 상대성 이론의 엄밀해 연구 및 관련 이론에서 기술적 조건으로 매우 유용하다. 여기에는 몇 가지 이유가 있다.

일반 상대성 이론 및 관련 물리 이론에서 물리 현상의 모델은 일반적으로 적절한 미분 방정식계의 해로 주어지지만, 점근적 평탄성을 가정하면 경계값 문제의 정식화 및 해를 구하는 것을 돕는 경계 조건을 제공한다.
일반 상대성 이론과 같은 계량 중력 이론에서 질량이나 각운동량과 같은 중요한 물리적 개념에 일반적인 정의를 제공하는 것은 일반적으로 불가능하다. 그러나 점근적 평탄성을 가정하면 점근적으로 평탄한 해에 대해 의미를 가지는 편리한 정의를 제공하는 것이 가능하다.
다소 이해하기 어렵지만, 점근적 평탄성을 이용하면 대수기하학 및 미분 위상 기하학 분야의 중요하고 복잡한 수학적 개념을 물리학에 도입하여 사상의 지평선 유무와 같은 중요한 특성을 정의하고 연구할 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Physics http://www.lancs.ac.[...]
_[2] 논문 Black Holes
_[3] URL http://www.lancs.ac.[...]
_[4] URL https://arxiv.org/ab[...]
_[5] 저널 Mathematical general relativity: a sampler 2010-10

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com